一元二次方程的根的判别式练习题
一、填空题
1.若方程ax2+bx+c=0（a≠0），则根的判别式为_________;当_________时,方程有两个不相等的实数根,当_______时,方程有两个相等的实数根,则_______时,方程无实数根.
2.利用根的判别式,判断方程根的情况,首先将方程(x-2)(x-5)-16=0化成一般形式是_________,再代入判别式为_________,则方程根的情况___________.
3.不解方程,判断方程根的情况:
(1) 4p(p-1)-3=0.△_________,则方程____________:
(2) △_________,则方程__________________.
(3) △___________,则方程_________________.
4.当k_________时,方程x2-2(k+1)x+(k2-2)=0有两个不相等的实数根.
5.当m________时,方程x2-(m+1)x+4=0有两个相等的实数根.
6.如果方程x2-2x+=0没有实数根,那么c的取值是__________.
二、解答题
7．已知关于x的方程（m2-2）x2-2（m+1）x+1=0有两个不相等的实数根，求m的取值范围.
8．证明关于x的方程x2+（k-1）x+（k-3）=0有两个不相等的实数根.
9．已知关于x的方程a（1-x2）+2bx+c（1+x2）=0有两个相等的实数根，且a，b，c是△ABC的三条边，判断△ABC的形状.
三、选择题
10．关于x的方程x2-2有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）.
（A）k≥0 （B）k＞0 （C）k＞-1 （D）k≥-1
11．关于x的方程mx2-mx+1=0有两个相等的实数根，则m的取值范围是（ ）.
（A）m=0 （B）m=7 （C）m=4 （D）m＞4且m≠0 12．若关于x的二次方程2x（kx-4）-x2+6=0无实数根，则k的最小整数应是（ ）.
一元二次方程根的判别式与根与系数的关系
〖知识点〗：一元二次方程根的判别式、判别式与根的个数关系、判别式与根、韦达定理及其逆定理
〖教学要求〗：
1.掌握一元二次方程根的判别式，会判断常数系数一元二次方程根的情况。对含有字母系数的由一元二次方程，会根据字母的取值范围判断根的情况，也会根据根的情况确定字母的取值范围；
2.掌握韦达定理及其简单的应用；
3.会在实数范围内把二次三项式分解因式；
4.会应用一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系分析解决一些简单的综合性问题。
内容分析
1.一元二次方程的根的判别式
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△＝b2-4ac
当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；
当△＝0时，方程有两个相等的实数根，
当△＜0时，方程没有实数根．
2.一元二次方程的根与系数的关系
(1)如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1，x2，那么abxx21，acxx21
(2)如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-P，x1x2=q x1x2=q
(3)以x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2-(x1+x2)x+x1x2=0．
x2-(x1+x2)x+x1x2=0．
3.二次三项式的因式分解(公式法)
在分解二次三项式ax2+bx+c的因式时，如果可用公式求出方程ax2+bx+c=0的两个根是x1,x2，那么ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)．
〖考查重点与常见题型〗
1.利用根的判别式判别一元二次方程根的情况，有关试题出现在选择题或填空题中，如：关于x的方程ax2－2x＋1＝0中，如果a<0，那么根的情况是（ ）
（A）有两个相等的实数根 （B）有两个不相等的实数根
（C）没有实数根 （D）不能确定
一元二次方程根的辨别式
一元二次方程根的判别式
一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 为实数，且 a ≠ 0。一元二次方程的根可以利用判别式来判别。判别式定义如下：
Δ = b^2 - 4ac
判别式 Δ 的值决定了方程的根的类型：
Δ > 0：方程有两个不相等的实根。
Δ = 0：方程有两个相等的实根。
Δ < 0：方程没有实根，有两个共轭复根。
证明：
根据一元二次方程的求根公式：
x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a
我们可以得到：
Δ > 0：b^2 - 4ac > 0，因此 √(b^2 - 4ac) 是实数，方程有两个不相等的实根。
Δ = 0：b^2 - 4ac = 0，因此 √(b^2 - 4ac) = 0，方程有两个相等的实根。
Δ < 0：b^2 - 4ac < 0，因此 √(b^2 - 4ac) 是虚数，方程有两个共轭复根。
判别式的应用
判别式在解决一元二次方程的问题中非常有用。它可以快速确定方程的根的类型，从而指导下一步的求解。例如：
确定方程的根的个数：Δ > 0 表示方程有两个实根；Δ = 0
表示方程有两个相等的实根；Δ < 0 表示方程没有实根。
求解方程的根：如果 Δ > 0，可以使用求根公式直接求出方程的两个实根。
判别二次函数的开口方向：二次函数 y = ax^2 + bx + c 的开口方向由判别式决定。Δ > 0 时开口向上，Δ < 0 时开口向下，Δ = 0 时开口水平。
注意事项
需要注意的是，判别式只能判断一元二次方程根的类型，不能直接求出方程的根。如果需要求出方程的根，还需要使用求根公式。
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7一、一元二次方程根的判别式的定义：
运用配方法解一元二次方程过程中得到2
2
24
()
24bbac
x
aa
，显然只有当
2
40bac
时，才能直接开平方得：2
24
24bbac
x
aa
.
也就是说,一元二次方程2
0(0)axbxca
只有当系数a
、b
、c
满足条件
2
40bac
时才有实数根.这里2
4bac
叫做一元二次方程根的判别式.
二、判别式与根的关系：
在实数范围内，一元二次方程2
0(0)axbxca
的根由其系数a
、b
、c
确定，
它的根的情况（是否有实数根）由2
4bac
确定.
（1）当2
40bac
时,方程有两个不相等的实数根.
（2）当2
40bac
时,方程有两个相等的实数根.
（3）当2
40bac
时,方程没有实数根.
说明:（1）用判别式去判定方程的根时,要先求出判别式的值:上述判定方法也可以反过来使
用,当方程有两个不相等的实数根时,0
;有两个相等的实数根时,0
;没有
实数根时,0
.
（2）在解一元二次方程时,一般情况下,首先要运用根的判别式2
4bac
判定方程
的根的情况(有两个不相等的实数根,有两个相等的实数根,无实数根).当
2
40bac
时,方程有两个相等的实数根(二重根),不能说方程只有一个根.一元二次方程根的判别式
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7一、不解一元二次方程，判断根的情况
【例1】不解方程，判断下列方程的根的情况：
(1)2
2340xx
(2)
2
00axbxa【例2】如果一直角三角形的三边长分别为a
、b
、c
,,那么,关于x
的方程
22
(1)2(1)0axcxbx
的根的情况是()
A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根
C.没有实数根D.无法确定
二、根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围
【例3】（1）若一元二次方程022
mxx
有实数解，则m的取值范围是（）A.1-m
B.1m
C.4m
D.
21
