函数的极值与导数学案

§3.3 导数与函数的极值、最值 学习目标

1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.

2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.会求闭区间上函数的最大值、最小值． 知识梳理

1．函数的极值

(1)函数的极小值

函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．

(2)函数的极大值

函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．

(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．

2．函数的最大(小)值

(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：

如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．

(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：

①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；

②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

常用结论

对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)函数f(x)在区间(a，b)上不存在最值．( × )

(2)函数的极小值一定是函数的最小值．( × )

(3)函数的极小值一定不是函数的最大值．( √ )

(4)函数y＝f′(x)的零点是函数y＝f(x)的极值点．( × )

教材改编题

1．如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为( )

朔州市二中2013-2014学年高二数学选修2-2导学案 编号： 编制：付永强 审核：贺仲卿 使用时间：2013.11 班级： 姓名： 组别： 教师评价：

1.3.2函数的极值与导数（第二课时）

【学习目标】

掌握求函数极值的方法和步骤，理解函数极值点与导函数的零点之间的关系

【重点难点】

求函数极值的方法和步骤，函数极值点与导函数的零点之间的关系

【自主学习】

判别f(0x)是极大、极小值的方法：

若0x满足f′(0x)＝0，且在0x的两侧f(x)的导数异号，则0x是f(x)的极值点，f(0x)是极值，并且如果f′(x)的符号在0x两侧满足“ ”，则0x是 ，f(0x)是 ；如果f′(x)在0x两侧满足“ ”，则0x是 ，f(0x)是

【合作探究】

【探究一】

已知函数f(x)＝ln(x＋a)－x2－x，在x＝0处取得极值．

(1)求实数a的值；

(2)若关于x的方程f(x)＝－52x＋b在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围．

【探究二】

设函数2f(x)(xa)lnx，a∈R，若x＝e为y＝f(x)的极值点，求实数a.

【当堂检测】

1.下列说法正确的是( )

A.当f′(x0)=0时，则f(x0)为f(x)的极大值

B.当f′(x0)=0时，则f(x0)为f(x)的极小值

C.当f′(x0)=0时，则f(x0)为f(x)的极值

D.当f(x0)为函数f(x)的极值且f′(x0)存在时，则有f′(x0)=0

2.下列四个函数，在x=0处取得极值的函数是 ( )

①y=x3 ②y=x2+1 ③y=|x| ④y=2x

A.①② B.②③ C.③④ D.①③

3.函数y=216xx的极大值为( )

A.3 B.4 C.2 D.5

1

函数的极值与导数（复习学案）

【学习目标】：

1.回顾函数极值的概念.

2.总结掌握函数极值的四种类型题型.

3.培养分析问题、解决问题的能力.

【温故知新】：

极值的概念：

一般地，设函数f(x)在点x0附近有意义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜ f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的________，其中x0叫作函数的_________ .

如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0) ，我们就说f(x0)是函数f(x)的一个________ ，其中x0叫作函数的_________ .

【类型1】：函数y=f(x)的图象与函数极值

Oxaf(a) Oxybf (b)

【针对训练1】

1.图3中的极大值点有_____________；极小值点有______________.

2.观察函数在X2与X6的极值，能发现什么？

【类型2】导数y=f(x)的图象与函数极值

1.由图3分析极值与导数的关系

2

x0 是函数f(x)的极值点f(x0) =0

f(x0) =0 x0 是函数f(x)的极值点

总结：f(x0)=0是函数取得极值的______________条件.

2.利用导数判别函数的极大（小）值：

一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，且f ' (x0)=0，判别f(x0)是极大（小）值的方法是：

(1)如果在x0附近的左侧 f '(x)＞0，右侧f '(x)＜0，那么，f(x0)是________；

⑵如果在x0附近的左侧 f '(x)＜0，右侧f '(x)＞0，那么，f(x0)是________；

【针对训练2】

导函数y=f’(x)的图像如图，试找出函数y=f(x)的极值点，

并指出那些是极大值点，那些是极小值点？

【针对训练3】

导函数y=f’(x)的图像如图，在标记的点中哪一点处

（1）导函数y=f’(x)有极大值？

优秀教案

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3.3.2函数的极值与导数

[教材分析]：

《函数的极值与导数》是在学生学习了《函数的单调性与导数》，初步具备了运用导数研究函数的能力后学习的，并为《函数的最大（小）值与导数》奠定了知识与方法的基础，起着承上启下的作用。本节课在本单元乃至整个数学学习中都具有十分重要的地位。

[学情分析]：

学生已经初步学习了运用导数研究函数，但还不够深入，因此在学习上还有一定困难。本节课能够进一步提高学生运用导数研究函数的能力,体会导数的工具作用。

[教学目标]：

知识与技能：

• 了解函数极值的定义，会从几何图形直观理解函数的极值与其导数的关系，增强学生的数形结合意识，提升思维水平；

• 掌握利用导数求不超过三次的多项式函数极值的一般方法；

• 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件。

过程与方法：

• 培养学生观察、分析、探究、归纳得出数学概念和规律的学习能力。

情感态度与价值观：

• 体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性； • 培养学生大胆创新、勇于探索、互相合作的精神； • 激发学生的民族自豪感，培养学生的爱国主义精神。

[教学重点和教学难点]：

教学重点：掌握利用导数求不超过三次的多项式函数极值的一般方法。

教学难点：函数在某点取得极值的必要条件和充分条件。

[教法学法分析]：

教法分析和教学用具：

本节课我将采用自主学习—成果展示—合作探究—教师点拨—巩固提高的教学环节。并利用信息技术创设实际问题的情境。发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在我引导下的“再创造”过程。

学法分析

通过用导数研究函数的极值，提高了学生的导数应用能力。通过用导数求不超过三次的多项式函数的极大值和极小值，得到求极值的一般方法。

教学过程 教学内容 设计意图

一、自主学习：

课前将学案发给学生，让学生明确学习目标，带着问题对课本进行预习，并解答这些问题，落实基础知识。通过检查学案，了解学生自主学习的情况，设计导学思路与措施。 培养学生的自主学习能力，为学生的终身学习奠定基础。