高中数学选修4-4习题(含问题详解)

统考作业题目——4-4

1．在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为12,(2xttyt为参数〕,以原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系,两坐标系取一样的长度单位.曲线C的极坐标方程为 22cos4sin40.

〔1〕求l的普通方程和C的直角坐标方程；

〔2〕点M是曲线C上任一点,求点M到直线l距离的最大值.

2．极坐标的极点在平面直角坐标系的原点处,极轴与轴的正半轴重合,且长度单位一样.直线的极坐标方程为：,点,参数．

〔I〕求点轨迹的直角坐标方程； 〔Ⅱ〕求点到直线距离的最大值．

1、[详解]

〔1〕12,2xtyt10xy

因为222,cos,sinxyxy,

所以222440xyxy,即22(1)(2)1xy

〔2〕因为圆心(1,2)到直线10xy距离为|121|222, 所以点M到直线l距离的最大值为22221.r

2、解：〔Ⅰ〕设,如此,且参数,

消参得：

所以点的轨迹方程为 〔Ⅱ〕因为 所以 所以, 所以直线的直角坐标方程为 法一：由〔Ⅰ〕点的轨迹方程为

圆心为〔0,2〕,半径为2． , 点到直线距离的最大值等于圆心到直线距离与圆的半径之和, 所以点到直线距离的最大值． 法二： 当时,,即点到直线距离的最大值为．

3．在平面直角坐标系xOy中,曲线的参数方程为〔为参数〕,曲线的参数方程为〔,t为参数〕.

<1>求曲线的普通方程和曲线的极坐标方程；

<2>设P为曲线上的动点,求点P到上点的距离的最小值,并求此时点P的坐标.

4．在直角坐标系xOy中曲线1C的参数方程为cos3sinxy 〔为参数,以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线2C的极坐标方程为sin224.

〔1〕写出1C的普通方程和2C的直角坐标方程； 〔2〕设点P在1C上,点Q在2C上,求||PQ的最小值与此时P的直角坐标.

3、[详解]

〔1〕对曲线：,, ∴曲线的普通方程为． 对曲线消去参数可得且 ∴曲线的直角坐标方程为． 又, 从而曲线的极坐标方程为.

〔2〕设曲线上的任意一点为, 如此点到曲线：的距离, 当,即时,,此时点的坐标为．

4、[详解]

〔1〕曲线1C的参数方程为cos3sinxy〔为参数〕,

移项后两边平方可得,2222cossin13yx

即有椭圆221:13yCx；

曲线2C的极坐标方程为sin224,

即有22sincos2222, 由cosx,siny,可得40xy,

即有2C的直角坐标方程为直线40xy；

〔2〕设(cos,3sin)P,

由P到直线的距离为|cos3sin4|2d

当sin16x时,||PQ的最小值为2,

此时可取3,即有13,22P.

5.在平面直角坐标系中,曲线的参数方程是〔θ为参数〕,以为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为．假如直线与曲线相交于不同的两点A,B,且,求的值．

6．直线l的参数方程为315(45xttyt为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为2sin4cos0．

〔Ⅰ〕求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；

〔Ⅱ〕假如直线l与曲线C交于A,B两点,求线段AB的长．

5、

因为,所以直线的直角坐标方程为,

其倾斜角为,过点,

所以直线的参数方程为〔为参数〕,即〔为参数〕． 曲线的参数方程〔θ为参数〕化为普通方程为, 将代入曲线的方程,整理得,

, 设点,对应的参数分别为,如此,所以．

6、[详解]

〔Ⅰ〕将315(45xttyt为参数)消去参数t可得4(1)3xy,即4340xy,

故直线l的普通方程为4340xy．

由2sin4cos0可得0cos4sin22,

把cosx,siny代入上式,可得042xy,即24yx,

故曲线C的直角坐标方程为24yx．

〔Ⅱ〕将31545xtyt代入24yx,可得2415250tt,

设点A,B对应的参数分别为1t,2t,如此12154tt,12254tt,

所以22121212152525||||()4()4()444ABtttttt,

故线段AB的长为254．

7．平面直角坐标系x0y,以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线l过点 P<-1,2>,且倾斜角为23,圆C的极坐标方程为)3cos(2.

