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解三角形经典例题

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解三角形经典例题

《解三角形经典例题：我的探索之旅》

我呀，在数学的海洋里遨游的时候，发现解三角形这个事儿可太有趣啦。就像探索一个神秘的宝藏世界，每一个例题都是一把打开宝藏的小钥匙呢。

比如说有这么一道经典例题。在一个三角形ABC中，已知角A = 60度，边a =

3，边b = 2。这时候呀，我们就像侦探一样，要把这个三角形的其他信息都找出来。

我当时就想，这可咋整呢？我的好朋友小明就跑过来跟我说：“你看啊，咱们不是学了正弦定理嘛，a / sinA = b / sinB呀。”我眼睛一亮，对啊。那sinB就等于b乘以sinA再除以a。把数字带进去一算，sinB = 2乘以sin60度除以3。sin60度是二分之根号三嘛，算出来sinB就等于三分之根号三。

这时候，我就有点小得意啦，想着这也不难嘛。可是呢，事情可没这么简单。因为sinB等于三分之根号三，那角B是锐角还是钝角呢？这就像走在路上遇到了两条岔路，得好好想想。

我的同桌小红就说：“你看啊，a比b大，角A是60度，那角B肯定是锐角呀。”我听了之后，就像被点醒了一样。对啊，就像大哥哥肯定比小弟弟厉害一样，大边对大角嘛。那角B就确定啦，用计算器一按就知道角B的度数了。

然后呢，角C就好求啦，三角形内角和是180度呀，角C就等于180度减去角A再减去角B。就像把一个大蛋糕分成三块，知道了两块的大小，第三块自然就知道啦。

还有一道例题也特别好玩。在三角形ABC中，已知边a = 5，边b = 7，边c =

8。这可没有角的信息了呢。

我当时就有点懵，这可怎么开始呢？小刚就凑过来说：“咱们可以用余弦定理呀。”我就想起来了，cosA = (b² + c² - a²) / (2bc)。把数字带进去，cosA = (7² + 8² - 5²) / (2乘以7乘以8)。算出来cosA = 11 / 14。那角A就可以用反三角函数求出来啦。

这时候我就想，解三角形就像玩拼图一样，每一个条件都是一块小拼图。有时候给了角的信息，有时候给了边的信息，我们就得想办法把其他的部分拼出来。

有一次呀，老师在黑板上出了一道比较难的例题。在三角形ABC中，已知角A = 45度，角B = 60度，边c = 10。这时候大家都有点犯难了。

我就开始琢磨，先求出角C呗，角C等于180度减去角A减去角B，也就是75度。然后呢，我想我可以用正弦定理来求边a和边b。

可是角C的正弦值不太好求呀。这时候，我的数学小天才朋友小辉就说：“角C =

75度，可以写成45度加30度呀，用两角和的正弦公式就能求出sinC啦。”我听了之后，觉得太妙了。sinC = sin(45度 + 30度) = sin45度cos30度 + cos45度sin30度，算出来sinC的值之后，再用正弦定理求出边a和边b就很容易啦。

解三角形的这些经典例题啊，就像一个个小挑战。有时候很顺利就解决了，就像走在平坦的大路上；有时候会遇到困难，就像爬山遇到了陡峭的坡。但是每解决一个例题，我就感觉自己又聪明了一点，就像在游戏里升了一级一样。

我觉得解三角形的乐趣就在于不断地探索和尝试。每一个例题都是独特的，就像世界上没有两片完全相同的树叶一样。而且在解决这些例题的过程中，我和小伙伴们的讨论也很有趣。大家你一言我一语，就像一群小蜜蜂在花丛中采蜜一样，每个人都贡献出自己的想法，然后就能把难题解决啦。我真的很喜欢解三角形的这些经典例题，它们让我看到了数学的神奇和美妙。我希望以后能遇到更多这样有趣的例题，让我在数学的世界里继续探索下去呢。

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高中数学解三角形专题及例题

高中数学解三角形专题及例题

课 题 解三角形专题1

教学目标 理解正玄定理、余弦定理的基本内容

会应用正玄定理、余弦定理解决有关三角形的问题

重点、难点 正玄定理、余弦定理的基本内容及其简单应用

考点及考试内容 本章中的有关三角形的一些实际问题，往往动笔计算比较复杂，象这样的问题的计算就要求大家能用计算器或电脑来帮助计算，能根据精确度的需要保留相应的位数。尽管科学技术发展很快，但必要的计算能力对于一个现代人还是有必要的，所以平时大家还要注意训练自己的运算速度与准确性，时刻注意锻炼自己的意志力。

教学内容

一、正弦定理及其证明

正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

sinsinsinabcABC

正弦定理揭示的是一般三角形中的重要边角关系，它们是解三角形的两个重要定理之一。

对于正弦定理，课本首先引导学生回忆任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系，引导学生思考是否能得到这个边、角关系准确量化表示的问题。由于涉及边角之间的数量关系，就比较自然地引导到三角函数。

在直角三角形中，边之间的比就是锐角的三角函数。研究特殊的直角三角形中的正弦，就很快证明了直角三角形中的正弦定理。分析直角三角形中的正弦定理，考察结论是否适用于锐角三角形，可以发现asinB和bsinA实际上表示了锐角三角形边AB上的高。这样，利用高的两个不同表示，就容易证明锐角三角形中的正弦定理。

