均值定理求最大值公式

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精品文档 初中数学中求最值的几种常见方法

仪陇县实验学校 李洪泉

在生活实践中，人们经常面对求最值的问题：如在一定方案中，往往会讨论什么情况下花费最低、消耗最少、产值最高、获利最大等；在解数学题时也常常求某个变量的最大值或最小值。同时，探求最值也是中考或一些高中学校自主招生考试中的一个热点内容，是初高中知识衔接的重要内容。这类问题涉及变量多，综合性强，技巧性强，要求学生要有较强的数学转化思想和创新意识。下面从不同的角度讨论如何求一些问题的最值。

一 、根据绝对值的几何意义求最值

实数的绝对值具有非负性，0a，即a的最小值为0，但根据绝对值的代数意义求一些复杂问题的最值就要采用分类讨论法，比较麻烦。若根据绝对值的几何意义求最值就能够把一些复杂的问题简单化。

例1：已知13Mxx，则M的最小值是 。

【思路点拨】用分类讨论法求出13xx的最小值是4,此时31x。如果我们从绝对值的几何意义来看此题,就是在数轴上求一点,使它到点1和点3的距离之和为最短。显然,若3x,距离之和为[1(3)]2(3)4x;若31x,距离之和为1(3)4;若1x,距离之和为[1(3)]2(1)4x。所以, 当31x时,距离之和最短,最小值为4。故M的最小值为4。

二、利用配方法求最值

完全平方式具有非负性，即2()0ab。一个代数式若能配方成2()mabk的形式，则这个代数式的最小值就为k。

例2：设,ab为实数，求222aabbab的最小值。

【思路点拨】一是将原式直接配方成与,ab的完全平方式有关的式子可以求出最小值。二是引入参数设222aabbabt，将等式整理成关于a的二次方程，运用配方法利用判别式求最值。

解：(方法一) 配方得：

当10,10,2bab即0,1ab时，上式中不等号的等式成立，故所求的最小值222222222(1)21331()242413()(1)1124aabbabababbbabbbab精品文档

6.2算术平均数 几何平均数

一、明确复习目标

1.掌握两个正数的算术平均数不小于几何平均数的定理;

2.会用平均值定理求最大或最小值;

3.能运用均值定理来揭示数量间或实际问题中的不等关系.

二．建构知识网络

1．基本不等式

（1）abbaRba2,,22则

（2）Rba,，则abba2

(3) 33,,,3abcRbcabc3则a,(拓展内容)

2 均值不等式:

两个正数的均值不等式：abba2

三个正数的均值不等是：33abccba

n个正数的均值不等式：nnnaaanaaa2121

2211222babaabba

——两个正数ba、的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系,这是一个非常重要的不等式,许多题目可以从中找到解题途径．

3．最值定理:设,0,2xyxyxy由

（1）如果x,y是正数,且积(xyP是定值）,则xy时,2xyP和有最小值

（2）如果x,y是正数和(xyS是定值）,则x=y时,22Sxy积有最大值（）

运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等

4．利用均值不等式可以证明不等式，求最值、取值范围，比较大小等。此外还要掌握如下常用不等式 2,0,0aRaa;222()22abab，

222abcabbcac

若a>b>0,m>0,则 bbmaam；

若a,b同号且a>b则11ab,等。

三、双基题目练练手

1. （2006浙江）“a>b>0”是”ab<222ab”的 ( )

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

2．(2005福建)设bababa则,62,,22R的最小值是 （ ）

A．22 B．335 C．－3 D．27

3.（2006重庆）若,,0abc且()423aabcbc，则2abc的最小值为 ( )

高一数学高效课堂资料

昌乐县2019级高一数学导学案

课题《均值不等式》

编写人：（及第）钱秋霞（二中）刘亚楠

学习目标

1. 理解并掌握均值定理及其推导过程；

2. 总结用均值不等式求最值与证明不等式成立问题的规律和方法；

3. 体验均值不等式与生活的联系。

学习重点、难点

重点：均值定理及其推导过程

难点：用均值不等式求最值与证明不等式成立

【课前预习】

1.知识链接

求下列不等式的解集：

;052)1(2

xx;018)2(2

xx

0342)3(2

xx0

11

)4(

xx

2.自主学习

1. 什么是算术平均值？什么是几何平均值？

2. 均值定理的内容是什么？它成立的前提条件是什么？等号成立的条件是什么？如何证

明？

3. 均值定理的其他表述？

4. 均值不等式有几个变形？能用于解决什么问题？

5.如何用几何方法描述均值不等式，如何推导？

2 6.重要不等式22

2abab成立的条件是什么？如何证明？

2.预习自测

①已知fx

＝x＋1

x－2(x>0)

，则fx

有 ( )

A．最大值为0 B．最小值为0 C．最大值为－4 D．最小值为－4

②已知点（a,b

）满足422

ba

，则ab

的最大值为（）

A.6 B.4 C. 2 D.1

【课内探究】

探究一：利用均值不等式求最值

变式1：（1）已知矩形的周长为36m

.问这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大？最

大面积是多少？

(2)一个矩形的面积为1002

m

.问这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是

多少？

拓展1：求函数4

2(0)yxx

x的最大值以及相应的x

的值.

规律总结:

3 【当堂检测】

1.求函数)2(

23

x

xxxf

的最小值，以及此时的x的值

2.求函数)0(32

)(2

x

xxx

xf

的最小值及取得最小值时的x

值.

【课后练习】

1. 已知Ryx,，xysyxp,，有下列命题:

①如果s

是定值，那么当且仅当yx时p的值最大；

②如果s

是定值，那么当且仅当yx时p的值最小；

③如果p

是定值，那么当且仅当yx

课题：3.1平均值不等式（一）

高二数学 选修4-5 课型：新授课 编写：邵晶晶 学校：正阳育才外国语学校

一．学习目标

（1）理解均值不等式及其证明，并能应用它解决相关问题。

（2）整理并建立不等式的知识链。

（3）通过运用均值不等式解决实际问题，提高用数学手段解决实际问题的能力与意识。

学习重点：重要不等式及其均值不等式的证明及应用，注意均值不等式的使用条件。

学习难点：重要不等式及其均值不等式的证明及应用。

二．课前自主预习

 均值定理：

定理1．如果a、b∈R，那么abba222（当且仅当a=b时等号成立）

对任意的两个正实数a，b，数2ba叫做a，b的 算数平均值

数ab叫做a，b的 几何平均值

均值定理也可表述为：

两个正数的算术平均值大于或等于它的几何平均值这个不等式

定理2：如果a、b∈R+，那么abba2（当且仅当a=b时等号成立）.

在证明不等式、求函数的最大值、最小值时有着广泛的应用，因此我们称它为基本不等式.

 常见不等式：

1.（1）若Rba,，则abba222 (2)若Rba,，则222baab（当且仅当ba时取“=”）

2. (1)若*,Rba，则abba2 (2)若*,Rba，则abba2（当且仅当ba时取“=”）

(3)若*,Rba，则22baab (当且仅当ba时取“=”）

3.若0x，则12xx (当且仅当1x时取“=”）;若0x，则12xx (当且仅当1x时取“=”） 4.若0ab，则2abba (当且仅当ba时取“=”）

5.若Rba,，则2)2(222baba（当且仅当ba时取“=”）

6.重要不等式链：*,Rba，则2211222babaabba