《平面与平面的位置关系》教案

空间平面与平面的位置关系

1.复习和回顾平面角的有关知识.

平面中的角 二面角

定义 从一个顶点出发的两条射线所组成的图形，叫做角

图形

结构 射线—点—射线 半平面—直线—半平面

表示法 ∠AOB,∠O等 二面角α—a—β或α-AB-β

2.复习和回顾异面直线所成的角、直线和平面所成的角的定义，及其共同特征.（空间角转化为平面角）

3.观察：陡峭与否，跟山坡面与水平面所成的角大小有关，而山坡面与水平面所成的角就是两个平面所成的角.在实际生活当中，能够转化为两个平面所成角例子非常多，比如在这间教室里，谁能举出能够体现两个平面所成角的实例？（如图1，课本的开合、门或窗的开关.）从而，引出“二面角”的定义及相关内容.

二、学习新课

（一）二面角的定义

平面中的角 二面角

定义 从一个顶点出发的两条射线所组成的图形，叫做角

图形

结构 射线—点—射线 半平面—直线—半平面

表示法 ∠AOB,∠O等 二面角α—a—β或α-AB-β

（二）二面角的图示

1.画出直立式、平卧式二面角各一个，并分别给予表示.

2.在正方体中认识二面角.

（三）二面角的平面角

平面几何中的“角”可以看作是一条射线绕其端点旋转而成，它有一个旋转量，它的大小可以度量，类似地，"二面角"也可以看作是一个半平面以其棱为轴旋转而成，它也有一个旋转量，那么，二面角的大小应该怎样度量？

1.二面角的平面角的定义（课本P17）.

2.∠AOB的大小与点O在棱上的位置无关.

[说明]①平面与平面的位置关系，只有相交或平行两种情况，为了对相交平面的相互位置作进一步的探讨，有必要来研究二面角的度量问题.

②与两条异面直线所成的角、直线和平面所成的角做类比，用“平面角”去度量. A

C

B D P

③二面角的平面角的三个主要特征：角的顶点在棱上；角的两边分别在两个半平面内；角的两边分别与棱垂直.

3.二面角的平面角的范围：[0,]

第3节 空间点、直线、平面之间的位置关系

考试要求 1.理解空间直线、平面位置关系的定义；2.了解可以作为推理依据的公理和定理；3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.

知 识 梳 理

1.平面的基本性质

(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.

(2)公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.

(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

2.空间点、直线、平面之间的位置关系

直线与直线 直线与平面 平面与平面

平行关系 图形

语言

符号

语言 a∥b

a∥α α∥β

相交关系 图形

语言

符号

语言 a∩b＝A a∩α＝A α∩β＝l

独有关系 图形

语言

符号

语言 a，b是异面直线 a⊂α

3.平行公理(公理4)和等角定理

平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.

等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

4.异面直线所成的角

(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).

(2)范围：0，π2.

[常用结论与微点提醒] 1.空间中两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等或互补.

2.异面直线的判定：经过平面内一点和平面外一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线.

3.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角.

诊 断 自 测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线.( )

(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.( )

(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.( )

1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系（第一课时）

(人教A版普通高中教科书数学选择性必修第一册第一章)

一、教学目标 1.能用向量表示空间中的点、直线和平面；

2.理解平面的法向量的概念，会求法向量；

3.经历用代数运算解决几何问题的过程，提升直观想象、数学运算素养．

二、教学重难点 1. 理解用位置向量与空间中的点建立对应关系，理解一个点和一个定方向唯一确定一条

直线，一个定点和两个定方向确定一个平面，能推导出直线和平面向量表示式． 2. 理解与平面垂直的直线的方向向量是平面的法向量，从而法向量不是唯一的，清楚在

用待定系数法求法向量的坐标时，为什么只需要两个方程． 3. 重点难点：空间中的点、直线和平面的向量表示.

三、教学过程

引言：我们知道，点、直线和平面是空间的基本图形，点、线段和平面图形等是组成空间

几何体的基本元素．因此，为了用空间向量解决立体几何问题，首先要用向量表示空间中的点、

直线和平面．

1.思考空间中点、直线和平面的向量表示

问题1：如何用向量表示空间中的一个点？

追问:取空间中一个定点O为起点,空间中的向量与向量的终点间有怎样的关系？

师生活动：教师引导学生类比平面中用向量表示点．

设计意图：引发学生思考起点确定时，空间中任意一个点作为终点都可以得到一个空间向量，这种一一对应关系决定能用向量表示点P．

问题2：我们知道，空间中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直线l．如何用向

量表示直线l？

师生活动：教师在课件中给出图形，即点A和直线l的方向向量a，并向学生阐明，用

向量表示直线l，就是用点A和向量a表示直线l上的任意一点．学生观察图形，进行思

考． OP

追问：（1）P是直线l上的任意一点，由方向向量的定义可知，怎样用a来表示？

（2）假设O是空间任意一点，运用问题1中用位置向量表示点的方法，又可以怎样表示？

师生活动：教师引导学生观察、讨论、分析．

设计意图：教材第1节就给出了直线的方向向量的概念，根据空间向量数乘运算的意义，

第 1 页 共 2 页 //abab//a//ab直线与平面、平面与平面的位置关系

【知识梳理】

【直线与平面平行的判定方法和性质定理】

1．判定方法

（1）定义法：直线与平面无公共点．

（2）判定定理：

（3）其他方法：//a

2．性质定理：//aab

【平面与平面平行的判定方法和性质定理】

1．判定方法

（1）定义法：两平面无公共点．

（2）判定定理：////abababP //

（3）其他方法：aa //； ////a //

2．性质定理：//ab

//a//ab第 2 页 共 2 页 【直线与平面垂直的判定方法和性质定理】

1．判定方法

（1）用定义：如果一条直线与一个平面内的所有直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直．

（2）判定定理：abacbcAbc

a

（3）推论：//aab b

（3）性质① ab ab ② ab

【平面与平面垂直的判定方法和性质定理】

（1）定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．

（2）判定定理 aa 

（3）性质：①性质定理 laal 

② lPPAA垂足为 Al ③ lPPA PA

【转化思想】

面面平行 线面平行 线线平行

面面垂直 线面垂直 线线垂直 //ab