钝角三角形中定理的证明要应用正弦函数的诱导钝角三角形中定理的证明要应用正弦函数的诱导公式，教科书要求学生自己通过探究来加以证明。可以考虑采用向量的知识来证明。

二、余弦定理及其证明

余弦定理 在一个三角形中，任一边的平方都等于其它两边的平方和减去这两边与其夹角的余弦的积的2倍，即

2222cosabcbcA；2222cosbacacB；2222coscababC；

余弦定理同样揭示的是一般三角形中的重要边角关系，它们是解三角形的两个重要定理之一。

解三角形之三角形的角平分线和中线问题(典型例题+跟踪训练)【解答题抢分专题】备战2023年高考数学

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专题05解三角形之三角形中线和角平分线问题

目录一览

一、梳理必备知识

二、基础知识过关

三、典型例题讲解四、解题技巧实战五、跟踪训练达标

1.正弦定理

R

Cc

Bb

Aa

2

sinsinsin.（其中R为ABC外接圆的半径）

2sin,2sin,2sin;aRAbRBcRC（边化角）

sin,sin,sin;

222abc

ABCRRR（角化边）

2.余弦定理：

222

222

222cos,

2

cos,

2

cos.

2bca

A

bc

acb

B

ac

abc

C

ab







222

222

2222cos,

2cos,

2cos.abcbcA

bacacB

cababC





3.三角形面积公式：

BacAbcCabS

ABCsin

21

sin

21

sin

21



=1

2++

为三角形ABC的内切圆半径

4.三角形内角和定理：一、梳理必备知识

在△ABC中，有()ABCCAB



2

2

2CAB222()CAB.5.

三角形中线问题

如图在ABC中，D为CB的中点，

2ADACAB

，然后再两边平方，转

化成数量关系求解！（常用）

6.角平分线

如图，在ABC

中，AD平分BAC

，角A,B,C

所对的边分别为a

，b

，c

①等面积法

ABCABDADCSSS



111

sinsinsin

22222AA

ABACAABADACAD

（常用）

②内角平分线定理：

ABAC

BDDC

或ABBD

ACDC

③边与面积的比值：ABD

ADCSAB

ACS

【常用结论】

①在ABC中，sinsin;abABAB

②sin2sin2,.

2ABABAB

则或

③在三角函数

．．．．中，sinsinABAB不成立。但在三角形

．．．中，sinsinABAB成立

1．AD是ABC

2022届高考数学解三角形综合满分突破专题八 多三角形问题(解析版)

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专题八 多三角形问题

多三角形计算问题

求解多个三角形问题的关键及思路

求解多个三角形的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到多个三角形中，

利用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换公式等建立已知和所求的关系．

具体解题思路如下：

(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；

(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．

做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，

要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题．

【例题选讲】

[例1]如图，在△ABC中，∠B＝π3，AB＝8，点D在边BC上，且CD＝2，cos∠ADC＝17．

(1)求sin∠BAD；

(2)求BD，AC的长．

解析 (1)在△ADC中，∵cos∠ADC＝17，∴sin∠ADC＝1－cos2∠ADC

＝1－

1

72＝48

49＝43

7，

则sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)＝sin∠ADC·cos∠B－cos∠ADC

·sin∠B＝437×1

2

－1

7×3

2＝33

14．

(2)在△ABD中，由正弦定理得BD＝AB·sin∠BAD

sin∠

ADB＝8×33

14

43

7＝3．

在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋CB2－2AB·BCcos B＝82＋52－2×8×5×1

2＝49，即AC＝7．

[例2] (2020·江苏)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a＝3，c＝2，B＝45°．

(1)求sinC的值；

(2)在边BC上取一点D，使得cos∠ADC＝－4

5，求tan∠DAC的值．

解析 (1)在△ABC中，因为a＝3，c＝2，B＝45°，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，

得b2＝9＋2－2×3

×2cos 45°＝5，所以b＝5． 在△ABC中，由正弦定理b

初中数学经典几何模型10-母抱子模型解直角三角形(含答案)

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初中数学经典几何模型

专题10 母抱子模型解直角三角形

【模型展示】

【中考真题】

1、如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪高AB为1.5米，求拉线CE的长（结果保留根号）．

2、如图，一垂直于地面的灯柱AB被一钢筋CD固定，CD与地面成45°夹角（∠CDB=45°），在C点上方2米处加固另一条钢线ED，ED与地面成53°夹角（∠EDB=53°），那么钢线ED的长度约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）

【精典例题】

1、如图，一艘轮船在A处时观测得小岛C在船的北偏东60°方向，轮船以40海里/时的速度向正东方向航行1.5小时到达B处，这时小岛C在船的北偏东30°方向．已知小岛C周围50海里范围内是暗礁区．

（1）求B处到小岛C的距离

（2）若轮船从B处继续向东方向航行，有无触礁危险？请说明理由．

（参考数据：≈1.73）

2、金桥学校“科技体艺节”期间，八年级数学活动小组的任务是测量学校旗杆AB的高，他们在旗杆正前方台阶上的点C处，测得旗杆顶端A的仰角为45°，朝着旗杆的方向走到台阶下的点F处，测得旗杆顶端A的仰角为60°，已知升旗台的高度BE为1米，点C距地面的高度CD为3米，台阶CF的坡角为30°，且点E、F、D在同一条直线上，求旗杆AB的高度（计算结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）

3、如图，为了测得电视塔AB的高度，在D处用高为1 m 的测角仪CD测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100 m到达F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔AB的高度(单位：m)为( C )

A．503 B．51 C．503＋1 D．101