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二元一次不等式(组)与平面区域

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§3.3.1二元一次不等式（组）与

平面区域（1）

学习目标

1．了解二元一次不等式的几何意义和什么是边界，会用二元一次不等式组表示平面区域；

2．经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程，提高数学建模的能力.

学习过程

一、课前准备

复习1：一元二次不等式的定义_______________二元一次不等式定义________________________二元一次不等式组的定义_____________________

复习2：解下列不等式：

（1）210x； （2）2232041590xxxx .

二、新课导学

※ 学习探究

探究1：一元一次不等式（组）的解集可以表示为数轴上的区间，例如，3040xx的解集为 . 那么，在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形呢？

探究2：你能研究：二元一次不等式6xy的解集所表示的图形吗？（怎样分析和定边界？）

从特殊到一般：

先研究具体的二元一次不等式6xy的解集所表示的图形.

如图：在平面直角坐标系内，x-y=6表示一条直线.

平面内所有的点被直线分成三类：

第一类：在直线x-y=6上的点；

第二类：在直线x-y=6左上方的区域内的点；

第三类：在直线x-y=6右下方的区域内的点.

设点1(,)Pxy是直线x-y=6上的点，选取点2(,)Axy，使它的坐标满足不等式6xy，请同学们完成以下的表格，

横坐标x

-3

-2

-1 0 1 2 3

点P的纵坐标1y

点A的纵坐标2y

并思考：

当点A与点P有相同的横坐标时，它们的纵坐标有什么关系？_______________

根据此说说，直线x-y=6左上方的坐标与不等式6xy有什么关系？______________

直线x-y=6右下方点的坐标呢？

在平面直角坐标系中，以二元一次不等式6xy的解为坐标的点都在直线x-y=6的_____；反过来，直线x-y=6左上方的点的坐标都满足不等式6xy.

因此，在平面直角坐标系中，不等式6xy表示直线x-y=6左上方的平面区域；如图:

类似的：二元一次不等式x-y>6表示直线x-y=6右下方的区域；如图:

直线叫做这两个区域的边界

结论：

1. 二元一次不等式0AxByc在平面直角坐标系中表示直线0AxByc某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）

2. 不等式中仅或不包括 ；但含“”“”包括 ； 同侧同号，异侧异号.

※ 典型例题

例1画出不等式44xy表示的平面区域.

分析：先画 ___________（用 线表示），再取 _______判断区域，即可画出．

归纳：画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法.特殊地，当0C时，常把原点作为此特殊点.

变式：画出不等式240xy表示的平面区域.

例2用平面区域表示不等式组3122yxxy的解集

归纳：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.

变式1：画出不等式(21)(4)0xyxy表示的平面区域.

变式2：由直线20xy，210xy和210xy围成的三角形区域（包括边界）用不等式可表示为 .

※ 动手试试

练1. 不等式260xy表示的区域在直线260xy的 __

练2. 画出不等式组36020xyxy表示的平面区域.

三、总结提升

※ 学习小结

由于对在直线0AxByC同一侧的所有点(,xy)，把它的坐标（,xy)代入AxByC，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点00(,)xy，从00AxByC的正负即可判断0AxByC表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）

※ 知识拓展

含绝对值不等式表示的平面区域的作法：

（1）去绝对值符号，从而把含绝对值的不等式转化为普通的二元一次不等式．

（2）一般采用分象限讨论去绝对值符号．

（3）采用对称性可避免绝对值的讨论．

（4）在方程()0fxy或不等式()0fxy中，若将xy换成()()xy，方程或不等式不变，则这个方程或不等式所表示的图形就关于()yx轴对称．

学习评价

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.

A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 不等式260xy表示的区域在直线260xy的（ ）.

A．右上方 B．右下方 C．左上方 D．左下方

2. 不等式3260xy表示的区域是（ ）.

3.不等式组36020xyxy表示的平面区域是（ ）.

4. 已知点(3,1)和(4,6)在直线320xya的两侧，则的取值范围是 .

5. 画出11xy表示的平面区域为：

课后作业

1. 用平面区域表示不等式组32326xyxxy的解集.

2. 求不等式组6003xyxyx表示平面区域的面积.

