考研数学测试卷与答案解析

2022年全国硕士研究生招生考试数学试题(数学三)(科目代码:303)一、选择题：1~10小题，每小题5分，共50分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所有选项前的字母填在答题卡指定位置（1）当0→x 时，)(),(x x βα是非零无穷小量，给出以下四个命题①若)(~)(x x βα，则)(~)(22x x βα②若)(~)(22x x βα，则)(~)(x x βα③若)(~)(x x βα，则))(()()(x o x x αβα=-④若))(()()(x o x x αβα=-，则)(~)(x x βα其中正确的是（）（A）①②（B）①④（C）①③④（D）②③④（2）已知,...)2,1()1(=--=n nn a nn n ，则}{n a （）（A）有最大值，有最小值（B）有最大值，没有最小值（C）没有最大值，有最小值（D）没有最大值，没有最小值（3）设函数)(t f 连续，令0(,)()()d x y F x y x y t f t t -=--⎰，则（）（A）y F x F y F x F 2222,∂∂=∂∂∂∂=∂∂（B）y Fx F y F x F 2222,∂∂-=∂∂∂∂=∂∂（C）yF x F y F x F 2222,∂∂=∂∂∂∂-=∂∂（D）yFx F y F x F 2222,∂∂-=∂∂∂∂-=∂∂（4）已知111123000ln(1)2d d d ,2(1cos )1cos 1sin x x xI x I x I x x x x+===+++⎰⎰⎰，，则（）（A ）321I I I <<（B ）312I I I <<（C ）231I I I <<（D ）123I I I <<（5）设A 为3阶矩阵，100010000⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭Λ，则A 的特征值为0,11-，的充分必要条件是（）（A）存在可逆矩阵,P Q ，使得=A PΛQ（B）存在可逆矩阵P ，使得1-=A PΛP （C）存在正交矩阵Q ，使得1-=A QΛQ （D）存在可逆矩阵P ，使得T=A PΛP （6）设矩阵2211111,214a a b b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A b ，则线性方程组=Ax b 解的情况为（）（A）无解（B）有解（C）有无穷多解或无解（D）有唯一解或无解（7）设11,1λ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α21,1λ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α311,λ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α421,λλ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α若向量组123,,ααα与124,,ααα等价，则λ的取值范围是（）（A ）}1,0{（B ）}2|{-≠∈λλλ，R （C ）}2,1,|{-≠-≠∈λλλλR （D ）}1|{-≠∈λλλ，R （8）设随机变量)4,0(~N X ，随机变量)31,3(~B Y ，且X 与Y 不相关，则=+-)13(Y X D （）（A）2（B）4（C）6（D）10（9）设随机变量序列 ,,,,21n X X X 独立同分布，且1X 的概率密度为⎩⎨⎧<-=其他,01|||,|1)(x x x f ，则∞→n 时，211i n i X n =∑依概率收敛于（）（A）81（B）61（C）31（D）21（10）设二维随机变量),(Y X 的概率分布若事件}2},{max{=Y X 与事件}1},{min{=Y X 相互独立，则=),(Y X Cov （）（A）6.0-（B）36.0-（C）0（D）0.48Y X0121-0.10.1b 1a0.10.1二、填空题：11-16小题，每小题5分，共30分（11）cot 01e lim()2x xx →+=_______.（12）2224d 24x x x x -=++⎰_______.（13）已知函数sin sin ()e e x x f x -=+，则=''')2(πf _______.（14）已知函数e ,01()0,x x f x ⎧≤≤=⎨⎩其他，则d ()()d x f x f y x y +∞+∞-∞-∞-=⎰⎰_______.（15）设A 为3阶矩阵，交换A 的第2行和第3行，再将第2列的1-倍加到第1列，得到矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----001011112，则1-A 的迹1()tr -=A _______.（16）设,,A B C 为随机事件，且A 与B 互不相容，A 与C 互不相容，B 与C 相互独立，31)()()(===C P B P A P ，则=)|(C B A C B P _______.三、解答题：17-22小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（17）（本题满分10分）设函数)(x y 是微分方程x y xy +=+'221满足条件3)1(=y 的解，求曲线)(x y y =的渐近线.（18）（本题满分12分）设某产品的产量Q 由资本投入量x 和劳动投入量y 决定，生产函数为612112y x Q =，该产品的销售单价P 与Q 的关系为 1.5Q 1160-=P ，若单位资本投入和单位劳动投入的价格分别为6和8,求利润最大时的产量.（19）（本题满分12分）已知平面区域}20,42|),{(2≤≤-≤≤-=y y x y y x D ，计算y x y x y x I Dd d )(222⎰⎰+-=.（20）（本题满分12分）求幂级数nn nn x n 20)12(41)4(∑∞=++-的收敛域及和函数)(x S .（21）已知二次型312322213212343),,(x x x x x x x x f +++=（i）求正交变换=x Qy 将),,(321x x x f 化为标准形；（ii）证明T()min2x f x ≠=x x.（22）设n X X X ,,,21 为来自均值为θ的指数分布总体的简单随机样本，求m Y Y Y ,,,21 为来自均值为θ2的指数分布总体的简单随机样本，且两样本相互独立，其中)0(>θθ是未知参数.利用样本m n Y Y Y X X X ,,,,,,,2121 ，求θ的最大似然估计量θˆ，并求)ˆ(θD .