2018-2019学年高二数学苏教版选修2-1课件：第1部分 第3章 3.1 3.1.1 空间向量及其线性运算

3．1.2 共面向量定理

[对应学生用书P50]

如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，观察下列几组向量，回答问题．

问题1：AB、AD、11AC可以移到一个平面内吗？

提示：可以，因为AC＝11AC，三个向量可移到平面ABCD内．

问题2：1AA，AC，1AC三个向量的位置关系？

提示：三个向量都在平面ACC1A1内．

问题3：1BB、1CC、1DD三个向量是什么关系？

提示：相等．

1．共面向量

一般地，能够平移到同一平面内的向量叫做共面向量．

2．共面向量定理

如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得p＝xa＋yb.

1．空间中任意两个向量都是共面的，空间中任意三个向量可能共面，也可能不共面．

2．向量共面不具有传递性．

3．共面向量定理给出了平面向量的表示式，说明两个不共线的向量能确定一个平面，它是判定三个向量是否共面的依据．

[对应学生用书P51]

向量共面的判定

[例1] 给出以下命题：

①用分别在两条异面直线上的两条有向线段表示两个向量，则这两个向量一定不共面；

②已知空间四边形ABCD，则由四条线段AB、BC、CD、DA分别确定的四个向量之和为零向量；

③若存在有序实数组(x，y)使得OP＝xOA＋yOB，则O、P、A、B四点共面；

④若三个向量共面，则这三个向量的起点和终点一定共面；

⑤若a，b，c三向量两两共面，则a，b，c三向量共面．

其中正确命题的序号是________．

[思路点拨] 先紧扣每个命题的条件，再充分利用相关概念做出正确的判断．

[精解详析] ①错：空间中任意两个向量都是共面的；

②错：因为四条线段确定的向量没有强调方向；

③正确：因为OP、OA、OB共面，

∴O、P、A、B四点共面；

④错：没有强调零向量；

⑤错：例如三棱柱的三条侧棱表示的向量．

[答案] ③

[一点通] 共面向量不一定在同一个平面内，但可以平移到同一个平面内．判定向量共面的主要依据是共面向量定理．

小初高个性化辅导，助你提升学习力！ 1 高中数学选修一第3章3.1~3.3空间向量运算-知识点

1、空间向量的加法、减法、数乘及运算律都是平面向量的对应推广，规则没有变，既可以用平行四边形法则，也可以用包含目标向量的封闭图形各边依次构成的向量之和为零向量得到相关式子。

2、因为向量可以平移 ，所以，任意两个向量都是共面 向量。

3、向量的数量积：a·b=abcos。变形式：cos=baba 。

4、利用数量积求向量的模：bnam=2bnam）（=22bnbamn2am）（）（。

5、a与b平行(共线)的充要条件：存在实数λ，使得b=λa；a⊥b的充要条件：a·b=0。

6、三角形ABC中，D是BC中点，则AD=21AB+21AC。

7、给定四点O,P,A,B，其中，O,A,B为不共线的三点，且OP=xOA+yOB，则A,P,B三点共线 的充要条件是

x+y=1 .

8、空间向量基本定理：如果1e、2e与3e是不共面的向量，那么对空间中任意一个向量a，存在唯一的实数λ,μ,ν，使得a=λ1e+μ2e+ν3e。

9、对于空间任意一点O和不共线的三点A,B,C，都有OP=xOA+yOB+zOC。则点P与A,B,C四点共面 的充要条件是 x+y+z=1 .

