正确使用一元二次方程的根的判别式Δ

一元二次方程的解的唯一性判断

一元二次方程是一种常见的代数方程形式，其一般形式为ax^2 + bx

+ c = 0，其中a、b、c为已知系数，且a≠0。解一元二次方程的过程中，需要判断该方程的解是否存在以及解的唯一性。本文将探讨一元二次方程解的唯一性判断方法。

解一元二次方程的过程包括四个步骤：整理方程、求解判别式、判断解的情况、求解解的具体值。本文主要聚焦于解的唯一性判断，即判断方程的解是否存在且解是否唯一。

在解的唯一性判断时，首先需要求解一元二次方程的判别式Δ（delta）= b^2 - 4ac。判别式是判断一元二次方程解的关键指标。

判别式Δ大于0时，表示方程有两个不相等的实数根。当判别式大于0时，方程的解存在且唯一，解的形式为x1 = (-b + √Δ) / 2a，x2 = (-b - √Δ) / 2a。其中，√Δ表示判别式的平方根。

判别式Δ小于0时，表示方程无实数根，只有复数解。当判别式小于0时，方程的解不存在实数解。

判别式Δ等于0时，表示方程有两个相等的实数根。当判别式等于0时，方程的解存在且重根，解的形式为x = -b / 2a。

通过求解一元二次方程的判别式Δ，可判断方程的解的唯一性。若Δ大于0，则方程有两个不相等的实数解；若Δ小于0，则方程无实数解；若Δ等于0，则方程有两个相等的实数解。 例如，考虑求解方程2x^2 - 5x + 2 = 0的解的唯一性。首先计算判别式Δ = (-5)^2 - 4(2)(2) = 25 - 16 = 9。由于Δ大于0，根据上述判断条件，可知该方程存在两个不相等的实数解。

进一步计算解的具体值，根据公式x1 = (-b + √Δ) / 2a和x2 = (-b -

√Δ) / 2a，代入已知系数，可得x1 = (5 + √9) / 4 = 1和x2 = (5 - √9) / 4 =

0.5。因此，该方程的解的唯一性得到证明。

总结来说，一元二次方程的解的唯一性可以通过求解判别式Δ来判断。若Δ大于0，方程存在两个不相等的实数解；若Δ小于0，方程无实数解；若Δ等于0，方程有两个相等的实数解。通过判断方程解的唯一性，可以更好地理解和求解一元二次方程的解。

2023年初高中衔接素养提升专题讲义

第三讲 一元二次方程根的判别式与韦达定理（精讲）（解析版）

【知识点透析】

1、一元二次根的判别式

一元二次方程2

0 (0)axbxca

，用配方法将其变形为：2

2

24

()