一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）当0x →时，()(),x x αβ是非零无穷小量，给出以下四个命题 ①若()()~x x αβ，则()()22~x x αβ②若()()22~x x αβ，则()()~x x αβ③若()()~x x αβ，则()()()()x x o x αβα-= ④若()()()()x x o x αβα-=，则()()~x x αβ 其中正确的序号是（ ） （A ）①②（B ）①④ （C ）①③④（D ）②③④【答案】C【解析】当0x →时，()()x x αβ:，则222000()()()lim1,lim lim 1()()()x x x x x x x x x αααβββ→→→⎡⎤===⎢⎥⎣⎦，则： 0()()lim0()x x x x αβα→-=，所以()()(())x x o x αβα-=，故①③正确；当0x →时，22()()x x αβ:，则220()lim 1()x x x αβ→=，则0()lim1()x x x αβ→=±，当0()lim 1()x x x αβ→=-时， ()x α与()x β不是等价无穷小，所以②不正确；当()()(())x x o x αβα-=时，000()()()limlim lim 1()()(())()x x x x x x x x o x x αααβααα→→→===-，④正确.（2）已知()()11,2,nna n n-==L ，则{}n a （ ）（A ）有最大值，有最小值 （B ）有最大值，没有最小值 （C ）没有最大值，有最小值（D ）没有最大值，没有最小值【答案】（A ）2022年研究生考试数学三真题及详解【解析】()1lim lim 1nn n n a n →∞→∞⎤-=-=⎥⎥⎣⎦,12121,12a a =>=<，则{}n a 有最大值，有最小值（3）设函数()f t 连续，令()()()0,x yF x y x y t f t dt -=--⎰，则（ ）（A ）2222,F F F Fx y x y ∂∂∂∂==∂∂∂∂（B ）2222,F F F Fx y x y ∂∂∂∂==-∂∂∂∂（C ）2222,F F F F x y x y∂∂∂∂=-=∂∂∂∂（D ）2222,F F F F x y x y∂∂∂∂=-=-∂∂∂∂【答案】C【解析】原式0()()()x yx yx y f t dt tf t dt --=--⎰⎰则：00()()()()()()x y x y Ff t dt x y f x y x y f x y f t dt x--∂=+-----=∂⎰⎰，22()Ff x y x∂=-∂ 同理：00()()()()()()x y x y Ff t dt x y f x y x y f x y f t dt y--∂=----+--=-∂⎰⎰22()Ff x y y∂=-∂ 综上所述：2222,F F F Fx y x y∂∂∂∂=-=∂∂∂∂.（4）已知1102(1cos )x I dx x =+⎰，120ln(1)1cos x I dx x+=+⎰，13021sin xI dx x =+⎰，则（ ） （A ）123I I I << （B ）213I I I << （C ）132I I I <<（D ）321I I I <<【答案】A【解析】令()ln(1)2x h x x =+-，11()012h x x '=->+，()0, 1x ∈，于是()h x 单调递增，又由(0)0h =可知()ln(1)02xh x x =+->，其中()0, 1x ∈，故ln(1)2(1cos )1cos x x x x +<++，故12I I <. 当()0, 1x ∈时，，则，故23I I <.（5）设A 为3阶矩阵，100010000⎡⎤⎢⎥Λ=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则A 特征值为1,1,0-的充分必要条件是（ ）（A ）存在可逆矩阵,P Q ，使得A P Q =Λ （B ）存在可逆矩阵P ，使得1A P P -=Λ （C ）存在正交矩阵Q ，使得1A Q Q -=Λ （D ）存在可逆矩阵P ，使得T A P P =Λ 【答案】（B ）【解析】若（B ）成立，则矩阵A Λ与相似，特征值相等，可推出A 特征值为1,1,0- 若A 特征值为1,1,0-，则矩阵A 可以相似对角化，矩阵A Λ与相似，所以（B ）为充要条件（6）设矩阵2211111,214A a a b b b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则线性方程组Ax b =的解的情况为（ ） （A ）无解（B ）有解（C ）有无穷多解或无解（D ）有唯一解或无解【答案】（D ）【解析】()()()11A a b b a =---， 当1,1,a b a b ≠≠≠时，方程有唯一解，当1a b ==时，()1111,00010000A b ⎡⎤⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎣⎦，方程无解，故选（D ） （7）设1=11λα⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，21=1αλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，31=1αλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，421=αλλ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，若向量组123,,ααα与124,,ααα等价，则λ的取值范围是（ ）)cos 1(22)sin 1()1ln()sin 1(x x x x x x +<<+<++xxx x sin 12cos 1)1ln(+<++（A ）{}01，（B ）{},2R λλλ∈≠-（C ）{},12R λλλλ∈≠-≠-，（D ）{},1R λλλ∈≠-【答案】C【解析】由()()()212311,,=111211λαααλλλλ=-+，()()()22124211,,=11+111λαααλλλλλ=-，当1,λ≠-2,λ≠-时满足题意，故选C.（8）设随机变量()~0,4X N ,随机变量1~3,3Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且X Y 与不相关，则()3+1D X Y -=（ ）（A ）2 （B ）4 （C ）6（D ）10【答案】（D ）【解析】()()113+1+96,4+93101033D X Y DX DY COV X Y ⎛⎫-=-=--= ⎪⎝⎭gg （9）设随机变量序列12,,,,n X X X L L 独立同分布，且1X 的概率密度为()1,10,x x f x ⎧-<⎪=⎨⎪⎩其他，则当n →∞时，211n i i X n =∑依概率收敛于（ ） （A ）18（B ）16（C ）13（D ）12【答案】（B ）【解析】()()()112222101111216n i i i E X E X x x dx x x dx n -=⎛⎫==-=-= ⎪⎝⎭∑⎰⎰（10）设二维随机变量(),X Y 的概率分布若事件{}{}max ,2X Y =与事件{}{}min ,1X Y =相互独立，则(),COV X Y =（ ） （A ）0.6- （B ）0.36- （C ）0（D ）0.48【答案】（B ）【解析】{}{}max ,20.1+P X Y b ==；{}{}min ,10.2P X Y =={}{}{}max ,2,min ,10.1P X Y X Y ===， ()0.10.20.1+0.40.2b b a =⇒=⇒=()()()0.6,0.2, 1.2E XY E X E Y =-=-=()()()(),0.36COV X Y E XY E X E Y =-=-二、填空题：11-16小题，每小题5分，共30分，请将答案写在答题纸指定位置上.