苏教版高中数学选修2-2《复数的几何意义》教案2

1、数学教学设计的基本过程包括哪些？

答：①确立目标 ②分析内容 ③了解学生 ④设计活动 ⑤评价结果

2、数学概念（复数）教学的设计案例

一、教学目标：

知识与技能目标：

1.了解数系发展的过程,理解虚数单位i的性质，四则运算；

2. 正确对复数进行分类，掌握数集之间的从属关系；

3. 掌握复数相等的充要条件.

过程与方法目标：

1.体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用;

2.探索如何引入新数i，感知虚数单位i与实数进行四则运算的合理性;

3.在对复数的代数表示方法进行讨论的过程中，渗透分类讨论、化归等数学思想方法.

情感、态度与价值观目标：

1.初步学会运用矛盾转化，分与合，实与虚等辩证唯物主义观点看待和处理问题；

2.在经历数的概念的发展和数系扩充的过程中,感受理论体系发展的艰难，激发学生对数学的兴趣，培养他们的钻研与探索精神。

二、教学重点、难点：

教学重点：复数的概念、代数表示、分类和相等的充要条件

教学难点：数系扩充过程和方法.

三、教学方法与教学手段：

采用多媒体和黑板板书相结合，发现式、启发式与探究式等教学方法相结合．

四、教学过程设计

预习检测上课开始首先点评预习教案的预习检测部分。

请同学回答下列预习检测，并进行归纳知识点。

判断对错

①．若a=0,则z=a+ bi (a ∈ R、b ∈ R)为纯虚数； （ ） ②．若z=a +bi (a ∈ R、b ∈ R)为纯虚数,则a=0． （ ）

③. 若a，b 为实数，则 必为虚数 （ ）

④. 若b为实数，则 必为纯虚数 （ ）

⑤. 若a,为实数，b=0，则z = a一定不是复数 （ ）

板书

1.虚数单位:

引入一个新数i ，把 i 叫做虚数单位，并且规定：

第1页 共10页 第2课时 复数代数形式的加减运算及其几何意义

1.理解复数代数形式的加减运算规律.

2.复数的加减与向量的加减的关系.

重点:正确理解复数的加减运算,复数加减运算的几何意义.

难点:对比复数加减法与向量加减法的异同,从而理解复数的几何意义.

实数可以进行加减运算,并且具有丰富的运算律,其运算结果仍是实数;多项式也有相应的加减运算和运算律;对于引入的复数,其代数形式类似于一个多项式,当然它也应有加减运算,并且也有相应的运算律.

问题1:依据多项式的加法法则,得到复数加法的运算法则.

设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数,那么

(a+bi)+(c+di)= (a+c)+(b+d)i ,

很明显,两个复数的和仍然是一个确定的复数.

问题2: 复数的加法满足交换律、结合律.

即z1+z2= z2+z1 ,(z1+z2)+z3= z1+(z2+z3) .

问题3:利用向量加法讨论复数加法的几何意义

第2页 共10页 向量加法遵循平行四边形法则,在直角坐标系中从横纵坐标上分析就是横纵坐标分别相加.故复数相加就是实部与虚部分别相加得到一个新的复数.

问题4:如何理解复数的减法?

复数减法是复数加法的逆运算.向量减法遵循三角形法则,在直角坐标系中从横纵坐标上分析就是横纵坐标分别相减.故复数相减就是实部与虚部分别相减得到一个新的复数.

十八世纪末十九世纪初,著名的德国数学家高斯在证明代数基本定理“任何一元n次方程在复数集内有且仅有n个根”时,就应用并论述了卡尔丹所设想的新数,并首次引进了“复数”这个名词,把复数与平面内的点一一对应起来,创立了复平面,依赖于平面内的点或有向线段(向量)建立了复数的几何基础.这样历经300年的努力,数系从实数系到复数系的扩张才基本完成,复数才被人们广泛承认和使用.

1.设z1=3-4i,z2=-2+3i,则z1-z2在复平面内对应的点位于( ).

教学目标：

1．了解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数；了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．

2．通过建立复平面上的点与复数的一一对应关系，自主探索复数加减法的几何意义．

教学重点：

复数的几何意义,复数加减法的几何意义．

教学难点：

复数加减法的几何意义．

教学过程：

一 、问题情境

我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的，实数可以用数轴上的点来表示．那么，复数是否也能用点来表示呢？

二、学生活动

问题1 任何一个复数a＋bi都可以由一个有序实数对（a，b）惟一确定，而有序实数对（a，b）与平面直角坐标系中的点是一一对应的，那么我们怎样用平面上的点来表示复数呢？

问题2 平面直角坐标系中的点A与以原点O为起点，A为终点的向量OA是一一对应的，那么复数能用平面向量表示吗？

问题3 任何一个实数都有绝对值，它表示数轴上与这个实数对应的点到原点的距离．任何一个向量都有模，它表示向量的长度，那么相应的，我们可以给出复数的模（绝对值）的概念吗？它又有什么几何意义呢？

问题4 复数可以用复平面的向量来表示，那么，复数的加减法有什么几何意义呢？它能像向量加减法一样，用作图的方法得到吗？两个复数差的模有什么几何意义？

三、建构数学

1．复数的几何意义：在平面直角坐标系中，以复数a＋bi的实部a为横坐标，虚部b为纵坐标就确定了点Z（a，b），我们可以用点Z（a，b）来表示复数a＋bi，这就是复数的几何意义．

2．复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面．其中x轴为实轴，y轴为虚轴．实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．

3．因为复平面上的点Z（a，b）与以原点O为起点、Z为终点的向量一一对应，所以我们也可以用向量OZ来表示复数z＝a＋bi，这也是复数的几何意义．

6．复数加减法的几何意义可由向量加减法的平行四边形法则得到，两个复数差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离．同时，复数加减法的法则与平面向量加减法的坐标形式也是完全一致的．

3.1.2 复数的几何意义

1．理解复平面、实轴、虚轴等概念．(易混点)

2．掌握复数的几何意义，并能适当应用．(重点、易混点)

3．掌握复数模的定义及求模公式．

[基础·初探]

教材整理1 复平面与复数的几何意义

阅读教材P104～P105的内容，完成下列问题．

1．复平面

建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．

2．复数的几何意义

(1)复数z＝a＋bi一一对应←———→复平面内的点Z(a，b)．

(2)复数z＝a＋bi一一对应←———→平面向量OZ→.

在复平面内，复数z＝1－i对应的点的坐标为( )

A．(1，i) B．(1，－i)

C．(1,1) D．(1，－1)

【解析】 复数z＝1－i的实部为1，虚部为－1，故其对应的坐标为(1，－1)．

【答案】 D

教材整理2 复数的模

阅读教材P105“右侧”，完成下列问题．

复数z＝a＋bi(a，b∈R)，对应的向量为OZ→，则向量OZ→的模叫做复数a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|.由模的定义可知|z|＝|a＋bi|＝r＝a2＋b2(r≥0，r∈R)．

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．( )

(2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．( )

(3)复数的模一定是正实数．( )

【答案】 (1)√ (2)× (3)×

[小组合作型]

复数与复平面内点的关系

当实数m为何值时，复数z＝(m2－8m＋15)＋(m2＋3m－28)i在复平面内的对应点

(1)位于第四象限；

(2)位于x轴负半轴上；

(3)在上半平面(含实轴)．

【精彩点拨】 (1)根据实部大于0，虚部小于0，列不等式组求解

(2)根据实部小于0，虚部等于0求解．

(3)根据虚部大于或等于0求解．

【自主解答】 (1)要使点位于第四象限，需