二次函数关系式

1 二次函数专题

二次函数、一元二次方程及一元二次不等式的关系

问题1：你能快速地求出一元二次方程2230xx的根吗？

问题2：请你画出函数223yxx图象，研究图象上是否有一些特殊的点和一元二次方程2230xx的根之间有某种联系，你有什么发现吗？

问题3：研究一元二次方程2230xx的根的个数及其判别式与二次函数223yxx的图像和x轴的交点个数，你能得到什么结论？

问题4：你能结合问题2、3，得到一般化的结论吗？

归纳：（1）对于二次函数cbxaxy2)0(a来说，当0y时，就得一元二次方程02cbxax)0(a，因此我们可以利用一元二次方程求二次函数图像与x轴的交点坐标.进一步我们还可以探讨一元二次方程acb42的取值与二次函数图像与x轴的交点坐标的情况之间的关系：

①当042acb时，一元二次方程02cbxax有两个不相等的实数根，抛物线cbxaxy2与x轴有两个交点；

②当042acb时，一元二次方程02cbxax有两个相等的实数根，抛物线cbxaxy2与x轴有唯一交点（这个唯一交点就是抛物线的顶点）；

③当042acb时，一元二次方程02cbxax没有实数根，抛物线cbxaxy2与x轴没有交点（抛物线全部在x轴上方或全部在x轴下方）.

（2）当一元二次方程02cbxax有两个不相等的实数根1x、2x时，抛物线cbxaxy2与x轴交于两点A(1x,0)、B(2x,0)，此时有abxx21，1x·acx2.此时抛物线与x轴两交点的距离为：

AB=21xx=221)(xx212214)(xxxx224aacba

例1 如图，是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x＝1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是 .

一师一优课导学案

《二次函数与一元二次方程（第一课时）》导学案

郑州市金水区第一中学 汤慧敏

【学习目标】

1. 经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系；

2. 会利用一元二次方程中acb42的值，判断对应的二次函数与横轴有几个交点；

3. 能利用二次函数的图象与横轴交点的个数，来判断对应的一元二次方程有几个实数根；

4. 能够明白一元二次方程的根就是对应的二次函数图象与直线是实数）hhy(交点的横坐标。

【教学过程】

活动一：初探二次函数的图象与一元二次方程的关系

问题：二次函数22,12,2222xxyxxyxxy的图象如下图所示。

（1）每个图象与x轴有几个交点？ （2）一元二次方程012,0222xxxx有几个实数根？用判别式验证一下，一元二次方程0222xx有实数跟吗？

活动二：再探二次函数cbxaxy2的图象与一元二次方程的关系

问题：（3）二次函数cbxaxy2的图象与x轴交点的坐标和一元二次方程02cbxax的根有什么关系？

活动三：你说我说大家说......

学完了这节课，你有什么收获？（知识、能力、易错点、数学思想......)

【当堂检测】

1. 求二次函数3212xxy的图象与x轴的交点的坐标。

2. 二次函数为常数）bbxxy(12的图象与x轴相交吗？如果相交，有几个交点？

3. 已知抛物线22mmxxy，求证：无论m取何值，抛物线总与x轴有两个交点。

【拓展延伸】一元二次方程1462xx的根与二次函数462xxy的图象有什么关系？试着把方程的根在图象上表示出来。

新世纪教育网 精品资料 版权所有@新世纪教育网

新世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@新世纪教育网 淇滨区第一中学教案

九年级 班 执课教师： 执课时间： 年 月 日

课 题 二次函数与方程的关系 课时安排 第 课时

教学课型 新授课□ 实（试）验课□ 复习课□ 实践课□ 其他□

教学目标 1理解一元二次函数与一元二次方程的关系，并会求有关字母的值。

2. 会用一次函数与二次函数的图象的交点求方程组的解及由方程组的解求交点坐标

教学重点 利用一元二次函数与一元二次方程的关系，并会求有关字母的值

教学难点 抛物线图象与x轴交点的位置来判断方程的根．

课前准备 二次函数的解析式中的一般式是: y = a x² + bx +c (a≠0)

顶点式：y = a(x-h) 2+ k

交点式：y = a(x-x1)(x-x2)

教学环节 内容 设计意图

教学构架

一、知识梳理 二、错题再现 三、知识新授 四、小结与预习

一、一元二次函数与一元二次方程的关系

1、从形式上看：

二次函数：y=ax²＋bx＋c (a≠0)

一元二次方程：ax²＋bx＋c=0 (a≠0)

2、从内容上看：

二次函数表示的是一对(x，y)之间的关系，它有无数对解；一元二次方程表示的是未知数x的值，最多只有2个值

3、相互关系：

二次函数与x轴交点的横坐标就是相应的一元二次方程的根。

如：y=x²－4x＋3与x轴的交点是(1，0)、(3，0)，则一元二次方程x²－4x＋3=0的根是x=1或x=3

（1）二次函数y=a x²+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:

a、有两个交点,

b、有一个交点,

c、没有交点.