(11) cot 01lim 2xx x e →⎛⎫+= ⎪⎝⎭【答案】12e【解析】001cot 11lim cot lim22tan 21lim 2x x x x e xe xx In x x e e ee →→⎛⎫+-⋅⎪ ⎪⎝⎭→⎛⎫+=== ⎪⎝⎭(12)22024+2+4x dx x x -=⎰【答案】ln 3- 【解析】()()2222200220242+26+2+4+2+4+1+3ln +2+4ln 3x x dx dx x x x x x x x -=-⎡=⎢⎣=⎰⎰ (13) 已知函数sin sin ()x x f x e e -=+，则(2)f π'''= . 【答案】0【解析】由sin sin ()()x x f x e e f x --=+=，(2)()f x f x π+=，可知()f x 是以2π为周期的偶函数，那么()f x '''是以2π为周期的奇函数，故(2)(0)0f f π''''''==.(14) 已知函数,01()0,x e x f x ⎧≤≤=⎨⎩其他，则()()dx f x f y x dy +∞+∞-∞-∞-=⎰⎰ .【答案】2(1)e -【解析】记{(,)01,01}D x y x y x =≤≤≤-≤， 则11120()()(1)(1)x x y x x xdx f x f y x dy dx e e dy e e dx e +∞+∞+--∞-∞-=⋅=-=-⎰⎰⎰⎰⎰.（15）设A 为3阶矩阵，交换A 的第2行和第3行，再将第2列的-1倍加到第一列，得到矩阵211110100--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭，则1A -的迹1()tr A -= .【答案】1-【解析】符合左行右列原则由题意可得：2312211(1)110100E AE --⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪-⎝⎭，则：2312211111110(1)100100010A E E ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，所以211110(1)(1)001E A λλλλλλ+--==++=，解得1231,,i i λλλ=-==-所以1A -的特征值为1231,,i i λλλ=-==-，所以1()1tr A -=-.（16）设A,B,C 为随机事件，且A 与B 互不相容，A 与C 互不相容，B 与C 相互独立，1()()()3P A P B P C ===，则()P B C A B C =U U U ___________.【答案】58【解析】()()()()()()()()()()P B C P B P C P BC P B C A B C P A B C P A P B P C P BC +-==++-U U U U U U()()()()()()()()()215391819P B P C P B P C P A P B P C P B P C -+-===++--. 三、解答题：17—22小题，共70分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17）（本题满分10分）设函数()y x是微分方程2y y '=满足()1=3y 的解，求曲线()y y x =的渐近线. 【答案】2y x =【解析】根据题意，求解微分方程2y y '=+有，()((()2=2y x e dx C eC e -⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰求解(()22+222t t t e tdt t e ⋅==⎰，进而有，()2y x x Ce =+()1=3y ，知=C e ，故而()12y x x e =+进一步，()12limlim 2x x y x x e k x x→+∞→+∞+===，()()1lim lim 0x x b y x kx e →+∞→+∞=-==，故而，曲线()y y x =的渐近线为2y x =. （18）（本题满分10分）设某产品的产量Q 由资本投入量x 和劳动投入量y 决定，生产函数为116212Q x y =，该产品的销售单价P 与Q 的关系为1160 1.5P Q =-，若单位资本投入和单位劳动投入的价格分别为6和8，求利润最大时的产量.【答案】384【解析】利润()111166221160 1.5121268L PQ C x y x y x y ⎛⎫=-=-⨯⨯-+ ⎪⎝⎭，即1116321392021668L x y xy x y =---，令11163252163269602166023207280x yL x y y L x y xy ---⎧'=--=⎪⎨⎪'=--=⎩得驻点()256,64，此时11621225664384Q =⨯⨯=，由于驻点唯一，故利润L 在384Q =时取到最大值.（19）（本题满分12分）已知平面区域(){},22D x y y x y =-≤≤≤≤，计算()222Dx y I dxdy x y -=+⎰⎰【答案】22π- 【解析】方法一：()()()()()1222222222222sin cos 0002222+=cos sin cos sin 122cos sin 2sin cos 22D D x y x y I dxdy dxdyx yx yd rdr d rdr d ππθθπππθθθθθθπθθθθθπ---=++-⋅+-⋅⎛⎫=-+-⋅ ⎪-⎝⎭=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰方法二：()1212222222220sin cos 22021=S 22222sin cos 424sin cos sin cos =22D D D D D xy I dxdy x y xydxdy x y xydxdy x yd rdrd πθθπππθθθπθθθθθπ⋃+⎛⎫=- ⎪+⎝⎭-+=+-+=+-⋅⎡⎤=+--⎢⎥+⎢⎥⎣⎦-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（20）（本题满分10分）求幂级数20(4)14(21)n nnn x n ∞=-++∑的收敛域及和函数()S x . 【答案】收敛域[1,1]-，12arctan ln ,[1,1]0()22,0x x x x S x x x x ⎧+⎛⎫+∈-≠⎪ ⎪=-⎝⎭⎨⎪=⎩且 【解析】11111(4)14(21)(4)14(21)1(4)1lim lim lim4(23)(4)14(23)(4)14(4)1n n n n n n n n n n n n n n n n n +++++→∞→∞→∞-++-++-+⋅=⋅=+-++-+-+ 111(4)1(4)1lim141(4)1(4)n n n n n ++→∞⎡⎤-+⎢⎥-⎣⎦==⎡⎤-+⎢⎥-⎣⎦，进而可得收敛半径为1. 