【高中数学】习题课 导数的综合应用

习题课 导数的综合应用

题型一 导数在解决实际问题中的应用

【例1】 某知名保健品企业新研发了一种健康饮品.已知每天生产该种饮品最多不超过40千瓶，最少1千瓶，经检测知生产过程中该饮品的正品率P与日产量x(x∈N*，单位：千瓶)间的关系为P＝4 200－x24 500，每生产一瓶正品盈利4元，每生产一瓶次品亏损2元.(注：正品率＝饮品的正品瓶数÷饮品总瓶数×100%)

(1)将日利润y(元)表示成日产量x的函数；

(2)求该种饮品的最大日利润.

解 (1)由题意，知每生产1千瓶正品盈利4 000元，每生产1千瓶次品亏损2 000元，

故y＝4 000×4 200－x24 500x－2 0001－4 200－x24 500x＝3 600x－43x3.

所以日利润y＝－43x3＋3 600x(x∈N*，1≤x≤40).

(2)令f(x)＝－43x3＋3 600x，x∈[1，40]，

则f′(x)＝3 600－4x2.

令f′(x)＝0，解得x＝30或x＝－30(舍去).

当1≤x<30时，f′(x)>0；当30

所以函数f(x)在[1，30)上单调递增，在(30，40]上单调递减，

所以当x＝30时，函数f(x)取得极大值，也是最大值，为f(30)＝－43×303＋3 600×30＝72 000，也即y的最大值为72 000，

所以该种饮品的最大日利润为72 000元.

规律方法 利用导数解决实际应用问题的步骤

(1)函数建模：细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最

小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系式y＝f(x).

(2)确定定义域：一定要从问题的实际意义去考虑，舍去没有实际意义的自变量的范围.

(3)求最值：尽量使用导数法求出函数的最值.

(4)下结论：根据问题的实际意义给出圆满的答案.

【训练1】 如图，要设计一面矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两个栏目的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两栏目之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告牌的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告牌的面积最小？

解

设广告牌的高和宽分别为x cm，y cm，

则每个栏目的高和宽分别为(x－20)cm，y－252 cm，

其中x>20，y>25.

∵两个栏目的面积之和为2(x－20)·y－252＝18 000，

∴y＝18 000x－20＋25，

∴广告牌的面积S(x)＝x18 000x－20＋25＝18 000xx－20＋25x，

∴S′(x)＝18 000[（x－20）－x]（x－20）2＋25＝－360 000（x－20）2＋25.

令S′(x)>0，得x>140；令S′(x)<0，得20

∴函数S(x)在(140，＋∞)上单调递增，在(20，140)上单调递减，

∴S(x)的最小值为S(140).

当x＝140时，y＝175，故当广告牌的高为140 cm，宽为175 cm时，可使广告牌的面积最小，最小面积为24 500 cm2.

题型二 与最值有关的恒成立问题

【例2】 设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t＞0).

(1)求f(x)的最小值h(t)；

(2)若h(t)＜－2t＋m对t∈(0，2)恒成立，求实数m的取值范围.

解 (1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t＞0)，

∴当x＝－t时，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，

即h(t)＝－t3＋t－1.

(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，

由g′(t)＝－3t2＋3＝0得t＝1，t＝－1(不合题意，舍去).

当t变化时g′(t)、g(t)的变化情况如下表：

t (0，1) 1 (1，2)

g′(t) ＋ 0 －

g(t) 单调递增 1－m 单调递减

∴对t∈(0，2)，当t＝1时，g(t)max＝1－m，

h(t)<－2t－m对t∈(0，2)恒成立，

也就是g(t)<0对t∈(0，2)恒成立，

只需g(t)max＝1－m<0，∴m>1.

故实数m的取值范围是(1，＋∞).

规律方法 (1)“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，一般地，可采用分离参数法进行转化.λ≥f(x)恒成立⇔λ≥[f(x)]max；λ≤f(x)恒成立⇔λ≤[f(x)]min.对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可.

(2)此类问题特别要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等号”的情况，以此来确定参数的范围能否取得“＝”.

【训练2】 设函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，

(1)若对任意的x∈[0，3]，都有f(x)＜c2成立，求c的取值范围；

(2)若对任意的x∈(0，3)，都有f(x)＜c2成立，求c的取值范围.

解 (1)∵f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2).

∴当x∈(0，1)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；

当x∈(1，2)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；

当x∈(2，3)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增.

∴当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝5＋8c.

