高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2.8函数与方程课件

§2.6 函数与方程

1．函数的零点

(1)定义：对于函数y＝f(x)，我们把使 的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．

函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的________，也是函数y＝f(x)的图象与x轴的________．

(2)函数有零点的几个等价关系：

方程f(x)＝0有实数根

⇔函数y＝f(x)的图象与x轴

⇔函数y＝f(x) ．

由此可知，求方程f(x)＝0的实数根，就是确定函数y＝f(x)的________．一般地，对于不能用公式求根的方程f(x)＝0来说，我们可以将它与________联系起来，利用函数的性质找出零点，从而求出方程的根．

2．函数的零点存在性定理

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么，函数y＝f(x)在区间 内有零点，即存在c∈ ，使得 ，这个c也就是方程f(x)＝0的根．

3．二次函数的零点分布(即一元二次方程根的分布，见2.4节“考点梳理”5)

自查自纠

1．(1)f(x)＝0 实数根 交点的横坐标

(2)有交点 有零点 零点 函数y＝f(x)

2．f(a)·f(b)＜0 (a，b) (a，b) f(c)＝0

(2015·安徽)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )

A．y＝cosx B．y＝sinx

C．y＝lnx D．y＝x2＋1

解：y＝cosx是偶函数且有无数多个零点，y＝sinx为奇函数，y＝lnx既不是奇函数也不是偶函数，y＝x2＋1是偶函数但没有零点．故选A. 函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，1)内的零点个数是( )

A．0 B．1 C．2 D．3

解：易知函数f(x)＝2x＋x3－2单调递增，∵f(0)＝1－2＝－1＜0，f(1)＝2＋1－2＝1＞0，∴函数f(x)在区间(0，1)内零点的个数为1.故选B.

1 §2.4 幂函数与二次函数

最新考纲

考情考向分析

1.了解幂函数的概念．

2.结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝12x的图象，了解它们的变化情况．

3.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质．

4.能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题. 以幂函数的图象与性质的应用为主，常与指数函数、对数函数交汇命题；以二次函数的图象与性质的应用为主，常与方程、不等式等知识交汇命题，着重考查函数与方程、转化与化归及数形结合思想，题型一般为选择、填空题，中档难度.

1．幂函数

(1)幂函数的定义

一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．

(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较

函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝12x y＝x－1

图象

性

质 定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0}

值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0}

奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数

单调性 在R上单调递增 在(－∞，0]上单调递减；在(0，＋∞)上单调递增 在R上单调递增 在[0，＋∞)上单调递增 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减

公共点 (1,1)

2 2．二次函数的图象和性质

解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)

图象

定义域 R R

值域 4ac－b24a，＋∞ －∞，4ac－b24a

单调性 在x∈－∞，－b2a上单调递减；

在x∈－b2a，＋∞上单调递增 在x∈－∞，－b2a上单调递增；

在x∈－b2a，＋∞上单调递减

对称性 函数的图象关于直线x＝－b2a对称

概念方法微思考

1．二次函数的解析式有哪些常用形式？

提示 (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；

(2)顶点式：y＝a(x－m)2＋n(a≠0)；

第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ

第一节 函数及其表示

一、基础知识

1．函数与映射的概念

2．函数的有关概念

(1)函数的定义域、值域：

在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．

求函数定义域的策略

(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发．

(2)如果函数y＝f(x)是用表格给出，则表格中x的集合即为定义域．

(3)如果函数y＝f(x)是用图象给出，则图象在x轴上的投影所覆盖的x的集合即为定义域．

(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．

(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据.

两函数值域与对应关系相同时，两函数不一定相同．

(4)函数的表示法：表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．

3．分段函数

若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．

关于分段函数的3个注意

(1)分段函数虽然由几个部分构成，但它表示同一个函数．

(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．

(3)各段函数的定义域不可以相交．

考点一 函数的定义域 [典例] (1)(2019·长春质检)函数y＝ln1－xx＋1＋1x的定义域是( )

A．[－1,0)∪(0,1) B．[－1,0)∪(0,1]

C．(－1,0)∪(0,1] D．(－1,0)∪(0,1)

(2)已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x＋1)的定义域为( )

A．(－1,1) B.－1，－12

C．(－1,0) D.12，1

[解析] (1)由题意得 1－x>0，x＋1>0，x≠0，解得－1

所以原函数的定义域为(－1,0)∪(0,1)．

一、知识梳理

１．函数的零点

函数零点的概念

对于函数y＝f（x）（x∈D），把使f（x）＝0成立的实数x叫做函数y＝f（x）（x∈D）的零点

方程的根与函数零点的关系 方程f（x）＝0有实数根⇔函数y＝f（x）的图象与x轴有交点⇔函数y＝f（x）有零点

函数零点的存在性定理 函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，若f（a）·f（b）<0，则y＝f（x）在（a，b）内存在零点

[注意] 函数的零点是实数，而不是点；零点一定在函数的定义域内．

２．二次函数y＝ax２＋bx＋c（a＞0）的图象与零点的关系

Δ＞0 Δ＝0 Δ<0

二次函数

y＝ax２＋bx＋c

（a＞0）的图象

与x轴的交点 （x１，0），（x２，0） （x１，0） 无交点

零点个数 两个 一个 零个

常用结论

有关函数零点的结论

（１）若连续不断的函数f（x）在定义域上是单调函数，则f（x）至多有一个零点．

（２）连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．

（３）连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．

二、习题改编

１．（必修１P9２A组T５改编）函数f（x）＝ln x—错误!的零点所在的大致范围是（ ） Ａ．（１，２） Ｂ．（２，３）

Ｃ．错误!和（３，４） Ｄ．（４，＋∞）

答案：B

２．（必修１P88例１改编）f（x）＝ex＋３x的零点个数是（ ）

Ａ．0 Ｂ．１

Ｃ．２ Ｄ．３

答案：B

３．（必修１P9２A组T４改编）函数f（x）＝x错误!—错误!错误!的零点个数为 ．

答案：１

一、思考辨析

判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）

（１）函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．（ ）

（２）函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点（函数图象连续不断），则f（a）·f（b）<0．（ ）

（３）二次函数y＝ax２＋bx＋c（a≠0）在b２—４ac<0时没有零点．（ ）