高中“数形结合思想方法”教学渗透

浅谈高中“数形结合思想方法”的教学渗透

中图分类号： g633.6 文献标识码： c 文章编号：1672-1578（2012）11-0082-02

2012年江苏高考即将落下帷幕，各个考生怀着忐忑不安的心情期待着能取得理想的成绩，高三的老师们、家长们也都在翘首以盼，但作为中学教育工作者，在兴奋之余还需冷静思考，根据高考试题与考生的反馈情况，总结教学中的得与失。如何发挥高考题的教学功能，把握高三复习备考的方向，提高解题教学的效能，是我们不懈努力的目标。高考试题对中学教学具有辐射、导向的作用，以典型试题为载体研究解题，是数学学习中不可或缺的核心内容。

1 高考链接

（2012年高考数学江苏卷第14题）已知正数ɑ，b，c满足：5c-3ɑ≤b≤4c-ɑ，clnb≥ɑ+clnc则■的取值范围是 。

解法分析：

将第一个不等式变形为：5-■≤■≤4-■将第二个不等式移项、整理得：ln■≥■

令■=y，■=x则 ■=■=■=■表示过动点m（x，y）与原点o（0，0）的直线l的斜率k

将变形后的两个不等式组成不等式组5-3x≤y≤4-xlny≥x

在平面直角坐标系中，画出不等式组所表示的平面区域

直线y=5-3x与y=4-x的交点为q（■，■）

考察函数y=e■的过原点的切线，设切点为p（x■，y■），则y■=e■，且切线的斜率为k■=（e■）′|■=e■，又由斜率分式得k=■=■，从而e■=■，

求得：x■=1，y■=e，即切点为p（1，e）

根据函数y=e■的单调性及其切线的位置特点知：当直线l过原点o（0，0）和p（1，e）时，k取得最小值，最小值为e；又当直线l过原点o（0，0）和q（■，■）时，k取得最大值，最大值为7。

从而，e≤k≤1，即e≤■≤7。

评析：

江苏高考连续两年，数学试题的第14题，均体现了数形结合思想方法的应用，2011年的第14题，考查了线性规划知识和分类讨论的思想方法，容易由题设条件联系相关知识点和思想方法去解决问题，而2012年的第14题，考查了线性规划和导数知识，但是题目的入口狭窄，如果不能通过等价变形转化到相关知识内容，是无法完成解题的，这要求考生要有较高的思维能力，体现了高考试题的选拔功能。

数形结合思想在初中数学教学中渗透

内容提要：数形结合思想是初中课本中的基本的数学思想，在初中数学教学和解题中起着十分重要的角色。本文结合了本人的一些教学体会，讲述分析了如何充分的利用数形结合思想在教学中的运用以及去解常见数学题目，本文主要分为三个部分来分析：数转化为形，形转化为数，数形结合。使学生充分认识“数”和“形”之间的内在联系，把问题化繁为简，化难为易，使学生在学习数学知识中，充分了解和掌握数形结合这种解决问题的策略和方法。

关键字：数形结合，思想，解题

数形结合思想，就是根据数与形之间的一一对应关系，把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，优化解题途径的思想。[1]

在初中教学中经常用到数形结合思想。如有理数内容体现着数形结合思想。数轴的引入是有理数内容体现数形结合思想的一个重要方面。由于对每一个有理数，数轴上都有唯一确定的点与它对应，因此，两个有理数大小的比较，是通过这两个有理数在数轴上的对应点的位置关系进行的（实数的大小比较也是如此）。相反数、绝对值概念则是通过相应的数轴上的点与原点的位置关系来刻划的。尽管我们学习的是（有理）数，但要时刻牢记它的形（数轴上的点），通过渗透数形结合的思想方法，帮助七年级学生正确理解有理数的性质及其运算法则。 又如应用题内容隐含着数形结合思想。列方程解应用题的难点是如何根据全区第十届教育教学研究参评论文

学 科 教 学 研 究 类 题意寻找等量关系布列方程，要突破这一难点，往往就要根据题意画出相应的示意图。这里隐含着数形结合的思想方法。例如，北师大版七年级数学上册的第五章第七节课题是“能追上小明吗”，是一个研究行程问题的课题，教学中，老师必须渗透数形结合的思想方法，依据题意画出相应的示意图，才能帮助七年级学生迅速找出等量关系列出方程，从而突破难点。

