高考数学(文)一轮复习文档：第八章 平面解析几何 第7讲抛物线 Word版含答案

第7讲 抛物线

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1．抛物线的定义

满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：

(1)在平面内；

(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；

(3)定点不在定直线上．

2．抛物线的标准方程和几何性质

标准

方程 y2＝2px

(p＞0) y2＝－2px

(p＞0) x2＝2py

(p＞0) x2＝－2py

(p＞0)

p的几何意义：焦点F到准线l的距离

图形

顶点 O(0，0)

对称轴 y＝0 x＝0

焦点 Fp2，0 F－p2，0 F0，p2 F0，－p2

离心率 e＝1

准线

方程 x＝－p2 x＝p2 y＝－p2 y＝p2

范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，

x∈R y≤0，

x∈R

开口

方向 向右 向左 向上 向下

焦半径 |PF|＝ |PF|＝ |PF|＝ |PF|＝ (其中

P(x0，

y0)) x0＋p2 －x0＋p2

y0＋p2 －y0＋p2

1．辨明两个易误点

(1)抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与定直线垂直的直线．

(2)对于抛物线标准方程中参数p，易忽视只有p＞0才能证明其几何意义是焦点F到准线l的距离，否则无几何意义．

2．与焦点弦有关的常用结论

(以右图为依据)

设A(x1，y1)，B(x2，y2)．

(1)y1y2＝－p2，x1x2＝p24.

(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2θ(θ为AB的倾斜角)．

(3)1|AF|＋1|BF|为定值2p.

(4)以AB为直径的圆与准线相切．

(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切．

1.教材习题改编抛物线8x2＋y＝0的焦点坐标为( )

A．(0，－2) B．(0，2)

C．0，－132 D．0，132

C 由8x2＋y＝0，得x2＝－18y.

2p＝18，p＝116，所以焦点为0，－132，故选C. 2.教材习题改编以x＝1为准线的抛物线的标准方程为( )

A．y2＝2x B．y2＝－2x

C．y2＝4x D．y2＝－4x

D 由准线x＝1知，抛物线方程为y2＝－2px(p>0)且p2＝1，p＝2，所以方程为y2＝－4x，故选D.

3．M是抛物线y2＝2px(p>0)位于第一象限的点，F是抛物线的焦点，若|MF|＝52p，则直线MF的斜率为( )

A．43 B．53

C．54 D．52

A 设M(x0，y0)，由|MF|＝52p，得

x0＋p2＝5p2，所以x0＝2p.

所以y20＝2px0＝4p2，取正根得y0＝2p.

即M的坐标为(2p，2p)，

又F的坐标为(p2，0)，

所以kMF＝2p－02p－p2＝43，

故选A.

4．动圆过点(1，0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．

设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.

y2＝4x

5.教材习题改编抛物线x2＝2py(p>0)上的点P(m，2)到焦点F的距离为3，则该抛物线的方程为________．

根据抛物线定义可知2＋p2＝3，所以p＝2，所以抛物线的方程为x2＝4y.

x2＝4y

抛物线的定义及其应用

(1)若抛物线y2＝2x上一点M到它的焦点F的距离为32，O为坐标原点，则△MFO的面积为( )

A．22 B．24

C．12 D．14

(2)已知抛物线y2＝4x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点B(3，2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．

【解析】 (1)由题意知，抛物线准线方程为x＝－12.

设M(a，b)，由抛物线的定义可知，

点M到准线的距离为32，

所以a＝1，代入抛物线方程y2＝2x，

解得b＝±2，所以S△MFO＝12×12×2＝24.

(2)如图，过点B作BQ垂直准线于Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|，则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.

即|PB|＋|PF|的最小值为4.

【答案】 (1)B (2)4

若本例(2)中的B点坐标改为(3，4)，试求|PB|＋|PF|的最小值．

由题意可知点(3，4)在抛物线的外部．因为|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，

所以|PB|＋|PF|≥|BF|＝42＋22＝16＋4＝25.即|PB|＋|PF|的最小值为25.

抛物线定义的应用 (1)利用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．即“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”．

(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋p2或|PF|＝|y|＋p2.

1．(2017·云南省统一检测)设经过抛物线C的焦点F的直线l与抛物线C交于A、B两点，那么抛物线C的准线与以AB为直径的圆的位置关系为( )

A．相离 B．相切

C．相交但不经过圆心 D．相交且经过圆心

B 设圆心为M，过点A、B、M作准线l的垂线，垂足分别为A1、B1、M1，

则|MM1|＝12(|AA1|＋|BB1|)．

由抛物线定义可知|BF|＝|BB1|，|AF|＝|AA1|，

所以|AB|＝|BB1|＋|AA1|，|MM1|＝12|AB|，

即圆心M到准线的距离等于圆的半径，

故以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．

2．(2017·长春调研)已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，则抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )

A．355 B．2

C．115 D．3

B 由题可知l2：x＝－1是抛物线y2＝4x的准线，设抛物线的焦点F为(1，0)，则动点P到l2的距离等于|PF|，则动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值即为焦点F到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，所以最小值是|4－0＋6|5＝2.

抛物线的标准方程及性质(高频考点)

抛物线的标准方程及性质是高考的热点，考查时多以选择题、填空题形式出现，个别高考题有一定难度．

高考对抛物线的考查主要有以下三个命题角度：

(1)求抛物线方程； (2)由已知求参数p；

(3)抛物线方程的实际应用．

(1)(2016·高考全国卷乙)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知|AB|＝42，|DE|＝25，则C的焦点到准线的距离为( )

A．2 B．4

C．6 D．8

(2)若抛物线的焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点，则抛物线的标准方程为________．

【解析】 (1)由题意，不妨设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，由|AB|＝42，|DE|＝25，可取A4p，22，D－p2，5，设O为坐标原点，由|OA|＝|OD|，得16p2＋8＝p24＋5，得p＝4，所以选B.

(2)对于直线方程3x－4y－12＝0，令x＝0，得y＝－3，令y＝0，得x＝4，所以抛物线的焦点坐标可能为(0，－3)或(4，0)．

当焦点坐标为(0，－3)时，设方程为x2＝－2py(p>0)，则p2＝3，所以p＝6，此时抛物线的标准方程为x2＝－12y；

当焦点坐标为(4，0)时，设方程为y2＝2px(p>0)，则p2＝4，

所以p＝8，此时抛物线的标准方程为y2＝16x.

所以所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x.

【答案】 (1)B (2)x2＝－12y或y2＝16x

(1)求抛物线的标准方程的方法

①求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可．

②因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．

(2)确定及应用抛物线性质的技巧

①利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程．

②要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解．

角度一 求抛物线方程

1．以x轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点P(1，m)到焦点的距离为3，则抛物线的方程是( )

A．y＝4x2 B．y＝8x2

C．y2＝4x D．y2＝8x

D 设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，则由抛物线的定义知1＋p2＝3，即p＝4，所以抛物线方程为y2＝8x.

角度二 由已知求参数p

2．(2017·襄阳调研测试)抛物线y2＝2px的焦点为F，M为抛物线上一点，若△OFM的外接圆与抛物线的准线相切(O为坐标原点)，且外接圆的面积为9π，则p＝( )

A．2 B．4

C．6 D．8

B 因为△OFM的外接圆与抛物线的准线相切，所以△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，因为圆面积为9π，所以圆的半径为3，又因为圆心在OF的垂直平分线上，|OF|＝p2，

所以p2＋p4＝3，所以p＝4.

角度三 抛物线方程的实际应用

3．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为________米．

建立坐标系如图所示．

则可设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)．因为点(2，－2)在抛物线上，所以p＝1，