华东师大版九年级上册数学24.4解直角三角形第3课时解有关坡度、坡角、方位角问题

初中数学．锐角三角函数B级．第02讲.教师版 Page 1 of 13 解直角三角形

中考要求

内容 基本要求 略高要求 较高要求

解直角三角形 知道解直角三角形的含义 会解直角三角形；能根据问题的需要添加辅助线构造直角三角形；会解由两个特殊直角三角形构成的组合图形的问题 能综合运用直角三角形的性质解决有关问题

知识要点

模块一 解直角三角形

一、解直角三角形的概念

根据直角三角形中已知的量（边、角）来求解未知的量（边、角）的过程就是解直角三角形．

二、直角三角形的边角关系

如图，直角三角形的边角关系可以从以下几个方面加以归纳：

（1）三边之间的关系：222abc (勾股定理)

（2）锐角之间的关系：90AB

（3）边角之间的关系：sincos,cossin,tanabaABABAccb

三、解直角三角形的四种基本类型

（1）已知斜边和一直角边(如斜边c，直角边a)，由sinaAc求出A，则90BA， 22bca；

（2）已知斜边和一锐角(如斜边c，锐角A)，求出90BA，sinacA，cosbcA；

（3）已知一直角边和一锐角(如a和锐角A)，求出90BA，tanbaB，sinacA；

（4）已知两直角边(如a和b)，求出22cab，由tanaAb，得90BA．

具体解题时要善于选用公式及其变式，如sinaAc可写成sinacA，sinacA等．

四、解直角三角形的方法

解直角三角形的方法可概括为：“有斜(斜边)用弦(正弦，余弦)，无斜用切(正切，余切)，宁乘毋除，取原避中”．这几句话的意思是：当已知或求解中有斜边时，就用正弦或余弦；无斜边时，就用正切或余切；

当所求的元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可由已知数据又可用中间数据求得时，则用原始数据，尽量避免用中间数据．

五、解直角三角形的技巧及注意点

华师大版2020-2021年九年级数学上册导学案

第24章 解直角三角形

24.4解直角三角形

第3课时 坡度问题

学习目标：

1.理解坡度、坡角的概念（重点）.

2.能够解决与坡度、坡角有关的实际问题（难点）.

自主学习

一、新知预习

在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度.

如图，坡面的铅垂高度h和水平长度l的比叫做坡面的______（或坡比），记作i，即i=lh.坡度通常写成1：m的形式，如i=1:6.坡面与水平面的夹角叫做______，记作α，有i=lh=tanα.显然，坡度越大，坡角α就越____，坡面就越____.

合作探究

一、探究过程

探究点1：利用坡度、坡角解决实际问题

【典例精析】

例 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6 m，坝高23 m，斜坡AB的坡度i=1∶3 ，斜坡CD的坡度i’=1∶2.5 ， 则斜坡CD的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长应设计为多少(参考数据：tan18.4°≈31)？

【归纳总结】根据坡度的定义i＝hl，解题时需先求得水平距离l和铅直高度h.

【针对训练】

1.（1）一斜坡的坡角为30°,则它的坡度为 ;

（2）如果一个坡度为1∶2.5,则这个坡角为 （用计算器计算，结果精确到0.1°）;

（3）等腰梯形的较小底长为3,腰长为5,高为4,则另一个底长为 ,坡度为 ;

（4）堤坝横断面是等腰梯形（如图所示）.

若AB=10 m,CD=4 m,高h=4 m,则坡度i= ,AD= m.

第1题图

第2题图

2如图，在平面上种植树木时，要求株距(相邻两树间的水平距离)为4m，如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为( )

A．5m B．6m C．7m D．8m

二、课堂小结

28.2解直角三角形（3）

教学目标：

1.巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决坡度问题。

2.掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解决与坡度有关的实际问题。

3.培养学生用数学的意识，渗透数形结合的思想和方法。

教学重点：

理解坡度和坡角的概念。

教学难点：

利用坡度和坡角解决有关实际问题。

教学过程：

一、新知引入

你觉得哪幅图的坡更好爬？为什么？（教师展示ppt）

我们知道坡越陡，倾斜的角度越大，那与我们直角三角形有什么联系呢？我们一起来探索吧！

二、新知讲解

知识1：基本概念：

坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母α表示。

坡度（坡比）：坡面的铅直高度h和水平距离l的比叫做坡度，用字母i表示，则i=lh=tan

如图，坡度通常写成i=h:l的形式。

※注意：①(坡度等于坡角的正切值)坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡.

②坡度的结果不是一个度数，而是一个比值，不要与坡角相混淆．

巩固练习：试一试，你最棒！

1、斜坡的坡度是1：3，则坡角α=______度。（答案：30）

2、斜坡的坡角是450，则坡比是_______。（答案：1:1）

3、斜坡长是12米,坡高6米,则坡比是_______。（答案：1：3）

知识2：如何解决实际生活中的坡度、坡角问题？

解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情况灵活运用相关知识，如，我们要测量如图所示大坝的高度h时，只要测出仰角a和大坝的坡面长度l，就能算出h=lsina，但是，当我们要测量如图所示的山高h时，问题就不那么简单了，这是由于不能很方便地得到仰角a和山坡长度l

与测坝高相比，测山高的困难在于；坝坡是“直”的，而山坡是“曲”的，怎样解决这样的问题呢？

我们设法“化曲为直，以直代曲”． 把山坡“化整为零”地划分为一些小段，图表示其中部分小段，划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的，可以量出这段坡长l1，测出相应的仰角a1，就可以算出这段山坡的高度h1=l1sina1.

板块一 解直角三角形

一、解直角三角形的概念

根据直角三角形中已知的量（边、角）来求解未知的量（边、角）的过程就是解直角三角形.

二、直角三角形的边角关系

如图，直角三角形的边角关系可以从以下几个方面加以归纳：

⑴ 三边之间的关系：222abc (勾股定理)；

⑵ 锐角之间的关系：90AB；

⑶ 边角之间的关系：sinaAc，cosbAc，tanaAb，cotbAa.

三、 解直角三角形的四种基本类型

⑴ 已知斜边和一直角边(如斜边c，直角边a)，由sinaAc求出A，则90BA，22bca；

⑵ 已知斜边和一锐角(如斜边c，锐角A)，求出90BA，sinacA，cosbcA；

⑶ 已知一直角边和一锐角(如a和锐角A)，求出90BA，cotbaA，sinacA；

⑷ 已知两直角边(如a和b)，求出22cab，由tanaAb，得90BA.

具体解题时要善于选用公式及其变式，如sinaAc可写成sinacA，sinacA等.

四、解直角三角形的方法

解直角三角形的方法可概括为：“有斜(斜边)用弦(正弦，余弦)，无斜用切(正切，余切)，宁乘毋除，取原避中”．这几句话的意思是：

当已知或求解中有斜边时，就用正弦或余弦；

无斜边时，就用正切或余切；

当所求的元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；

既可由已知数据又可用中间数据求得时，则用原始数据，尽量避免用中间数据．

直角三角形两锐角间的三角函数关系

（五）解直角三角形的技巧及注意点

在RtABC中，90AB，故sincos(90)cosAAB，cossinAB，tancotAB，cottanAB.利用这些关系式，可在解题时进行等量代换，以方便解题．

（六）如何解直角三角形的非基本类型的题型

对解直角三角形的非基本类型的题型，通常是已知一边长及一锐角三角函数值，可通过解方程(组)来转化为四种基本类型求解；