人教版八年级上册数学全册导学教案

11．1.1 三角形的边

一、教学目标

1．理解三角形的表示法、分类法以及三边之间的关系，发展学生的空间观念．

2．经历探索三角形中三边关系的过程，认识三角形这个最简单、最基本的几何图形．

二、教学重难点

重点：掌握三角形三边的关系．

难点：三角形三边关系的应用．

教学过程

一、情境引入

【引入】 在本章引言中，我们提到许多三角形的实际例子．你能找出它们的共同特征吗？怎样表示所找到的三角形呢？

学生活动：小组交流、讨论．

教师总结：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．

教材图11.1－1

在教材图11.1－1中，线段AB，BC，CA是三角形的边．点A，B，C是三角形的顶点．∠A，∠B，∠C是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角．

顶点是A，B，C的三角形，记作△ABC，读作“三角形ABC”．

△ABC的三边，有时也用a，b，c来表示．如教材图11.1－1，顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示．

二、互动新授

【问题】 现实生活中，同学们看到了哪些不同的三角形？它们是如何分类的呢？

学生活动：学生独自思考后，小组交流、讨论．

教师总结：我们知道，按照三个内角的大小，可以将三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．

【思考】 如何按照边的关系对三角形进行分类呢？说说你的想法，并与同学交流．

学生活动：画出自己所看到的三角形，并测量三边的长度．

教师用多媒体演示三角形的类型．我们知道：三边都相等的三角形叫做等边三角形(教材图11.1－2(1))；有两条边相等的三角形叫做等腰三角形(教材图11.1－2(2))．教材图11.1－2(3)中的三角形是三边都不相等的三角形．

教师总结：以“是否有边相等”，可以将三角形分两类：三边都不相等的三角形和等腰三角形．

我们还知道：在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角．

等边三角形是特殊的等腰三角形，即底边和腰相等的等腰三角形．

综上，三角形按边的相等关系分类如下：

三角形

教师多媒体演示：

【探究】 任意画一个△ABC，从点B出发，沿三角形的边到点C，有几条线路可以选择？各条线段的长有什么关系？能证明你的结论吗？

学生活动：小组交流、讨论．

教师总结：对于任意一个△ABC，如果把其中任意两个顶点(例如B，C)看成定点，由“两点之间，线段最短”可得AB＋AC＞BC①.同理有AC＋BC＞AB②，AB＋BC＞AC③.

一般地，我们有三角形两边的和大于第三边．

由不等式②③移项可得BC＞AB－AC，BC＞AC－AB.这就是说，三角形两边的差小于第三边．

【例】 用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形．

(1)如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？

(2)能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？为什么？

【解】 (1)设底边长为xcm，则腰长为2xcm.

x＋2x＋2x＝18.

解得x＝3.6.

所以，三边长分别为3.6cm，7.2cm，7.2cm.

(2)因为长为4cm的边可能是腰，也可能是底边，所以需要分情况讨论．

如果4cm长的边为底边，设腰长为xcm，则4＋2x＝18.

解得x＝7.

如果4cm长的边为腰，设底边长为xcm，则2×4＋x＝18.

解得x＝10.

因为4＋4＜10，不符合三角形两边的和大于第三边，所以不能围成腰是4cm的等腰三角形．

由以上讨论可知，可以围成底边长是4cm的等腰三角形．

三、课堂小结

四、板书设计

11．1 与三角形有关的线段

11．1.1 三角形的边

1．三角形的概念

2．三角形的分类

3．三角形三边的大小关系

五、教学反思

本节课主要学习三角形的概念及三边的大小关系．教学中，教师引导学生在数三角形个数时，要按照一定的次序去数，从而做到不重复，不遗漏．通过探究与应用，使学生明确三角形的三边关系不仅给出了三边之间的大小关系，更重要的它是判断三条线段能否构成三角形的依据．判断三条线段的长度能否构成三角形，不需要都检验，只要检验较小两边的长度和大于最长边的长，那么它们就能组成三角形．本节课教学中发现的问题有：解决有关等腰三角形边的问题时，学生往往忘记分情况予以讨论．教师要反复提醒学生要看某边是腰还是底，并且在求出三边后，还应验证是否满足两腰之和大于底边．

导学方案

一、学法点津

判断三条线段能否组成三角形，关键看三条线段是否满足任意两边之和大于第三边．学生学习时应掌握其简便方法：将较短的两边之和与较长的边进行比较，若较短的两边之和大于较长的边，则三条线段可以组成三角形，反之则不能组成三角形．

二、学点归纳总结

（一）知识要点总结

1．三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．

2．三角形的分类：(1)按照三个内角的大小，分为：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；(2)按照边的关系，分为：三边都不相等的三角形和等腰三角形．

3．三角形的三边关系：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边．

（二）规律方法总结

1．数三角形个数时，要按照一定的次序去数，做到不重复、不遗漏．如可以按三角形的大小顺序去数．

2．判断三条线段能否组成三角形，关键是看三条线段是否满足任意两边之和大于第三边，但需一一验证．其简便方法是将较短的两边之和与较长的边进行比较，若较短的两边之和大于较长的边，则三条线段可以组成三角形，反之则不能组成三角形．

