2017-2018学年高中数学(苏教版)选修1-1讲学案：第三章3.3 导数在研究函数中的应用

学必求其心得，业必贵于专精 3.3导数在研究函数中的应用

3．3。1 单 调 性

已知函数y1＝x，y2＝x2，y3＝错误!.

问题1：试作出上述三个函数的图像．

提示:图像为

问题2：试根据上述图像说明函数的单调性．

提示：函数y1＝x在R上为增函数，y2＝x2在(－∞，0)上为减函数，在（0，＋∞)上为增函数,y3＝错误!在(－∞,0），(0，＋∞）上为减函数．

问题3：判断它们导函数的正负．

提示：y1′＝1>0；y2′＝2x，

当x〉0时，y2′〉0,

当x〈0时,y2′<0，y3′＝－错误!〈0.

问题4：由问题2、3试探讨函数的单调性与其导函数正负的关系．

提示：当f′(x）>0时，f（x）为增函数，当f′(x)<0时，f(x）为减函数． 学必求其心得，业必贵于专精

问题5:试用y＝ex，y＝e－x说明函数的单调性与其导函数正负的关系．

提示：y＝ex的导函数y′＝ex>0,所以y＝ex在R上为增函数,y＝e－x的导函数y′＝－e－x〈0，所以y＝e－x在R上为减函数．

一般地，在区间（a，b）内函数的单调性与导数有如下关系

导数 函数的单调性

f′（x)＞0 单调递增

f′(x)＜0 单调递减

f′(x）＝0 常数函数

1．函数的单调性与导数的关系可以利用导数的几何意义解释，导数大于零,切线的斜率大于零，函数单调增加；即该函数是增函数；反之，函数为减函数．

2．在某个区间内f′（x)>0（f′(x）<0）是函数在此区间内为增学必求其心得，业必贵于专精

（减）函数的充分条件，而不是必要条件，若出现个别点的导数为零,不影响函数在该区间上的单调性．如f(x）＝x3,f′（0）＝0，而f(x）＝x3在R上是增函数．

错误!

判断或证明函数的单调性

[例1] 求证函数f（x）＝sin x＋tan x在错误!内为增函数．

[思路点拨］ 先利用求导法则求出导数f′(x）,再证明f′(x）在错误!内恒正，得出结论．

［精解详析］ ∵函数f（x）＝sin x＋tan x在错误!内恒有意义，且f′(x)＝(sin x)′＋（tan x）′

＝cos x＋错误!

＝cos x＋错误!＝错误!。

又∵x∈错误!,

∴0

∴f′(x)〉0，

∴y＝f(x）在错误!内为增函数． 学必求其心得，业必贵于专精

[一点通]

用导数判断函数y＝f(x）在区间（a，b）内单调递增（减）的步骤：

(1)求出y＝f(x）的导数f′(x）;

(2）证明导数y＝f′（x）在区间（a，b)内恒正(恒负）；

（3）下结论y＝f（x）在区间（a，b)内为增函数（减函数)．

1．已知函数y＝f（x），x∈[0，2π]的导函数y＝f′（x)的图像如图所示,则y＝f（x）的单调增区间为________．

解析：根据f′（x)〉0,函数f（x)单调递增，

f′(x)<0时，f′(x）单调递减，

由图得到x∈［0,π]时，f′（x）>0,

故y＝f（x)的单调增区间为(0，π)．

答案：（0，π)

2．讨论下列函数的单调性：

(1）f(x)＝x3＋ax；

(2)f(x）＝ax－a－x（a〉0且a≠1)．

解：(1)f′（x)＝3x2＋a. 学必求其心得，业必贵于专精

①当a≥0时，f′(x)≥0,函数f（x)单调递增．

②当a〈0时,f′（x）＝3(x＋错误!)(x－错误!）．易知当x≤－错误!时，f′(x）≥0，函数f（x）单调递增．

当－错误!

当x≥错误!时，f′（x)≥0,函数f(x）单调递增．

(2）∵函数f（x）的定义域为R，

∴f′（x)＝axln a＋a－xln a＝(ax＋a－x）ln a.

∴当a>1时,ln a>0,ax＋a－x〉0,∴f′(x)〉0,

∴函数f(x）在（－∞,＋∞）上是增函数．

当0

∴f′（x)〈0，

∴函数f（x)在（－∞，＋∞）上是减函数。

求函数的单调区间

[例2] 求下列函数的单调区间．

(1）f（x)＝x4－2x2＋3；

（2）f（x）＝3x2－2ln x；

(3）f（x)＝x＋错误!（b〉0)． 学必求其心得，业必贵于专精

[思路点拨］ 先确定定义域,再求导数f′（x)．令f′(x)〉0或f′（x）〈0求得单调区间．

[精解详析］ （1)函数f（x）的定义域为R.

f′(x）＝4x3－4x＝4x（x2－1）＝4x（x＋1)(x－1)．

令f′(x)>0，则4x（x＋1）（x－1）〉0，

解得－11，

∴函数f(x)的单调递增区间为(－1,0)和(1,＋∞)，

令f′（x）〈0，则4x（x＋1)（x－1）<0。

解得x〈－1或0〈x<1。

∴函数f(x）的单调递减区间为（－∞，－1)和(0，1）．

(2）函数的定义域为(0，＋∞)．

∵f′(x）＝6x－错误!＝错误!＝错误!，

又∵x＞0,∴令f′(x)＜0，得0＜x＜错误!.