2020年31期┆79 教法研究 高中数学教学中渗透数形结合思想的探究 王建邦 摘 要：数形结合思想是高中数学教学的一把利刃，它不仅能够将复杂的问题简单化、抽象的问题直观化，还能够激发学生的学习兴趣，培养学生养成良好的思维方式，帮助学生解决各种难题。本文主要阐述了数形结合思想的内涵，分析了数形结合思想的应用方法，最后重点探究了高中数学教学中数形结合思想的应用，提高高中数学的教学质量。 关键词：高中；数学；渗透；数形结合思想 在新课程改革下，数形结合思想已经成为高中数学的重要思想之一。在高中数学教学过程中，教师应该积极的渗透数形结合思想，让学生既掌握解决数学题的方法，又能从数学思想的高度增强学生学习数学的能力和乐趣，提高学生学习数学的积极性和主动性。 一、数形结合思想的内涵 数形结合的思想是贯穿高中数学教学的重要思想之一，在解析大量的代数问题时可以利用数形结合思想将复杂抽象难以理解的代数问题用清晰明了的几何图形诠释出来。数形结合的长期应用，不但可以培养学生的抽象性思维，还可以提高学生几何、代数问题的变换能力，数形结合解题实质就是将直观的几何图形与抽象的数学语言结合起来，也就是可以将代数问题和几何问题相互转化。 二、数形结合思想的应用方法 1、数变形 数形结合的思维模式不是与时俱来的，而是经过学者不断的探索和研究出来的。数和形，形和数的相互转化是相互对应的，有的数看起来比较抽象难以确定，但是该数所对应的“形”却能直观的显示出具体的思维，从而解决问题，因此可以把“数”所对应的“形”找出来，通过图形解决问题。 2、形变数 虽然图形有着直观、具体、清晰明了的特点，但是在定量计算的时候形不能代替数必须用代数的运算方式，并且还应该结合图形的形状和图形走势，找出关键的坐标点，充分利用图形的几何性质和意义。将“形”转化为“数”后根据相应的理论公式、条件等细心计算。 3、数和形的相互转化 数形相互转化是指在解决数学问题时，既要由数转为形，还要由形转为数，以数形结合的思想寻求正确的解题方法，要想提高学生的数形结合解题能力，需要老师在解题过程中认真详细的给学生讲解，并且引导学生学会运用数形结合方法，并掌握数形结合的思想。 三、高中数学教学中数形结合思想的应用 1、应用“数形结合”思想解决函数问题 函数图像是表示函数关系的一种形式，它是从“形”的方面来表示函数的变化规律。函数图像直观地显示了函数的性质，为数量关系的研究提高了有效的参考，它是解答函数问题的重要手段和工具。 例1:求函数y=x2-2x-3,xE(-1,2)的值域。 解析：所求函数为二次函数，由于函数具有非单调的特性，所以并不能代端点值去求值域，最好的解决方法就是借助图像来观察，如右图： 通过图像可以直观地看出，具有区间范围的该二次函数的图像应为黄色区域部分，此函数的最小值是在对称轴处取得，即当x=1时，y=-4。从而该函数的值域为：(0,-4)。 此类问题是学生易错类型之一，学生们习惯于直接将端点值带入得出其值域，因此对于解决给定区间上的二次函数值域问题，最重要的就是培养学生数形结合的思想，掌握解题的技巧。 2、应用“数形结合”思想解决方程问题 方程是数学中最常见的形式，在解方程的过程中，我们可以利用数形结合的思想将问题简化，或可以通过此方法来检验答案的正确性。 例2：设方程|x2-1|=k+1，试讨论k取不同范围值时其不同解的个数的情况。 分析：我们把所求问题换个说法，也就是求函数y1=|x2-1|与y2=k+1图像交点个数的情况，从图像可以直观看出:①当k<-1时，y1与y2没有交点，这时原方程无解；②当k=-1时，y1与y2有两个交点,原方程有两个不同的解；③当-10时y1与y2有两个交点，原方程不同解的个数有二个。 3、应用“数形结合”思想解决集合问题 集合的重要表示法之一就是图示法，对一些比较抽象的集合问题，在解题时若用数轴、图像或借助韦恩图等数形结合的思想解题，往往可以使问题直观化、简单化，从而简捷、直观、灵活、准确地解答集合问题。 解答有关集合的实际应用题时，首先需要将文字语言转化为集合语言，然后借助Venn图分析，结合集合的交、并、补运算处理，体现Venn图的简明、直观。 四、结论 高中数学作为高中课程的重要组成部分，在高考命运的安排中起着决定性的作用。在高中数学解题过程中，数形结合思想作为一种重要的方法，是几何问题和代数问题相互转换和联系的桥梁。教师在教学的过程中，应该不断的渗透和引导学生运用数形结合思想，让学生掌握数形结合的本质，帮助学生在解题的过程中能够灵活自觉地运用数形结合思想，提高解题的速度和能力。 （作者单位：四川省凉山州冕宁县泸沽中学校）

教学案例：高中数学中渗透数形结合的思想

高中数学中渗透数形结合的思想

摘要:在高中数学教学中，教师要引导学生运用数形结合思想分析问题、解决问题．本文对在高中数学教学中渗透数形结合思想进行研究．

关键词:数形结合思想;高中数学教学

在传统的高中数学教学中，教师往往注重学生对基础知识的掌握，忽视了对学生渗透数学思想，影响了学生思维能力的提高．数形结合思想是重要的数学思想之一，是一种运用数学数量和图形的关系，将数学问题简单化、形象性与具体化的方法．在高中数学教学中渗透数形结合思想，能培养学生思维的逻辑性与条理性，提高学生的数学综合素养，从而提高学生解决数学问题的能力．

一、帮助学生理解所学知识

高中数学概念、公式非常多．这些概念与公式是学生理解数学知识的基础．只有掌握了这些概念与公式，学生才能分析问题与解决问题，提高数学能力．有些教师在高中数学教学中只是一味地让学生机械记忆数学概念与公式，占用了学生大量的学习时间，使学生在枯燥乏味的记忆中逐渐对数学产生厌学情绪，阻碍了数学能力的提高．数学公式是数学概念与规律的符号表现形式．数学概念可以由相应的符号来体现．在高中数学教学中，利用图形，能直观地表现数学概念与公式，加深学生对数学规律的理解．在数学概念、公式的教学中，教师应该渗透数形结合思想，利用数形结合的记忆方法，促进学生对数学概念、公式等基础知识

的准确、深入、牢固地记忆与理解，使学生意识到数形结合思想在数学学习中的重要作用，并自觉地利用数形结合思想进行数学知识的学习与理解．例如，在讲“三角函数”时，有些学生对函数的变化规律记忆不准不牢，往往混淆不同角度下三角函数值的正负．为了帮助学生理解与记忆，教师可以采取数形结合的方法进行三角函数教学，要求在记忆三角函数值前先画出三角函数的图象，然后根据图象确定函数数值的正负．这样，能使学生准确记忆三角函数的特殊值，提高了学生的学习效果．