2021版理科数学全国通用版备战一轮复习第1章 第3节

1 第一章 集合与常用逻辑用语

第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

A级·基础过关

|固根基|

1.下列命题中的假命题是( )

A．∃x0∈R，log2x0＝0 B．∃x0∈R，cos x0＝1

C．∀x∈R，x2>0 D．∀x∈R，2x>0

解析：选C 因为log21＝0，cos 0＝1，所以选项A、B均为真命题．又02＝0，所以选项C为假命题，故选C．

2．设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则( )

A．∀x∈Q，有x∈P B．∀x∉Q，有x∉P

C．∃x0∉Q，使得x0∈P D．∃x0∈P，使得x0∉Q

解析：选B 因为P∩Q＝P，所以P⊆Q，所以∀x∉Q，有x∉P，故选B．

3．命题“存在实数x0，使x0>1”的否定是( )

A．对任意实数x，都有x>1 B．不存在实数x，使x≤1

C．对任意实数x，都有x≤1 D．存在实数x0，使x0≤1

解析：选C 由特称命题的否定为全称命题，可知原命题的否定为对任意实数x，都有x≤1.故选C．

4．(2019届南宁模拟)已知命题p：∀x>0，ln(x＋1)>0；命题q：若a>b，则a2>b2，下列命题为真命题的是( )

A．p∧q B．p∧(﹁q)

C．(﹁p)∧q D．(﹁p)∧(﹁q)

解析：选B 由x>0时，x＋1>1，知p是真命题，由－1>－2，(－1)2<(－2)2可知，q是假命题，即p，﹁q均是真命题．故选B．

5．(2019届山西太原模拟)已知命题p：∃x0∈R，x20－x0＋1>0；命题q：若a1b，则下列命题中为真命题的是( )

A．p∧q B．p∧(﹁q)

2 C．(﹁p)∧q D．(﹁p)∧(﹁q)

解析：选B 因为x2－x＋1＝x－122＋34≥34>0，所以∃x0∈R，使x20－x0＋1>0成立，故p为真命题，﹁p为假命题，又易知命题q为假命题，所以﹁q为真命题，由复合命题真假判断的真值表知，p∧(﹁q)为真命题，故选B．

6．(2019届安阳模拟)已知命题p：∃x0∈R，x0－2>lg x0；命题q：∀x∈R，ex>1，则( )

A．命题p∨q是假命题

B．命题p∧q是真命题

C．命题p∧(﹁q)是真命题

D．命题p∨(﹁q)是假命题

解析：选C 取x0＝10，得x0－2>lg x0，所以命题p是真命题；取x＝－1，得ex<1，所以命题q是假命题．则p∨q是真命题，p∧q是假命题，p∧(﹁q)是真命题，p∨(﹁q)是真命题．故选C．

7．(2019届广州调研)设命题p：∀x<1，x2<1，命题q：∃x0>0，2x0>1x0，则下列命题中是真命题的是( )

A．p∧q B．(﹁p)∧q

C．p∧(﹁q) D．(﹁p)∧(﹁q)

解析：选B 根据题意可知，命题p是假命题，q是真命题，所以p∧q是假命题，(﹁p)∧q是真命题，p∧(﹁q)是假命题，(﹁p)∧(﹁q)是假命题，故选B．

8．已知命题p：“x>3”是“x2>9”的充要条件，命题q：“a2>b2”是“a>b”的充要条件，则( )

A．p∨q为真 B．p∧q为真

C．p真q假 D．p∨q为假

解析：选D 由x>3能够得出x2>9，反之不成立，故命题p是假命题；取a＝－2，b＝1，可知a2>b2⇒/ a>b，取a＝1，b＝－2，可知a>b⇒/a2>b2，故命题q是假命题．故选D．

9．设a，b，c是非零向量，已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是( )

3 A．p∨q B．p∧q

C．(﹁p)∧(﹁q) D．p∨(﹁q)

解析：选A 由题意知，命题p为假命题，命题q为真命题，所以p∨q为真命题．故选A．

10．已知命题p：∀x≥4，log2x≥2；命题q：在△ABC中，若A>π3，则sin A>32.则下列命题为真命题的是( )

A．p∧q B．p∧(﹁q)

C．(﹁p)∧(﹁q) D．(﹁p)∨q

解析：选B ∀x≥4，log2x≥log24＝2，所以命题p为真命题；A＝2π3>π3，sin

A＝32，所以命题q为假命题．故p∧(﹁q)为真命题．故选B．

11．(2020届湖北部分重点中学联考)下列说法中，正确的是( )

