概率计算的独立性

概率中的相关性与独⽴性

⾸先，概率中的相关性指的是线性相关，（见《概率论与数理统计》盛骤 中“协⽅差与相关系数”⼀节）。

其次，概率中的(线性)相关性与独⽴性是不等价的，独⽴=》不（线性）相关；不（线性）相关=》独⽴。

其实很好理解，相关有线性相关和⾮线性相关，在⾮线性相关的情况下，变量之间仍有联系，因此不独⽴。

（1）独⽴=》不相关，很简单，如下：

（2）不线性相关的情况，两个变量也不独⽴，可以举个反例。

X 是在-2，-1，1，2上等可能取值的随机变量，即Pr(X=?)=1/4 for all ?，E(X)=0

Y=X^2，则Pr(Y=1)=1/2，Pr(Y=4)=1/2，E(Y)=5/2

XY=X^3的分布，是在-8，-1，1，8上等可能取值的随机变量，即Pr(XY=?)=1/4 for all ?，E(XY)=0

E(XY)-EXEY=0

X与Y是不（线性）相关。

但是显然他们不是独⽴的

当然，在某些特殊的情况下，不相关可以推出独⽴，这时候不相关和独⽴等价

1. X，Y的联合分布服从⼆元⾼斯分布

2. X，Y都是两值随机变量（Bernoulli random variable）

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关注成长每一天 1 概率 样本估计总体 统计案例 独立性检验专题演练

1频率分布直方图与样本估计总体

例1．（13年广东文）（本小题满分13分）

从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：

分组（重量） [80,85) [85,90) [90,95) [95,100)

频数（个） 5 10 20

15

(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率；

(2) 用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80,85)的有几个？

(3) 在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率．

练习．（本小题满分12分）（12届惠三模）

如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出40名，将其成绩（均为整数．．．．）整理后画出的频率分布直方图如下：观察图形，回答下列问题：

(1）80~90这一组的频数、频率分别是多少？

(2)估计这次环保知识竞赛成绩的平均数、众数、中位数。（不要求写过程）

(3) 从成绩是80分以上（包括80分）的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率.

0.035

0.025

0.015

0.01

0.005 频率组距分数 40 50 60 70 80 90 100 学大教育科技（北京）有限公司

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关注成长每一天 2 2回归方程的求法与回归分析

设具有线性相关关系的两个变量x、y的一组观察值为),(iiyx，i＝1,2，„，n)，则回归直线方程y^＝a^＋b^x的系数为：1122211()()()nniiiiiinniiiixxyyxynxybxxxnx

知识点概率与统计中的事件独立性

知识点：概率与统计中的事件独立性

事件独立性是概率与统计中的一个重要概念，指的是两个或多个事件之间的发生与否互不影响、相互独立的性质。在实际问题中，对事件独立性的判断和运用是非常常见的。

一、事件独立性的定义和性质

在概率与统计中，如果两个事件A和B满足以下条件，即当事件A发生与否并不影响事件B的概率时，称事件A与B是独立事件。具体而言，事件A与B的独立性可表述为：

P(A∩B) = P(A) × P(B)

其中，P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率，P(A∩B)表示事件A与事件B同时发生的概率。

根据事件独立性的定义，可以得出以下性质：

1. 事件A与自身是独立的，即P(A∩A) = P(A) × P(A)，即事件A发生与否不影响事件A本身的概率。

2. 如果事件A与事件B独立，那么事件A的补事件与事件B也是独立的，即P(A'∩B) = P(A') × P(B)。

3. 如果事件A与事件B独立，那么事件A与事件B的补事件也独立，即P(A∩B') = P(A) × P(B')。 二、事件独立性的判断

在实际问题中，如何判断两个事件是否独立是一个重要的问题。通常可以通过以下两种方式进行判断。

1. 通过已知概率判断：如果已知事件A和事件B的概率，可以通过计算P(A∩B)和P(A) × P(B)来判断两者是否相等。如果相等，则事件A与事件B是独立的；如果不相等，则事件A与事件B不是独立的。

2. 通过条件概率判断：根据条件概率的定义，如果已知事件A和事件B的条件概率P(A|B)和P(B|A)，可以通过比较P(A|B)和P(A)以及P(B|A)和P(B)的大小关系来判断事件A与事件B的独立性。如果条件概率与边际概率相等，则事件A与事件B是独立的；如果条件概率与边际概率不相等，则事件A与事件B不是独立的。

三、事件独立性的应用

事件独立性在概率与统计中有广泛的应用，以下列举几个常见的应用场景。

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条件概率与独立性作业

1、从一批含有10件合格品，3件不合格品的产品中随机逐个抽取(不放回抽取)，用x表示直到取得合格品时的抽取次数，试求：

(1)到第二次取到合格品的概率P(x＝2)。

(2)到第三次取到合格品的概率P(x＝3)。

2、抛掷两颗质量均匀的骰子各一次：

(1)向上的点数之和为7时，其中有一个的点数是2的概率是多少？

(2)向上的点数不相同时，其中有一个点数是4的概率是多少？

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3、根据气象资料可知道一年中雨天的比例，其中甲市雨天占20%，乙市雨天占18%，两地同时下雨占12%，若已知甲市出现雨天，求乙市出现雨天的概率。

4、某射手第一次射中靶的概率为，若他第一次射击射中靶，再进行第二次射击，在两次发射的情况下，两次靶均被击中的概率为0.5，求射中第一靶后再射中第二靶的概率。

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七色光国际教育集团 咨询电话：4675336-609 - 3 - 5、设某种动物由出生而活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，问现为20岁的这种动物活到25岁的概率是多少？