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空间解析几何数学课程竞赛辅导

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解析几何课程教案

解析几何课程教案

解析几何课程教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解解析几何的基本概念，如点、直线、圆等；（2）掌握坐标系中直线、圆的方程的求法与应用；（3）了解解析几何在实际问题中的应用。

2. 过程与方法：（1）通过实例引入解析几何的概念，培养学生的空间想象能力；（2）运用代数方法研究直线、圆的方程，提高学生解决问题的能力；（3）利用数形结合思想，分析实际问题，提升学生的应用能力。

3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学学科的兴趣，激发学习热情；（2）培养学生克服困难的意志，提高自主学习能力；（3）感受数学在生活中的重要性，培养学生的应用意识。

二、教学内容1. 第一课时：解析几何概述（1）点的坐标；（2）直线的方程；（3）圆的方程。

2. 第二课时：直线的方程（1）直线的一般方程；（2）直线的点斜式方程；（3）直线的截距式方程。

3. 第三课时：圆的方程（1）圆的标准方程；（2）圆的一般方程；（3）圆的方程的性质。

4. 第四课时：直线与圆的位置关系（1）直线与圆相交的条件；（2）直线与圆相切的条件；（3）直线与圆相离的条件。

5. 第五课时：解析几何在实际问题中的应用（1）线性方程组的解法；（2）最大（小）值问题；（3）几何最优化问题。

三、教学策略1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、思考、讨论，探索解析几何的基本概念和性质；2. 利用数形结合思想，引导学生将几何问题转化为代数问题，提高解决问题的能力；3. 注重实际问题的引入，激发学生的学习兴趣，培养学生的应用意识。

四、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态；2. 作业完成情况：检查学生作业的完成质量，评估学生对知识点的掌握程度；3. 课后实践：鼓励学生参加数学竞赛或研究性学习，提升学生的应用能力。

五、教学资源1. 教材：人教版《高中数学》解析几何部分；2. 教辅：同步练习册、习题集等；3. 教学软件：几何画板、数学公式编辑器等；4. 网络资源：相关教学视频、课件、论文等。

解析几何竞赛题选

解析几何竞赛题选

25.[决赛试题]（13 分）已知两直线的方程： L : x = y = z ， L ' : x = y = z − b 。（1）问： 1a 1
参数 a, b 满足什么条件时， L 与 L ' 是异面直线？（2）当 L 与 L ' 不重合时，求 L ' 绕 L 旋转 所生成的旋转面 π 的方程，并指出曲面 π 的类型。
=
(1 a
, 0, −
1)× c
(0,1, 0)
=
(1 c
, 0,
1 ). a
若π
平行于l2 ,则λ
=
−
1 a
.在直线l2上取点M
(a,
0, 0),则M 到平面π的距离
即为l1与l2的距离2d，即
(2d )2 =
22
,⇒ 1 = 1 + 1 + 1 .
1 a2
+
1 b2
+
1 c2
d 2 a2 b2 c2
t 可以是任意的，所以，这时， π 的方程为：
⎧ x+y+z=b
⎪
⎨ ⎪⎩
x
2
+
y2
+
z2
≥
5 6
b2
，
π 的类型： a = 1 且 b ≠ 0 时， L 与 L ' 平行，π 是一柱面； a ≠ 1且 b = 0 时， L 与 L ' 相交， π 是一锥面（ a = −2 时 π 是平面）；当 a ≠ 1且 b ≠ 0 时，π 是单叶双曲面（ a = −2 时，π 是
+ +
(z (z
+ 1) 2 −1)2
，
即

