考研数学一试题及答案解析
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考研数学一试题及答案解析 安庆师范学院09计1班
1 y
O x 2001年全国硕士研究生入学统一考试
数学一试题
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)
(1)设12(sincos)xyeCxCx(12,CC为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________.
(2)设222zyxr,则div(gradr))2,2,1(=_____________.
(3)交换二次积分的积分次序:0112),(ydxyxfdy＝_____________.
(4)设矩阵A满足240AAE,其中E为单位矩阵,则1()AE=_____________.
}2)({XEXP (5)设随机变量X的方差是2,则根据切比雪夫不等式有估计_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)
(1)设函数)(xf在定义域内可导,)(xfy的图形如右图所示,
则)(xfy的图形为
(2)设),(yxf在点(0,0)附近有定义,且1)0,0(,3)0,0(yxff,则
(A) (0,0)|3zddxdy.
(B) 曲面),(yxfz在(0,0,(0,0))f处的法向量为{3,1,1}. 安庆师范学院09计1班
1 (C) 曲线0),(yyxfz在(0,0,(0,0))f处的切向量为{1,0,3}.
(D) 曲线0),(yyxfz在(0,0,(0,0))f处的切向量为{3,0,1}.
(3)设0)0(f,则)(xf在x=0处可导的充要条件为
(A) 201lim(1cosh)hfh存在. (B) 01lim(1)hhfeh存在.
(C) 201lim(sinh)hfhh存在. (D) 01lim[(2)()]hfhfhh存在.
(4)设1111400011110000,,1111000011110000AB则A与B
(A) 合同且相似. (B) 合同但不相似.
(C) 不合同但相似. (D) 不合同且不相似.
(5)将一枚硬币重复掷n次,以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数, 则X和Y的相关系数等于
(A)-1. (B) 0. (C) 12. (D) 1.
三、(本题满分6分)
求dxeexx2arctan.
四、(本题满分6分)
设函数),(yxfz在点(1,1)处可微,且(1,1)1f,(1,1)|2fx,(1,1)|3fy,()(,xfx
(,))fxx.求13)(xxdxd.
五、(本题满分8分) 安庆师范学院09计1班
1 设)(xf=210,arctan,0,1,xxxxx将)(xf展开成x的幂级数,并求级数1241)1(nnn的和.
六、(本题满分7分)
计算dzyxdyxzdxzyIL)3()2()(222222,其中L是平面2zyx与柱面1yx的交线,从Z轴正向看去,L为逆时针方向.
七、(本题满分7分)
设)(xf在(1,1)内具有二阶连续导数且0)(xf,试证:
(1)对于(1,1)内的任一0x,存在惟一的)1,0()(x,使)(xf=)0(f+))((xxfx成立;
(2)01lim()2xx.
八、(本题满分8分)
设有一高度为()ht(t为时间)的雪堆在融化过程,其侧面满足方程)()(2)(22thyxthz(设长度单位为厘米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数为0.9),问高度为130(厘米)的雪堆全部融化需多少小时?
九、(本题满分6分)
设s,,,21为线性方程组0Ax的一个基础解系,11122tt,21223,tt,
121sstt,其中21,tt为实常数.试问21,tt满足什么条件时,s,,,21也为0Ax的一个基础解系.
十、(本题满分8分)
已知3阶矩阵A与三维向量x,使得向量组2,,xAxAx线性无关,且满足xAAxxA2323.
(1)记P=（xAAxx2,,）,求3阶矩阵B,使1PBPA; 安庆师范学院09计1班
1 (2)计算行列式EA.
十一、(本题满分7分)
设某班车起点站上客人数X服从参数为(0)的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为p(01p),且中途下车与否相互独立.以Y表示在中途下车的人数,求:
(1)在发车时有n个乘客的条件下,中途有m人下车的概率;
(2)二维随机变量(,)XY的概率分布.
十二、(本题满分7分)
设总体X服从正态分布2(,)N(0),从该总体中抽取简单随机样本12,XX,,2nX(2n),其样本均值为niiXnX2121,求统计量niiniXXXY12)2(的数学期望()EY.
2001年考研数学一试题答案与解析
一、填空题
(1)【分析】 由通解的形式可知特征方程的两个根是12,1rri,从而得知特征方程为
22121212()()()220rrrrrrrrrrrr.
由此,所求微分方程为'''220yyy.
(2)【分析】 先求gradr.
gradr=,,,,rrrxyzxyzrrr. 安庆师范学院09计1班
1 再求 divgradr=()()()xyzxryrzr
=222222333311132()()()xyzxyzrrrrrrrrr.
