相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验.

相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验.

相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验

一. 教学内容:

相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验

二. 重点、难点

1。相互独立事件：事件A（或B)是否发生对事件B(或A）发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件。设A、B是两个事件,那么A·B表示这样一个事件，它的发生表示A与B同时发生,它可以推广到有限多个事件的积。

2.相互独立事件发生的概率：两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。P（A·B）＝P(A）·P（B)

如果事件A1,A2，…，An相互独立,那么这n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。

P(A1A2……An)＝P（A1）P(A2)…P(An)

值得注意的是：①事件A与B(不一定互斥)中至少有一个发生的概率可按下式计算:P（A+B)＝P(A）+P（B)—P(AB）

特别地，当事件A与B互斥时，P(AB)＝0，于是上式变为P（A+B)＝P（A）+P（B)

②事件间的“互斥”与“相互独立”是两个不同的概念,两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响。

3。独立重复试验。

独立重复试验，又叫贝努里试验，是在同样的条件下重复地，各次之间相互独立地进行的一种试验.在这种试验中，每一次试验只有两种结果,即某种事件要么发生，要么不发生,并且任何一次试验中发生的概率都是一样的。

一般地，如果在一次试验中某件事发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生K次的概率 Pn（k)＝CnkPk(1—P）n—k

Pn（k)＝CnkPk(1-P）n-k可以看成二项式[(1-P）+P］n展开式中的第k+1项。

【典型例题】

例1。 工人看管3台机床，在1小时内,3台机床正常工作（不需要照顾）的概率分别是0.9,0。8，0。85，求在任一小时内。(1)3台机床都不需要照顾的概率。(2）3台机床中至少有一台不需要工人照顾的概率。

解：（1）可以认为机床的工作是相互独立的。

设A1，A2，A3分别表示第1、2、3台机床不需要工人照顾，则P(A1A2A3）＝P(A1)P(A2）P（A3）＝0.9×0.8×0.85＝0.612.即3台机床都不需要工人照顾的概率为0。612。

（2)“3台机床中至少有一台不需要照顾"与“3台都需要工人照顾"是对立事件，即A1+A2+A3与1A、2A、3A是对立事件,所以

P（A1+A2+A3)＝1—P（321AAA）＝1—P（321AAA)＝1-P（1A）P(2A)P（3A)

＝1—(1-0。9)（1-0。8）（1-0.85）＝0.997

即3台机床中至少有一台不需要照顾的概率为0。997。

例2.甲、乙、丙各进行一次射击,如果甲、乙2人击中目标的概率是0.8，丙击中目标的概率是0.6，计算：（1）3人都击中目标的概率；（2）至少有2人击中目标的概率；(3)其中恰有1人击中目标的概率。

解:(1)记“甲、乙、丙各射击一次，击中目标"分别为事件A、B、C彼此独立，三人都击中目标就是事件A·B·C发生,根据相互独立事件的概率乘法公式得：P(A·B·C）＝P（A）·P（B)·P（C)＝0。8×0。8×0.6＝0。384

(2）至少有2人击中目标包括两种情况：一种是恰有2人击中，另一种是3人都击中，其中恰有2人击中，又有3种情形，即事件A·B·C,A·B·C，A·B·C分别发生，而这3种事件又互斥，故所求的概率是P(A·B·C)+P（A·B·C)+P（A·B·C)+P（A·B·C）＝P(A)P（B)·P(C）+P(A）P(B)P(C)+P(A）P(B)P(C)+P（A)P（B)P(C)＝0。8×0.8×0.4+0.8×0。2×0。6+0.2×0。8×0。6+0.8×0.8×0.6＝0.832

(3)恰有1人击中目标有3种情况,即事件A·B·C，A·B·C，A·B·C，且事件分别互斥，故所相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验.

求的概率是P(A·B·C)+P(A·B·C)+P(A·B·C)＝P(A)·P（B）·P(C)+P(A)·P(B）·P（C）+P（A）·P（B)·P(C）

＝0。8×0。2×0.4+0.2×0。8×0。4+0.2×0.2×0.6＝0.152。

答：3人都击中目标的概率是0.384;至少2人击中目标的概率是0。832；恰有1人击中目标的概率是0.152。

说明 题（3）还可用逆向思考，先求出3人都未击中的概率是0.016，再用1—0。832-0。016可得。

例3。 有10台同样的机器,每台机器的故障率为0.03,各台机器独立工作，今配有2名维修工人，一般情况下，一台机器故障1个人维修即可，问机器故障无人修的概率是多少？

解:A表示机器故障无人修的事件，A表示机器故障数最多不超过2，则P(A）＝C100（0。97）10+C101(0.97)9(0。03）+C102 （0。97)8(0。03）2＝0。9972

P(A）＝1—P(A)＝0。0028.

说明:出现故障的机器数大于2时即为机器故障无人修的情况，因为正向思考需考虑8种情况,所以应用逆向思考的方法。

例4. 证明“五局三胜”制(即比赛五局，先胜三局者为优胜者)是公平的比赛制度，即如果比赛双方赢得每局是等可能的，各局比赛是独立进行的,则双方获胜的概率相同。

证明：将每一局比赛看作一次试验，考察一方，如甲方胜或负（即乙方负或胜），问题归结为n＝5的贝努里试验.设A表示一局比赛中“甲获胜”事件,由题意，P(A)＝21,记Bk为“五局比赛中甲胜k局”事件，k＝0、1、2、3、4、5.则

P(“甲获胜”）＝P（B3∪B4∪B5).则利用概率的加法公式,注意到C5k＝C55—k即得

P（“甲获胜”）＝P（B3)+P（B4)+P（B5）＝C53(21)5+C54(21)5+C55（21）5＝21.

