高中数学选修4-4习题(含答案)

四柱坐标系与球坐标系简介

1．柱坐标系

(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点，它在Oxy平面上的射影为Q，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示点Q在平面Oxy上的极坐标，这时点P的位置可用有序数组(ρ，θ，z)(z∈R)表示，这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z)之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z)叫做点P的柱坐标，记作P(ρ，θ，z)，其中ρ≥0,0≤θ＜2π，z∈R.

(2)空间任意一点P的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z)之间的变换公式为 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，z＝z.

2．球坐标系

(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点，连接OP，记|OP|＝r，OP与Oz轴正向所夹的角为φ，设P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.这样点P的位置就可以用有序数组(r，φ，θ)表示．这样，空间的点与有序数组(r，φ，θ)之间建立了一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r，φ，θ)叫做点P的球坐标，记作P(r，φ，θ)，其中r≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π.

(2)空间点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之间的变换关系为 x＝rsin φcos θ，y＝rsin φsin θ，z＝rcos φ.

柱坐标与直角坐标的互相转化

[例1] (1)设点A的直角坐标为(1，3，5)，求它的柱坐标．

(2)已知点P的柱坐标为4，π3，8，求它的直角坐标．

[思路点拨] 直接利用变换公式求解． [解] (1)由变换公式 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，得ρ2＝x2＋y2，z＝z，

即ρ2＝12＋(3)2＝4，∴ρ＝2.

tan θ＝yx＝3，又x＞0，y＞0.

第1页，共19页

选修4-4

一、解答题

1. 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为

（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+

）=2 ．

（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；

（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．

2. 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 （t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．

（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；

（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．

3. 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4．

（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|•|OP|=16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；

（2）设点A的极坐标为（2，

），点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．

4. 在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为 ，（t为参数），直线l2的参数方程为

，（m为参数）．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．

（1）写出C的普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ（cosθ+sinθ）- =0，M为l3与C的交点，求M的极径．

5. 已知曲线C：

+

=1，直线l： （t为参数）

（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．

（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．

第2页，共19页 6. 已知直线l的参数方程为

⾼中数学选修4-4课后习题答案[⼈教版]

⾼中数学选修4-4课后习题答案 fl ft ill-：的 h P,1 为 i* \ -⼬Ml ： 2fi HP. BKj A( - SH-o

\?.曲：ar ?亦o "「⼯(⼀肛 rh A C < 7 ⼀ HC C ■ 4{' 由帼的⾎料戌h 程,W 直戏⽫J 的⽅⾴为 達就卍帕岸时壮谨厅刊” 葩注-；⾎:【￥|.刖.BE.⼩仆慣丄丄伽⽬W 「的 斥帕JR 边nifffifl-的“忧剧 f 的商⑴所征的愀为厲細建⽴直⽤望标系? 设⼉IL 「的世械俶狀为￡ “ * 0). (A-O). a <),则 * 畐H h 1励N 贞1 杯 枚⽹宦点为m 仏以线⽤⼋”的⼩点为惶戊.w 祈釘徴为』軸it#⾎处唯标氛m 的电际⾻堆如-:讥［叽 ⼝* O)； 为 yk ihUWil -r +y =1. ii 就屯也W 的執送h ffl.这圧以AH 的⼬点沟阴⼼.J 占半性的町 *fr ⽫代⼩「轴.汕庭⼋叭和帕f ［线⼒￥辅世，沖Iff 倆出标廉?即⽫M ⾋“占Uh ⽐AIIC 的蚌昜⽚P 仃?“?旧为P 昼?w ⽫ 的>a tt 平井如:的氐 呃丄rc c 的慄标“别为 〔r ⼀趴⑴.< J + 2. O). W 为/也打细3 AH 的朿|、平仆纯！ . M m PA PH .即v / (S :{1 /?□* 圍就.曲出渊说牒轴I 妇n K.⼚的坐怵値歐a ?eg "?“n (g 由厅祁Q ；T ⑵?HI fl} r-

（—6>（x — -l ev （）?

（D-②初妳“MU （）?闵为

所以点“任⼋“边的阳役上?即AA/?'M 三廉胡线交「?点? 4. ?1）v 3 h ⑵：⼀⾷ 1 * <3> y ，' 2J>，

(3.r>:4 9v : 9.

化简鮒刘

F +y=h

这就⾒曲纯「的⽅⽤?（图略） 6. W ：（I ）计紳妳住快为

｛严?

i V PV*

代⼈2Z / I 评列

ZAr —I.

二 圆锥曲线的参数方程

1．理解椭圆的参数方程及其应用．(重点)

2．了解双曲线、抛物线的参数方程．

3．能够利用圆锥曲线的参数方程解决最值、有关点的轨迹问题．(难点、易错点)

[基础·初探]

教材整理1 椭圆的参数方程

阅读教材P27～P29“思考”及以上部分，完成下列问题．

普通方程 参数方程

x2a2＋y2b2＝1(a>b>0) 

x＝acos φy＝bsin φ(φ为参数)

y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)  x＝bcos φy＝asin φ(φ为参数)

椭圆 x＝4cos φy＝5sin φ(φ为参数)的离心率为( )

A.45 B.35

C.34 D.15

【解析】 由椭圆方程知a＝5，b＝4，∴c2＝9，c＝3，e＝35.

【答案】 B

教材整理2 双曲线的参数方程

阅读教材P29～P32，完成下列问题.

普通方程 参数方程 x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)  x＝asec φy＝btan φ(φ为参数)

下列双曲线中，与双曲线 x＝3sec θ，y＝tan θ(θ为参数)的离心率和渐近线都相同的是( )

A.y23－x29＝1 B.y23－x29＝－1

C.y23－x2＝1 D.y23－x2＝－1

【解析】 由x＝3sec θ得，

x2＝3cos2θ＝3sin2θ＋cos2θcos2θ＝3tan2θ＋3，

又∵y＝tan θ，

∴x2＝3y2＋3，即x23－y2＝1.

经验证可知，选项B合适．

【答案】 B

教材整理3 抛物线的参数方程

阅读教材P33～P34“习题”以上部分，完成下列问题．

1．抛物线y2＝2px的参数方程是 x＝2pt2y＝2pt(t为参数)．

2．参数t表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．

若点P(3，m)在以点F为焦点的抛物线 x＝4t2y＝4t(t为参数)上，则|PF|＝________.