二元一次不等式（组）与平面区域
【要点梳理】
要点一：二元一次不等式（组）的定义
1.二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做二元一次不等式.
2.二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组.
3.二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式（组）的x和y的取值构成有序实数对(,)xy，所有这样的有序实数对(,)xy构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集.
要点诠释：注意不等式（组）未知数的最高次数.
要点二：二元一次不等式（组）表示平面区域
二元一次不等式（组）的解集与平面直角坐标系内的点之间的关系：
二元一次不等式（组）的解集是有序实数对，而点的坐标也是有序实数对，因此，有序实数对就可以看成是平面内点的坐标，因此，二元一次不等式（组）的解集就可以看成是直角坐标系内的点构成的集合.
二元一次不等式所表示的平面区域：
在平面直角坐标系中，直线:0lAxByC将平面分成两部分，平面内的点分为三类：
①直线l上的点（x，y）的坐标满足：0CByAx；
②直线l一侧的平面区域内的点（x，y）的坐标满足：0CByAx；
③直线l另一侧的平面区域内的点（x，y）的坐标满足：0AxByC.
即二元一次不等式0AxByC或0AxByC在平面直角坐标系中表示直线0AxByC的某一侧所有点组成的平面区域，直线0AxByC叫做这两个区域的边界，（虚线表示区域不包括边界直线，实线表示区域包括边界直线）.
要点三：二元一次不等式表示哪个平面区域的确定
二元一次不等式表示的平面区域
由于对在直线0AxByC同一侧的所有点(,)xy，把它的坐标(,)xy代入AxByC，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点00(,)xy，从00AxByC的正负即可判断0AxByC表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当0C时，常把原点作为此特殊点）
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3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题
3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域
从容说课
本节课先由师生共同分析日常生活中的实际问题来引出二元一次不等式（组）的一些基本概念，由一元一次不等式组的解集可以表示为数轴上的区间，引出问题：在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形？再从一个具体的一元二次不等式入手，分析得出一般的一元二次不等式表示的区域及确定的方法，以此激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度.通过具体例题的分析和求解，在这些例题中设置思考项，让学生探究，层层铺设，以便让学生深刻理解一元二次不等式表示的区域的概念，有利于二元一次不等式（组）与平面区域的教学.讲述完一元二次不等式表示的区域和二元一次不等式（组）与平面区域后，再回归到先前的具体实例，总结一元二次不等式表示的区域的概念和二元一次不等式（组）与平面区域，得出二元一次不等式（组）与平面区域两者之间的联系，再辅以新的例题巩固.整个教学过程，探究二元一次不等式（组）的概念，一元二次不等式表示的区域和二元一次不等式（组）与平面区域的联系.得出一元二次不等式表示的区域和二元一次不等式（组）与平面区域的步骤和过程，并及时加以巩固，同时让学生体验数学的奥秘与数学美，激发学生的学习兴趣.
教学重点 会求二元一次不等式（组）表示平面的区域.
教学难点 如何把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答.
课时安排 2课时
三维目标
一、知识与技能
1.使学生了解并会用二元一次不等式表示平面区域以及用二元一次不等式组表示平面区域；
2.能画出二元一次不等式（组）所表示的平面区域.
二、过程与方法
1.培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想；
2.提高学生“建模”和解决实际问题的能力；
3.本节新课讲授分为五步（思考、尝试、猜想、证明、归纳）来进行，目的是为了分散难点，层层递进，突出重点，只要学生对旧知识掌握较好，完全有可能由学生主动去探求新知，得出结论.
《二元一次不等式（组）与平面区域》教案
一、教学目标
（1）知识与技能：了解二元一次不等式组的相关概念，并能画出二元一次不等式（组）来表示的平面区域.
（2）过程与方法：本节课首先借助一个实例提出二元一次不等式组的相关概念，通过例子说明如何用二元一次不等式（组）来表示的平面区域.始终渗透“直线定界，特殊点定域”的思想，帮助学生用集合的观点和语言来分析和描述结合图形的问题，使问题更清晰和准确.教学中也特别提醒学生注意0(0)AxByC++>
（3）情感与价值：培养学生数形结合、化归、集合的数学思想.
二、教学重、难点
重点：灵活运用二元一次不等式（组）来表示的平面区域.
难点：如何确定不等式0(0)AxByC++>
三、教学过程
（一）引例：一家银行的信贷部计划年初投入25000000元用于企业和个人贷款，希望这笔贷款至少可带来30000元的收益，其中从企业贷款中获益12﹪，从个人贷款中获益10﹪.那么，信贷部应如何分配资金呢？
提问：
1．这个问题中从在一些不等关系，我们应该用什么不等式模型来刻画它们呢？
2．设用于企业贷款的资金为x元，用于个人贷款的资金为y元，由于总资金为25000000元，得到：25000000xy+? ①
3．由于计划从企业贷款中获益12％，从个人贷款中获益10％，共创收30000元以上，
所以(12)(10)3000000xy+?
4．企业和个人贷款不能为负，所以
解:分析题意,我们可得到以下式子25000000,12103000000,0,0.xyxyxyì+?ïïï+?íïï吵ïïî
（二）概念
1.二元一次不等式： 2.我们把含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式称为二元一次不等式.
我们把由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组.
3．满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数对(x,y),所有这样的有序数对(x,y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集.
§4 简单线性规划
第1课时 二元一次不等式（组）与平面区域
知能目标解读
1.明确二元一次不等式及二元一次不等式组的概念.
2.理解二元一次不等式的解集的几何意义是平面内一个区域.
3.掌握二元一次不等式（组）所表示的平面区域的画法，特别是边界为实线还是虚线的确定.
4.能解决与平面区域有关的一些问题，如平面区域的面积、整点个数等问题.
5.能从实际情境中抽象出二元不等式（组），并会用平面区域表示此不等式组.
重点难点点拨
重点：从实际问题中抽象出二元一次不等式.探索二元一次不等式（组）表示的平面区域及其画图.
难点：怎样确定不等式Ax+By+C＞0（或＜0）表示直线Ax+By+C=0的哪一侧区域.
学习方法指导
1.二元一次不等式（组）的解集
二元一次不等式（组）的解集是指满足此二元一次不等式（组）的变量x和y的取值所构成的有序数对（x，y）的集合.
有序数对可以看成直角坐标平面内点的坐标.于是，二元一次不等式（组）的解集就可以看成直角坐标系内的点的集合.这种对应思想，为我们下面用平面区域表示二元一次不等式做好理论上的铺垫.
2.二元一次不等式（组）表示的平面区域
通过上面的分析，用有序数对表示二元一次不等式（组）的解集，就构成二元一次不等式（组）与直角坐标平面内某个平面区域的一一对应关系.
我们知道，坐标平面内的一条直线Ax+By+C=0把整个平面分成三部分，即直线两侧的点集及直线上的点集，它们构成不同的平面区域.
把平面内的任一点的坐标（x,y）代入三项式Ax+By+C，得到一个实数，或大于0，或等于0，或小于0.
在直线Ax+By+C=0上的点，使Ax+By+C的值都为0；在直线同侧的点使Ax+By+C的符号都相同.根据这一点，我们可以用Ax+By+C＞0或Ax+By+C＜0判断代表直线的哪一侧.其方法是：在直线的一侧任取一点（x0,y0），若Ax0+By0+C＜0,则Ax+By+C＜0表示这点所在的一侧；若Ax0+By0+C＞0，则Ax+By+C＜0表示这点所在直线的一侧的相反一侧.如果C≠0，我们一般取原点（0，0）作为测试点.简称为直线定界，特殊点定域.
