二元一次不等式(组)表示的平面区域问题

二元一次不等式表示的平面区域教学及改进∗

●余建国 (大厂高级中学ꎬ江苏南京　２１００４４)　●李　巍 (银川市实验中学ꎬ宁夏银川　７５０００１) 摘　要:课程目标要求提高学生发现和提出问题、分析和解决问题的能力.在二元一次不等式表示的平面区域教学中ꎬ用学生最熟悉、最真实的情境ꎬ归纳中发现和提出符号问题ꎻ通过追问和不断地抽象ꎬ辅之于数学语言的转换ꎬ分析和解决问题.关键词:二元一次不等式ꎻ平面区域ꎻ发现和提出问题中图分类号:Ｏ１２２.１ 文献标识码:Ａ 文章编号:１００３￣６４０７(２０２０)０２￣００１６￣０３ «普通高中数学课程标准(２０１７年版)»(以下简称«新课标»)在“课程目标”中指出:通过高中数学课程的学习ꎬ学生能获得进一步学习以及未来发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验(简称“四基”)ꎻ提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力(简称“四能”).“四基”和“四能”是«新课标»中提出的新观念和数学教育新目标ꎬ如何实现这个目标?前不久笔者参加了在宁夏银川举办的某教学展示交流活动ꎬ观摩了“二元一次不等式表示的平面区域”展示课ꎬ在与授课教师及来至全国各地听课教师的交流中深受启发.基于新目标ꎬ笔者思考如何重新设计本节课的教学.１　展示课简录师(展示银川山川地形图):同学们ꎬ这是什么地方?生(众):不知道.师:这是我们银川市ꎬ左边是贺兰山ꎬ右边是黄河ꎬ包兰铁路穿城而过ꎬ将银川市一分为二ꎬ我们学校就在这个位置.如何描述包兰铁路和学校的位置关系呢?

图１生１:以学校位置为原点建立如图１所示的坐标系.问题１　同学们能求出包兰铁路所在直线ｌ的方程吗?(答案:５ｘ－４ｙ＋２０＝０.)教师板书直线与方程的关系ꎬ即直线ｌ上点的坐标都是方程５ｘ－４ｙ＋２０＝０的解ꎬ以方程５ｘ－４ｙ＋２０＝０的解为坐标的点都在直线ｌ上.问题２　我们学校不在铁路线上ꎬ它的坐标代入直线方程后发现什么?(答案:５ｘ－４ｙ＋２０>０.)问题３　请同学们自主探究５ｘ－４ｙ＋２０>０表示的图形.生２:不等式可变形为５ｘ－４ｙ>－２０ꎬ取点(１ꎬ０)ꎬ满足不等式ꎬ因此５ｘ－４ｙ＋２０>０表示直线ｌ的右下方区域.师:就取一个点能说明问题吗?生(众):可以多取些点.师:多取多少呢?我们用几何画板来演示.教师用几何画板演示:当点在直线５ｘ－４ｙ＋２０＝０的右下方任意移动时ꎬ５ｘ－４ｙ＋２０的值始终为正ꎬ且总结为“点动成线ꎬ线动成面”.问题４　几何画板演示就是证明吗?教师板书证明ꎬ得到结论:直线ｌ右下方的点的坐标都是不等式５ｘ－４ｙ＋２０>０的解ꎬ以不等式５ｘ－４ｙ＋２０>０的解为坐标的点都在直线ｌ的右下方.教师非常巧妙地将直线与方程的关系板书改一下即可.问题５　这个结论具有一般性吗?对于其他的二元一次不等式也成立吗?请同学们继续研究ｘ＋ｙ≤２ꎬ２ｘ－ｙ>２所表示的平面区域.问题６　你发现以上３个例子有什么共性?能得到更一般的结论吗?通过问题６的讨论得到一般性结论:一般地ꎬ不等式Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ>０(其中ＡꎬＢ不同时为０)表示直线Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０的某一侧的所有点的集合.师生总结画法及“口诀”:线定界ꎬ点定域.例题、练习及课堂总结(略).２　课后教师交流　􀅰６１􀅰中学教研(数学)２０２０年第２期

巧解“二元一次不等式表示平面区域”问题

线性规划初步是高中教材新增内容，是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支。它不单单是对直线内容的深化，更多的是与其他知识的交汇。它是高考试题命制的新亮点，近几年高考的分值在逐年增加，因而线性规划的教学在高中数学中占有相当重要的地位。而本部分内容的重点是二元一次不等式（组）表示平面区域，这个重点课题中的难点是如何确定不等式 AX+BY+C＞0表示直线AX+BY+C=0的哪一侧区域。突破难点的关键是采用适当的方法，快速准确地画出二元一次不等式表示的平面区域。教材中在解决这一问题时采用“直线定界，特殊点定域”的方法，此法在确定二元一次不等式组所表示的平面区域时，需多次检验，步骤繁多，计算繁琐，容易造成混乱。笔者在解决这一难点时采用以下方法：先将二元一次不等式模式化，再根据其对应的直线的位置定界，最后根据不等式符号定域，即：“直线定界，不等式符号定域”。具体做法是：

