2019版同步优化探究理数(北师大版)练习：第八章 第六节 抛物线解析

课时作业

A组——基础对点练

1、(2017·沈阳质量监测)抛物线y＝4ax2(a≠0)的焦点坐标是( )

A、(0,a) B、(a,0)

C.0，116a D.116，0

解析：将y＝4ax2(a≠0)化为标准方程得x2＝14ay(a≠0),所以焦点坐标为0，116a,所以选C.

答案：C

2、(2017·辽宁五校联考)已知AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦,|AB|＝4,则AB中点C的横坐标是( )

A、2 B.12

C.32 D.52

解析：设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|＝x1＋x2＋p＝4,又p＝1,所以x1＋x2＝3,所以点C的横坐标是x1＋x22＝32.

答案：C

3、(2017·邯郸质检)设F为抛物线y2＝2x的焦点,A、B、C为抛物线上三点,若F为△ABC的重心,则|FA→|＋|FB→|＋|FC→|的值为( )

A、1 B、2

C、3 D、4

解析：依题意,设点A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),又焦点F12，0,x1＋x2＋x3＝3×12＝32,则|FA→|＋|FB→|＋|FC→|＝(x1＋12)＋(x2＋12)＋x3＋12＝(x1＋x2＋x3)＋32＝32＋32＝3.选C.

答案：C

4、已知直线l：y＝kx－k与抛物线C：y2＝4x及其准线分别交于M,N两点,F为抛物线的焦点,若2FM→＝MN→,则实数k等于( )

A、±33 B、±1

C、±3 D、±2 解析：抛物线C：y2＝4x的焦点F(1,0),直线l：y＝kx－k过抛物线的焦点,如图、过M作MM′⊥准线x＝－1,垂足为M′,由抛物线的定义,得|MM′|＝|MF|,易知∠M′MN与直线l的倾斜角相等,由2FM→＝MN→,得cos∠M′MN＝|MM′||MN|＝12,则tan∠M′MN＝±3,∴直线l的斜率k＝±3,故选C.

答案：C

5、已知P为抛物线y2＝4x上一个动点,Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点,那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是( )

A、25－1 B、25－2

C.17－1 D.17－2

解析：由题意得圆x2＋(y－4)2＝1的圆心A(0,4),半径r＝1,抛物线的焦点F(1,0)、由抛物线的几何性质可得：点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是|AF|－r＝1＋16－1＝17－1.选C.

答案：C

6、(2017·沈阳质量监测)已知抛物线x2＝4y的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,过P作PA⊥l于点A,当∠AFO＝30°(O为坐标原点)时,|PF|＝ .

解析：设l与y轴的交点为B,在Rt△ABF中,∠AFB＝30°,|BF|＝2,所以|AB|＝233,设P(x0,y0),则x0＝±233,代入x2＝4y中,得y0＝13,从而|PF|＝|PA|＝y0＋1＝43.

答案：43

7、(2017·云南检测)已知抛物线C的方程为y2＝2px(p＞0),⊙M的方程为x2＋y2＋8x＋12＝0,如果抛物线C的准线与⊙M相切,那么p的值为 、

解析：将⊙M的方程化为标准方程：(x＋4)2＋y2＝4,圆心坐标为(－4,0),半径r＝2,又抛物线的准线方程为x＝－p2,∴|4－p2|＝2,解得p＝12或4.

答案：12或4

8.如图,过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线l依次交抛物线及其准线于点A,B,C,若|BC|＝2|BF|,且|AF|＝3,则抛物线的方程是 、 解析：分别过点A、B作准线的垂线AE、BD,分别交准线于点E、D(图略),则|BF|＝|BD|,∵|BC|＝2|BF|,∴|BC|＝2|BD|,∴∠BCD＝30°,又|AE|＝|AF|＝3,∴|AC|＝6,即点F是AC的中点,根据题意得p＝32,∴抛物线的方程是y2＝3x.

答案：y2＝3x

9、已知抛物线y2＝4px(p＞0)的焦点为F,圆W：(x＋p)2＋y2＝p2的圆心到过点F的直线l的距离为p.

(1)求直线l的斜率；

(2)若直线l与抛物线交于A、B两点,△WAB的面积为8,求抛物线的方程、

解析：(1)易知抛物线y2＝4px(p＞0)的焦点为F(p,0),依题意直线l的斜率存在且不为0,设直线l的方程为x＝my＋p,因为W(－p,0),

所以点W到直线l的距离为|－p－p|1＋－m2＝p,解得m＝±3,所以直线l的斜率为±33.

(2)由(1)知直线l的方程为x＝±3y＋p,由于两条直线关于x轴对称,不妨取x＝3y＋p,

联立 x＝3y＋p，y2＝4px，消去x得y2－43py－4p2＝0,

设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1＋y2＝43p,y1y2＝－4p2,

所以|AB|＝1＋32·43p2＋4×4p2＝16p,

因为△WAB的面积为8,所以12p×16p＝8,得p＝1,

所以抛物线的方程为y2＝4x.

10、(2017·合肥质检)已知抛物线C1：x2＝2py(p＞0),O是坐标原点,点A,B为抛物线C1上异于O点的两点,以OA为直径的圆C2过点B.

(1)若A(－2,1),求p的值以及圆C2的方程；

(2)求圆C2的面积S的最小值(用p表示)、

解析：(1)∵A(－2,1)在抛物线C1上,∴4＝2p,p＝2.又圆C2的圆心为－1，12,半径为|OA|2＝52,∴圆C2的方程为(x＋1)2＋y－122＝54.