<1>求圆C的普通方程和直线l的参数方程；

<2>设直线l与圆C交于M、N两点.求PMPN的值.

8．在以极点O为原点,极轴为x轴正半轴的直角坐标系中,曲线1C的参数方程为22xtyt〔t为参数〕,曲线1C在点),(00yxP处的切线l的极坐标方程为323cos2sin.

〔1〕求切线l的直角坐标方程与切点P的直角坐标；

〔2〕假如切线l和曲线2:C243cos6sin160相交于不同的两点,AB,求1||PA1||PB的值.

7、[详解]

〔1〕2cos,32cos3sin

圆C的方程：2230xyxy,直线l的参数方程为112322xtyt〔t为参数〕

〔2〕将直线l的参数方程代入圆C的方程,得：

8、[详解]

〔1〕切线l的极坐标方程为323cos2sin,

∴23cos2sin3,

如此切线l的直角坐标方程为23230xy, ∵曲线1C的参数方程为22xtyt〔t为参数〕,

∴曲线1C的普通方程为yx22,即212yx,如此yx,

又切线l的斜率为3,∴03x,此时032y,

故切点P的直角坐标为3(3,)2.

〔2〕切线l的倾斜角为π3,

∴切线l的参数方程为1323322xtyt〔t为参数〕,

曲线2C的极坐标方程为243cos6sin160,

∴曲线2C的直角坐标方程为22436160xyxy,

将1323322xtyt代入22436160xyxy,

得2410310tt,设交点,AB对应的参数分别是12,tt,

如此121253214tttt,∴1212125311210314tttttt,

故||1||1PBPA310.

9．曲线的参数方程为为参数>,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.

〔1〕把的参数方程化为极坐标方程； 〔2〕求与交点的极坐标．

10．在直角坐标系中,以坐标原点为极点,以轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为,曲线E的极坐标方程为.

〔1〕分别求曲线C和E的直角坐标方程；

〔2〕求经过曲线C与E交点的直线的直角坐标方程.

9、[详解]

〔1〕将消去参数t,化为普通方程 即 将代入 得 所以的极坐标方程为

〔2〕的普通方程为, 由 解得或

所以C1与C2交点的极坐标分别为,.

10、[详解]

〔1〕由题意,曲线C的直角坐标方程为：

；

曲线E的直角坐标方程为：.

〔2〕由题意得：得. 即所求直线的直角坐标方程为

11．在平面直角坐标系xOy中,曲线1C的参数方程为2cos(sinxy参数〕,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C是圆心的极坐标为〔7,2〕且经过极点的圆

〔1〕求曲线C1的极坐标方程和C2的普通方程；

〔2〕射线(0)6分別与曲线C1,C2交于点A,B〔点B异于坐标原点O〕,求线段AB的长

12．选修4-4：坐标系与参数方程.

在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为cossinxtyt,〔t为参数〕,在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线1:2cosC,2:2cos3C.

〔Ⅰ〕求1C与2C交点的直角坐标；

〔Ⅱ〕假如直线l与曲线1C,2C分别相交于异于原点的点M,N,求MN的最大值.

11、[详解]

〔1〕由曲线1C的参数方程为2cossinxy〔为参数〕,消去参数得2214xy,

又cossinxy代入2214xy得1C的极坐标方程为222244cos4sin13sin,

由曲线2C是圆心的极坐标为7,2且经过极点的圆.

可得其极坐标方程为27sin, 从而得2C的普通方程为22270xyy.

〔2〕将(0)6代入27sin得27sin76B, 又将(0)6代入2224cos4sin得224477cos4sin66A,

12、[详解]

解：〔Ⅰ〕曲线1C的直角坐标方程为222xyx,

曲线2C的直角坐标方程为2230xyxy.

由2222230xyxxyxy解得00xy或3232xy,

故1C与2C交点的直角坐标为0,0,33,22.

〔Ⅱ〕不妨设0,点M,N的极坐标分别为1,,2,

所以122cos2cos3MN

所以当32时,MN取得最大值2.

13． 在直角坐标系中,曲线的参数方程为〔为参数〕,直线的方程为．

〔1〕以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求曲线的极坐标方程和直线的极坐标方程；

〔2〕在〔1〕的条件下,直线的极坐标方程为,设曲线与直线的交于点和点,曲线与直线的交于点和点,求的面积．