2018年高考数学江苏专版二轮专题复习训练：三角恒等变换与解三角形

14个填空题专项强化练(六) 三角恒等变换与解三角形A 组——题型分类练题型一 同角三角函数的基本关系与诱导公式 1．sin 240°＝________.解析：sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32. 答案：－322．已知cos α＝－513，角α是第二象限角，则tan(2π－α)＝________. 解析：因为cos α＝－513，角α是第二象限角， 所以sin α＝1213，所以tan α＝－125， 故tan(2π－α)＝－tan α＝125. 答案：1253．已知θ是第三象限角，且sin θ－2cos θ＝－25，则sin θ＋cos θ＝________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2θ＋cos 2θ＝1，sin θ－2cos θ＝－25，且θ为第三象限角， 得⎩⎨⎧sin θ＝－2425，cos θ＝－725，故sin θ＋cos θ＝－3125.答案：－3125题型二 三角恒等变换1．若1＋cos 2αsin 2α＝12，则tan 2α＝________.解析：因为1＋cos 2αsin 2α＝2cos 2α2sin αcos α＝cos αsin α＝12，所以tan α＝2，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝41－4＝－43. 答案：－432．若sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝35，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos α的值为________． 解析：∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴α－π6∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3. 又∵sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝35，∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝45， ∴cos α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π6＋π6＝cos ⎝⎛⎭⎫α－π6cos π6－sin ⎝⎛⎭⎫α－π6sin π6＝45×32－35×12＝43－310. 答案：43－3103．若f (x )＝2tan x －2sin 2x 2－1sin x 2cos x2，则f ⎝⎛⎭⎫π12的值为________． 解析：因为f (x )＝2tan x ＋1－2sin 2x212sin x ＝2tan x ＋2cos x sin x ＝2sin x cos x ＝4sin 2x，所以f ⎝⎛⎭⎫π12＝4sinπ6＝8. 答案：84．已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6－sin α＝233，则sin ⎝⎛⎭⎫α－7π6的值是________． 解析：由cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6－sin α＝233， 得32cos α－32sin α＝233， 即－⎝⎛⎭⎫32sin α－12cos α＝23，即sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝－23.所以sin ⎝⎛⎭⎫α－7π6＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π6－π ＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝23. 答案：235．设α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，若sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45， tan ⎝⎛⎭⎫β－π3＝13，则tan(2α＋β)的值为________． 解析：因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，所以α＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，5π12.又sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，所以cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35， 所以sin ⎝⎛⎭⎫ 2α＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝2425， cos ⎝⎛⎭⎫ 2α＋π3＝2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－1＝－725， 所以tan ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－247. 又2α＋β＝⎝⎛⎭⎫2α＋π3＋⎝⎛⎭⎫β－π3， 所以tan(2α＋β)＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2α＋π3＋⎝⎛⎭⎫β－π3 ＝tan ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＋tan ⎝⎛⎭⎫β－π31－tan ⎝⎛⎭⎫2α＋π3·tan ⎝⎛⎭⎫β－π3＝－247＋131＋247×13＝－139.答案：－139题型三 正弦定理和余弦定理1．在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2Asin C＝________. 解析：由正弦定理得sin A sin C ＝ac ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，∵a ＝4，b ＝5，c ＝6， ∴sin 2A sin C ＝2sin A cos A sin C ＝2·sin Asin C·cos A ＝2×46×52＋62－422×5×6＝1.答案：12．在锐角△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4.若△ABC 的面积为33，则BC 的长是________． 解析：因为S △ABC ＝12AB ·AC sin A ，所以33＝12×3×4×sin A ，所以sin A ＝32，因为△ABC 是锐角三角形，所以A ＝60°，由余弦定理得，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ，解得BC ＝13.答案：133．已知在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝2，角B 的平分线BD ＝3，则BC ＝________. 解析：在△ABD 中，由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝BDsin A，∴sin ∠ADB ＝AB ·sin A BD ＝22，∴∠ADB ＝45°， ∴∠ABD ＝15°，∴∠ABC ＝30°，∠ACB ＝30°， ∴AC ＝AB ＝ 2.在△ABC 中，由余弦定理得 BC ＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝ 6.答案： 64．在斜三角形ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若1tan A ＋1tan B ＝1tan C ，则abc2的最大值为________． 