数理统计--第4章 方差分析、正交试验设计

X ij
(
ij )
~
i ij N (0, 2 I
n
)
其中称 ij Xij i ~ N(0, 2) 为随机误差；
1 n
r i 1
ni i
为 总 平 均 ； i i 为 A 因 子 i 水 平 效 应 ； 则
r
nii 0 （效应间的关系）
i 1
假设 H0 : 1 2 r H1 : i 不全相等；
试验指标最优. ③若有两个以上的因子,它们之间有无交互作用.
§1 一元方差分析
问题：已知因子 A ，其有 r 种水平 A1, A2,, Ar ，在每
r
一种水平下做了 ni (i 1,2,, r) 次试验，且 ni n ，设 i 1
在水平 Ai 下的试验值 X i ~ N (i , 2 ) 且所有 X i 之间相互 独立。
( Xij Xi )2 ni ( Xi X )2
组间离差平方和之和。 ②组内离差平方和 ——反映了 的作用 i1QjE1
XXiijj
nnii XXii))]] 22
r
ri1[([(XXi
iXX)()n(ni Xi Xi
i ninXi Xi )i])] 0
0
i 1
j 1
i1
E、 Ar
QE
2
i 1
[(
Xi
X
)(QniTXiQniEXi )]Q A0
QA
于是，总离差平r 方ni 和被分解为组r 内离差平方和与
从而： QT
即 H0 : 1 2 r 0 H1 :至少有一个i 0
§1 一元方差分析
2.找出检验统计量及 H0 成立时的分布 （1）平方和分解
①总离差平方和 QT ――反映了全体 X ij 的离散程度
r ni
r ni
QT
( X ij X )2
[(X ij X i ) ( Xi X )]2
1 ni
ni
X ij
j 1
X , X ,, X X
r
1
,rX1
r
2ຫໍສະໝຸດ Baidu
r
,r 2
ni
,
X
rnr
rnr
QA
(Xi X )2
QA QE
r
QEir1
njiniiri111((XjnXji1ij1i(XXiXji ))22X
i
)2
Xr
X 1
rX
r ni
1 n
r ni
X ij
i1 1j1r
1 n
A2
A3 A4
亩产量 981，964，917，669 607，693，506，358 791，642，810，705 901，703，792，883
实验因素 因素水平
问施肥品种对小麦产量有无影响。
单因素 方差分析
例：为了比较四种不同肥料、三种土壤对小麦亩产量
的影响，化肥品种为A1 ，A2 ，A3 ，A4，土壤记为 B1，B2，B3每种肥料施在两块土地上，得亩产量如下：
壤条件、苗间距等因素有关；
➢化工产品的转化率可能与原料配方、催化剂
用量、反应温度、加热时间等因素有关。
例：为了比较四种不同肥料对小麦亩产量的影响，取
一片土壤肥沃程度和水利灌溉条件差不多的土地，分
成16块。化肥品种记为A1 A2 A3 A4每种肥料施在四块
土地上，得亩产量如下：
实验指标
肥料品种A
A1
i1 j1
i 1
i1 j 1
其其中中：： r ni
r
ni
22 r i 1
ni j 1
((
XX
ij ij
XXii
))((XXii
XX))
22
ir1[[((XXi
iXX))ni j
(
1
(XXij
ijXXi )i])]
i1 j 1
i 1
j 1
r
22 r i 1
[[((XX
i i
XX
))((
nnii j 1
i1 j1
i1 j1
r ni
r ni
r ni
( X ij X i )2
(Xi X )2 2
( X ij X i )(X i X )
i1 j1
i1 j1
i1 j1
r ni
r
r ni
( X ij X i )2 ni ( X i X )2 2
( X ij X i )(X i X )
试分析因子 A 对试验指标有无显著影响？
即水 平
水A1平 AA12 A 2
AArr
§1 一元方差分析
观测值
平均值
观 测 值 平 均值 XX21XX11,,2X1X11,21,2X2X,,2122,,,,~XX21N,,nnX1X2(21nni12, 2 )
X1
1 n1
X2
X1
X n1
X2 1j
j1
土壤种类 肥料品种
A1 A2
B1 693，506 810，705
B2 607，358 981，964
B3 810，705 792，883
实验指标 实验因素 因素水平
A3
791，642
810，705
843，766
A4
917，669
657，703
901，703
两因素 方差分析
问施肥品种、土壤种类及交互作用对小麦产量有无影响。
前言
问题：多个正态总体均值的比较. 具体:1）影响试验指标的诸多因素中，哪些因素
的影响显著，哪些影响不显著？ 2）这些因素的作用是简单的叠加在一起的,
还是以更复杂的形式交错在一起的？
关键：找出检验统计量，写出拒绝域。
方差分析：解决上述问题的有效的统计方法。
§1 一元方差分析
①试验指标：试验对象的某项指标值。 ②因子：影响试验指标的因素，用A,B,…表示。 ③水平：因子所处的不同试验条件，分别用
A1, A2, …表示。 ④单因素试验：在一项试验中，只有一个因子 的水平在改变，其他因子的水平取定。这样的 方差分析称为单因子方差分析或一元方差分析。 ⑤双因素试验：在一项试验中，有两个因子的 水平在改变。这样的方差分析称为双因子方 差分析或二元方差分析。
§1 一元方差分析
要解决的问题：
①因子对试验指标有无显著影响. ②若因子对试验指标有显著影响，在哪个水平下
r
ni
i 1
Xi
X
n
i 1
X ij
j 1
n
ni
i 1
Xi
i1 jr1 ni
QT r ni
( X ij X )2
QT i1 (jX1ij X )2
i1 j1
§1 一元方差分析
分析： X ij 相同的原因： 一般平均 X ij 不同的原因: ①误差的存在 ②因子处于不同水平的影响
1.数学模型：
应用统计学
目录
CH1 抽样与抽样分布 CH2 参数估计 CH3 假设检验 CH4 方差分析、正交试验设计 CH5 回归分析
第四章 方差分析、正交试验设计
§1 一元方差分析 §2 二元方差分析 §3 正交试验设计
前言
实际中，某个试验指标的取值，往往与多 个因素有关。
➢农作物的产量可能与作物品种、施肥量、土