2015龙岩市质检数学(理)试题及答案

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）

全卷满分150分，考试时间120分钟

注意事项：

1．考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上．

2．答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”．

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．2sin15cos15=

A．21 B．21 C．23 D．23

2．命题“对任意实数x[1,2]，关于x的不等式20xa恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是

A．4a B．4a C．3a D．3a

3．如图是某工厂对一批新产品长度（单位：mm）检测结果的频率分布直方图．估计这批产品的中位数为

A．20 B．25

C．22.5 D．22.75

4．已知复数(2)zaai（,aRi为虚数单位）为实数，

则20(4)axxdx的值为

A．2 B．22

C．24 D．44

5．如图所示是一个几何体的三视图，其中正视图是一个正三角形，

则这个几何体的表面积是

A．33 B．32

C． 37 D．371

6．如图，BA,分别是射线ONOM,上的两点，给出下列向量：①2OAOB；

②1123OAOB；③3143OAOB；④3145OAOB；⑤3145OAOB

若这些向量均以O为起点，则终点落在阴影区域内（包括边界）的有

A．①② B．②④ C．①③ D．③⑤

7．已知过抛物线xy122焦点的一条直线与抛物线相交于A，B两点，若14AB，则线段AB的中点到y轴的距离等于

A．1 B．2 C．3 D．4

8． 若函数1)62sin(2)(axxf)(Ra在区间2,0上有两个零点21,xx)(21xx，则0.08

0.04 0.03 0.02

35 30 25 20 15 10 长度(mm) 频率

组距

（第3题图）

（第5题图） 正视图 侧视图

俯视图 1113（第6题图） ABNMO数学试卷及试题

数学试卷及试题 2 axx21的取值范围是

A．)13,13(

B．)13,3[

C．)132,132(

D．)132,32[

9．已知函数)(xfy是R上的减函数，且函数)1(xfy的图象关于点A)0,1(对称．设动点M),(yx，若实数yx,满足不等式 0)6()248(22xyfyxf恒成立，则OMOA的取值范围是

A．),( B．]1,1[ C．]4,2[ D．]5,3[

10．定义：分子为1且分母为正整数的分数称为单位分数．我们可以把1分拆为若干个不同的单位分数之和． 如：1111236，1111124612，1111112561220，……

依此类推可得：1111111111111126123042567290110132156mn，

其中nm，*,mnN．设nymx1,1，则12xyx的最小值为

A．223 B．25 C．78 D．334

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上.

11．如右图所示的程序执行后输出的结果S为 ．

12．二项式2531()xx展开式中的常数项为 （用数字作答）.

13．已知点P在渐近线方程为034yx的双曲线)0,0(12222babyax

上，其中1F，2F分别为其左、右焦点．若12PFF的面积为16且

120PFPF，则ab的值为 ．

14．若用1,2,3,4,5,6,7这七个数字中的六个数字组成没有重复数字，且任何相邻两个数字的奇偶性不同的六位数，则这样的六位数共有 个（用数字作答）．

15．已知动点P在函数24)(xxf的图像上，定点)2,4(M，则线段PM长度的最小值是 ．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答写在答题卡相应位置，应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16.（本小题满分13分）

已知在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，(3)()()bbcacac，且B为钝角．

（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）若12a，求3bc的取值范围．

17.（本小题满分13分）

某运动队拟在2015年3月份安排5次体能测试，规定：依次测试，只需有一次测试合格就不必参加后续的测试．已知运动员小刘5次测试每次合格的概率依次构成一个公差为91的等差数列，他第一次测试合格的概率不超过94，且他直到第二次测试才合格的概率为278．

（Ⅰ）求小刘第一次参加测试就合格的概率；

（Ⅱ）在小刘参加第一、第二次测试均不合格的前提下，记小刘参加后续测试的次数为，求随机变（第11题图） 1i0SWHILE5iSSi1iiWENDPRINT SEND数学试卷及试题

数学试卷及试题 3 量的分布列和数学期望．

18.（本小题满分13分）

ABEF所如图，已知,ACBD是圆O的两条互相垂直的直径，直角梯形在平面与圆O所在平面互相垂直，其中90FABEBA，2BE，6AF，42AC，点N为线段EF中点．

（Ⅰ）求证：直线//NO平面EBC；

（Ⅱ）若点M在线段AC上，且点M在平面CEF上的射影为线段NC的中点，请求出线段AM的长．

19.（本小题满分13分）

223，其如图，已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为左、右顶点分别为12(3,0),(3,0)AA．一条不经过原点的直线lykxm：与该椭圆相交于M、N两点．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若0mk，直线1AM与2NA的斜率分别为12,kk．试问：是否存在实数，使得120kk？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

20.（本小题满分14分）

已知函数1)()(xeaxxfx（e为自然对数的底数），曲线)(xfy在))1(,1(f处的切线与直线0134eyx互相垂直.

（Ⅰ）求实数a的值；

（Ⅱ）若对任意),32(x， )12()()1(xmxfx恒成立，求实数m的取值范围；

（Ⅲ）设(1)()()()xxfxgxxee ，123112[g()g()g()g()]nnTnnnn (2,3)n．问：是否存在正常数M，对任意给定的正整数(2)nn，都有36931111nMTTTT成立？若存在，求M的最小值；若不存在，请说明理由.

21.（本小题满分14分）

本题设有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2个小题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．

（1）已知二阶矩阵21Mab),(Rba，若矩阵M属于特征值1的一个特征向量311，属于特征值3的一个特征向量112．

（Ⅰ）求实数ba,的值；

（Ⅱ）若向量35，计算5M的值．

（2）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为tytx23221（t为参数），若以原点O为极点, x轴AFDCBENO（第18题图）

（第19题图） 1A2ANOyxM数学试卷及试题

数学试卷及试题 4 正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为cos4，设M是圆C上任一点，连结OM并延长到Q，使MQOM． （Ⅰ）求点Q轨迹的直角坐标方程；

（Ⅱ）若直线l与点Q轨迹相交于BA,两点，点P的直角坐标为(0,2)，求PBPA的值． 数学试卷及试题

数学试卷及试题 5

说明：

一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分细则．

二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分50分．

1-5 ACCAD 6-10 BDBCC 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分20分．

11．15 12．10 13．7 14．288 15．32

三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16.（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）由(3)()()bbcacac

得2223bbcac，得2223bcabc

于是222cos2bcaAbc32

又(0,)A，∴6A

……………………………………………6分

（Ⅱ）∵B为钝角

于是2AC，又6A，∴03C

由正弦定理可知，12211sin2aRA

所以3bcsin3sinBC

5sin()3sin6CC13cossin22CCcos()3C

又03C， 2333C

∴3bccos()3C11,22 …………………………………………13分

17.（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）设小刘五次参加测试合格的概率依次为12344,,,,()99999pppppp，