而P(“乙获胜")＝P（“甲获胜")＝1—21＝21。

例5. 甲、乙两人各投篮3次，每次投中得分的概率分别为0.6和0.7，求(1）甲、乙得分相同的概率;（2)甲得分比乙多的概率。

解：(1）分别令3次投篮中甲投中0次、1次、2次、3次为事件A0、A1、A2、A3；乙恰投中0次，1次、2次、3次为事件B0、B1、B2、B3,当且仅当他们投中次数相同时得分才相同，设得分相同为事件D。那么D＝A0B0+A1B1+A2B2+A3B3

所以P（D)＝P(A0B0）+P(A1B1)+P(A2B2）+P（A3B3）

＝(1—0.6）3（1—0。7）3+C31×0.6×（1-0。6)2×C31×0。7×(1—0.7)2+C32×0.62×(1—0.6）C32×0。72×(1-0.7)+0.63×0。73＝0。321

（2）设“甲得分比乙多”为事件E，当且仅当甲投中次数比乙多，事件E发生，所以E＝A1B0+A2B0+A3B0+A2B1+A3B1+A3B2 利用公式可求得P(E)＝0.243

【疑难解析】

本节的重点是相互独立事件的概率乘法公式，理解并掌握n次独立重复试验中事件A发生k次的概率公式.难点是n次独立重复试验中事件A发生k次的概率的求法.

关于在n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率计算公式，教科书是通过一个具体例子引出的。现在我们来对这个公式进行一般的推导。

已知A是某随机试验中可能出现的事件,且P(A)＝P．现在把这个试验独立地重复进行n次，要求事件A恰好发生k次的概率。

首先,在n次独立试验的总结果中，有些试验结果是A，有些试验的结果 相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验.

然都是等可能的,并且都是互斥的。 其次，根据相互独立事件的概率乘法公式，合乎上述要求的每一种搭配发生的概率都是

现在我们把n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率记为Pn（k)，那么根据上述分析，即得P(k)P(1P)nknk＝－．Cnk 如果令q＝1－P，利用二项展开式,有：

这样Pn(k）是(q＋P)n展开式中的第k＋1项，故P(k)=CnnkqPnkk叫做二项分布公式．

独立重复试验，每一次试验只有两种结果,即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的.这种情况在实际问题中是很多的．例如:在产品的抽样检查中,要么抽到合格品，要么抽到不合格品；在一定的条件下，种子要么发芽，要么不发芽．研究独立重复试验，计算在n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率，在理论上与实践上都十分有用．其次，在推导n次独立重复试验中某事件发生k次的概率的计算公式中，前面所求的概率加、乘运算及组合的知识都用到了，可以说概率知识在这里得到了复习和综合。

【模拟试题】

1. 有一个密码,甲能破译的概率是2,乙能破译的概率是31，两人独立地破译密码,（1)两人都未能破译密码的概率是________；（2）密码被破译的概率是________．

2. 打靶时，甲每打20次可中靶16次，乙每打10次，可中靶7次，若两人同时射击一个目标，则他们都中靶的概率是（ ）．

A．2512 B．2514 C．53 D．54

3。 如图,A、B、C表示3种开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9，0。8，0。7,那么系统可靠性是（ ）．

A．0.06 B．0。496 C．0。504 D．0.994

4. 现有一副扑克牌中的4张A，每次任意抽取1张，记住其花色后放回，连续抽取3次，则（1）每次都抽到黑桃A的概率是________；（2）恰有2次抽到黑桃A的概率是________；(3）从未抽到黑桃A的概率是________．

5. 在一次计时抢答中出了6道判断是非题，某选手不经思考随意回答“是”或“否”,则(1）这名选手回答全部正确的概率是________;（2）这名选手回答正确不少于4道题的概率是________；（3)这名选手至少答对一半的概率是________．

6. 100件产品A中有96件正品,4件次品，另100件产品B中有95件正品，5件次品,从两种产品中各抽取一件产品，都抽到正品的概率是多少？

7。 生产一种产品需经过两道工序才得成品，第一道工序的合格率为97％,第二道工序的合格率为92%,假定这两道工序互不影响．求成品的合格率． 相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验.

8. 北方的沙尘暴天气越来越多，在一段时间内,甲地出现沙尘暴天气的概率是51，乙地出现沙尘暴天气的概率是4,假定在这一时间内两地是否出现沙尘暴天气相互之间没有影响，求甲乙两地在这一段时间都不出现沙尘暴天气的概率．

9。 一名篮球爱好者投篮命中概率为65，他连续投篮三次，且每次投篮是否投入相互之间没有影响,那么他第一次未投中，其他两次都投中的概率是多少?

10。 一名学生抢答某类问题，出现错误的概率为0.10，他抢答了5道题，则：

（1)他答错一道题的概率是________；（2）他答错两道题的概率是________；

（3）他最多答错一道题的概率是________．(以上结果保留三位有效数字）