2019版同步优化探究理数(北师大版)练习：第二章 第二节 函数的单调性与最值

【北师大版】2019版同步优化探究理数练习

1 课时作业

A组——基础对点练

1、下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )

A、f(x)＝3－x B、f(x)＝x2－3x

C、f(x)＝－1x＋1 D、f(x)＝－|x|

解析：当x＞0时，f(x)＝3－x为减函数；

当x∈0，32时，f(x)＝x2－3x为减函数，

当x∈32，＋∞时，f(x)＝x2－3x为增函数；

当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－1x＋1为增函数；

当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－|x|为减函数、故选C.

答案：C

2、下列函数中，定义域是R且为增函数的是( )

A、y＝e－x B、y＝x3

C、y＝ln x D、y＝|x|

解析：因为对数函数y＝ln x的定义域不是R，故首先排除选项C；因为指数函数y＝e－x，即y＝1ex，在定义域内单调递减，故排除选项A；对于函数y＝|x|，当x∈(－∞，0)时，函数变为y＝－x，在其定义域内单调递减，因此排除选项D；而函数y＝x3在定义域R上为增函数、故选B.

答案：B

3、(2018·长春市模拟)已知函数f(x)＝ x2－2，x＜－1，2x－1，x≥－1，则函数f(x)的值域为

( )

A、[－1，＋∞) B、(－1，＋∞)

C、[－12，＋∞) D、R 【北师大版】2019版同步优化探究理数练习

2 解析：当x＜－1时，f(x)＝x2－2∈(－1，＋∞)；当x≥－1时，f(x)＝2x－1∈[－12，＋∞)，综上可知，函数f(x)的值域为(－1，＋∞)、故选B.

答案：B

4、设f(x)＝x－sin x，则f(x)( )

A、既是奇函数又是减函数

B、既是奇函数又是增函数

C、是有零点的减函数

D、是没有零点的奇函数

解析：∵f(－x)＝－x－sin(－x)＝－(x－sin x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数、

又f′(x)＝1－cos x≥0，

∴f(x)单调递增，选B.

答案：B

5、已知函数f(x)＝ x2＋1，x＞0，cos x，x≤0，则下列结论正确的是( )

A、f(x)是偶函数

B、f(x)是增函数

C、f(x)是周期函数

D、f(x)的值域为[－1，＋∞)

解析：因为f(π)＝π2＋1，f(－π)＝－1，所以f(－π)≠f(π)，所以函数f(x)不是偶

函数，排除A；因为函数f(x)在(－2π，－π)上单调递减，排除B；函数f(x)在

(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)不是周期函数，排除C；因为x＞0时，

f(x)＞1，x≤0时，－1≤f(x)≤1，所以函数f(x)的值域为[－1，＋∞)，故选D.

答案：D

6、设a＞0且a≠1，则“函数f(x)＝ax在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的( )

A、充分不必要条件 【北师大版】2019版同步优化探究理数练习

3 B、必要不充分条件

C、充分必要条件

D、既不充分也不必要条件

解析：若函数f(x)＝ax在R上为减函数，则有0＜a＜1；若函数g(x)＝(2－a)x3在R上为增函数，则有2－a＞0，即a＜2，所以“函数f(x)＝ax在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的充分不必要条件，选A.

答案：A

7、函数f(x)＝ －x＋3a，x<0，ax，x≥0，(a>0且a≠1)是R上的减函数，则a的取值范围是( )

A、(0,1) B.13，1

C.0，13 D.0，23

解析：∵ 0

答案：B

8、下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )

A、y＝x＋1 B、y＝(x－1)2

C、y＝2－x D、y＝log0.5(x＋1)

解析：A项，y＝x＋1为(－1，＋∞)上的增函数，故在(0，＋∞)上递增；B项，y＝(x－1)2在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增；C项，y＝2－x＝12x为R上的减函数；D项，y＝log0.5(x＋1)为(－1，＋∞)上的减函数、故选A.

答案：A

9、已知f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)单调递减，设a＝－21.2，b＝12－0.8，c＝2log5 2，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为( )

A、f(c)

C、f(c)>f(b)>f(a) D、f(c)>f(a)>f(b) 【北师大版】2019版同步优化探究理数练习

4 解析：依题意，注意到21.2>20.8＝12－0.8>20＝1＝log55>log54＝2log52>0，又函数f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，于是有f(21.2)

答案：C

10、(2018·长沙市统考)已知函数f(x)＝则( )

A、存在x0∈R，f(x0)<0

B、任意x∈(0，＋∞)，f(x)≥0

C、存在x1，x2∈[0，＋∞)，fx1－fx2x1－x2<0

D、任意x1∈[0，＋∞)，存在x2∈[0，＋∞)，f(x1)>f(x2)

解析：幂函数f(x)＝的值域为[0，＋∞)，且在定义域上单调递增，故A错误，B正确，C错误，D选项中当x1＝0时，结论不成立，选B.