§3.3.1二元一次不等式（组）与

平面区域（2）

学习目标 1． 巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域；

2．能根据实际问题中的已知条件，找出约束条件.

学习过程

一、课前准备

复习1：画出不等式2x+y-6＜0表示的平面区域.

复习2：画出不等式组23122360xyxyx所示平面区域.

二、新课导学

※ 典型例题

例1 要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：

规格类型

钢板类型 A规格 B规格 C规格

第一种钢板 2 1 1

第二种钢板 1 2 3

今需要三种规格的成品分别为12块、15块、27块，用数学关系式和图形表示上述要求.

例2 一个化肥厂生产甲乙两种混合肥料，生产1车皮甲肥料的主要原料是磷酸盐4t，硝酸盐18t；生产1车皮乙种肥料的主要原料是磷酸盐1t，硝酸盐15t. 现库存磷酸盐10t，硝酸盐66t，在此基础上生产这两种混合肥料. 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域.

※ 动手试试

练1. 不等式组(5)()003xyxyx所表示的平面区域是什么图形？

练2. 某人准备投资 1 200万兴办一所完全中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格（以班级为单位）：

学段 班级学生人数 配备教师数 硬件建设(万元) 教师年薪(万元)

初中 45 2 26/班 2/人

高中 40 3 54/班 2/人

分别用数学关系式和图形表示上述限制条件.

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《二元一次不等式(组)与平面区域》教案

《二元一次不等式(组)与平面区域》教案

《二元一次不等式（组）与平面区域》教案

一、教学目标

（1）知识与技能：了解二元一次不等式组的相关概念，并能画出二元一次不等式（组）来表示的平面区域.

（2）过程与方法：本节课首先借助一个实例提出二元一次不等式组的相关概念，通过例子说明如何用二元一次不等式（组）来表示的平面区域.始终渗透“直线定界，特殊点定域”的思想，帮助学生用集合的观点和语言来分析和描述结合图形的问题，使问题更清晰和准确.教学中也特别提醒学生注意0(0)AxByC++>

（3）情感与价值：培养学生数形结合、化归、集合的数学思想.

二、教学重、难点

重点：灵活运用二元一次不等式（组）来表示的平面区域.

难点：如何确定不等式0(0)AxByC++>

三、教学过程

（一）引例：一家银行的信贷部计划年初投入25000000元用于企业和个人贷款，希望这笔贷款至少可带来30000元的收益，其中从企业贷款中获益12﹪，从个人贷款中获益10﹪.那么，信贷部应如何分配资金呢？

提问：

1．这个问题中从在一些不等关系，我们应该用什么不等式模型来刻画它们呢？

2．设用于企业贷款的资金为x元，用于个人贷款的资金为y元，由于总资金为25000000元，得到：25000000xy+? ①

3．由于计划从企业贷款中获益12％，从个人贷款中获益10％，共创收30000元以上，

所以(12)(10)3000000xy+?

4．企业和个人贷款不能为负，所以

解:分析题意,我们可得到以下式子25000000,12103000000,0,0.xyxyxyì+?ïïï+?íïï吵ïïî

（二）概念

1.二元一次不等式： 2.我们把含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式称为二元一次不等式.

我们把由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组.

3．满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数对(x,y),所有这样的有序数对(x,y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集.