当1x =±时，原级数为000(4)1(1)14(21)214(21)n n n n n n n n n n ∞∞∞===-+-=++++∑∑∑，其中0(1)21nn n ∞=-+∑为交错级数，k 可知其收敛；014(21)nn n ∞=+∑为正项级数，可知其收敛.222000(4)1(1)()4(21)214(21)n n nn n n nn n n x S x x x n n n ∞∞∞===-+-==++++∑∑∑，[1,1]x ∈-. 令2110(1)()21n n n S x x n ∞+=-=+∑，21201()(1)1n n n S x x x ∞='=-=+∑，12()arctan 1dx S x x C x ==++⎰， 又1(0)0S =，得0C =.令2120()4(21)n n n x S x n +∞='=+∑，2222004()444nn n n n x x S x x ∞∞==⎛⎫'=== ⎪-⎝⎭∑∑，2242()ln 42xS x dx C x x +==+--⎰， 又2(0)0S =，得0C =. 当0x ≠时，arctan 12()ln2x xS x x x x+=+-；又(0)2S =. 综上，12arctan ln ,[1,1]0()22,0x x x x S x x x x ⎧+⎛⎫+∈-≠⎪ ⎪=-⎝⎭⎨⎪=⎩且. （21）（本题满分15分）已知二次型22212312313(,,)3432f x x x x x x x x =+++， （1）求正交变换x Qy =将123(,,)f x x x 化为标准形； （2）证明：()min2T f x x x=. 【答案】（1）00100Q ⎛= ⎪ ⎪ ⎝，（2）见解析. 【解析】（1）301040103A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2301040(2)(4)0103A E λλλλλλ--=-=--=-，得特征值12λ=，234λλ==.当12λ=时，1012020000A E ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭:，解得特征向量1(1,0,1)T α=-；当234λλ==时，1014000000A E -⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭:，解得特征向量2(0,1,0)T α=，3(1,0,1)T α=；单位化1(T β=，2(0,1,0)T β=，3T β=得正交矩阵00100Q ⎛= ⎪ ⎪ ⎝，故二次型经过正交变换x Q y =得到的标准形为222123123(,,)244f y y y y y y =++.（2）()TTTx x Qy Qy y y ==，222222123123222222123123244222()()2T T y y y y y y f x f y x x y y y y y y y y ++++==≥=++++， 故()min2T f x x x=. （22）（本题满分15分）设12,,,n X X X ⋅⋅⋅为来自均值为θ的指数分布总体的简单随机样本，12,,,m Y Y Y ⋅⋅⋅为来自均值为2θ的指数分布总体的简单随机样本，且两样本相互独立，其中(0)θθ>是未知参数.利用样本1212,,,,,,,n m X X X Y Y Y ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，求θ的最大似然估计量$θ，并求$()D θ. 【答案】$2mnX Y n mθ+=+，$2()D n m θθ=+【解析】由题意可知10()0xex f x θθ-⎧>⎪=⎨⎪⎩其他，210()20y ey f y θθ-⎧>⎪=⎨⎪⎩其他，且X 与Y 相互独立，故(,)()()f x y f x f y =.构造似然函数1111211()(2)mnjij i y x nmL e eθθθθθ==--∑∑=⋅⋅⋅，取对数1111ln ()ln ln(2)2nmi ji j L n x m yθθθθθ===----∑∑，求导2211ln ()112nmiji j d L n mx yd θθθθθθ===-+-+∑∑，令ln ()0d L d θθ=，得$2m nX Y n mθ+=+. $22222222111()(2)()4()4()4m m m D n DX DY nDX DY n n m n m n m n m θθθθ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=+=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥++++⎣⎦⎣⎦⎣⎦。

试卷及解2024考研数学（二）真题析一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.函数1(1)(2)()x x f x x --=的第一类间断点的个数是A.3. B.2.C.1.D.0.1.【答案】C【解析】无定义点为12x x ==，对于()()()()()111lim1121211,lim ||ee x x x x x x x x x →⋅-----→===，故1x =是可去间断点.对于()()11222,lim ||x x x x x ---→==+∞，故2x =是第二类间断点另外，0x =是分段点，()()()011limln 12(12lim||ex xx x x x x x →⋅----→==+∞∣，故0x =是第二类间断点.因此只有一个第一类间断点2.设函数()y f x =由参数方程231,et x t y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩确定，则2lim 2(2)x x ff x →+∞⎡⎤⎛⎫+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦A.2e.B.4e 3.C.2e3.D.e3.2.【答案】B【解析】()222lim22x f f x x→+∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⋅原式()'22f +=1d d d d t y t x t==2212e 23tt t t==⋅4e 3=.3.设函数sin 30()sin d ,()()d ,xxf x t tg x f t t ==⎰⎰则A.()f x 是奇函数，()g x 是奇函数.B.()f x 是奇函数，()g x 是偶函数.C.()f x 是偶函数，()g x 是偶函数.D.()f x 是偶函数，()g x 是奇函数.3.【答案】D【解析】()sin 30sin d xf x t t =⎰，()3sin(sin )cos f x x x ='为奇函数.所以()f x 为偶函数，()()0d xg x f t t =⎰为奇函数.4.已知数列{}(0),n n a a ≠若{}n a 发散，则A.1n n a a ⎧⎫+⎨⎩⎭发散. B.1n n a a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭发散.C.1ee nn a a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭发散. D.1ee nn a a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭发散.4.