一元二次方程根的判别式-

一元二次方程根的判别式与根与系数的关系

〖知识点〗：一元二次方程根的判别式、判别式与根的个数关系、判别式与根、韦达定理及其逆定理

〖教学要求〗：

1.掌握一元二次方程根的判别式，会判断常数系数一元二次方程根的情况。对含有字母系数的由一元二次方程，会根据字母的取值范围判断根的情况，也会根据根的情况确定字母的取值范围；

2.掌握韦达定理及其简单的应用；

3.会在实数范围内把二次三项式分解因式；

4.会应用一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系分析解决一些简单的综合性问题。

内容分析

1.一元二次方程的根的判别式

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△＝b2-4ac

当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；

当△＝0时，方程有两个相等的实数根，

当△＜0时，方程没有实数根．

2.一元二次方程的根与系数的关系

(1)如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1，x2，那么abxx21，acxx21

(2)如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-P，x1x2=q x1x2=q

(3)以x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2-(x1+x2)x+x1x2=0．

x2-(x1+x2)x+x1x2=0．

3.二次三项式的因式分解(公式法)

在分解二次三项式ax2+bx+c的因式时，如果可用公式求出方程ax2+bx+c=0的两个根是x1,x2，那么ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)．

〖考查重点与常见题型〗

1.利用根的判别式判别一元二次方程根的情况，有关试题出现在选择题或填空题中，如：关于x的方程ax2－2x＋1＝0中，如果a<0，那么根的情况是（ ）

（A）有两个相等的实数根 （B）有两个不相等的实数根

（C）没有实数根 （D）不能确定

17.3一元二次方程根的判别式

【知识梳理】

1.一元二次方程根的判别式

我们把24bac

叫做20(axbxca

的根的判别式，用符号

来表示。对于一元二

次方程20(axbxca

，其根的情况与判别式的关系是：

当240bac

时，方程有两个不相等的实数根；

当240bac

时，方程有两个相等的实数根；

当240bac

时，方程没有实数根.

特别的：当240bac

时，方程有两个实数根.

上述判断反过来说，也是正确的。即

当方程有两个实数根时，240bac

；

当方程有两个相等的实数根时，240bac

；

当方程没有实数根时，240bac

；

2.一元二次方程的根的判别式的应用

①不解方程判别方程根的情况，即先把方程化为一般形式，然后求出判别式24bac

的

值，最后根据

的符号来确定根的情况；

②根据一元二次方程根的情况确定方程中字母系数的取值范围，即先把方程化成一般形式并

求出它的判别式，然后根据根的情况列出判别式的方程或不等式，最后解这个不等式或方程，

但要去掉使方程二次项系数为零的字母的值。若问题中没有这个限制条件，就要对二次项系

数（含字母）是否为零进行讨论；

③证明一元二次方程根的情况,可先把原方程化为一般形式,求出根的判别式,然后用配方法

或因式分解法确定判别式的符号,并由此得出结论.

3.利用根的判别式解题时的几点注意：

①运用“

”时必须把方程化为一般式;

②不解方程判定方程的根的情况要由“

”的符号判定；

③运用判别式解题时，方程二次项系数一定不能为零；【典型例题】

例1：不解方程，判别下列方程的根的情况

（1）221150xx

（2）23226xx

（3）(1)(2)8xx

【思路分析：一元二次方程根的情况是由根的判别式的符号决定的，所以在判别方程的根的

情况时，要先把方程化为一般式，写出方程的abc、、

，计算出

的值，判断

的

符号】

【答案：（1）221150xx

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7一、一元二次方程根的判别式的定义：

运用配方法解一元二次方程过程中得到2

2

24

()

24bbac

x

aa



，显然只有当

2

40bac

时，才能直接开平方得：2

24

24bbac

x

aa



.

也就是说,一元二次方程2

0(0)axbxca

只有当系数a

、b

、c

满足条件

2

40bac

时才有实数根.这里2

4bac

叫做一元二次方程根的判别式.

二、判别式与根的关系：

在实数范围内，一元二次方程2

0(0)axbxca

的根由其系数a

、b

、c

确定，

它的根的情况（是否有实数根）由2

4bac

确定.

（1）当2

40bac

时,方程有两个不相等的实数根.

（2）当2

40bac

时,方程有两个相等的实数根.

（3）当2

40bac

时,方程没有实数根.

说明:（1）用判别式去判定方程的根时,要先求出判别式的值:上述判定方法也可以反过来使

用,当方程有两个不相等的实数根时,0

;有两个相等的实数根时,0

;没有

实数根时,0

.

（2）在解一元二次方程时,一般情况下,首先要运用根的判别式2

4bac

判定方程

的根的情况(有两个不相等的实数根,有两个相等的实数根,无实数根).当

2

40bac

时,方程有两个相等的实数根(二重根),不能说方程只有一个根.一元二次方程根的判别式

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7一、不解一元二次方程，判断根的情况

【例1】不解方程，判断下列方程的根的情况：

(1)2

2340xx

(2)

2

00axbxa【例2】如果一直角三角形的三边长分别为a

、b

、c

,,那么,关于x

的方程

22

(1)2(1)0axcxbx

的根的情况是()

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.没有实数根D.无法确定

二、根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围

【例3】（1）若一元二次方程022

mxx

有实数解，则m的取值范围是（）A.1-m

B.1m

C.4m

D.

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一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系习题课

教学目标

1 巩固复习一元二次方程根的判别式及根与系数的关系式。

2 熟练运用一元二次方程程根的判别式及根与系数的关系式解决相关问题。

2 培养学生观察分析、综合推理的能力。

教学重点

灵活运用一元二次方程程根的判别式及根与系数的关系式解决问题。

教学过程

一 复习提问：

1 关于x的一元二次方程的一般式：)0(02acbxax

2 )0(02acbxax 的根的判别式用符号“△”表示。△=acb42

△>0 方程有两个不相等的实数根；

△=0方程有两个相等的实数根；

△<0方程没有实数根。

3 设一元二次方程)0(02acbxax的两根1x，2x

ac2x1 x,ab2x1x

二 一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系式应用举例

基本应用

例1 请同学 观察方程04322xx得出结论或提出问题。（师生共同完成）

例2 请同学给方程0322mxx加一个条件确定m的值或m的取值范围。

例3 在一元二次方程022mnxx中，若m和n可在1，2，3，4，5，6中取值，请同学确定有实数根的方程。

综合应用

例4 讨论方程04)1(4)1(22xmxm的根的情况并根据下列条件确定m的

值。（1）两实数根互为倒数，（2）两实数根互为相反数，（3）两实数根中有一根为1。

例5 已知关于x的一元二次方程)0(056252pqpxx有两个相等的实数根,求证：

（1） 方程02qpxx有两个不相等的实数根。 （2） 设方程02qpxx的两个实数根是21,xx，若21xx，则3221xx。

三 小结

由学生总结一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系的应用类型及解题过程中应注意的问题。

a 一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和，两根的积与系数的关系。