(2)当二次函数y=a x²+bx+c的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值, 即

阿象与　轴有一个交点ｂ　一４ａｃ＝０，冈象与　轴无　交点ｂ　一４ａｃ＜０．　（４）关系式２ｎ＋ｂ的符号判定．　如果二次函数Ｙ＝ａＮ　＋　＋ｃ（ａ≠０）的对称轴　＝　在点（１，０）的左边，则一　＜１，当ｏ＞０时，得２ａ＋　ｂ＞０，当ａ＜０时，２０＋ｂ＜０．　如果二次函数Ｙ＝似　＋　＋ｃ（ａ≠０）的对称轴　＝　一　在点（１，０）的右边，则一　ｏ…＞１，当０＞０时，得２ａ＋　ａ　ａ　ｂ＜０，当ａ＜０时，２ｎ＋ｂ＞０．　如果二次函数ｙ＝似　＋　＋ｃ（ａ≠０）的对称轴　＝　一　经过（１，０），２ａ＋ｂ＝０．　举例如下　例１已知二次函数Ｙ＝ａｘ　＋ｋ＋ｃ（ａ≠０）的图象　如图所示，则下列结论①６　一４ａｃ＜０，②ａｂ＞Ｏ，③ｎ—ｂ＋　Ｃ：０，ｇ）４ａ＋ｂ：０，⑤当Ｙ：２时，　只能有一个值．其中　正确是（　）．　Ａ．①④　Ｂ．③④　Ｃ．②⑤Ｄ．③⑤　，　：　一，７　、　？　０　ｉ２　＼　：　分析因为图象与　轴有两个交点　所以ｂ　一４ａｃ＞０．　即①错．　因为：抛物线的开口方向向下，所以ａ＜０；　●　因为对称轴在ｙ轴的右册，所以一　ｂ＞０．　即一　ｂ＜０，　因为ａ＜０，　所以ｂ＞０．　则ｂ＜０．　即②错．　为抛物线与　轴交于（一１，０），　所以０＝Ⅱ（一１）　＋ｂ×（一１）＋ｃ．　则ａ—ｂ＋Ｃ：０，　所以③对．　为对称轴一　ｏ＝２，　二Ｕ　所以一ｂ＝４ａ．　则４ａ＋ｂ＝０．　所以④对．　当Ｙ＝２时，　对应的的值有两个，所以⑤错．　所以选　．　例２如　，已　二次雨数Ｙ＝ａｘ　＋　＋ｃ　ＬⅡ≠０）的　图象经过（一１，２），且与　轴的交点的横坐标分别为　。　和　，其中一２＜　ｌ＜一１．０＜　＜１，则　列的结沦①４“　一２６＋Ｃ＜０，＠２ａ—ｂ＜０，　ａ＜一１，∈Ｄ６　＋８ａ＞４ａｃ，　其中Ｊｌ＝确的有（　）．　

一一…一一一…～…一一一一　Ａ．１个　Ｂ．２个　分析由　象得；　当　＝一２时，Ｙ＜０，　所以ａ（一２）　＋ｂ　Ｘ（一２）＋ｃ＜０　贝Ｕ　４Ⅱ一２６＋ｃ＜０．　即①正确．　为一１＜一　一＜０，　二“　ＩＪ１Ⅱ一２ａ＜一ｂ．　即２ａ—ｂ＜０．　所以②正确．　因为图象经过（一１，２），　所以ａ—ｂ＋ｃ＝２．　凶为２ａ—ｂ＜０，　所以ａ＋ａ—ｂ＋Ｃ＜ｃ　则ａ＋２＜ｃ．　所以ａ＜ｃ一２．　因为０＜ｃ＜１，　所以ａ＜一１．　即③正确．　因为　＞２，　所以４ａｃ—ｂ　＞８ａ，　则ｂ　＋８ａ＞４ａｃ．　所以④正确，　所以选Ｄ．　．２　？　．１　。ｌ　｜　一１　Ｉ　１　＋。＋；＋。＋；＋．＋。＋。＋；＋。．；＋。＋；．．．．．。．．　▲　数学大世界　０　－５◆．．；．。＋。．．．。．。＋。．；＋。