【答案】D【解析】选项A ：取=22n a 11，，， (22)，112+.2n n a a +收敛到错误.选项B ：取=1,1,1,1,,n a -- 10.n na a -收敛到错误.选项C ：取=ln 2,ln 2,ln 2,ln 2,,n a -- 11e2e 2nna a ++收敛到错误.5.已知函数221()sin 0,(,)0,0,x y xy xy f x y xy ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩，则在点（0,0）处A.(,)f x y x ∂∂连续，(,)f x y 可微.B.(,)f x y x ∂∂连续，(,)f x y 不可微.C.(,)f x y x ∂∂不连续，(,)f x y 可微.D.(,)f x y x∂∂不连续，(,)f x y 不可微.5.【答案】C 【解析】()(()(,0,0,0,000limlimx y x y x y →→≠≠--⋅+⋅--⋅+⋅=或()(()(()22,0,0,0,000001sin0limlim0,x y x y x y x y x y xy→→≠≠≠≠+---⋅+⋅==且且则(),f x y 在（0,0）处可微.而()2221112sin cos ,0,(,)=0,0,x x y xy f x y xy xy x y x xy ⎧⎛⎫++-≠∂⎪ ⎪⎨⎝⎭∂⎪=⎩()()()()()()222,0,0,0,00000,11limlim 2sin cos x y x y x y x y x y f x y x xxy x y xy →→≠≠≠≠⎡⎤+∂⎢⎥=-∂⎢⎥⎣⎦且且不存在，从而(),f x y x∂∂在（0,0）处不连续.6.设(,)f x y 是连续函数，则12sin 6d (,)d xx f x y y ππ=⎰⎰A.1arcsin 126d (,)d .y y f x y x π⎰⎰B.121arcsin 2d (,)d .yy f x y x π⎰⎰C.1arcsin 206d (,)d .yy f x y x π⎰⎰D.122arcsin d (,)d .yy f x y x π⎰⎰6．【答案】A【解析】11arcsin 21sin 266d (,)d d (,)d .yxx f x y y y f x y x πππ==⎰⎰⎰⎰选A .7.设非负函数()f x 在∞[0,+)上连续.给出以下三个命题：①若20()d f x x +∞⎰收敛，则0()d f x x +∞⎰收敛；②若存在1,p >使得lim ()px x f x →+∞存在，则0()d f x x +∞⎰收敛;③若0()d f x x +∞⎰收敛，则存在1,p >使得lim ()p x x f x →+∞存在.其中真命题的个数为A.0.B.1.C.2.D.3.【答案】B【解析】①取()2011(),d 11f x x x x +∞=++⎰收敛，01d .1x x +∞+⎰发散，错误②极限比较判别法原话.正确.③极限比较判别法为充分不必要条件.错误.()()()201d 1,lim .1ln 1px x p x f x x x +∞→+∞>=∞++⎰取收敛，8.设A 为3阶矩阵，100010101⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，P 若T 2200020a c c b c c +⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，P AP 则=A A.0000.00c a b ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭ B.0000.00b c a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭C.0000.00a b c ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭D.0000.00c b a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭8.【答案】C【解析】()3T 212010000, 010120101a c c b c c +⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且AP B P E P ，故()()()11112233T11T (1)(1)----⎡⎤==⎣⎦PA B P E B E 11131313131T3T131 (1)(1)(1)(1)(1)(1)---⎡⎤==---⎣⎦E BE E E BE E 0 10120100100010001001000120101101a c c b c c -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 0001001000000010010002010110100 a b b c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪== ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.9.设A 为4阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若*()=-A A A O 且*≠，A A 则()r A 取值为A.0或1.B.1或3.C.2或3.D.1或2.9.【答案】D【解析】由题意可知*()=-A A A O ，故()()*4r r +-≤A A A.()***,,1r ≠-≠-≥又故即A A A A A O A 因此() 3r ≤A .又()*2*22-=-=-==OA A AAAA A A E A ()()**2,0r r ⇒≤=⇒=此时OA A A 又()*1r ≠⇒≥A A A ，故()12r =或A .10.设,A B 为2阶矩阵，且=,AB BA 则“A 有两个不相等的特征值”是“B 可对角化”的A.充分必要条件.B.充分不必要条件.C.必要不充分条件.D.既不充分也不必要条件.10.【答案】B【解析】方法一充分性，A 有两个不相等的特征值，故A 必可相似对角化.又=,AB BA ，且A 有2个不同特征值，故A 的特征向量都是A 的特征向量.（利用线代9讲结论）又A 有2个线性无关特征向量，故B 有2个线性无关特征向量，故B 必可相似对角化.必要性，B 可相似对角化，不妨取,==B E A E ，则推翻.【解析】方法二因题知A 有两个不同特征值，不妨设为12λλ，且12λλ≠，则存在可逆阵P 使1121111111122 λλλλλλ-------⎛⎫⇒= ⎪⎝⎭=⇔=⎛⎫⎛⎫⇔= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又P AP AB BA P APP BP P BPP APP BP P BP B 可相似对角化1-⇔P BP 可相似对角化.12134121211343422111211221223241324 b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b λλλλλλλλλλλλλλ-⎛⎫= ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⇔=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设代入上式由P BP 122222313311140000b b b b b b b b λλλλ--⇒=⇒==⇒=⎛⎫⇒=⇒ ⎪⎝⎭可对角化P BP P BP ⇒可对角化B 以上推导均基于12λλ≠，反之 可对角化B 无法推出A 有两不同特征值，故A 有两个不同特征值为 B 可对角化的充分非必要条件.