(2)记A(x1,x212p),B(x2,x222p)、则OB→＝(x2,x222p),AB→＝(x2－x1,x22－x212p)、

由OB→·AB→＝0知,x2(x2－x1)＋x22x22－x214p2＝0. ∵x2≠0,且x1≠x2,∴x22＋x1·x2＝－4p2,∴x1＝－x2＋4p2x2.

∴x21＝x22＋16p4x22＋8p2≥216p4＋8p2＝16p2,当且仅当x22＝16p4x22,即x22＝4p2时取等号、

又|OA|2＝x21＋x414p2＝14p2(x41＋4p2·x21),注意到x21≥16p2,

∴|OA|2≥14p2(162·p4＋4p2·16p2)＝80p2.而S＝π·|OA|24,∴S≥20πp2,

即S的最小值为20πp2,当且仅当x22＝4p2时取得、

B组——能力提升练

1、已知抛物线C：y2＝mx(m>0)的焦点为F,点A(0,－3)、若射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点D,且|FM|∶|MD|＝1∶2,则点M的纵坐标为( )

A、－13 B、－33

C、－23 D、－233

解析：依题意,F点的坐标为(m4,0),设点M在准线上的射影为K,由抛物线的定义知|MF|＝|MK|,因为|FM|∶|MD|＝1∶2,所以|KD|∶|KM|＝3∶1,kFD＝3,kFD＝0＋3m4－0＝43m,所以43m＝3,解得m＝4,所以直线FM的方程为y＝3(x－1),与y2＝4x联立,解得x＝3(舍去)或x＝13,所以y2＝43,y＝－233或y＝233(舍去),故点M的坐标为(13,－233),故选D.

答案：D

2、(2018·石家庄质检)已知圆C1：x2＋(y－2)2＝4,抛物线C2：y2＝2px(p>0),C1与C2相交于A,B两点,且|AB|＝855,则抛物线C2的方程为( )

A、y2＝85x B、y2＝165x

C、y2＝325x D、y2＝645x

解析：由题意,知直线AB必过原点,则设AB的方程为y＝kx(k>0),圆心C1(0,2)到直线AB的距离d＝2k2＋1＝ 22－4552＝255,解得k＝2(k＝－2舍去)、由 y＝2xx2＋y－22＝4,可取A(0,0),B(85,165), 把(85,165)代入抛物线方程,得(165)2＝2p·85,解得p＝165,所以抛物线C2的方程为y2＝325x,故选C.

答案：C

3、已知点P在抛物线y2＝x上,点Q在圆(x＋12)2＋(y－4)2＝1上,则|PQ|的最小值为( )

A.352－1 B.332－1

C、23－1 D.10－1

解析：设点P(y2,y)(y∈R),圆(x＋12)2＋(y－4)2＝1的圆心为A(－12,4),则|PA|2＝(y2＋12)2＋(y－4)2＝y4＋2y2－8y＋654,令t＝y4＋2y2－8y＋654,则t′＝4y3＋4y－8,令m＝t′＝4y3＋4y－8,则m′＝12y2＋4>0,所以m＝t′＝4y3＋4y－8在R上是增函数,因为t′|y＝1＝0,所以y＝1为t＝y4＋2y2－8y＋654的极小值点也是最小值点,所以|PA|2＝t的最小值为454,所以|PA|的最小值为352,所以|PQ|的最小值为352－1,故选A.

答案：A

4、(2018·山西八校联考)已知抛物线y2＝4x的准线与x轴相交于点P,过点P且斜率为k(k>0)的直线l与抛物线交于A,B两点,F为抛物线的焦点,若|FB|＝2|FA|,则AB的长度为 、

解析：依题意知P(－1,0),F(1,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),由|FB|＝2|FA|,得x2＋1＝2(x1＋1),即x2＝2x1＋1

①,∵P(－1,0),则AB的方程为y＝kx＋k,与y2＝4x联立,得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0,则Δ＝(2k2－4)2－4k4>0,即k2<1,x1x2＝1 ②,由①②得x1＝12,则A(12,2),

∴k＝2－012－－1＝223.∴x1＋x2＝52,

|AB|＝ 1＋89[x1＋x22－4x1x2]＝172.

答案：172

5、(2018·昆明市检测)设F为抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点,曲线y＝kx(k>0)与C交于点A,直线FA恰与曲线y＝kx(k>0)相切于点A,FA交C的准线于点B,则|FA||BA|等于 、 解析：由 y2＝2px，y＝kx，解得 x＝k32pk，y＝32pk.

由y＝kx,得y′＝－kx2,

所以kFA＝32pkk32pk－p2＝－kk234p2k2,化简得k＝p242,

所以x＝k32pk＝p4,

|FA||AB|＝|xF－xA||xA－xB|＝p2－p4p4－－p2＝13.

答案：13

6、(2017·唐山统考)已知抛物线y2＝2px(p＞0),过点C(－2,0)的直线l交抛物线于A、B两点,坐标原点为O,OA→·OB→＝12.

(1)求抛物线的方程；

(2)当以AB为直径的圆与y轴相切时,求直线l的方程、

解析：(1)设l：x＝my－2,代入y2＝2px,

得y2－2pmy＋4p＝0.(*)

设A(x1,y1),B(x2,y2),

则y1＋y2＝2pm,y1y2＝4p,则x1x2＝y21y224p2＝4.

因为OA→·OB→＝12,所以x1x2＋y1y2＝12,即4＋4p＝12,

得p＝2,抛物线的方程为y2＝4x.

(2)(1)中(*)式可化为y2－4my＋8＝0,

y1＋y2＝4m,y1y2＝8.

设AB的中点为M,

则|AB|＝2xM＝x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝4m2－4,①

又|AB|＝1＋m2|y1－y2|