又f(3)＝9＋8c＞f(1)，

∴x∈[0，3]时，f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c.

∵对任意的x∈[0，3]，有f(x)＜c2恒成立，

∴9＋8c＜c2，即c＜－1或c＞9.

∴c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞).

(2)由(1)知f(x)＜f(3)＝9＋8c，

∴9＋8c≤c2，即c≤－1或c≥9，

∴c的取值范围为(－∞，－1]∪[9，＋∞).

题型三 利用导数证明不等式

【例3】 已知函数f(x)＝ln x－a（x－1）x(a∈R).

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)求证：对于任意x∈(1，2)，不等式1ln x－1x－1<12恒成立.

(1)解 易知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x－ax2.

①若a≤0，则f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；

②若a>0，当x∈(0，a)时，f′(x)<0，f(x)在(0，a)上单调递减，

当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(a，＋∞)上单调递增.

综上，当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间；

当a>0时，f(x)的单调递增区间为(a，＋∞)，单调递减区间为(0，a).

(2)证明 ∵1

∴1ln x－1x－1<12等价于(x＋1)ln x－2(x－1)>0，

令F(x)＝(x＋1)ln x－2(x－1)，

即F′(x)＝ln x＋x＋1x－2＝ln x＋1x－1.

由(1)知，当a＝1时，f(x)＝ln x－1＋1x在[1，＋∞)上单调递增，

∴当x∈[1，2)时，f(x)≥f(1)，

即ln x＋1x－1≥0，F′(x)≥0，

∴F(x)在[1，2)上单调递增，

∴当x∈(1，2)时，F(x)>F(1)＝0，

即当1

规律方法 (1)证明f(x)>g(x)的一般方法是证明h(x)＝f(x)－g(x)>0(利用单调性)，特殊情况是证明f(x)min>g(x)max(最值方法)，但后一种方法不具备普遍性.

(2)证明二元不等式的基本思想是化为一元不等式，一种方法为变换不等式两个变元成为一个整体，另一种方法为转化后利用函数的单调性，如不等式f(x1)＋g(x1)

【训练3】 设函数f(x)＝ln x－x＋1.

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)证明当x∈(1，＋∞)时，1

(1)解 依题意，f(x)的定义域为(0，＋∞).

f′(x)＝1x－1，令f′(x)＝0，得x＝1.

∴当00，f(x)单调递增.

当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减.

(2)证明 由(1)知f(x)在x＝1处取得最大值，且最大值f(1)＝0.

所以当x≠1时，ln x

故当x∈(1，＋∞)时，x－1ln x>1，

又可将1x代入ln x

即－ln x<1x－1⇔ln x>1－1x⇔ln x>x－1x⇔x>x－1ln x，

故当x∈(1，＋∞)时恒有1

题型四 利用导数解决函数的零点或方程的根问题

【例4】 已知函数f(x)＝ln x＋ax－1，

(1)求f(x)的单调区间；

(2)当a≤1时，求函数f(x)在区间(0，e]上零点的个数.

解 (1)f′(x)＝1－ln x－ax2，令f′(x)＝0，得x＝e1－a.

f′(x)及f(x)随x的变化情况如下表：

x (0，e1－a) e1－a (e1－a，＋∞)

f′(x) ＋ 0 －

f(x) 极大值

所以f(x)的单调递增区间为(0，e1－a)，单调递减区间为(e1－a，＋∞).

(2)由(1)可知f(x)的最大值为f(e1－a)＝1－e1－ae1－a，

①当a＝1时，f(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，e)上单调递减.

又f(1)＝0，故f(x)在区间(0，e]上只有一个零点.

②当a<1时，1－a>0，e1－a>1，

则f(e1－a)＝1－e1－ae1－a<0，所以f(x)在区间(0，e]上无零点.

综上，当a＝1时，f(x)在区间(0，e]上只有一个零点，

当a<1时，f(x)在区间(0，e]上无零点.

规律方法 利用导数研究函数的零点或方程根的方法是借助于导数研究函数的单调性，极值(最值)，通过极值或最值的正负、函数的单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数或者通过零点的个数求参数范围.

【训练4】 若函数f(x)＝ax3－bx＋4，当x＝2时，函数f(x)取得极值－43.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)若方程f(x)＝k有3个不同的实数根，求实数k的取值范围.

解 (1)对f(x)求导得f′(x)＝3ax2－b，

由题意得f′（2）＝12a－b＝0，f（2）＝8a－2b＋4＝－43，

解得a＝13，b＝4(经检验满足题意).