步骤1：将给定的二元一次不等式化为一般式：

⑴当A≠0，B∈R，C∈R时将二元一次不等式化为：

AX+BY+C＞0（A＞0）或AX+BY+C＜0（A＞0）

⑵当A=0，B≠0，C∈R时将不等式化为：

BY+C＞0（B＞0）或BY+C＜0（B＞0）

步骤2：在平面直角坐标系中画出与不等式对应的直线定界；

步骤3：⑴当A≠0时，沿直线自下而上的方向，将平面看成两个区域，即直线的左侧和右侧，如图①②③所示：

⑵当A=0时，平面区域分为上侧和下侧，如图④：

再根据步骤1中化出的一般式中不等式的符号按着：A≠0时“大右，小左”；A=0时“大上，小下”的口诀，涂出不等式表示的平面区域。举例说明如下：

例1、画出不等式y＜2x-3表示的平面区域。

解：⑴先将不等式化成一般式：2x-y-3＞0；

⑵再画出直线2x-y-3=0（画成虚线）；

⑶因不等式符号是大于号，故平面区域是直线2x-y-3=0的右侧，如图2：

《二元一次不等式（组）与平面区域》教案

一、教学目标

（1）知识与技能：了解二元一次不等式组的相关概念，并能画出二元一次不等式（组）来表示的平面区域.

（2）过程与方法：本节课首先借助一个实例提出二元一次不等式组的相关概念，通过例子说明如何用二元一次不等式（组）来表示的平面区域.始终渗透“直线定界，特殊点定域”的思想，帮助学生用集合的观点和语言来分析和描述结合图形的问题，使问题更清晰和准确.教学中也特别提醒学生注意0(0)AxByC++>

（3）情感与价值：培养学生数形结合、化归、集合的数学思想.

二、教学重、难点

重点：灵活运用二元一次不等式（组）来表示的平面区域.

难点：如何确定不等式0(0)AxByC++>

三、教学过程

（一）引例：一家银行的信贷部计划年初投入25000000元用于企业和个人贷款，希望这笔贷款至少可带来30000元的收益，其中从企业贷款中获益12﹪，从个人贷款中获益10﹪.那么，信贷部应如何分配资金呢？

提问：

1．这个问题中从在一些不等关系，我们应该用什么不等式模型来刻画它们呢？

2．设用于企业贷款的资金为x元，用于个人贷款的资金为y元，由于总资金为25000000元，得到：25000000xy+? ①

3．由于计划从企业贷款中获益12％，从个人贷款中获益10％，共创收30000元以上，

所以(12)(10)3000000xy+?

4．企业和个人贷款不能为负，所以

解:分析题意,我们可得到以下式子25000000,12103000000,0,0.xyxyxyì+?ïïï+?íïï吵ïïî

（二）概念

1.二元一次不等式： 2.我们把含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式称为二元一次不等式.

我们把由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组.

3．满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数对(x,y),所有这样的有序数对(x,y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集.

1 二元一次不等式表示平面区域说课稿

江西省永丰中学----程春民

一、教材分析

1、教材的地位和作用

本节课是高中数学必修五的内容，教学大纲对这部分内容的要求是了解二元一次不等式表示平面区域，了解线性规划的意义，并会简单的应用。这是《新大纲》中增加的新内容，不仅为传统的高中数学注入了新鲜的血液，而且给学生提供了学数学、用数学的机会，体现了新课程理念。

在此之前，学生已经学习了直线的方程，已掌握二元一次方程与平面直线的对应关系，同时也学习了数形结合的思想方法。为研究二元一次不等式与平面区域的对应关系做了准备。这一节内容，是介绍直线方程的简单应用（即简单的线性规划）的基础，起到承前启后的作用。

2、 教材的重点、难点和关键

教学重点：二元一次不等式(组)表示平面区域；

教学难点：准确画出二元一次不等式（组）表示平面区域；

关 键：理解掌握口诀“直线定界，取点定域”， “系数化正、左小右大”。

二、学生情况分析

1、对象：重点中学的高二理科学生，有一定的思维能力；

2、学情：学生前三节学习的基础上，对解析几何的理性思维能力已经有了初步形成，但存在个别差异。

3、心理：厌倦教师的单独说教，希望教师能创设便于他们进行思考探索的空间，给他们发表自己见解和表现才华的机会。

三、教学目标分析

1、知识目标：准确画出二元一次不等式（组）表示平面区域； 系统教学设计论指导

教材分析 学生分析 教学评价 教学策略 教学过程 教学目标 2 (x,y）

),(00yxPy

O xx + y – 1=0 x + y – 1=0 (x,y） ),(00yxPy

O x2、能力目标：学生在学会知识的过程中，培养学生运用数学方法解决问题的能力，会准确地阐述自己的思路和观点，着重培养学生的认知和元认知能力；

3、情感目标：通过对新知识的构建，优化学生的思维品质，通过自主探索、合作交流，增强数学的情感体验，提高创新意识。