数学竞赛教案讲义立体几何

数学竞赛教案讲义立体几何

数学竞赛教案讲义-立体几何第一章：立体几何基础1.1 空间点、线、面的位置关系点、直线、平面的基本性质点与直线、直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系1.2 立体几何的基本概念棱柱、棱锥、棱台、球的定义与性质底面、侧面、顶点的概念空间角、二面角的概念与计算第二章：空间几何图形2.1 棱柱直棱柱、斜棱柱的性质棱柱的面积、体积计算2.2 棱锥直棱锥、斜棱锥的性质棱锥的面积、体积计算2.3 棱台棱台的性质棱台的面积、体积计算2.4 球球的性质球的面积、体积计算第三章：立体几何中的线面关系3.1 直线与平面的关系直线与平面平行、直线在平面内的判定与性质直线与平面相交的性质3.2 直线与直线的关系平行线、相交线的性质异面直线、共面直线的性质3.3 平面与平面的关系平面与平面平行的判定与性质平面与平面相交的性质第四章：立体几何中的角与距离4.1 空间角线线角、线面角、面面角的定义与计算空间角的性质与计算方法4.2 距离点与点、点与直线、点与平面的距离计算直线与直线、直线与平面的距离计算第五章：立体几何的综合应用5.1 立体几何图形的放缩与旋转放缩与旋转的性质与方法放缩与旋转在立体几何中的应用5.2 立体几何中的定理与性质欧拉公式、施瓦茨公式等定理的应用立体几何中的重要性质与定理5.3 立体几何与解析几何的综合应用利用解析几何的知识解决立体几何问题立体几何与解析几何的相互转化第六章：立体几何中的立体角与对角线6.1 立体角立体角的定义与性质立体角的计算方法6.2 对角线多面体的对角线长度计算对角线与几何体的性质关系第七章：立体几何中的不等式与最值7.1 立体几何中的不等式利用立体几何图形性质证明不等式利用不等式解决立体几何问题7.2 立体几何中的最值问题利用几何方法求解最值问题利用代数方法求解最值问题第八章：立体几何中的视图与投影8.1 视图正视图、侧视图、俯视图的定义与性质利用视图研究几何体的性质8.2 投影平行投影、中心投影的性质利用投影解决立体几何问题第九章：立体几何中的定理与性质（续）9.1 立体几何中的定理与性质布雷特施奈德定理、莫恩定理等定理的应用立体几何中的其他重要性质与定理9.2 立体几何中的特殊几何体圆柱、圆锥、球台的性质与应用利用特殊几何体解决立体几何问题第十章：立体几何与实际应用10.1 立体几何在实际应用中的案例分析利用立体几何解决工程、物理、艺术等领域的问题立体几何在现实生活中的应用举例10.2 立体几何竞赛题解析分析历年数学竞赛中的立体几何题目讲解解题思路与方法，提高解题能力10.3 立体几何练习题与答案解析提供立体几何练习题，巩固所学知识分析练习题答案，讲解解题过程与思路第十一章：立体几何中的坐标计算11.1 空间点的坐标空间直角坐标系的建立点的坐标表示与运算11.2 空间向量向量的定义与运算向量与立体几何的关系11.3 空间几何体的坐标表示棱柱、棱锥、棱台、球的坐标表示利用坐标解决立体几何问题第十二章：立体几何中的向量计算12.1 向量的线性运算向量的加法、减法、数乘运算向量共线与垂直的判定与性质12.2 向量的数量积与向量积向量的数量积定义与性质向量的向量积定义与性质12.3 空间向量在立体几何中的应用利用向量计算空间角与距离利用向量解决立体几何中的线面关系问题第十三章：立体几何中的解析几何方法13.1 解析几何与立体几何的关系利用解析几何方法解决立体几何问题解析几何在立体几何中的应用举例13.2 参数方程与极坐标方程立体几何图形的参数方程表示利用参数方程与极坐标方程解决立体几何问题第十四章：立体几何中的不等式与最值（续）14.1 立体几何中的不等式问题利用不等式性质解决立体几何问题不等式在立体几何中的应用举例14.2 立体几何中的最值问题（续）利用几何方法求解最值问题利用代数方法求解最值问题第十五章：立体几何的综合与应用15.1 立体几何与其他数学学科的综合立体几何与代数、分析、概率等学科的关系立体几何在交叉学科中的应用15.2 立体几何在实际应用中的案例分析（续）立体几何在工程、物理、艺术等领域中的应用案例立体几何在其他领域中的应用举例15.3 立体几何竞赛题解析与练习题答案解析（续）分析历年数学竞赛中的立体几何题目讲解解题思路与方法，提高解题能力提供立体几何练习题，巩固所学知识分析练习题答案，讲解解题过程与思路重点和难点解析重点：理解并掌握立体几何的基本概念、立体几何图形、空间几何图形、立体几何中的线面关系、立体几何中的角与距离、立体几何中的立体角与对角线、立体几何中的不等式与最值、立体几何中的视图与投影、立体几何中的定理与性质、立体几何中的坐标计算、立体几何中的向量计算、立体几何中的解析几何方法、立体几何中的不等式与最值（续）、立体几何的综合与应用。