解析：由1tan A ＋1tan B ＝1tan C 可得，cos A sin A ＋cos B sin B ＝cos Csin C ， 即sin B cos A ＋cos B sin A sin A sin B ＝cos Csin C ，∴sin (B ＋A )sin A sin B ＝cos Csin C ，即sin C sin A sin B ＝cos Csin C，∴sin 2C ＝sin A sin B cos C . 根据正弦定理及余弦定理可得， c 2＝ab ·a 2＋b 2－c 22ab，整理得a 2＋b 2＝3c 2.∴ab c 2＝ab a 2＋b 23＝3ab a 2＋b 2≤3ab 2ab ＝32， 当且仅当a ＝b 时等号成立． 答案：32B 组——高考提速练1．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2－φ＝32，且|φ|<π2，则tan φ＝________. 解析：cos ⎝⎛⎭⎫π2－φ＝sin φ＝32， 又|φ|<π2，则cos φ＝12，所以tan φ＝ 3.答案： 32．已知sin 2α＝35⎝⎛⎭⎫π2<2α<π，tan(α－β)＝12，则tan(α＋β)等于________． 解析：由题意，可得cos 2α＝－45，则tan 2α＝－34，tan(α＋β)＝tan[2α－(α－β)]＝tan 2α－tan (α－β)1＋tan 2αtan (α－β)＝－2.答案：－23．已知sin(π－α)＝－2sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α，则sin αcos α＝________. 解析：由sin(π－α)＝－2sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α， 得sin α＝－2cos α，所以tan α＝－2， 所以sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－25. 答案：－254．若tan β＝2tan α，且cos αsin β＝23，则sin(α－β)的值为________．解析：由tan β＝2tan α得，2sin αcos β＝cos αsin β，所以2sin αcos β＝23，所以sin αcosβ＝13，所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝13－23＝－13.答案：－135．若tan 2α＋1cos 2α＝3，则tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝________. 解析：由tan 2α＋1cos 2α＝3，得2tan α1－tan 2α＋1＋tan 2α1－tan 2α＝3，解得tan α＝12.所以tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝－13.答案：－136．已知sin(α－45°)＝－210，且0°<α<90°，则cos 2α的值为________． 解析：∵sin(α－45°)＝－210，0°＜α＜90°， ∴－45°＜α－45°＜45°，cos(α－45°)＝7210， ∴cos 2α＝－sin(2α－90°)＝－2sin(α－45°)cos(α－45°)＝－2×⎝⎛⎭⎫－210×7210＝725.答案：7257.如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C ＝________.解析：设BD ＝1，则AB ＝AD ＝32，BC ＝2.在△ABD 中，由余弦定理，得cos A ＝AB 2＋AD 2－BD 22·AB ·AD ＝13，所以sin A ＝223，在△ABC 中，由正弦定理AB sin C ＝BC sin A ，得sin C ＝66. 答案：668．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高的长度为________． 解析：设AB ＝x ，则由AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ，知7＝x 2＋4－2x ，即x 2－2x －3＝0，所以x ＝3(负值舍去)．所以BC 边上的高为AB ·sin B ＝3×32＝332. 答案：3329．已知tan(α＋β)＝2，tan(α－β)＝3，则 sin 2αcos 2β的值为________． 解析：sin 2αcos 2β＝sin[(α＋β)＋(α－β)]cos[(α＋β)－(α－β)]＝sin (α＋β)cos (α－β)＋cos (α＋β)sin (α－β)cos (α＋β)cos (α－β)＋sin (α＋β)sin (α－β)＝tan (α＋β)＋tan (α－β)1＋tan (α＋β)tan (α－β)＝2＋31＋2×3＝57.答案：5710.2cos 10°－sin 20°sin 70°的值是________．解析：原式＝2cos (30°－20°)－sin 20°sin 70°＝2(cos 30°cos 20°＋sin 30°sin 20°)－sin 20°sin 70°＝3cos 20°cos 20°＝ 3.答案： 311．已知△ABC ，AB ＝AC ＝4，BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连结CD ，则△BDC 的面积是________，cos ∠BDC ＝________.解析：在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，BC ＝2，由余弦定理得cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝42＋22－422×4×2＝14， 则sin ∠ABC ＝sin ∠CBD ＝154， 所以S △BDC ＝12BD ·BC sin ∠CBD ＝12×2×2×154＝152.因为BD ＝BC ＝2，所以∠CDB ＝12∠ABC ，则cos ∠CDB ＝ cos ∠ABC ＋12＝104.答案：15210412．已知sin α－m cos αcos α＋m sin α＝tan β，且α－β＝π3，则m ＝________.解析：由题意得sin α－m cos αcos α＋m sin α＝tan α－m1＋m tan α＝tan β，又α－β＝π3，所以tan β＝tan ⎝⎛⎭⎫α－π3＝tan α－31＋3tan α， 所以tan α－m 1＋m tan α＝tan α－31＋3tan α，所以m ＝ 3.答案： 313．已知α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin αsin β，则tan α的最大值是________． 解析：因为α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin αsin β， 则cos(α＋β)sin β＝sin α＝sin[(α＋β)－β]，即cos(α＋β)sin β＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β， 转化为tan(α＋β)＝2tan β，即tan α＋tan β1－tan αtan β＝2tan β，则2tan αtan 2β－tan β＋tan α＝0， 所以Δ≥0，且两根x 1，x 2均大于0. 即x 1＋x 2＞0.x 1x 2＞0，即1－8tan 2α≥0，tan α＞0，解得0<tan α≤24. 则tan α的最大值为24.答案：2414．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若△ABC 为锐角三角形，且满足b 2－a 2＝ac ，则1tan A －1tan B的取值范围是________．解析：由余弦定理得b 2－a 2＝(a 2＋c 2－2ac cos B )－(b 2＋c 2－2bc cos A )＝a 2－b 2＋2c (b cos A －a cos B )，即b 2－a 2＝c (b cos A －a cos B )＝ac ⇒b cos A －a cos B ＝a ⇒sin(B －A )＝sin A ⇒B ＝2A .又△ABC 为锐角三角形，所以π3<B <π2.则1tan A －1tan B ＝sin (B －A )sin A sin B ＝1sin B ∈⎝⎛⎭⎫1，233.答案：⎝⎛⎭⎫1，233。