试卷第1页，共8页2023年九年级数学下册中考数学专题训练：角度问题（二次函数综合）
一、解答题
1．如图，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y
＝x2+bx+c经过B、C，且与x轴另一交点为4
9
A，连接AC．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点E在抛物线上，连接EC，当∠ECB+∠ACO＝45°时，求点E的横坐标；
(3)点M从点A出发，沿线段AB由A向B运动，同时点N从点C出发沿线段CA由C向A运动，M，N的运动速
度都是每秒1个单位长度，当N点到达A点时，M，N同时停止运动，问在坐标平面内是否存在点D，使M，N
运动过程中的某些时刻t，以A，D，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出t的值；若不存在，说明理
由．
2．已知抛物线y=ax²+bx+c经过点A（-6，0）、B（2，0）和C（0，3），点D是该抛物线在第四象限上的一个点，
连接 AD、AC、CD，CD 交x轴于E．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）当S△DAE=S△ACD时，求点 D的坐标；1
4
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得△PAD中的一个角等于2∠BAD?若存在，直接写出点P 的
坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图1，直线y=ax²+4ax+c与x轴交于点A（-6，0）和点B，与y轴交于点C，且OC=3OB试卷第2页，共8
页(1)直接写出抛物线的解析式及直线AC的解析式；
(2)抛物线的顶点为D，F为抛物线在第四象限的一点，直线AF解析式为，求∠CAF-∠CAD
的度数．1
2
3yx
(3)如图2，若点P是抛物线上的一个动点，作PQ⊥y轴垂足为点Q，直线PQ交直线AC于E，再过点E作x轴的
垂线垂足为R，线段QR最短时，点P的坐标及QR的最短长度．
4．已知顶点为A(2，一1)的抛物线与y轴交于点B，与x轴交于C、D两点，点C坐标(1，O)；
(1)求这条抛物线的表达式；
(2)连接AB、BD、DA，求cos∠ABD的大小；
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图：在平面直角坐标系中，直线l：y=13x﹣43与x轴交于点A，经过点A的抛物线y=ax2﹣3x+c的对称轴是x=32．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平移直线l经过原点O，得到直线m，点P是直线m上任意一点，PB⊥x轴于点B，PC⊥y轴于点C，若点E在线段OB上，点F在线段OC的延长线上，连接PE，PF，且PE=3PF．求证：PE⊥PF；
（3）若（2）中的点P坐标为（6，2），点E是x轴上的点，点F是y轴上的点，当PE⊥PF时，抛物线上是否存在点Q，使四边形PEQF是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4；（2）证明见解析；（3）点Q的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．
【解析】
【分析】
（1）先求得点A的坐标，然后依据抛物线过点A，对称轴是x=32列出关于a、c的方程组求解即可；
（2）设P（3a，a），则PC=3a，PB=a，然后再证明∠FPC=∠EPB，最后通过等量代换进行证明即可；
（3）设E（a，0），然后用含a的式子表示BE的长，从而可得到CF的长，于是可得到点F的坐标，然后依据中点坐标公式可得到22xxxxQPFE，22yyyyQPFE，从而可求得点Q的坐标（用含a的式子表示），最后，将点Q的坐标代入抛物线的解析式求得a的值即可．
【详解】 （1）当y=0时，14033x，解得x=4，即A（4，0），抛物线过点A，对称轴是x=32，得161203322aca，
解得14ac，抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4；
（2）∵平移直线l经过原点O，得到直线m，
∴直线m的解析式为y=13x．
∵点P是直线1上任意一点，
∴设P（3a，a），则PC=3a，PB=a．
又∵PE=3PF，
∴PCPBPFPE．
二次函数性质综合题
类型一 二次项系数确定型
1.已知二次函数y=x2-2mx+m2+m-5.