高中数学中的空间解析几何问题

高中数学中的空间解析几何问题

高中数学中的空间解析几何问题空间解析几何是数学中的一个重要分支，它研究了空间内点、线、面等几何对象的分布和运动规律。

在高中数学中，空间解析几何是数学课程的一个重要内容，通过学习空间解析几何，学生可以更深入地理解空间中的几何关系，并且能够应用解析几何的方法解决实际问题。

本文将详细介绍高中数学中的空间解析几何问题，包括平面与直线的关系、点的位置关系、向量的应用等。

一、平面与直线的关系在空间解析几何中，平面与直线的关系是一个基本概念。

平面可以通过一个点和两个互不平行的直线来确定，而直线可以通过两个互不共面的点来确定。

而确定一个平面和一个直线的关系，可以有以下几种情况：1. 直线与平面相交当一条直线与一个平面相交时，我们可以通过求解它们的交点来确定它们的关系。

通过求解直线的参数方程和平面的方程，可以得出交点的坐标，进而确定直线与平面的位置关系。

2. 直线与平面平行或重合直线与平面平行或者重合时，它们之间存在一定的位置关系。

两者平行时，我们可以通过求解直线的方向向量与平面的法向量的内积是否为零，来判断直线与平面是否平行。

若内积为零，则直线与平面平行；若内积不为零，则直线与平面不平行。

3. 直线在平面内部或平面上当直线与平面内部或平面上时，它们之间也存在一定的关系。

我们可以通过求解直线的参数方程在平面方程中代入，来判断直线是否在平面内部或平面上。

若代入后方程成立，则直线在平面内部或平面上；若不成立，则直线不在平面内部或平面上。

二、点的位置关系在空间解析几何中，点的位置关系也是一个重要的概念。

通过研究点在空间中的位置关系，可以判断点是否在直线或平面上，或者判断两个点之间的距离等。

下面介绍几种常见的点的位置关系：1. 点在直线上当一个点在一条直线上时，可以通过判断点的坐标是否满足直线的方程来确定。

若点的坐标代入直线方程后等式成立，则点在直线上；若不成立，则点不在直线上。

2. 点在平面上当一个点在一个平面上时，可以通过判断点的坐标是否满足平面的方程来确定。

数学竞赛教案讲义(12)——立体几何

数学竞赛教案讲义(12)——立体几何

数学竞赛教案讲义(12)——立体几何第十二章立体几何一、基础知识公理1一条直线。

上如果有两个不同的点在平面。

内．则这条直线在这个平面内，记作：aa．公理2两个平面如果有一个公共点，则有且只有一条通过这个点的公共直线，即若P∈α∩β，则存在唯一的直线m，使得α∩β=m,且P∈m。

