人教版高中数学选修2-1(A版)课件：第三章 3.1 3.1.2空间向量的数乘运算 (共76张PPT)

小初高个性化辅导，助你提升学习力！ 1 高中数学选修一第3章3.1~3.3空间向量运算-知识点

1、空间向量的加法、减法、数乘及运算律都是平面向量的对应推广，规则没有变，既可以用平行四边形法则，也可以用包含目标向量的封闭图形各边依次构成的向量之和为零向量得到相关式子。

2、因为向量可以平移 ，所以，任意两个向量都是共面 向量。

3、向量的数量积：a·b=abcos。变形式：cos=baba 。

4、利用数量积求向量的模：bnam=2bnam）（=22bnbamn2am）（）（。

5、a与b平行(共线)的充要条件：存在实数λ，使得b=λa；a⊥b的充要条件：a·b=0。

6、三角形ABC中，D是BC中点，则AD=21AB+21AC。

7、给定四点O,P,A,B，其中，O,A,B为不共线的三点，且OP=xOA+yOB，则A,P,B三点共线 的充要条件是

x+y=1 .

8、空间向量基本定理：如果1e、2e与3e是不共面的向量，那么对空间中任意一个向量a，存在唯一的实数λ,μ,ν，使得a=λ1e+μ2e+ν3e。

9、对于空间任意一点O和不共线的三点A,B,C，都有OP=xOA+yOB+zOC。则点P与A,B,C四点共面 的充要条件是 x+y+z=1 .

10、空间向量的坐标表示：a=（x1，y1，z1），b=（x2，y2，z2），则①a±b=（x1±x2，y1±y2，z1±z2）；②λa=（λx1，λy1，λz1）；③a·b= x1x2+y1y2+z1z2

；④a=212121zyx。

11、空间直角坐标系中，x轴，y轴，z轴两两互相垂直 。通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面 ，分别为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面，三个坐标平面把空间划分成八 个部分。

量及其运算（2）教案 新人教A版选修2-1

教学目标：

㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律；

㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；

⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；

⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．

㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会

用联系的观点看待事物．

教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．

教学难点：应用向量解决立体几何问题．

教学方法：讨论式．

教学过程：

Ⅰ.复习引入

［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？

［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：

①用有向线段表示；

②用字母a、b等表示；

③用有向线段的起点与终点字母：AB．

［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．

［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量.

⒉向量的减法：

⒊实数与向量的积：

实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：

(1)|λa|＝|λ||a|

(2)当λ＞0时，λa与a同向；

当λ＜0时，λa与a反向；

当λ＝0时，λa＝0.

［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？

［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律

加法交换律：a＋b＝b＋a

加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）

数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb

［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本P26～P27．

第三章 空间向量与立体几何

3.1 空间向量及其运算

3.1.2 空间向量的数乘运算

A级 基础巩固

一、选择题

1．下列命题中正确的是( )

A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线．

B．向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面．

C．零向量没有确定的方向．

D．若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb.

答案：C

2．已知两非零向量e1，e2，且e1与e2不共线，设a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R，且λ2＋μ2≠0)，则( )

A．a∥e1 B．a∥e2

C．a与e1、e2共面 D．以上三种情况皆有可能

答案：C

3．若a与b不共线，且m＝a＋b，n＝a－b，p＝a，则( )

A．m，n，p共线 B．m与p共线

C．n与p共线 D．m，n，p共面

解析：由于(a＋b)＋(a－b)＝2a，即m＋n＝2p，

即p＝12m＋12n，又m与n不共线，所以m，n，p共面．

答案：D

4．下列命题中，不正确的命题个数为( )

①AB→＋BC→＋CD→＋DA→＝0；

②|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；

③若a、b共面，则a、b所在的直线在同一平面内；

④若OP→＝12OA→＋13OB→，则P、A、B三点共线．

A．1 B．2 C．3 D．4

答案：C 5.已知空间四边形OABC，其对角线为OB和AC，M，N分别是边OA，CB的中点，点G在线段MN上，且使MG＝2GN，用向量OA→，OB→，OC→表示向量OG→是(

)

A.OG→＝16OA→＋13OB→＋13OC→

B.OG→＝16OA→＋13OB→＋23OC→

C.OG→＝OA→＋23OB→＋23OC→

D.OG→＝12OA→＋23OB→＋23OC→

解析：因为MG＝2GN，M，N分别是边OA，CB的中点，

所以OG→＝OM→＋MG→＝OM→＋23MN→＝OM→＋23(MO→＋OC→＋CN→)＝13OM→＋23OC→＋13(OB→－OC→)＝16OA→＋13OB→＋13OC→.

空间向量与立体几何 单元教学设计

单元教学设计《空间向量与立体几何》

教材版本:选修2-1

第二章:空间向量与立体几何

教学年级:高二年级

一、空间向量与立体几何单元教材背景分析:

“向量”进入中学数学教材，是近几十年来国内外教学改革的一个主要特征，它是一个具有几何和代数双重身份的概念，具有特别广泛的教育价值。从六十年代的“新数”运动到七十年代末的回到基础，许多国家的数学课程都不同程度的涉及到“向量”。前苏联也曾致力于用向量、变换等来处理欧氏几何，课程安排的必学内容较少，但却安排了不少的向量知识作为必学内容。

在我国，从二十世纪七十年代以来，由国家教委组织编写的《中学数学实验教材》、人教社主编的高中《数学》试验课本，都曾在不同程度上将向量知识渗入到中学数学，用向量方法来处理传统的几何、三角等问题。在2021年制定的《中学数学教学大纲》中，除了包含必修的“平面向量”，还在“直线、平面、简单几何体”中增添了新的方案，“空间向量”在该方案中占有重要地位。2021年4月，教育部颁布了《普通高中数学课程标准实验》以下简称为《标准》，新《标准》界定了高中数学课程的教学内容，为新一轮的高中教学课程的改革指明了方向，也为日后高中数学教学的有序进行奠定了基础。

新课程标准中“平面向量”是必修4中的重要内容，是选修课程系列的主要组成部分。同时指出用空间向量处理几何问题，提供了新的视角。空间向量的引入，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具。

较之传统的方法，空间向量坐标方法更易于掌握。用传统的方法解决立体几何问题时，必须先作图，然后再求解，并且用传统方法解题时，对于不同问题往往需要“个别处理”的技巧，因此，解题的成功率相对较低。而利用空间向量的坐标运算，恰好可以成功地避免上述困难，即无需作出相应的图形角度、距离，而直接利用坐标通过计算就可以解决这些问题。相比之下，它运用起来使人觉得十分轻松自如。对于学生而言，只要掌握了空间向量的坐标运算就可以非常圆满地解决所面临的问题，其优越性是传统方法所无法比拟的。