A．命题“若am2

B．命题“存在x0∈R，x20－x0>0”的否定是“对任意的x∈R，x2－x≤0”

C．若命题“p或q”为真命题，则命题p和命题q均为真命题

D．已知x∈R，则“x>1”是“x>2”的充分不必要条件

解析：选B 对于选项A，“若am20”的否定是“对任意的x∈R，x2－x≤0”，故B正确；对于选项C，若命题“p或q”为真命题，则命题p，q可以都为真，也可以一真一假，故C错误；对于选项D，已知x∈R，则“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，故D错误．故选B．

12．(2019届山西太原重点中学联考)若“∃x0∈－π4，π3，m>tan x0＋2”为假命题，则实数m的取值范围为________．

解析：由题意可知“∀x∈－π4，π3，m≤tan x＋2”为真命题，所以m≤(tan

x＋2)min.又知x∈－π4，π3，所以tan x∈[－1，3]，因此可得(tan x＋2)min＝1，所以实数m的取值范围为m≤1，即m∈(－∞，1]．

4 答案：(－∞，1]

B级·素养提升

|练能力|

13.短道速滑队进行冬奥会选拔赛(6人决出第一～六名)，记“甲得第一名”为p，“乙得第二名”为q，“丙得第三名”为r，若p∨q是真命题，p∧q是假命题，(﹁q)∧r是真命题，则选拔赛的结果为( )

A．甲第一、乙第二、丙第三

B．甲第二、乙第一、丙第三

C．甲第一、乙第三、丙第二

D．甲第一、乙没得第二名、丙第三

解析：选D (﹁q)∧r是真命题意味着﹁q为真，q为假(乙没得第二名)且r为真(丙得第三名)；p∨q是真命题，由于q为假，只能p为真(甲得第一名)，这与p∧q是假命题相吻合；由于还有其他三名队员参赛，只能肯定其他队员得第二名，乙没得第二名，故选D．

14．(2019届河北衡水中学大联考)已知命题p：若函数f(x)＝(x－[x])－12 (x∉Z)，则必有f(x)>1(对于任意实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，如：[1.3]＝1)；命题q：“m≤1”是“函数f(x)＝x2－(m＋1)x－m2在区间(1，＋∞)内单调递增”的充分不必要条件，则下列命题中是真命题的为( )

A．p∧q B．(﹁p)∧q

C．(﹁p)∨q D．p∧(﹁q)

解析：选D 因为(x－[x])12∈(0，1)，x∉Z，所以1（x－[x]）12>1，x∉Z，即f(x)>1，故p为真命题；因为函数f(x)＝x2－(m＋1)x－m2在区间(1，＋∞)内单调

递增，所以m＋12≤1，即m≤1，故应为充要条件，故q为假命题，所以p∧q，(﹁p)∧q，(﹁p)∨q均为假命题，p∧(﹁q)为真命题，故选D．

15.(2019届洛阳模拟)已知p：∃x0∈R，mx20＋1≤0；q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0.若“p∨q”为假命题，则实数m的取值范围是( )

A．[2，＋∞) B．(－∞，－2]

5 C．(－∞，－2]∪[2，＋∞) D．[－2，2]

解析：选A 依题意知，p，q均为假命题．当p是假命题时，则有∀x∈R，mx2＋1>0恒成立，则有m≥0；当q是假命题时，则有Δ＝m2－4≥0，m≤－2或m≥2.因此由p，q均为假命题，得m≥0，m≤－2或m≥2，即m≥2.故选A．

16．不等式组2x＋y－3≤0，3x－y＋3≥0，x－2y＋1≤0的解集记为D，有下面四个命题：p1：∀(x，y)∈D，2x＋3y≥－1；p2：∃(x0，y0)∈D，2x0－5y0≥－3；p3：∀(x，y)∈D，y－12－x≤13；p4：∃(x0，y0)∈D，x20＋y20＋2y0≤1.其中的真命题是( )

A．p1，p2 B．p2，p3

C．p2，p4 D．p3，p4

解析：选C 作出不等式组2x＋y－3≤0，3x－y＋3≥0，x－2y＋1≤0表示的区域，如图中阴影部分所示，

其中A(0，3)，B(－1，0)，由2x＋y＝3，x－2y＋1＝0，得x＝1，y＝1，即C(1，1)．对于p1，当取(－1，0)时，因为2×(－1)＋0<－1，故p1是假命题，排除A；对于p2，将C(1，1)代入，2x－5y＝－3≥－3成立，故p2是真命题，排除D；对于p3，当取(0，3)时，因为3－12－0＝1>13，故p3是假命题，排除B，故选C．