于是 divgradr|(1,2,2)=(1,2,2)22|3r.
(3)【分析】 这个二次积分不是二重积分的累次积分,因为10y时
12y.由此看出二次积分0211(,)ydyfxydx是二重积分的一个累次
积分,它与原式只差一个符号.先把此累次积分表为
0211(,)(,)yDdyfxydxfxydxdy.
由累次积分的内外层积分限可确定积分区域D:
10,12yyx.
见图.现可交换积分次序
原式=022021111110(,)(,)(,)xyxdyfxydxdxfxydydxfxydy.
(4)【分析】 矩阵A的元素没有给出,因此用伴随矩阵、用初等行变换求逆的路均堵塞.应当考虑用定义法.
因为 2()(2)240AEAEEAAE,
故 ()(2)2AEAEE,即 2()2AEAEE.
按定义知 11()(2)2AEAE.
(5)【分析】 根据切比雪夫不等式
2(){()}DxPXEX,
于是 2()1{()2}22DxPXEX.
二、选择题 安庆师范学院09计1班
1 (1)【分析】 当0x时,()fx单调增'()0fx,(A),(C)不对;
当0x时,()fx:增——减——增'()fx:正——负——正,(B)不对,(D)对.
应选(D).
(2)【分析】 我们逐一分析.
关于(A),涉及可微与可偏导的关系.由(,)fxy在(0,0)存在两个偏导数(,)fxy在(0,0)处可微.因此(A)不一定成立.
关于(B)只能假设(,)fxy在(0,0)存在偏导数(0,0)(0,0),ffxy,不保证曲面(,)zfxy在
(0,0,(0,0))f存在切平面.若存在时,法向量n=(0,0)(0,0)1ffxy，，{3,1,-1}与{3,1,1}不共线,因而(B)不成立.
关于(C),该曲线的参数方程为,0,(,0),xtyzft 它在点(0,0,(0,0))f处的切向量为
'0{',0,(,0)}|{1,0,(0,0)}{1,0,3}txdtftfdt.
因此,(C)成立.
(3)【分析】 当(0)0f时,'0()(0)limxfxfx00()()limlimxxfxfxxx.
关于(A):220001(1cos)1cos1()lim(1cos)lim1coslim1cos2hhtfhhftfhthhhht,
由此可知 201lim(1cos)hfhh '(0)f .
若()fx在0x可导(A)成立,反之若(A)成立'(0)f '(0)f.如()||fxx满足(A),但'(0)f不.
关于(D):若()fx在0x可导,
''001(2)()lim[(2)()]lim[2]2(0)(0)2hhfhfhfhfhffhhh. 安庆师范学院09计1班
1 (D)成立.反之(D)成立0lim((2)())0hfhfh()fx在0x连续,()fx在0x可导.如21,0()0,0xxfxx 满足(D),但()fx在0x处不连续,因而'(0)f也不.
再看(C):
2220001sin(sin)sin()lim(sin)limlimsinhhhhhfhhhhftfhhhhhhht(当它们都时).
注意,易求得20sinlim0hhhh.因而,若'(0)f(C)成立.反之若(C)成立0()limtftt(即
'(0)f).因为只要()ftt有界,任有(C)成立,如()||fxx满足(C),但'(0)f不.
因此,只能选(B).
(4)【分析】 由 43||40EA,知矩阵A的特征值是4,0,0,0.又因A是实对称矩阵,A必能相似对角化,所以A与对角矩阵B相似.
作为实对称矩阵,当AB时,知A与B有相同的特征值,从而二次型TxAx与TxBx有相同的正负惯性指数,因此A与B合同.
所以本题应当选(A).
注意,实对称矩阵合同时,它们不一定相似,但相似时一定合同.例如
1002A与1003B,
它们的特征值不同,故A与B不相似,但它们的正惯性指数均为2,负惯性指数均为0.所以A与B合同.
(5)【分析】 解本题的关键是明确X和Y的关系:XYn,即YnX,在此基础上利用性质:相关系数XY的绝对值等于1的充要条件是随机变量X与Y之间存在线性关系,即YaXb(其中,ab是常数),且当0a时,1XY;当0a时,1XY,由此便知1XY,应选(A).
事实上,(,)(,)CovXYCovXnXDX,()DYDnXDX,由此由相关系数的定义式有 (,)1XYCovXYDXDXDYDXDY.