答案：B

11、对于函数f(x)，若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f(x)＝f(2a－x)，则称f(x)为准偶函数、下列函数中是准偶函数的是( )

A、f(x)＝x B、f(x)＝x2

C、f(x)＝tan x D、f(x)＝cos(x＋1)

解析：由f(x)为准偶函数的定义可知，若f(x)的图像关于x＝a(a≠0)对称，则f(x)为准偶函数，A，C中两函数的图像无对称轴，B中函数图像的对称轴只有x＝0，而D中f(x)＝cos(x＋1)的图像关于x＝kπ－1(k∈Z)对称、

答案：D

12、函数的值域为 、

解析：当x≥1时，当x＜1时，0＜2x＜2，故值域为(0,2)∪(－∞，0]＝(－∞，2)、 【北师大版】2019版同步优化探究理数练习

5 答案：(－∞，2)

13、函数f(x)＝x＋2x－1的值域为 、

解析：由2x－1≥0可得x≥12，

∴函数的定义域为12，＋∞，

又函数f(x)＝x＋2x－1在12，＋∞上单调递增，

∴当x＝12时，函数取最小值f12＝12，

∴函数f(x)的值域为12，＋∞.

答案：12，＋∞

14、若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a＝ .

解析：由f(x)＝ －2x－a，x＜－a22x＋a，x≥－a2，可得函数f(x)的单调递增区间为－a2，＋∞，故3＝－a2，解得a＝－6.

答案：－6

15、已知函数f(x)＝x＋ax(x≠0，a∈R)，若函数f(x)在(－∞，－2]上单调递增，则实数a的取值范围是 、

解析：设x1

因为x1－x2<0，x1x2>0，所以要使Δy＝x1－x2x1x2－ax1x2<0恒成立，只需使x1x2－a>0恒成立，即a

因为x14，所以a≤4，故函数f(x)在(－∞，－2]上单调递增【北师大版】2019版同步优化探究理数练习

6 时，实数a的取值范围是(－∞，4]、

答案：(－∞，4]

B组——能力提升练

1、(2018·西安一中模拟)已知函数f(x)＝ x3，x≤0，lnx＋1，x＞0，若f(2－x2)＞f(x)，则实数x的取值范围是( )

A、(－∞，－1)∪(2，＋∞)

B、(－∞，－2)∪(1，＋∞)

C、(－1,2)

D、(－2,1)

解析：∵当x＝0时，两个表达式对应的函数值都为零，∴函数的图像是一条连续的曲线、∵当x≤0时，函数f(x)＝x3为增函数，当x＞0时，f(x)＝ln(x＋1)也是增函数，∴函数f(x)是定义在R上的增函数、因此，不等式f(2－x2)＞f(x)等价于2－x2＞x，即x2＋x－2＜0，解得－2＜x＜1.故选D.

答案：D

2、(2018·郑州模拟)已知函数f(x)＝x＋xln x，若k∈Z，且k(x－1)＜f(x)对任意的x＞1恒成立，则k的最大值为( )

A、2 B、3

C、4 D、5

解析：依题意得，当x＝2时，k(2－1)＜f(2)，即k＜2＋2ln 2＜2＋2＝4，因此满足题意的最大整数k的可能取值为3.当k＝3时，记g(x)＝f(x)－k(x－1)，即g(x)＝xln x－2x＋3(x＞1)，则g′(x)＝ln x－1，当1＜x＜e时，g′(x)＜0，g(x)在区间(1，e)上单调递减；当x＞e时，g′(x)＞0，g(x)在区间(e，＋∞)上单调递增、因此，g(x)的最小值是g (e)＝3－e＞0，于是有g(x)＞0恒成立、所以满足题意的最大整数k的值是3，选B.

答案：B 【北师大版】2019版同步优化探究理数练习

7 3、若函数f(x)＝x2－12ln x＋1在其定义域的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是( )

A、[1，＋∞) B.1，32

C、[1,2) D.32，2

解析：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，所以k－1≥0，即k≥1.令f′(x)＝4x2－12x＝0，解得x＝12x＝－12舍.因为函数f(x)在区间(k－1，k＋1)内不是单调函数，所以k－1＜12＜k＋1，得－12＜k＜32.综上得1≤k＜32.

答案：B

4、已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增、若实数a满足则a的取值范围是( )

A、[1,2] B.0，12

C.12，2 D、(0,2]

解析：由已知条件得f(－x)＝f(x)，则f(log2a)＋≤2f(1)⇒f(log2a)＋

f(－log2a)≤2f(1)⇒f(log2a)≤f(1)，又f(log2a)＝f(|log2a|)且f(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴|log2a|≤1⇒－1≤log2a≤1，解得12≤a≤2，选C.

答案：C

5、设函数f(x)＝ln(1＋x)＋mln(1－x)是偶函数，则( )

A、m＝1，且f(x)在(0,1)上是增函数

B、m＝1，且f(x)在(0,1)上是减函数

C、m＝－1，且f(x)在(0,1)上是增函数

D、m＝－1，且f(x)在(0,1)上是减函数

解析：因为函数f(x)＝ln(1＋x)＋mln(1－x)是偶函数，所以f12＝f－12，