令f′（x）＞0，得x＞错误!。

所以函数f(x）＝3x2－2ln x的单调递增区间为

错误!，单调递减区间为错误!。

（3)函数的定义域为｛x|x≠0}．

f′(x）＝错误!′＝1－错误!＝错误!(x＋错误!)（x－错误!)．

令f′（x）>0，则错误!（x＋错误!）(x－错误!)〉0。 学必求其心得，业必贵于专精

解之得x〉错误!或x<－错误!.

∴函数的单调递增区间为（－∞，－b)和（错误!，＋∞）．

令f′(x)〈0，则1x2（x＋错误!）(x－错误!）<0，

解得－b〈x

∴函数的单调递减区间为(－错误!,0)和(0，错误!)．

［一点通]

求函数单调区间的步骤和方法：

（1）确定函数f（x）的定义域；

（2）求导函数f′(x)；

(3）令f′（x)＞0，求得的区间再与定义域取交集后所得区间为函数f（x)的单调递增区间;

(4）令f′(x）＜0，求得的区间再与定义域取交集后所得区间为函数f(x)的单调递减区间．

3．若函数f(x)＝x2－2x－4ln x，则函数f(x）的单调递增区间为________．

解析：由已知f（x）的定义域为(0，＋∞),f′（x)＝2x－2－错误!＝错误!，由f′（x)>0得x2－x－2>0，解得x<－1或x〉2，又x〉0，学必求其心得，业必贵于专精

所以函数f(x）的单调递增区间为（2，＋∞)．

答案：(2，＋∞）

4．已知函数f(x）＝错误!(k为常数，e是自然对数的底数），曲线y＝f（x）在点(1,f(1）)处的切线与x轴平行．

（1）求k的值；

(2)求f（x）的单调区间．

解:(1）由f（x）＝错误!，

得f′（x)＝错误!，x∈（0，＋∞),

由于曲线y＝f(x）在点（1，f(1））处的切线与x轴平行，

所以f′（1）＝0,因此k＝1.

(2)由(1）得f′(x）＝错误!(1－x－xln x)，x∈（0,＋∞),

令h(x）＝1－x－xln x，x∈(0，＋∞)，

当x∈（0，1)时，h(x)>0；当x∈(1,＋∞)时,h(x）〈0。

又ex>0，所以当x∈(0，1）时，f′(x)〉0；

当x∈(1，＋∞)时，f′(x)〈0.

因此f(x）的单调递增区间为（0，1），

单调递减区间为(1，＋∞）。

利用单调性求参数学必求其心得，业必贵于专精

的取值范围

[例3] 已知函数f（x）＝x2＋错误!（x≠0，常数a∈R）．若函数f(x)在x∈[2,＋∞)上是单调递增的,求a的取值范围．

[思路点拨] 先对函数求导，把问题转化为f′(x）≥0在[2，＋∞）上恒成立问题．

［精解详析] f′(x)＝2x－ax2＝错误!。

要使f（x)在[2，＋∞)上是单调递增的．

则f′（x）≥0在x∈［2，＋∞）时恒成立，

即错误!≥0在x∈［2，＋∞)时恒成立．

∵x2＞0，∴2x3－a≥0，

∴a≤2x3在x∈［2，＋∞）上恒成立．

∴a≤(2x3）min。

∵x∈［2,＋∞），y＝2x3是单调递增的,

∴（2x3)min＝2×23＝16，∴a≤16。

当a＝16时，f′（x）＝错误!≥0（x∈［2，＋∞))恒成立，有且只有f′（2）＝0,满足f(x)在［2，＋∞）上单调递增．

∴a的取值范围是a≤16。

［一点通］ 学必求其心得，业必贵于专精

（1）已知函数的单调性求参数的范围，是一种非常重要的题型，若函数f(x)在某个区间上单调递增，则f′（x）≥0在该区间上恒成立；若函数f（x）在某个区间上单调递减，则f′(x)≤0在该区间上恒成立．

（2）两个非常重要的转化,即

m≥f(x）恒成立⇔m≥f(x）max;

m≤f（x）恒成立⇔m≤f(x)min.

5．若f（x）＝－错误!（x－2)2＋bln x在（1，＋∞）上是减函数,则b的取值范围是________．

解析：由题意可知f′（x）＝－（x－2）＋错误!≤0在(1,＋∞)上恒成立，即b≤x(x－2)在x∈（1，＋∞）上恒成立,由于φ(x)＝x（x－2)＝x2－2x(x∈(1，＋∞）)的值域是(－1，＋∞），故只要b≤－1即可．

答案：（－∞，－1］

6．若函数f(x）＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是________．

解析：f′（x)＝3x2＋2x＋m，由于f(x）是R上的单调函数,所以f′（x)≥0恒成立或f′(x）≤0恒成立．