课时作业设计

一、选择题

1．如右图所示，其中三角形的个数是( )．

A．5 B．6 C．7

D．8

2．等腰三角形两边分别是9cm和15cm，则此等腰三角形的周长为( )．

A．24cm B．33cm

C．39cm D．33cm或39cm

3.下列各组给出的三条线段中，不一定能组成三角形的是( )．

A．3，4，5 B．3a，4a，5a

C．3＋a，4＋a，5＋a D．三条线段之比为3∶4∶5

二、填空题

4．现有2cm、4cm、6cm、8cm长的四根木棒，任意选取三根组成一个三角形，那么可以组成三角形的个数为________个．

5．等腰三角形的两边长分别是4和9，则第三边长为________．

6．一个三角形两边长为2，9，第三边为偶数，则三角形的周长为________．

三、解答题

7．一个等腰三角形的周长是22cm，其中一条边长为4cm，那么另外两边长各为多少？

8．如右图，点P为△ABC内任意一点，BP延长线交AC于D，试说明：AB＋AC＞PB＋PC.

【参考答案】

1．A 2．D 3．C

4．1 5．9 6．19或21

7．解：当4cm为腰时，底边长为22－4－4＝14(cm)，但4＋4＜14，所以不能构成三角形；当4cm为底边长时，腰长为×(22－4)＝9(cm)，所以，另两边长为9cm、9cm.

8．解：在△ABD中，AB＋AD＞BP＋PD①.在△PDC中，PD＋DC＞PC②.由①＋②，得AB＋AD＋PD＋DC＞BP＋PD＋PC.所以AB＋AC＞BP＋PC.

11．1.2 三角形的高、中线与角平分线

11．1.3 三角形的稳定性

一、教学目标

1．了解三角形的高、中线与角平分线、高的概念以及三角形稳定性的知识．

2．经历探索与三角形有关的线段的过程，感受三角形稳定性的内涵，发展学生的空间观念．

二、教学重难点

重点：理解三角形的高、中线与角平分线的概念，学会画“三线”．

难点：画钝角三角形的高．

教学过程

一、情境引入

与三角形有关的线段，除了三条边，还有我们已经学过的三角形的高．如教材图11.1－3，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高．

用同样的方法，能画出△ABC的另外两条边上的高吗？

【操作1】你能画出任意一个三角形的高吗？试一试．

学生活动：动手画一个锐角三角形、一个直角三角形、一个钝角三角形，再分别画出它们的高．

教师多媒体演示：

锐角三角形 直角三角形 钝角三角形

【引导1】 观察锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，它们的三条高能否交于同一点？这个交点的位置有何不同？

从图中可以看出：三角形的三条高线一定会相交于一点，但锐角三角形的三条高线的交点在锐角三角形内部，直角三角形的三条高线的交点在直角顶点处，钝角三角形的三条高线的交点在钝角三角形的外部．

我们再来看两种与三角形有关的线段．

二、互动新授

【操作2】 画一个锐角三角形，取它们各边的中点，连接每一个顶点与它对边的中点，观察这三条线段是否交于同一点？

学生活动：动手画图、观察、讨论、寻求结论．

教师总结：如教材图11.1－4(1)：连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线．

如教材图11.1－4(2)，三角形的三条中线相交于一点．三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．

说明：取一块质地均匀的三角形木板，顶住三条中线的交点，木板会保持平衡，这个平衡点就是这块三角形木板的重心．

如教材图11.1－5，画∠A的平分线AD，交∠A所对边BC于点D，所得线段AD叫做△ABC的角平分线．画出△ABC的另两条角平分线，观察三条角平分线，你有什么发现？

【操作3】 在一张薄纸上任意画一个三角形，通过折纸的方法试一试，你能设法画出一个三角形的内角平分线吗？

学生活动：画任意三角形，对折一个内角，折痕就是所要求作的一个内角的平分线．

教师提问：一个三角形角平分线有几条？这几条角平分线是否能交在同一个点上？请你动手画一画．

学生活动：折叠三个内角，可以很容易发现，三角形的三条角平分线相交于一点．(如右图所示)

【引导2】 工程建筑中经常采用三角形的结构，如屋顶钢架(教材图11.1－6(1))，其中的道理是什么？盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条(教材图11.1－6(2))．为什么要这样做呢？

【探究】 如教材图11.1－7(1)，将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？

如教材图11.1－7(2)，将四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？

如教材图11.1－7(3)，在四边形木架上再钉一根木条，将它的一对不相邻的顶点连接起来，然后再扭动它，这时木架的形状还会改变吗？为什么？

教师拿出教具，动手操作，学生观察．

教师总结：从以上的探究和操作中可以发现，三角形木架的形状不会改变，而四边形木架的形状会改变．这就是说，三角形是具有稳定性的图形，而四边形没有稳定性．

还可以发现，斜钉一根木条的四边形木架的形状不会改变．这是因为斜钉一根木条后，四边形变成两个三角形，由于三角形有稳定性，斜钉一根木条的窗框在未安装好之前也不会变形．