二、填空题：11～16小题，每小题5分，共30分．11.曲线2y x =在点(0,0)处的曲率圆方程为.11.221124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭【答案】【解析】由图像可转化为2y x =处且()()3221y k y '''=+()0,020,2y xy ==''='12,2k R ==，2211(0)24x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，即221124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭.12.函数324(,)2961224f x y x x y x y =--++的极点是.12.【答案】（1,1）【解析】由23618120,24240,x y f x x f y '⎧=-+=⎪⎨'=-+=⎪⎩解得驻点为(1,1),(2,1).又21218,0,72,xxxy yy A f x B f C f y ''''''==-====-代入点（1,1）得24320,6,AC B A -=>=-故（1,1）是极大值点.代入点（2,1）得24320,AC B -=-<故（2,1）不是极值点.13.微分方程21()y x y '=+满足条件(1)0y =的解为.13.【答案】()π arctan 4x y y +=+【解析】方程化为2d ()d xx y y=+d d1d d x u u x y y y=+=-令则即2d 1d uu y=+则21d d 1u y u ⎰=⎰+arctan u y c=+代1,0,1x y u ===.得π 4c =得()πarctan 4x y y +=+14.已知函数2()(e 1)xf x x =+，则(5)(1)f =.14．【答案】31e 【解析】()()()52e 1x x +()()()(5)(4)22e 15e 1x x x x '=++⋅+⋅()()(5)225e 1''x C x ++2e 5e 210e 2x x x x x =⋅+⋅⋅+⋅⋅,则(5)e 10e 20e 31e(1)f++==15.某物体以速度()sin πv t t k t =+作直线运动.若它从0t =到3t =的时间段内平均速度是52，则k =.15．【答案】3π2【解析】30(sin )2πd 53t k t t+=⎰,则3015(sin )2πd t k t t +=⎰,30915cos 22k t -π=π915(11)22k ---=π,则3π2k =.16.设向量1231111,,,1111a ab a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα若123,,ααα线性相关，且其中任意两个向量均线性无关，则ab =.16．【答案】4-【解析】由()22123211111111011011,,1101101111011002a a a a a a a a b b a b a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪==→→⎪ ⎪ ⎪--+-+- ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ααα由()123,,2r ≤ααα且()(),2i j r i j =≠αα故()123,,2r =ααα1当1a =时，1α与3α相关，不满足题意2当1a ≠时，()()1231111011011,,0110012002002a aa ab a b a a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪++⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪+--+- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ααα故要满足题意，则20a +=且()120b a -+-=242a ab b =-⎧⇒⇒=-⎨=⎩三、解答题：17～22小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.设平面有界区域D 位于第一象限由曲线1,33xy xy ==与直线1,3y x =3y x =围成，计算()1d d Dx y x y +-⎰⎰.17.【解】令yu xy v x==，，（1）x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩（2）12J v ∂x ∂x==∂u∂y ∂v ∂y 故∂u∂v1331331d 1d 2u v v ⎛=+⋅ ⎝⎰⎰原式8ln33=.18.设()y x 为微分方程290,x y xy y '''+-=满足条件112,6x x y y =='==的解.（1）利用变换e tx =将上述方程化为常系数线性方程，并求();y x（2）计算21(.y x x ⎰解：（1）290,x y xy y '''+-=令e tx =，则222222d d d d 1d d 1d 1,,d d d d d d d y y t y y y y x t x t x x t x t x ⎛⎫⎛⎫===+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则2222d d d d 90,90d d d d y y y y y y t t t t-+-=-=即，()()()()3332121123221124e e ,1=233,1336,t t C y C C y x C x y C C x C y x C x y C C x -=+=+=+''=-=-=，，①②从而()312=2=0=2.C C y x x ，，则（2）2211(2y x x x x=⎰⎰3222226624352sin16sin4cos d64(1cos)cos d(cos)cos1164)d6435116464.38532816055x tt t t t t tt uu u u u uππππ==--⎛=-=-⎝⎛⎛=-==⎝⎭⎝⎭⎰⎰令令19.设0,t>平面有界区域D由曲线xy-=与直线,2x t x t==及x轴围成，D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积为()V t，求()V t的最大值.19.