导数的应用习题课

教 师 备 课 纸 1

第二章 导数与微分

一、知识总结

1、导数、单侧导数的定义，几何意义，平面曲线的切线、法线的求法；

2、函数的求导法则：四则求导法则，复合函数求导法则；

3、高阶导数；

4、隐函数及由参数方程所确定的函数的导数；

5、函数的微分；6、函数在一点处可导、可微、连续的关系。

二、典型例题讲解

例1、求曲线2xye在0x对应点的切线、法线方程。

例2、已知sin,0(),0xxfxxx，求()fx。

例3、讨论函数1sin,0()0,0xxfxxx在0x处的连续性与可导性。

例4、xey1sin 求dxdy。

例5、2ln(1)yxx，求dxdy。

例6、2sin2yxx，求(50)y。

例7、求由方程e yxye0 所确定的隐函数y的导数

例8、求sincos2xtyt在相应于4 t点处的切线方程、法线方程。

例9、计算由摆线的参数方程)cos1()sin(tayttax所确定的函数yf(x)的二阶导数。

例10、sin3yxx，求dy。

第1页（共9页） 《导数及其应用》

一、选择题

1.0()0fx是函数fx在点0x处取极值的:

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

2、设曲线21yx在点))(,(xfx处的切线的斜率为()gx，则函数()cosygxx的部分图象可以为

A. B. C. D.

3．在曲线y＝x2上切线的倾斜角为π4的点是(

) A．(0,0) B．(2,4) C.14，116 D.12，14

4.若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )

A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1 C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1

5．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a等于( )

A．2 B．3 C．4 D．5

6. 已知三次函数f(x)＝13x3－(4m－1)x2＋(15m2－2m－7)x＋2在x∈(－∞，＋∞)是增函数，则m的取值范围是( )

A．m<2或m>4 B．－4

7. 直线yx是曲线lnyax的一条切线，则实数a的值为

A．1 B．e C．ln2 D．1

8. 若函数)1,1(12)(3kkxxxf在区间上不是单调函数，则实数k的取值范围（ ）

A．3113kkk或或 B．3113kk或

C．22k D．不存在这样的实数k

9. 10．函数fx的定义域为,ab，导函数fx在,ab内的图像如图所示，

则函数fx在,ab内有极小值点

第四章 微分中值定理和导数的应用

[单选题]

1、

曲线的渐近线为（ ）。

A、仅有铅直渐近线

B、仅有水平渐近线

C、既有水平渐近线又有铅直渐近线

D、无渐近线

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【正确答案】 B

【您的答案】 您未答题

【答案解析】

本题考察渐近线计算.

因为，所以y存在水平渐近线，且无铅直渐近线。

[单选题]

2、

在区间[0，2]上使罗尔定理成立有中值为ξ为（ ）

A、4

B、2

C、3

D、1

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【正确答案】 D

【您的答案】 您未答题

【答案解析】

，罗尔定理是满足等式f′（ξ）=0，从而2ξ-2=0，ξ=1.

[单选题]

3、

，则待定型的类型是（ ）.

A、

B、

C、

D、 【从题库收藏夹删除】

【正确答案】 D

【您的答案】 您未答题

【答案解析】

由于当x趋于1时，lnx趋于0，ln(1-x)趋于无穷，所以是型.

[单选题]

4、

下列极限不能使用洛必达法则的是（ ）.

A、

B、

C、

D、

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【正确答案】 D

【您的答案】 您未答题

【答案解析】

由于当x趋于无穷时，cosx的极限不存在，所以不能用洛必达法则.

[单选题]

5、

在区间[1，e]上使拉格朗日定理成立的中值为ξ=（ ）.

A、1

B、2

C、e

D、

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【正确答案】 D

【您的答案】 您未答题

【答案解析】 本题考察中值定理的应用。

[单选题]

6、

如果在内，且在连续，则在上（ ）.

A、

B、

C、

D、

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【正确答案】 C

【您的答案】 您未答题

【答案解析】

在内，说明为单调递增函数，由于在连续，所以在上f(a)＜f(x)＜f(b).

[单选题]

7、

的单调增加区间是（ ）.

A、（0，+∞）

B、（-1，+∞）

C、（-∞，+∞）

D、（1，+∞）

1 导数的应用习题课（5月8日）

教学目标 掌握导数的几何意义，会求多项式函数的单调区间、极值、最值

教学重点 多项式函数的单调区间、极值、最值的求法

教学难点 多项式函数极值点的求法、多项式函数最值的应用

一、课前预习

1.设函数)(xfy在某个区间内有导数，如果在这个区间内＿＿＿＿，则)(xfy是这个区间内的＿＿＿＿＿；如果在这个区间内＿＿＿，则)(xfy是这个区间内的＿＿＿＿＿.

2.设函数)(xfy在0xx及其附近有定义，如果)(0xf的值比0x附近所有各点的值都大（小），则称)(0xf是函数)(xfy的一个＿＿＿＿＿＿.

3.如果)(xfy在某个区间内有导数，则可以这样求它的极值：

（1）求导数＿＿＿＿＿； （2）求方程＿＿＿＿＿＿＿＿的根（可能极值点）；

（3）如果在根的左侧附近为＿，右侧附近为＿，则函数)(xfy在这个根处取得极＿值；如果在根的左侧附近为＿，右侧附近为＿，则函数)(xfy在这个根处取得极＿值.

4.设)(xfy是定义在[a，b]上的函数，)(xfy在(a，b)内有导数，可以这样求最值：

（1）求出函数在(a，b)内的可能极值点（即方程0)(/xf在(a，b)内的根nxxx,,,21）；

（2）比较函数值)(af，)(bf与)(,),(),(21nxfxfxf，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.

二、举例

例1.确定函数31292)(23xxxxf的单调区间.

例2.设一质点的运动速度是315743)(234ttttv，问：从t＝0到t＝10这段时间内，运动速度的改变情况怎样？

2 例3.求函数4931)(3xxxf的极值.

例4.设函数xbxaxxf232131)(在1x＝1与2x＝2处取得极值，试确定a和b的值，并问此时函数在1x与2x处是取极大值还是极小值？

例5.求函数593)(3xxxf在[－2,2]上的最大值和最小值.