（1）若该二次函数图象关于y轴对称，写出它的图象的顶点坐标．
（2）若该二次函数图象的顶点在第一象限，求m的取值范围．
解：(1)∵二次函数y=x2-2mx+m2+m-5的图象关于y轴对称，
∴x=22m=0， 解得m=0，
∴二次函数为y=x2-5，
∴顶点坐标为（0，-5）；
(2)y=x2-2mx+m2+m-5=（x-m)2+m-5，
∴顶点坐标为（m，m-5），
∵它的图象的顶点在第一象限，
∴ m＞0，且 m−5>0 ， 解得m>5．
2.已知抛物线G：y=x2-2ax+a-1(a为常数).
（1）当a=3时，用配方法求抛物线G的顶点坐标；
（2）若记抛物线G的顶点坐标为P（p,q），
分别用含a的代数式表示p,q；
请在的基础上继续用含p的代数式表示q；
由可得，顶点P的位置会随着a的取值变化而变化，则点P总落在__________图象上.
A.一次函数 B.反比例函数 C.二次函数
（3）小明想进一步对（2）中的问题进行如下改编：将（2）中的抛物线G改为抛物线H：y=x2-2ax+N(a为常数)，其中N代表含a的代数式，从而使这个新抛物线H满足：无论a取何值，它的顶点总落在某个一次函数的图象上. 请按照小明的改编思路，写出一个符合以上要求的新抛物线H的函数表达式：_________（用含a的代数式表示），它的顶点所在的一次函数图象的表达式y=kx+b(k,b为常数，k≠0)中，k=___________,b=___________.
解：(1)当a=3时，y=x2-6x+2=(x-3)2-7,
∴点G的顶点坐标为(3,-7);
(2)y=x2-2ax+a-1=(x-a)2-a2+a-1,
∴p=a,q=-a2+a-1;
q=-p2+p-1;
专题二 二次函数的综合——2023届中考数学热点题型突破
题型1 二次函数与线段最值问题
1.在平面直角坐标系中, 点B 的坐标为, 将抛物线向左平移 2 个单位
长度后的 顶点记为A. 若点P 是x 轴上一动点, 则 的最小值是( )
A. 8
B. C. 9D.
2.如图, 抛物线
与x 轴正半轴交于点A, 与y 轴交于点B.
(1)求直线AB 的解析式及抛物线顶点坐标;
(2)点 P为第四象限内且在对称轴右侧抛物线上一动点, 过点 P
作 轴, 垂足为
C,PC 交AB 于 点D, 求 的最大值, 并求出此时点P 的坐标;
(3)
将抛物线
向左平移n
个单位长度得到抛物线,
若抛物线与直
线AB 只有一个交点, 求n 的值.
3.已知:如图
,二次函数与x轴交于点A,B,点A在点B左侧,交y
轴于点C,.
（1）求抛物线的解析式;
（2）在第一象限的抛物线上有一点D,连接AD
,若,求点D坐标;
（3）点P
在第一象限的抛物线上,于点Q,求PQ
的最大值
?题型2 二次函数与图形面积问题
4.如图，抛物线与x轴的两个交点坐标为、.
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)矩形的顶点P，Q在x轴上(P，Q不与A，B重合)，另两个顶点M，N在抛
物线上(如图).
①当点P
在什么位置时，矩形
周长最大？求这个最大值并写出点
P的坐标；
②判断命题“当矩形周长最大时，其面积最大”的真假，并说明理由.
5.在平面直角坐标系xOy 中, 已知抛物线 经过 ,两点. P是抛
物线上一点, 且 在直线AB 的上方.
(1)请直接写出抛物线的解析式.
(2)若 面积是 面积的 2 倍, 求点P 的坐标.
(3)如图, OP交 AB于点 C,交AB 于点D. 记 ,,的面积分别
为,,. 判断 是否存在最大值. 若存在, 求出最大值; 若不存在, 请说明理
由.
6.已知抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴交于C点，且，
.(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为抛物线上位于直线BC上方的一点，连结PB、PC.