【解】222222π()π()dπe d(21)e4tt t x xt ttV t y x x x x x--===-+⎰⎰42π(41)e(21)e(0)4t tt t t--⎡⎤=-+-+>⎣⎦()42π1()16e4e0,ln4ln242t tV t t t t'--=--+===,(0,ln2),t∈maxπ3π()0,(ln2,),()0,ln2,[()]ln21664V t t V t t V t''>∈+∞<==+20.已知函数(,)f u v具有2阶连续偏导数，且函数(,)(2,3)g x y f x y x y=+-满足222226 1.g g gx x y y∂∂∂+-=∂∂∂∂（1）求2;fu v∂∂∂（2）若2(,0)1e,(0,)1,50uf u u f v vu-∂==-∂求(,)f u v的表达式.20.【解】（1）23g f fx u v∂∂∂=+∂∂∂2222222222222 2233234129g f f f f f f fx u u v u v v u u v v ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅++⋅=++⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭，2gx y ∂∂∂222222222222(1)31)23f f f f f f f u u v u v v u u v v ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂=+⋅-++-=+- ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭，g f f y u v∂∂∂=-∂∂∂，()()2222222222222112g f f f f f f fy u u v u v v u u v v ⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂=+⋅--+-=-+ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭,代回原式得，2 251f u v∂=∂∂,故2125f v v ∂=∂∂（2）()111d 2525f v v c u u ∂=⎰=+∂，()()1,0e e u uf u u c u u u --∂==∂代得，1e 25u f u v u -∂=+∂故，则()()()211,e d 1e 2525u u f u v u v u u uv c v --⎛⎫=⎰+=-+++ ⎪⎝⎭.代()210,150f v v =-得()22150c v v =综上：()()211,12550uf u v u e uv v -=-+++.21.设函数()f x 具有2阶导数，且()()()01, 1.f f f x ''''=≤证明：（1）当()0,1x ∈时，()()()()()1011;2x x f x f x f x ----≤（2）()()()1011d .212f f f x x +-≤⎰21.证明：（1）()12()(0)(0)2f f x f f x x ξ'''=++①()()22()(1)(1)1(1)2f f x f f x x ξ'''=+-+-②()1x x⋅-+⋅①②()()()()()12221()(0)(1)(1)(0)1(1)1(1)22f f f x f x f x f x x f x x x x xx ξξ''''''⇒=-++-+-+--+，21111()(0)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1).222 2f x f x f x x x x x x x x x x x ----+-=-+-=- （2）[]02111(1)1()(0)(1)(1)d ()d (0)(1)22x f x f x f x x f x x f f ----=-⋅-⋅⎰⎰1100(0)(1)(1)1()d d .22 12f f x x f x x x +-=-=⎰⎰ 22.设矩阵1101,11,1012a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭A B 二次型T123(,,)f x x x =x BAx .已知方程组=0Ax 的解均是T =0B x 的解，但这两个方程组不同解.（1）求,a b 的值；（2）求正交变换=x Qy 将123(,,)f x x x 化为标准形.22.【解】（1）由题意可知，=0Ax 的解均是T=0B x 的解故()r r ⎛⎫=⎪⎝⎭T A A B ,且()2r =A 011011011010101 11011001112011001a a a b b b a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=→→⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭T 又A B 故1,2a b ==(2)111120111111210122224⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭BA CT T 112112224f ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭x BAx x x由()()12310,tr 6r λλλ=⇒====C C 当120λλ==时，得到线性无关的特征向量为12111,101⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ξξ，单位化为12,0⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ =-= ⎪ ⎪ - ⎪⎪ ⎝⎭⎝η η当36λ=时，得到线性无关的特征向量为3112⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ξ，单位化为2112⎛⎫⎪=⎪⎪⎭η()123 ,,0⎛ ==-⎝故令Q ηηη则23T6f ===x Qyx Cx y。

2021考研数学〔一〕真题完整版一、选择题：1～8小题，每题4分，共32分，以下每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 〔1〕假设反常积分()11badx x x +∞+⎰收敛，那么〔 〕()()()()11111111A a bB a bC a a bD a a b <>>><+>>+>且且且且〔2〕函数()()21,1ln ,1x x f x x x -<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，那么()f x 的一个原函数是〔 〕()()()()()()()()()()()()()()()()22221,11,1ln 1,1ln 11,11,11,1ln 11,1ln 11,1x x x x A F x B F x x x x x x x x x x x C F x D F x x x x x x x ⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨-≥+-≥⎪⎪⎩⎩⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨++≥-+≥⎪⎪⎩⎩〔3〕假设()()222211y