平面与平面之间的位置关系(附答案)
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。 1 1 平面与平面之间的位置关系
[学习目标] 1.了解直线与平面之间的三种位置关系，会用图形语言和符号语言表示.2.了解平面与平面之间的两种位置关系，会用符号语言和图形语言表示.
知识点一 直线与平面的位置关系
1.直线与平面的位置关系
位置关系 定义 图形语言 符号语言
直线在平面内 有无数个公共点
a⊂α
直线与平面相交 有且只有一个公共点
a∩α＝A
直线与平面平行 没有公共点 a∥α
2.直线与平面的位置关系的分类
(1)按公共点个数分类
有无公共点 直线和平面相交——有且只有一个公共点直线在平面内——有无数个公共点无公共点——直线和平面平行
(2)按直线是否在平面内分类
直线在平面内——所有点在平面内直线在平面外 直线与平面相交直线与平面平行
思考 “直线与平面不相交”与“直线与平面没有公共点”是相同的意义吗？
答 不是.前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况；而后者仅指直线与平面平行.
知识点二 两个平面的位置关系
位置关系 图形表示 符号表示 公共点
平面α与平面β平行
α∥β 没有公共点 。
。 2 2 平面α与平面β相交 α∩β＝l 有一条公共直线
思考 分别位于两个平行平面内的两条直线有什么位置关系？
答 这两条直线没有公共点，故它们的位置关系是平行或异面.
题型一 直线与平面的位置关系
例1 下列命题中，正确命题的个数是( )
①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；
②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；
③如果直线a，b满足a∥α，b∥α，那么a∥b；
④如果平面α的同侧有两点A，B到平面α的距离相等，那么AB∥α.
A.0 B.2 C.1 D.3
答案 C
解析 如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，
AA′∥BB′，AA′却在过BB′的平面AB′内，故命题①不正确；AA′∥平面B′C，BC⊂平面B′C，但AA′不平行于BC，故命题②不正确；AA′∥平面B′C，A′D′∥平面B′C，但AA′与A′D′相交，所以③不正确；④显然正确.故答案为C.
跟踪训练1 以下命题(其中a，b表示直线，α表示平面)，①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，b⊂α，则a∥b.其中正确命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案 A
解析 如图所示在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB∥CD，AB⊂平面ABCD，但CD⊂平面ABCD，故①错误；
A′B′∥平面ABCD，B′C′∥平面ABCD，但A′B′与B′C′相交，故②错误；
AB∥A′B′，A′B′∥平面ABCD，但AB⊂平面ABCD，故③错误；
A′B′∥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，但A′B′与BC异面，故④错误. 。
。 3 3 题型二 平面与平面的位置关系
例2 以下四个命题中，正确的命题有( )
①在平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；
②在平面α内有无数条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；
③平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧面且到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行；
④平面α内两条相交直线和平面β内两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行.
A.③④ B.②③④ C.②④ D.①④
答案 A
解析 当两个平面相交时，一个平面内有无数条直线平行于它们的交线，即平行另一个平面，所以①②错误.
跟踪训练2 两平面α，β平行，a⊂α，下列四个命题：
①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；
③直线a与β内任何一条直线都不垂直；④a与β没有公共点.
其中正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 B
解析 ①错误，a不是与β内的所有直线平行，而是与β内的无数条直线平行，有一些是异面；②正确；③错误，直线a与β内无数条直线垂直；④根据定义，a与β没有公共点，正确.
分类讨论思想
例3 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点Q是棱DD1上的动点，判断过A，Q，B1三点的截面图形的形状.
分析 决定过A，Q，B1三点的截面图形的形状的因素是动点Q，所以要对点Q的位置进行分类讨论.