二元一次不等式组表示平面区域

二元一次不等式组表示平面区域

二元一次不等式组表示平面区域

教学目标：

（1）理解二元一次不等式表示平面区域并能把不等式（组）所表示的平面区域画出来；

（2）把实际问题抽象化，用二元一次不等式（组）表示平面区域。

教学重点：二元一次不等式组表示的平面区域；

教学难点：寻求二元一次不等式组表示的平面区域。

教学过程：

一．情境创设：

1．二元一次不等式0CByAx（0CByAx）表示平面区域。

2．问题：二元一次不等式组表示什么？

二．数学建构及应用：

1．画出下列不等式组所表示的平面区域：

（1）2124yxxy （2）004380yxxy

2．ABC的三个顶点坐标为0,4,2,0,2,0ABC，求ABC内任一点,xy所满足的条件。

3．画出2130xyxy表示的平面区域。

三．巩固练习：

1．不等式组004312xyxy表示的平面区域中的整点有 个。

2．不等式组110220xxyxy表示的平面区域的面积是 。

3．若不等式组5002xyyax表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是 。

4．表示图中所示影阴部分表示的区域：

________________________________。

5．作出不等式1yx及1yx所表示的平面区域。

四．小结。 x A（3，3）

O y

4 4

二元一次不等式(组)与平面区域导学案

二元一次不等式(组)与平面区域导学案

5-23 §3.3.1 二元一次不等式（组）与平面区域（1）

班级 姓名

学习目标

1．了解二元一次不等式的几何意义，会用二元一次不等式组表示平面区域；

2．经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程，提高数学建模的能力.

学习过程

一、课前准备

复习1：

一元二次不等式的定义

二元一次不等式的定义

二元一次不等式组的定义

二、新课导学

※ 学习探究

探究1：一元一次不等式（组）的解集可以表示为数轴上的区间，例如，3040xx的解集为 . 那么，在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形呢？

探究2：你能研究：二元一次不等式6xy的解集所表示的图形吗？（怎样分析和定边界？）

从特殊到一般：

先研究具体的二元一次不等式6xy的解集所表示的图形.

如图：在平面直角坐标系内，6xy表示一条直线.

平面内所有的点被直线分成三类：

第一类：在直线6xy上的点；

第二类：在直线6xy左上方的区域内的点；

第三类：在直线6xy右下方的区域内的点.

设点1(,)Pxy是直线6xy上的点，选取点2(,)Axy，使它的坐标满足不等式6xy，请同学们完成以下的表格，

横坐标x -3 -2 -1 0 1 2 3

点P的纵坐标1y 点A的纵坐标2y

思考：当点A与点P有相同的横坐标时，它们的纵坐标有什么关系？根据此说说，直线6xy左上方的坐标与不等式6xy有什么关系？直线6xy右下方点的坐标呢？

在平面直角坐标系中，以二元一次不等式6xy的解为坐标的点都在直线6xy的__ ___；反过来，直线6xy左上方的点的坐标都满足不等式6xy.

23-二元一次不等式(组)与平面区域(1)

23-二元一次不等式(组)与平面区域(1)

1 3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题

3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域

教材分析

本节课是在学生学习了直线与直线方程的关系，初步了解了二元一次方程的几何意义的基础上，引领学生进一步研究二元一次不等式的几何意义，为后面学习用图解法求二元函数最值问题创造条件.使学生体会数与形的转化过程，逐步加强学生应用几何图形解决代数问题的意识．基于以上分析，在教学中应充分利用多媒体课件向学生展示代数条件与几何图形的对应关系，加强学生对问题的了解，培养学生学习数学的兴趣.

课时分配

本节内容用1课时的时间完成，主要讲解二元一次不等式（组）表示平面区域.

教学目标

重点: 用二元一次不等式（组）表示平面区域的方法.

难点：1.探究二元一次不等式所表示的平面区域的过程；

2.正确画出二元一次不等式（组）相应的平面区域.

知识点：二元一次不等式的几何意义，能准确画出二元一次不等式（组）表示平面区域.

能力点：学生在学会知识的过程中，培养学生运用数学方法解决问题的能力.

教育点：通过对新知识的构建，优化学生的思维品质.

自主探究点：通过自主探索、合作交流，增强学生对数学的情感体验，提高创新意识. 通过学生合作探究、独立思考、自由讨论、情景设置等方法帮助学生在原有经验上对新知识主动建构.

考试点：充分体会数学来源于生活，又服务于生活，培养学生的应用意识.

易错易混点：引导学生进行尝试、猜想、证明、归纳，突破本节难点.

拓展点：链接高考感悟提升.

教具准备 实物投影机和粉笔

课堂模式 基于问题驱动的一问一答式

一、复习引入

提出问题，引起思考

师：今天是什么特殊日子？

生：重阳节

师：你准备好礼物了吗？

生：没有

师：我给你们推荐一份礼物：一束鲜花！送母亲选什么花？

生:康乃馨

师:康乃馨是母亲之花，它代表了母亲对子女伟大、无私而又含蓄的爱；然后还可以选择些纯洁的百合花加以点缀，并且祝愿父母百年好合心想事成.你们满意吗?