x y x =+=+是微分方程()()y p x y q x '+=的两个解，那么()q x =〔 〕()()()()()()2222313111xx A x x B x x C D x x +-+-++〔4〕函数(),0111,,1,2,1x x f x x n n n n ≤⎧⎪=⎨<≤=⎪+⎩，那么〔 〕〔A 〕0x =是()f x 的第一类间断点 〔B 〕0x =是()f x 的第二类间断点 〔C 〕()f x 在0x =处连续但不可导 〔D 〕()f x 在0x =处可导〔5〕设A ，B 是可逆矩阵，且A 与B 相似，那么以下结论错误的选项是〔 〕 〔A 〕TA 与TB 相似 〔B 〕1A -与1B -相似 〔C 〕TA A +与TB B +相似 〔D 〕1A A -+与1B B -+相似〔6〕设二次型()222123123121323,,444f x x x x x x x x x x x x =+++++，那么()123,,2f x x x =在空间直角坐标下表示的二次曲面为〔 〕〔A 〕单叶双曲面 〔B 〕双叶双曲面 〔C 〕椭球面 〔C 〕柱面〔7〕设随机变量()()0,~2>σσμN X ，记{}2σμ+≤=X P p ，那么〔 〕〔A 〕p 随着μ的增加而增加 〔B 〕p 随着σ的增加而增加 〔C 〕p 随着μ的增加而减少 〔D 〕p 随着σ的增加而减少 〔8〕随机试验E 有三种两两不相容的结果321,,A A A ，且三种结果发生的概率均为31，将试验E 独立重复做2次，X 表示2次试验中结果1A 发生的次数，Y 表示2次试验中结果2A 发生的次数，那么X 与Y 的相关系数为〔 〕二、填空题：9-14小题，每题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. 〔9〕()__________cos 1sin 1ln lim200=-+⎰→x dt t t t xx〔10〕向量场()()zk xyj i z y x z y x A ++++=,,的旋度_________=rotA〔11〕设函数()v u f ,可微，()y x z z ,=由方程()()y z x f x y z x ,122-=-+确定，那么()_________1,0=dz〔12〕设函数()21arctan axxx x f +-=，且()10''=f ，那么________=a 〔13〕行列式100010014321λλλλ--=-+____________. 〔14〕设12,,...,n x x x 为来自总体()2,Nμσ的简单随机样本，样本均值9.5x =，参数μ的置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8，那么μ的置信度为0.95的双侧置信区间为______.三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.〔15〕〔此题总分值10分〕平面区域()(),221cos ,22D r r ππθθθ⎧⎫=≤≤+-≤≤⎨⎬⎩⎭，计算二重积分Dxdxdy ⎰⎰.〔16〕〔此题总分值10分〕设函数()y x 满足方程'''20,y y ky ++=其中01k <<.()I 证明：反常积分0()y x dx +∞⎰收敛；()II 假设'(0)1,(0)1,y y ==求0()y x dx +∞⎰的值.〔17〕〔此题总分值10分〕设函数(,)f x y 满足2(,)(21),x y f x y x e x-∂=+∂且(0,)1,tf y y L =+是从点(0,0)到点(1,)t 的光滑曲线，计算曲线积分(,)(,)()tL f x y f x y I t dx dy x y∂∂=+∂∂⎰，并求()I t 的最小值〔18〕设有界区域Ω由平面222=++z y x 与三个坐标平面围成，∑为Ω整个外表的外侧，计算曲面积分()zdxdyydzdx dydz xI 3212+-+=⎰⎰∑〔19〕〔此题总分值10分〕函数()f x 可导，且(0)1f =，10'()2f x <<，设数列{}n x 满足1()(1,2...)n n x f x n +==，证明： 〔I 〕级数11()n n n xx ∞+=-∑绝对收敛；〔II 〕lim n n x →∞存在，且0lim 2n n x →∞<<.〔20〕〔此题总分值11分〕设矩阵1112221,11112A a B a a a --⎛⎫⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭当a 为何值时，方程AX B =无解、有唯一解、有无穷多解？〔21〕〔此题总分值11分〕矩阵011230000A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭〔I 〕求99A〔II 〕设3阶矩阵23(,,)B ααα=满足2B BA =，记100123(,,)B βββ=将123,,βββ分别表示为123,,ααα的线性组合。

2023年全国硕士研究生招生考试考研（数学三）真题及详解1．已知函数f 一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。

（x ，y ）＝ln （y ＋|xsiny|），则（ ）。

A ．∂∂x f0,1)(不存在，∂∂y f 0,1)(存在B ．∂∂x f0,1)(存在，∂∂y f 0,1)(不存在C ．∂∂x f0,1)(，∂∂y f 0,1)(均存在D ．∂∂x f0,1)(，∂∂yf 0,1)(均不存在2．函数x ≤0)⎩(x +1cos x ,x >0f (x )=的原函数为（）。

A． ⎪≤⎧F x x x 1cos sin ,0)⎩(x +x -x x >)()=⎨⎪ln ,0B．⎪+≤⎧F x x x 1cos sin ,0)⎩(x +x -x x >)()=⎨⎪ln 1,0C．⎪+≤⎧F x x x 1sin cos ,0)⎩(x +x +x x >)()=⎨⎪ln ,0D．⎪++≤⎧F x x x 1sin cos ,0)⎩(x +x +x x >)()=⎨⎪ln 1,0）。

3．已知微分方程式y ′′＋ay ′＋by ＝0的解在（－∞，＋∞）上有界，则（A ．a ＜0，b ＞0B ．a ＞0，b ＞0C ．a ＝0，b ＞0D ．a ＝0，b ＜0n ＝1，2，…），若级数∑∞n =1a n 与∑∞n =1bn均收敛，则“级数∑∞n =1an绝对收敛”是“∑∞bnn =14．已知a n ＜b n（绝对收敛”的（）。

A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．设A ，B 为n 阶可逆矩阵，E 为n 阶单位矩阵，M *为矩阵M 的伴随矩阵，则⎝⎭⎪⎛⎫O B A E *＝（）。

A ．⎝⎭⎪ ⎪-⎛⎫A B B A OB A ****B ．⎝⎭⎪⎪-⎛⎫B A A B O A B ****C ． ⎝⎭ ⎪ ⎪-⎛⎫B A B A OA B ****D ．⎝⎭⎪ ⎪-⎛⎫A BA B OB A ****x 1，x 2，x 3）＝（x 1＋x 2）2＋（x 1＋x 3）2－4（x 2－x 3）2的规范形为（）。