机械动力学第四章作业(答案)

4-1 如图所示，一质量为 m 的油缸与刚度为 k 的弹簧相连，通过阻尼系数为 c

的粘性阻尼器以运动规律sinyAt的活塞给予激励，求油缸运动的振幅以及它相对于活塞的相位。

解：()0mxcxykx&&&&

cosmxcxkxAct&&&

222()()cAXkmc

12tan2ckm

详解(1):因为活塞本身在作谐运动, 并通过粘性摩擦作用于油缸。

所以可建立运动微分方程为 x

()0mxcxykx&&&&

或 mxcxkxcy&&&&

设活塞运动为: itmyIAe 则 ityiAe&

令油缸的运动，即其振动微分方程的解为()itxXe

代入微分方程得2()()()ititmXicXkXeicAe

()2()ititicAexXekmic

2222222()()(1)(2)cAAXkmc振幅

油缸相对活塞运动的相位角:

11222tantan221ckm

（x滞后于激励cy&相位差112tanckm

y滞后于cy&相位差22，所以xy与的相位差21-）

解法（2): 矢量法

2222()()()kXmXcXcA

222(

)()cAXkmc振幅

及 ()itxXe

11222tantan221ckm

4-2 试导出图所示系统的振动微分方程，并求系统的稳态响应。

解：222()cosmLmgLkAcktaaa&&&

稳态响应

0cos()Ftk2222cos()()(1)(2)kAatkamgL

其中

2n2akgmLL

n 222()acLmkamgL 22arctan1Φ

详解：设刚性杆向顺时针方向转动θ角，则图中B点的位移和速度分别为

对刚性杆用动量矩定理

2sincoscosBBmLJmgLcxkxAta&&&&&

由sin,cos1化简得微分方程

22cosJcakamgLakAt&&&

222nkamglkamglJml等效刚度：

设方程的解为：0()cos()tt代入原方程

222200[()cos]sin()[sin]cos()0kamglmlkAatcakAat

222222cos()()()kAattkamglmlca

4-3如图所示，弹性支承的车辆沿高低不平的道路运行。试求出车辆振幅与运行速度v之间的关系，并确定最不利的运行速度。

解：2sinWvxkxkYtgL&&

222222222sin()sin()(t)44kgtvtkYgLvWkYgLWLxkgLvWkgLvW

22240kgLvW 2LkgvW

详解： W的运动微分方程为

()()0mxcxykxy&&&& mxcxkxcyky&&&&或 sin, cosBBxaaxaa&&&忽略阻尼，设路面波度为

2 itvyYeL式中

又设 ()itxXe代入得

2()()ititmkXekYe

阻尼c=0，则0 2222221()nnYkYYXvkmL

危险速度发生在2nvL时, 2cLkgvW

4-4 带结构阻尼的单自由度系统，若刚度和阻尼的作用用复数形式20ikke表示，系统等效质量为m。求系统在简谐激励下的响应。

解： 系统的微分方程为： i2i0eetmxkxF&&

设系统的稳态响应 ：itxXe，代入上式得

2200imXkeXF

2000cos2sin2kmikXF

解得：iXXe，所以()ititxXeXe

其中022200cos2sin2FXkmk 020sin2arctancos2kkm

4-5 如图所示，一弹簧-质量系统，从t = 0开始作用一不变的0F力，作用时间为0t。求系统在0tt和0tt两种情况下的响应，并找出0tt时最大位移与0t的关系。如果0t与系统自振周期

τ相比很小，最大位移为多少?

请与脉冲响应函数比较。

解：0tt时

0n0nsindtFxttm00nncos1cos0FFtttkk

0tt时

10n0nsindtFxttm001nn1ncoscoscos0FFtttttkk

找出0tt时最大位移与0t的关系:

和差化积之后得到000()2sinsin()2nnFtxtttk

maxx

响应脉冲函数 00sin()nnFttm

0t与系统自振周期 τ相比很小时

最大位移均为00nFtk

4-6当激励频率为多少时，图中的机器的稳态振幅小于1.5 mm? 0012sin()2nFtk

400sinmxcxkxt&&&

049.8/kradsm，00.07432cm

322211.51012FAkssp

得到：000.374 1.364ss

则：18.7/ 67.5/radsrads

4-7已知梁截面惯性矩I，弹性模量E，梁质量不计，支座A产生微小竖直振动为sinAydt，支座B不动，求：质量m的稳态振动振幅。

解：在质量m作用下，由材料力学可求出静挠度

固有频率：0/g

因yA的运动而产生的质量m处的运动

(/)(/)sinfAxbaybdat （1）

动力学方程：()0&&fmxkxx （2）

移项并将（1）式代入（2）得：(/)sin&&mxkxkbdat

所以振幅：2/11kbdaxks211bdas

将0s代入得：20220bdxa msN925mN101.354-8如图所示，一弹簧-质量系统，从t = 0时，突加一个0F力，以后该力保持不变。试用Duhamel积分求系统的响应，并概略图示之。

解：1()sin(())nnFtdm

0n(1cos)/xFtk

nkm

(旋转失衡问题)

4-9机器质量为 453.4 kg，安装时使支承弹簧产生的静变形为5.08 mm，若机器的旋转失衡为 0.2308 kg ·m。求：

(a) 在 1200 rpm 时传给地面的力；

(b) 在同一速度下的动振幅(假定阻尼可以忽略)。

解：该系统振动微分方程为 2sinMxkxmet&&

39.8143.94/5.0810ngrads

1200/302.86,043.94

22220.23082.860.579()453.412.861meXmmM

223453.443.940.57910507NTnFkXMX

222201212TFSF211（无阻尼）

2202211212000.2308507N112.8660TFSFme 22220.23082.860.579()453.412.861meXmmM

隔振问题

4-10一仪器要与发动机的频率从 1600 rpm到2200

rpm范围实现振动隔离，若要隔离85％，仪器安装在隔振装置上时，隔振装置的静变形应为多少？

解：隔离85％就是：

力传递率22222121(0.15112S无阻尼）  2.77

1600260.51/2.77602.77nrads

229812.667()60.51stngmm

4-11如图所示，机器重 2500 kN，弹簧刚度 k = 800 kN/m，阻尼比ζ= 0.1，干扰力频率与发动机转速相等。试问：(a)在多大转速下，传递给基础的力幅大于激振力幅；(b)传递力为激振力 20%时的转速是多大？

解：（a）2n2221(2)1 2(1)(2)由题的力传递率所以,因此2= 23.960nnrpm由所以

（b）2222120.212S,因此43.45nrpm