同角三角函数关系式

1．2.2 同角三角函数的基本关系 学习目标 1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.2.理解同角三角函数的基本关系式.3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明．

知识点 同角三角函数的基本关系式

1．同角三角函数的基本关系式

(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.

(2)商数关系：tan α＝sin

αcos

α

α≠kπ＋π2，k∈Z.

2．同角三角函数基本关系式的变形

(1)sin2α＋cos2α＝1的变形公式

sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α.

(2)tan α＝sin αcos αα≠kπ＋π2，k∈Z的变形公式

sin α＝cos αtan α；cos α＝sin αtan α.

1．sin2α＋cos2β＝1.( × )

提示 在同角三角函数的基本关系式中要注意是“同角”才成立，即sin2α＋cos2α＝1.

2．sin2θ2＋cos2θ2＝1.( √ )

提示 在sin2α＋cos2α＝1中，令α＝θ2可得sin2θ2＋cos2θ2＝1.

3．对任意的角α，都有tan α＝sin αcos α成立．( × )

提示 当α＝π2＋kπ，k∈Z时就不成立．

4．若cos α＝0，则sin α＝1.( × )

题型一 利用同角三角函数的关系式求值

命题角度1 已知角α的某一三角函数值及α所在象限，求角α的其余三角函数值

例1 (1)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值为( )

A.125 B．－125 C.512 D．－512

考点 运用基本关系式求三角函数值

题点 运用基本关系式求三角函数值

答案 D

解析 ∵sin α＝－513，且α为第四象限角，∴cos α＝1213，

∴tan α＝sin αcos α＝－512，故选D.

(2)已知sin α＋cos α＝713，α∈(0，π)，则tan α＝ .

1 同角三角函数基本关系式、三角函数的诱导公式

一、知识概述

1、同角三角函数的基本关系式

同角三角函数基本关系可概括为平方关系，商数关系和倒数关系，如考虑sinα，cosα，tanα，cotα与secα，cscα六个函数，还可借助如下图表形象记忆：

（1）对角线上两个函数的积为1（倒数关系）

（2）任一顶点的函数等于与其相邻两个顶点的函数的积（商数关系）

（3）阴影部分，顶角两个函数的平方和等于底角函数的平方（平方关系）

由此图可得出公式的变形形式或其他同角函数关系式．

平方关系：sin2α＋cos2α=1，sec2α=1＋tan2α，csc2α=1＋cot2α.

商数关系：

倒数关系：tanα·cotα=1，sinα·cscα=1，cosα·secα=1.

注：课本上只介绍了其中两个重要的关系式，事实上，掌握好其余的五个关系式能在有关解题中节省过程，带来方便.

2、三角函数的诱导公式

公式一：sin(α＋k·)=sinα

cos(α＋k·)=cosα

tan(α＋k·)=tanα

其中k∈Z．

公式二：sin(＋α)=－sinα

cos(＋α)=－cosα

tan(＋α)=tanα

公式三：sin(－α)=－sinα

cos(－α)=cosα

tan(－α)=－tanα

公式四：sin(－α)=sinα

cos(－α)=－cosα

tan(－α)=－tanα

总结：α＋k·2（k∈Z），－α，±α的三角函数，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号。

公式五：sin(－α)=cosα 2 cos(－α)=sinα

公式六：sin(＋α)=cosα

cos(＋α)=－sinα

总结：±α的正弦（余弦）函数值，分别等于α的余弦（正弦）函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．

同角三角函数的基本关系式

倒数关系: 商的关系： 平方关系：

tanα ·cotα＝1

sinα ·cscα＝1

cosα ·secα＝1 sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα

cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα sin2α＋cos2α＝1

1＋tan2α＝sec2α

1＋cot2α＝csc2α

诱导公式

sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα

sin（π/2－α）＝cosα

cos（π/2－α）＝sinα

tan（π/2－α）＝cotα

cot（π/2－α）＝tanα

sin（π/2＋α）＝cosα

cos（π/2＋α）＝－sinα

tan（π/2＋α）＝－cotα

cot（π/2＋α）＝－tanα sin（π－α）＝sinα

cos（π－α）＝－cosα

tan（π－α）＝－tanα

cot（π－α）＝－cotα

sin（π＋α）＝－sinα

cos（π＋α）＝－cosα

tan（π＋α）＝tanα

cot（π＋α）＝cotα sin（3π/2－α）＝－cosα

cos（3π/2－α）＝－sinα

tan（3π/2－α）＝cotα

cot（3π/2－α）＝tanα

sin（3π/2＋α）＝－cosα

cos（3π/2＋α）＝sinα

tan（3π/2＋α）＝－cotα

cot（3π/2＋α）＝－tanα sin（2π－α）＝－sinα

cos（2π－α）＝cosα

tan（2π－α）＝－tanα

cot（2π－α）＝－cotα

sin（2kπ＋α）＝sinα

cos（2kπ＋α）＝cosα

tan（2kπ＋α）＝tanα

cot（2kπ＋α）＝cotα

(其中k∈Z)

两角和与差的三角函数公式 万能公式

sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ

sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ

同角三角函数的基本关系式

诱导公式

sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα

两角和与差的三角函数公式 万能公式

sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ

sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ

cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ

cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ

tanα＋tanβ

tan（α＋β）＝——————

1－tanα ·tanβ

tanα－tanβ

tan（α－β）＝——————

1＋tanα ·tanβ 2tan(α/2)

sinα＝——————

1＋tan2(α/2)

1－tan2(α/2)

cosα＝——————

1＋tan2(α/2)

2tan(α/2)

tanα＝——————

1－tan2(α/2)

半角的正弦、余弦和正切公式 三角函数的降幂公式

二倍角的正弦、余弦和正切公式 三倍角的正弦、余弦和正切公式

sin2α＝2sinαcosα

cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α

2tanα

tan2α＝—————

1－tan2α sin3α＝3sinα－4sin3α

cos3α＝4cos3α－3cosα

3tanα－tan3α

tan3α＝——————

1－3tan2α

三角函数的和差化积公式 三角函数的积化和差公式

α＋β α－β

sinα＋sinβ＝2sin—－－·cos—－—