2006年高考北京卷理科数学试题及参考答案

1 2006年普通高等学校招生全国统一考试

数 学（理工类）（北京卷）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷1至2页,第II卷3至9页，共150分。考试时间120分钟。考试结束。将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题共40分）

注意事项：

1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试卷上。

一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）在复平面内，复数ii1对应的点位于

（A）第一象限 （B）第二象限

（C）第三象限 （D）第四象限

（2）若a与b－c都是非零向量，则“a·b=a·c”是“a⊥（b－c）”的

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

（3）在1，2，3，4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字之和为偶数的共有

（A）36个 （B）24个

（C）18个 （D）6个

（4）平面的斜线AB交于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交于点C，则动点C的轨迹是

（A）一条直线 （B）一个圆

（C）一个椭圆 （D）双曲线的一支

（5）已知),(1,log1,4)13()(是xxxaxaxfa上的增函数，那么a的取值范

2 围是

（A）（0，1） （B）（0，31） （C）[71·31) （D）71[，1）

（6）在下列四个函数中，满足性质：“对于区间（1，2）上的任意).(,2121xxxx

|||)()(|1212xxxfxf恒成立”的只有

（A）xxf1)( （B）||)(xxf

（C）2)(xf （D）2)(xxf

（7）设)(),(22222)(11074nfNnnfn则等于

（A）)18(72n （B）)18(721n

（C）)18(721n （D）)18(721n

（8）下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口A、B、

C的机动车辆数如图所示，图中1x、2x、3x分别表示该时段单位时间通过路段AB，

BC，CA的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出

的车辆数相等），则

（A）321xxx

（B）231xxx

（C）132xxx

（D）123xxx

绝密★启用前

2006年普通高等学校招生全国统一考试

数 学（文史类）（北京卷）

（

（ （

3 第II卷（共110分）

注意事项：

1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。

2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。

题 号 二 三 总 分 15 16 17 18 19

20

二、填空题：本大题共6小题，每小 题5分，共30分。把答

案填在题中横线上。

（9）123lim221xxxn的值等于 .

（10）在7)2(xx的展开式中，2x的系数是 .（用数字作答）

（11）若三点A（2，2），B（a，0），C（0，b）（0ab）共线，则ba11的值等于

.

（12）在△ABC中，若CBAsin:sin:sin=5:7:8. 则∠B的大小是 .

（13）已知点P（x，y）的坐标满足条件,1,4yxyyx点O为坐标原点，那么| PO |的最小值

等于 ，最大值等于 .

（14）已知A、B、C三点在球心为O，半径为R的球面上，AC⊥BC，且AB=R，那么A、B两点间的球面距离为 球心到平面ABC的距离为 .

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（15）（本小题共12分）

已知函数xxxfcos)42sin(21)(.

（Ⅰ）求)(xf的定义域；

（Ⅱ）设的第四象限的角，且34tan，求)(f的值. 得分 评卷人

得分 评卷人

4

（16）（本小题共13分）

已知函数cxbxaxxf23)(在点x0处取得极大值5，其导函数)(xfy的图象经

过点（1，0），（2，0），如图所示，求：

（Ⅰ）x0的值；

（Ⅱ）a，b，c的值.

（17）（本小题共14分）

如图，在底面为平行四边形的四棱锥P—ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且

PA=PB，点E是PD的中点.

（Ⅰ）求证：AC⊥PB；

（Ⅱ）求证：PB//平面AEC；

（Ⅲ）求二面角E—AC—B的大小.

得分 评卷人

得分 评卷人

5

（18）（本小题共13分）

某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案.

方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；

方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.

假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是a，b，c，且三门课程考

试是否及格相互之间没有影响. 求：

（Ⅰ）分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；

（Ⅱ）试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.（说明理由）

得分 评卷人

6

（19）（本小题共14分）

已知点M（－2，0），N（2，0），动点P满足条件| PM |－| PN |=22，记动点P的轨

迹为W.

（Ⅰ）求W的方程；

（Ⅱ）若A，B是W上的不同两点，O是坐标原点，求OA、OB的最小值.

得分 评卷人

7

（20）（本小题共14分）

在数列||na中，若a1，a2是正整数，且naaannn|,|213，4，5，„，则称

||na为“绝对差数列”.

（Ⅰ）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；

（Ⅱ）若“绝对差数列” ||na中，0,32120aa，数列||nb满足,21nnnnaaab

n=1，2，3，„，分虽判断当n时，nnba与的极限是否存在，如果存在，求出其极限值；

（Ⅲ）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.

得分 评卷人

8

绝密★启用前

2006年普通高等学校招生统一考试

数学（理工类）（北京卷）参考答案

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

（1）D （2）C （3）B （4）A

（5）C （6）A （7）D （8）C

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

（9）－21 （10）－14

（11）21 （12）3

（13）2 10 （14）RR2331

三、解答题（本大题共6小题，共80分）

（15）（共12分）

解：（Ⅰ）由)(20cosZkkxx得，

故)(xf在定义域为},2|{Zkkxx，

（Ⅱ）因为34tan，且是第四象限的角，

所以53cos,54sin，

故cos)42sin(21)(f

cos)2cos222sin22(21