人教A版选修1-1教案：3.1空间向量及其运算第3课时(含答案)

量及其运算（2）教案 新人教A版选修2-1

教学目标：

㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律；

㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；

⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；

⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．

㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会

用联系的观点看待事物．

教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．

教学难点：应用向量解决立体几何问题．

教学方法：讨论式．

教学过程：

Ⅰ.复习引入

［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？

［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：

①用有向线段表示；

②用字母a、b等表示；

③用有向线段的起点与终点字母：AB．

［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．

［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量.

⒉向量的减法：

⒊实数与向量的积：

实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：

(1)|λa|＝|λ||a|

(2)当λ＞0时，λa与a同向；

当λ＜0时，λa与a反向；

当λ＝0时，λa＝0.

［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？

［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律

加法交换律：a＋b＝b＋a

加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）

数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb

［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本P26～P27．

第三章 空间向量与立体几何

3.1 空间向量及其运算

3.1.2 空间向量的数乘运算

A级 基础巩固

一、选择题

1．下列命题中正确的是( )

A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线．

B．向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面．

C．零向量没有确定的方向．

D．若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb.

答案：C

2．已知两非零向量e1，e2，且e1与e2不共线，设a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R，且λ2＋μ2≠0)，则( )

A．a∥e1 B．a∥e2

C．a与e1、e2共面 D．以上三种情况皆有可能

答案：C

3．若a与b不共线，且m＝a＋b，n＝a－b，p＝a，则( )

A．m，n，p共线 B．m与p共线

C．n与p共线 D．m，n，p共面

解析：由于(a＋b)＋(a－b)＝2a，即m＋n＝2p，

即p＝12m＋12n，又m与n不共线，所以m，n，p共面．

答案：D

4．下列命题中，不正确的命题个数为( )

①AB→＋BC→＋CD→＋DA→＝0；

②|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；

③若a、b共面，则a、b所在的直线在同一平面内；

④若OP→＝12OA→＋13OB→，则P、A、B三点共线．

A．1 B．2 C．3 D．4

答案：C 5.已知空间四边形OABC，其对角线为OB和AC，M，N分别是边OA，CB的中点，点G在线段MN上，且使MG＝2GN，用向量OA→，OB→，OC→表示向量OG→是(

)

A.OG→＝16OA→＋13OB→＋13OC→

B.OG→＝16OA→＋13OB→＋23OC→

C.OG→＝OA→＋23OB→＋23OC→

D.OG→＝12OA→＋23OB→＋23OC→

解析：因为MG＝2GN，M，N分别是边OA，CB的中点，

所以OG→＝OM→＋MG→＝OM→＋23MN→＝OM→＋23(MO→＋OC→＋CN→)＝13OM→＋23OC→＋13(OB→－OC→)＝16OA→＋13OB→＋13OC→.

3. 1.5空间向量运算的坐标表示

教学目标

1．能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算。

2．会根据向量的坐标判断两个空间向量平行。

重、难点

1．空间向量的坐标表示及坐标运算法则。

2．坐标判断两个空间向量平行。

教学过程：

（一）复习上一节内容

（二）新课讲解：

设a＝),,(321aaa，b＝),,(321bbb

(1) a±b＝

。 (2)

a＝

．(3)

a·b＝

．

(4)

a∥b

；ab

．

（5）模长公式：若123(,,)aaaa， 则222123||aaaaaa．

（6）夹角公式：112233222222123123cos||||ababababababaaabbb．

（7）两点间的距离公式：若111(,,)Axyz，222(,,)Bxyz，则2222212121||()()()ABABxxyyzz

(8) 设),,(),,,(222111zyxBzyxA

则AB＝ ，AB ．

AB的中点M的坐标为 ．

例题分析：

例1、（1）已知两个非零向量a=（a1，a2，a3），b=（b1，b2，b3），它们平行的充要条件是（ ）

A. a：|a|=b：|b| B.a1·b1=a2·b2=a3·b3

C.a1b1+a2b2+a3b3=0 D.存在非零实数k，使a=kb

（2）已知向量a=（2，4，x），b=（2，y，2），若|a|=6，a⊥b，则x+y的值是（ ）

A. －3或1 B.3或－1 C. －3 D.1

（3）下列各组向量共面的是（ ）

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精心校对 高中新课标数学选修（2-1）空间向量及其运算教材解读

山东 尹承利

一、空间向量及其运算

1.空间向量及其加减与数乘运算

（1）空间向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模.

零向量、单位向量、相反向量、相等向量、共线（平行）向量、方向向量等概念与平面向量的概念基本相同.

（2）空间向量的加减与数乘运算

①空间向量的加法、减法与数乘运算与平面向量的运算基本相同；

②首尾相接的若干个向量之和，等于由起始向量的起始点指向末尾向量的终点的向量.如ABBCCDAD，ABBCCDDA0等．

2．共线向量的充要条件

（1）共线向量的充要条件：对空间任意两个向量()0，，abbab的充要条件是存在实数，使ab．

（2）空间直线的向量表过式：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，对空间任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使OPOAta． ①

在l上取ABa，则①式可化为OPOAtAB． ②

①和②都称为空间直线的向量表示式，由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定．

（3）利用向量之间的关系可以判断空间任意三点共线．其依据是：空间三点PAB，，共线()PBtPAOPOAtABtR．

3．共面向量的充要条件

（1）共面向理：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．

注：空间任意两个向量总是共面的．

（2）共面向量的充要条件：如果两个向量，ab不共线，那么向量p与向量ab，共面的充要条件是存在惟一的有序实数对()，xy，使pxayb．

（3）空间平面ABC的向量表示式：空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对xy，，使APxAByAC；或对空间任意一点O，有OPOAxAByAC． ③

③式称为平面ABC的向量表示式．由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向高中数学-打印版