10、空间向量的坐标表示：a=（x1，y1，z1），b=（x2，y2，z2），则①a±b=（x1±x2，y1±y2，z1±z2）；②λa=（λx1，λy1，λz1）；③a·b= x1x2+y1y2+z1z2

；④a=212121zyx。

11、空间直角坐标系中，x轴，y轴，z轴两两互相垂直 。通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面 ，分别为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面，三个坐标平面把空间划分成八 个部分。

2

31．2.3简单复合函数的导数

[对应学生用书P11]

已知函数f(x)＝sin，g(x)＝(3x＋2)2.(

2x＋π

6)

问题1：这两个函数是复合函数吗？

提示：是复合函数．

问题2：试说明g(x)＝(3x＋2)2是如何复合的？

提示：函数g(x)＝(3x＋2)2是由 g(u)＝u

2，u＝3x＋2复合而成的．

问题3：试求g(x)＝(3x＋2)2，g(u)＝u2，u＝3x＋2的导数．

提示：g′(x)＝[(3x＋2)2]′＝[9x2＋12x＋4]′＝18x＋12.g′(u)＝2u，u′＝3.

问题4：观察问题3中导数有何关系？

提示：g′(x)＝g′(u)·u′.

若y＝f(u)，u＝ax＋b，则y′

x＝y′

u·u′

x，即y′

x＝y′

u·a.

1．求复合函数的导数，关键在于分清函数的复合关系，选好中间变量．

2．利用复合关系求导前，若函数关系可以化简，则先化简再求导会更简单．

3．判断复合函数的复合关系的一般方法是：从外向里分析，最外层的主体函数结构是

以基本函数为主要形式，各层的中间变量结构也都是基本函数关系，这样一层一层分析，

最里层应是关于自变量x的基本函数或关于自变量x的基本函数经过有限次四则运算而得

到的函数．

[对应学生用书P11]

复合函数的求导

[例1]　求下列函数的导数．

(1)y

＝；1

(2x＋3)3

(2)y＝e－0.05x＋1；2

3(3)y＝cos(ωx＋φ)(其中ω、φ为常数)；

(4)y＝log

2(5－3x)．

[思路点拨]　先分清函数自身结构，再合理地选取中间变量，利用复合函数的求导法

则求解．

[精解详析]　(1)y

＝＝(2

x＋3)

－是函数y＝u－，u＝2x＋3的复合函数，1

(2x＋3)3323

2

所以y′

x＝y′

u·u′

x＝(u－)′·(2x＋3)′3

2

＝－u－·2＝－3u－＝－3(2x＋3)－.3

25

25

25

2

(2)y＝e－0.05x＋1是函数y＝eu，u＝－0.05x＋1的复合函数，所以y′

x＝y′

u·u′

3．1.4 空间向量的坐标表示

[对应学生用书P56]

空间向量的坐标表示

在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，建立空间直角坐标系(如图)，在x轴，y轴，z轴上分别取三个单位向量i，j，k.

问题1：用i，j，k表示AC，1AD.

提示：AC＝i＋j，1AD＝j＋k.

问题2：若1AC＝xi＋yj＋zk，则x，y，z为多少？与点C1的坐标有什么关系？

提示：∵1AC＝i＋j＋k，

∴x＝1，y＝1，z＝1，(x，y，z)＝(1,1,1)与C1的坐标相同．

在空间直角坐标系O－xyz中，分别取与x轴、y轴、z轴方向相同的单位向量i、j、k作为基向量．对于空间任意一个向量a，根据空间向量基本定理，存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk，有序实数组(x，y，z)叫做向量a在空间直角坐标系O－xyz中的坐标，记作a＝(x，y，z).

空间向量的坐标运算

一块巨石从山顶坠落，挡住了前面的路，抢修队员紧急赶到从三个方向拉倒巨石，这三个力为F1，F2，F3，它们两两垂直，且|F1|＝3 000 N，|F2|＝2 000 N，|F3|＝2 0003 N.

问题1：若以F1，F2，F3的方向分别为x轴，y轴，z轴正半轴建立空间直角坐标系，巨石受合力的坐标是什么？

提示：F＝(3 000,2 000,2 0003)．

问题2：巨石受到的合力有多大？

提示：|F|＝5 000 N.

1．设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R.

2．空间向量平行的坐标表示为

a∥b(a≠0)⇔b1＝λa1，b2＝λa2，b3＝λa3(λ∈R)．

3．一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标．

1．确定空间向量的坐标的方法：