24bbac

x

aa



，把

2

4bac

叫做一元二次方程2

0 (0)axbxca

的根的判别式，表示为：

2

4bac

(1) 当Δ=2

40bac

时，方程有两个不相等的实数根：2

4

2bbac

x

a



(2) 当Δ=2

40bac

时，因此，方程有两个相等的实数根：

1,2

2b

x

a

(3) 当Δ=2

40bac

时，因此，方程没有实数根．

【知识点精讲】

【例1】已知关于x

的一元二次方程2

320xxk

，根据下列条件，分别求出k

的范围：

(1) 方程有两个不相等的实数根；(2) 方程有两个相等的实数根

(3)方程有实数根；(4) 方程无实数根．

【解析】：2

(2)43412kk

(1) 1

4120

3kk

；

(2) 1

4120

3kk

；

(3) 1

4120

3kk

；

(4) 1

4120

3kk

．

【变式1】（（2022秋·重庆开州·八年级统考期中）使得关于x的不等式组

6𝑥―𝑎≥―10

―1+1

2𝑥<―1

8𝑥+3

2

有且只有4个整数解，且关于x的一元二次方程(𝑎―5)𝑥2

+4𝑥+1=0

有实数根的所有整数a的值之和为（

）

A．35B．30C．26D．21

【答案】B

【分析】先求出不等式组的解集，根据有且只有4个整数解可确定a

的取值范围，再通过根

的判别式确定a

的取值范围，最后结合两个取值范围找出满足条件的整数相加即可．

【详解】解：整理不等式组得：6x

―a

≥―10①

―8

+4x

<―x

+12②

由①得：x

≥a―10

6，由②得：x

<4

∵不等式组有且只有4个整数解，

∴不等式组的4个整数解是：3，2，1，0，

∴―1

6≤0

，

解得：4

≤10

，

∵(a

―5)

x2

+4x

+1

- 1 - 一元二次方程根的判别式应用探讨

一元二次方程，就是只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程，其一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0）。在系数a≠0的情况下，Δ=b2－4ac>0时，方程有2个不相等的实数根；Δ=b2－4ac =0时，方程有两个相等的实数根；Δ=b2－4ac <0时，方程无实数根。反之，若方程有2个不相等的实数根，则Δ=b2－4ac>0；若方程有两个相等的实数根，则Δ=b2－4ac =0；若无实数根，则Δ=b2－4ac <0。

因此，Δ=b2－4ac称为一元二次方程根的判别式。

根的判别式b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，解题过程中要注意隐含条件a≠0。使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。

一元二次方程根的判别式在初中数学中有着广泛的应用，也是中考必考内容，并占有一定的份量。将其应用归纳为直接应用和综合应用两方面，直接应用包括①不解一元二次方程，判断（证明）根的情况、②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围、③限制一元二次方程的根与系数关系的应用；综合应用包括④判断二次三项式是完全平方式时的待定系数、⑤判断双曲线与直线的公共点个数、⑥判断抛物线与直线（含x轴）的公共点个数。下面通过近年全国各地中考的实例探讨其应用。

一.不解一元二次方程，判断（证明）根的情况：

例1：（2012广西河池3分）一元二次方程2x2x20++=的根的情况是【 】

A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根

C．只有一个实数根 D．无实数根

练习题：

1（2012广东珠海6分）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0．

（1）当m=3时，判断方程的根的情况；

（2）当m=﹣3时，求方程的根。

2. （2011福建福州4分）一元二次方程x（x﹣2）=0根的情况是 【 】

- 1 - 【2013年中考攻略】专题3：一元二次方程根的判别式应用探讨

一元二次方程，就是只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程，其一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0）。在系数a≠0的情况下，Δ=b2－4ac>0时，方程有2个不相等的实数根；Δ=b2－4ac =0时，方程有两个相等的实数根；Δ=b2－4ac <0时，方程无实数根。反之，若方程有2个不相等的实数根，则Δ=b2－4ac>0；若方程有两个相等的实数根，则Δ=b2－4ac =0；若无实数根，则Δ=b2－4ac <0。

因此，Δ=b2－4ac称为一元二次方程根的判别式。

根的判别式b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，解题过程中要注意隐含条件a≠0。使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。

一元二次方程根的判别式在初中数学中有着广泛的应用，也是中考必考内容，并占有一定的份量。锦元数学工作室将其应用归纳为直接应用和综合应用两方面，直接应用包括①不解一元二次方程，判断（证明）根的情况、②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围、③限制一元二次方程的根与系数关系的应用；综合应用包括④判断二次三项式是完全平方式时的待定系数、⑤判断双曲线与直线的公共点个数、⑥判断抛物线与直线（含x轴）的公共点个数。下面通过近年全国各地中考的实例探讨其应用。

一.不解一元二次方程，判断（证明）根的情况：

典型例题：

例1：（2012广西河池3分）一元二次方程2x2x20++=的根的情况是【 】

A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根

C．只有一个实数根 D．无实数根

【答案】D。

【考点】一元二次方程根的判别式。

【分析】∵2x2x20++=中，a=1，b=2，c=2，

∴△22b4ac=2412=40<。