解直角三角形的应用 分类讲解
在解直角三角形问题中，经常遇到与仰角、俯角、方位角和坡角相关的问题。本文结合中考数学试题，
对这类问题作了如下归纳，供同学们学习时参考。
1、仰角与直角三角形
例1、如图1，山顶建有一座铁塔，塔高，某人在点处测得塔底的仰角为，塔顶30mCDAC20
D
的仰角为，求此人距的水平距离．（08年南京市）23
CDAB
（参考数据：，，，，sin200.342
≈cos200.940
≈tan200.364
≈sin230.391
≈
，）cos230.921
≈tan230.424
≈
分析：正确理解仰角的意义是问题获得解答的关键。
所谓的仰角就是视线与水平线在同向上成的夹角，仰角是一
个锐角。
所以，点处测得塔底的仰角为，就是视线AC 与水平AC20
线AB成的夹角，即∠CAB=20°，
塔顶的仰角为，就是视线AD 与水平线AB成的夹角，即∠DAB=23°；D23
将已知的仰角对号入座到三角形中后，接下来就是选择合理的三角形和设合理的未知数，
通常是求什么设什么；
完成这些工作后，就是要再选择合理的三角函数，建立等式，完成问题的解答。
解：设此人距的水平距离为xm，CDAB
在直角三角形ABC中，
因为，∠CAB=20°，所以，，即，20tan
ABCB
20tan
xCB
所以，CB=xtan20°，在直角三角形ABD中，
因为，∠DAB=23°，
所以，，即，23tan
ABDB
23tan
xDB
所以，DB=xtan23°，
因为，CD=BD-BC，
所以，30= xtan23°- xtan20°，所以，x==500，
20tan
23tan30
364.0424.030
因此，此人距的水平距离为500米。CDAB
2、俯角与直角三角形
例2、汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去A、B两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的P点，测
得A村的俯角为30
，B村的俯角为60
，如图3．求A、B两个村庄间的距离．（结果精确到米，参考数
板块一 解直角三角形
一、解直角三角形的概念
根据直角三角形中已知的量（边、角）来求解未知的量（边、角）的过程就是解直角三角形.
二、直角三角形的边角关系
如图，直角三角形的边角关系可以从以下几个方面加以归纳：
⑴ 三边之间的关系：222abc (勾股定理)；
⑵ 锐角之间的关系：90AB；
⑶ 边角之间的关系：sinaAc，cosbAc，tanaAb，cotbAa.
三、 解直角三角形的四种基本类型
⑴ 已知斜边和一直角边(如斜边c，直角边a)，由sinaAc求出A，则90BA，22bca；
⑵ 已知斜边和一锐角(如斜边c，锐角A)，求出90BA，sinacA，cosbcA；
⑶ 已知一直角边和一锐角(如a和锐角A)，求出90BA，cotbaA，sinacA；
⑷ 已知两直角边(如a和b)，求出22cab，由tanaAb，得90BA.
具体解题时要善于选用公式及其变式，如sinaAc可写成sinacA，sinacA等.
四、解直角三角形的方法
解直角三角形的方法可概括为：“有斜(斜边)用弦(正弦，余弦)，无斜用切(正切，余切)，宁乘毋除，取原避中”．这几句话的意思是：
当已知或求解中有斜边时，就用正弦或余弦；
无斜边时，就用正切或余切；
当所求的元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；
既可由已知数据又可用中间数据求得时，则用原始数据，尽量避免用中间数据．
直角三角形两锐角间的三角函数关系
（五）解直角三角形的技巧及注意点
在RtABC中，90AB，故sincos(90)cosAAB，cossinAB，tancotAB，cottanAB.利用这些关系式，可在解题时进行等量代换，以方便解题．
（六）如何解直角三角形的非基本类型的题型
对解直角三角形的非基本类型的题型，通常是已知一边长及一锐角三角函数值，可通过解方程(组)来转化为四种基本类型求解；
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一模专题之解直角三角形应用
解直角三角形的应用题中常见的有关概念：
1. 仰角与俯角：它们都是在同一铅垂面内视线和水平面的夹角，视线在水平线上方的叫
做仰角，
视线在水平线下方的叫做俯角．（左图）
2. 方向角：是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于九十度的角．（右图）
3. 坡度与坡角
坡面的铅垂高度（h
）和水平长度（l
）的比叫做坡面坡度（或坡比），记作i（h
i
l）
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作，（tanh
i
l
）
4. 用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
⑴ 将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
⑵ 根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；
⑶ 得到数学问题的答案；
⑷ 得到实际问题的答案．
俯角仰角
视线视线
铅
垂
线45°30°
东
南西北
O
αh
li=h
l
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一．仰角与俯角
1．如图，小明的家在某住宅楼AB的最顶层()ABBC，他家的后面有一建筑物
(//)CDCDAB，他很想知道这座建筑物的高度，于是在自家阳台的A处测得建筑物
CD的
底部
C的俯角是
43，顶部D的仰角是
25，他又测得两建筑物之间的距离
BC是28米，
请你帮助小明求出建筑物
CD的高度（精确到1米）．
（参考数据：
sin250.42，
cos250.91，
tan250.47；
sin430.68，
cos430.73，
tan430.93．)
2．如图，电线杆CD上的C处引拉线CE，CF固定电线杆，在离电线杆6米的B处安置测
角仪（点B，E，D在同一直线上），在A处测得电线杆上C处的仰角为30，已知测角
仪的高1.5AB米，2.3BE米，求拉线CE的长，（精确到0.1米）
参考数据21.41，
31.73．
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3．如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱
BC的高为10米，灯柱
BC与灯杆AB的夹角
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第4课时 用解直角三角形解决坡度及一次函数与x轴的夹角问题
1．如图23－2－31，在平面直角坐标系中，直线OA过点A(3,4)，则tan α的值是( )
A.35 B．45
C．34 D．43
图23－2－31
2．[2018·重庆]如图23－2－32，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20 m到达点C，再经过一段坡度为i＝1∶0.75、坡长为10 m的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40 m到达点E(A，B，C，D，E均在同一平面内)．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为(参考数据：sin 24°≈0.41，cos 24°≈0.91，tan
24°＝0.45)(
)
图23－2－32
A．21.7 m B．22.4 m
C．27.4 m D．28.8 m
3．如图23－2－33，在平面直角坐标系中，P是第一象限的点，其坐标是(3，y)，且OP与x轴的正半轴的夹角α的正切值是43.
(1)求y的值；
(2)求∠α的正弦值．
图23－2－33
4．[2018·威海]如图23－2－34，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y＝4x－12x2刻画，斜坡可以用一次函数y＝12x刻画．下列结论错误的是(
)
图23－2－34
A．当小球抛出高度达到7.5 m时，小球距O点的水平距离为3 m
B．小球距O点水平距离超过4 m呈下降趋势
C．小球落地点距O点水平距离为7 m
D．斜坡的坡度为1∶2
5．如图23－2－35是一座人行天桥的示意图，天桥的高度是10 m，CB⊥DB，坡面AC的倾斜角为45°.为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC的坡度为i＝ 3∶3.若新坡角下需留3 m宽的人行道，问离原坡角(A点处)10 m的建筑物是否需要拆除？(参考数据：2≈1.414，3≈1.732)