解 由于点Q是线段DD1上的动点，故①当点Q与点D1重合时，截面图形为等边三角形AB1D1，如图： 。
。 4 4
②当点Q与点D重合时，截面图形为矩形AB1C1D，如图：
③当点Q不与点D，D1重合时，截面图形为等腰梯形AQRB1，如图：
1.如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的( )
A.一条直线不相交 B.两条直线不相交
C.无数条直线不相交 D.任意一条直线不相交
2.下列命题中，正确的命题是( )
A.若直线a上有无数个点不在平面α内，则a∥α
B.若a∥α，则直线a与平面α内任意一条直线都平行
C.若a⊂α，则a与α有无数个公共点
D.若a⊄α，则a与α没有公共点
3.下列命题中，正确的有( )
①平行于同一直线的两条直线平行；②平行于同一个平面的两条直线平行；③平行于同一条直线的两个平面平行；④平行于同一个平面的两个平面平行.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是( ) 。
。 5 5 A.都平行 B.都相交
C.在两个平面内 D.至少与其中一个平面平行
5.下列命题：
①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；
②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β.
其中错误命题的序号为________.
一、选择题
1.若a，b是异面直线，且a∥平面α，则b与α的位置关系是( )
A.b∥α B.相交
C.b⊂α D.b⊂α、相交或平行
2.与同一平面平行的两条直线( )
A.平行 B.相交
C.异面 D.平行、相交或异面
3.若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是( )
A.α内的所有直线均与a异面 B.α内不存在与a平行的直线
C.α内的直线均与a相交 D.直线a与平面α有公共点
4.以下四个命题：
①三个平面最多可以把空间分成八部分；
②若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，则“a与b相交”与“α与β相交”等价；
③若α∩β＝l，直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，且a∩b＝P，则P∈l；
④若n条直线中任意两条共面，则它们共面.
其中正确的是( )
A.①② B.②③ C.③④ D.①③
5.过平面外一条直线作平面的平行平面( )
A.必定可以并且只可以作一个 B.至少可以作一个
C.至多可以作一个 D.一定不能作
6.下列命题正确的是( )
①两个平面平行，这两个平面内的直线都平行；
②两个平面平行，其中一个平面内任何一条直线都平行于另一平面；
③两个平面平行，其中一个平面内一条直线和另一个平面内的无数条直线平行；
④两个平面平行，各任取两平面的一条直线，它们不相交.
A.① B.②③④ C.①②③ D.①④ 。
。 6 6 7.在长方体ABCDA1B1C1D1的六个表面与六个对角面(面AA1C1C、面ABC1D1、面ADC1B1、面BB1D1D、面A1BCD1及面A1B1CD)所在的平面中，与棱AA1平行的平面共有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
二、填空题
8.如果空间的三个平面两两相交，则下列判断正确的是________(填序号).
①不可能只有两条交线； ②必相交于一点；
③必相交于一条直线； ④必相交于三条平行线.
9.下列命题正确的是________.
①如果一条直线与一平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线垂直；②若直线a与平面α和平面β都平行，那么α∥β；③若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b一定不相交；④若两个平面α∩β＝b，a⊂α，则a与β一定相交.
10.给出下列几个说法：
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；
④过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行.
其中正确有________个.
三、解答题
11.如图，平面α、β、γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判断a与b、a与β的关系并证明你的结论.
12.如图，已知平面α∩β＝l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A∉l，B∉l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论. 。
。 7 7
当堂检测答案
1.答案 D
解析 直线a∥平面α，则a与α无公共点，与α内的直线当然均无公共点.
2.答案 C
解析 对于A，直线a与平面α有可能相交，所以A错；对于B，平面α内的直线和直线a可能平行，也可能异面，所以B错；对于D，因为直线a与平面α可能相交，此时有一个公共点，所以D错.
3.答案 B
解析 ②中，也有可能是相交或异面，故②错误；③中，存在平行于两个相交平面的交线，且不在两个平面内的直线，故③错误.
4.答案 D
解析 这条直线与两个平面的交线平行，有两种情形，其一是分别与这两个平面平行，其二是在一个平面内且平行于另一个平面，符合至少与一个平面平行.
5.答案 ①②
解析 对于①，两个平面相交，则有一条交线，也有无数多个公共点，故①错误；对于②，借助于正方体ABCD－A1B1C1D1，AB∥平面DCC1D1，B1C1∥平面AA1D1D，又AB与B1C1异面，而平面DCC1D1与平面AA1D1D相交，故②错误.
课时精练答案
一、选择题
1.答案 D