公理3过不在同一条直线上的三个点有且只有一个平面。

即不共线的三点确定一个平面．推论l直线与直线外一点确定一个平面．推论2两条相交直线确定一个平面．推论3两条平行直线确定一个平面．公理4在空间内，平行于同一直线的两条直线平行．定义1异面直线及成角：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．过空间任意一点分别作两条异面直线的平行线，这两条直线所成的角中，不超过900的角叫做两条异面直线成角．与两条异面直线都垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线，公垂线夹在两条异面直线之间的线段长度叫做两条异面直线之间的距离．定义2直线与平面的位置关系有两种；直线在平面内和直线在平面外．直线与平面相交和直线与平面平行(直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行)统称直线在平面外．定义3直线与平面垂直：如果直线与平面内的每一条直线都垂直，则直线与这个平面垂直．定理1如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则直线与平面垂直．定理2两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行．定理3若两条平行线中的一条与一个平面垂直，则另一条也和这个平面垂直．定理4平面外一点到平面的垂线段的长度叫做点到平面的距离，若一条直线与平面平行，则直线上每一点到平面的距离都相等，这个距离叫做直线与平面的距离．定义5一条直线与平面相交但不垂直的直线叫做平面的斜线．由斜线上每一点向平面引垂线，垂足叫这个点在平面上的射影．所有这样的射影在一条直线上，这条直线叫做斜线在平面内的射影．斜线与它的射影所成的锐角叫做斜线与平面所成的角．结论1斜线与平面成角是斜线与平面内所有直线成角中最小的角．定理4(三垂线定理)若d为平面。

太原高中数学竞赛辅导

太原高中数学竞赛辅导

太原高中数学竞赛辅导篇一：太原高中数学竞赛辅导太原高中数学竞赛辅导是指针对太原地区高中学生举办的数学竞赛培训活动。

数学竞赛是一项考验学生数学思维和能力的考试,对于提高学生综合素质和升学竞争力具有重要意义。

为了帮助学生在数学竞赛中取得好成绩,许多学校和教育机构都会举办数学竞赛辅导活动。

在太原地区,许多高中学校都会举办数学竞赛辅导活动,其中包括太原五中、一中、二中等名校。

这些学校都有专业的数学老师和竞赛教练,他们会针对学生的不同水平和需求,制定个性化的辅导计划,帮助学生掌握数学知识和解题技巧,提高竞赛水平。

除了学校组织的数学竞赛辅导活动外,也有一些专业的数学培训机构会提供数学竞赛辅导服务。

这些机构通常会有专业的数学老师和竞赛教练,会根据学生的不同需求和水平,提供个性化的辅导方案。

这些机构的辅导课程通常会包括数学竞赛的基础课程、强化课程和冲刺课程,帮助学生掌握数学知识和解题技巧,提高竞赛水平。

参加数学竞赛辅导活动可以帮助学生提高数学素养和竞赛水平,为升学和职业发展打下良好的基础。

同时,学校和培训机构还可以为学生提供一个良好的学习环境和学习氛围,促进学生的学习积极性和学习效率。

太原高中数学竞赛辅导活动得到了许多学校和教育机构的重视,为学生在数学竞赛中取得好成绩提供了重要的支持。

如果您或您的学生想要参加数学竞赛辅导活动,可以通过学校或培训机构咨询相关信息,并选择适合自己的辅导课程和辅导方式。

篇二：太原高中数学竞赛辅导太原是山西省的省会城市,也是该省数学竞赛的主要考点之一。

因此,对于那些想要在数学竞赛中获得好成绩的高中生来说,参加太原高中数学竞赛辅导是非常必要的。

太原高中数学竞赛辅导通常由当地的学校或专业辅导机构提供。

这些机构通常会拥有经验丰富的教师和先进的教学设施,能够帮助学生提高数学竞赛水平。

在参加太原高中数学竞赛辅导时,学生需要根据自己的实际情况选择适合的机构和课程。

一般来说,机构的规模和师资力量越大,所提供的课程和服务质量就越好。

高中数学竞赛讲义+完美数学高考指导(二)

高中数学竞赛讲义+完美数学高考指导(二) 高中数学竞赛讲义（十）──直线与圆的方程一、基础知识1．解析几何的研究对象是曲线与方程。

解析法的实质是用代数的方法研究几何.首先是通过映射建立曲线与方程的关系，即如果一条曲线上的点构成的集合与一个方程的解集之间存在一一映射，则方程叫做这条曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。

如x22=1是以原点为圆心的单位圆的方程。

2．求曲线方程的一般步骤：(1)建立适当的直角坐标系；(2)写出满足条件的点的集合；(3)用坐标表示条件，列出方程；(4)化简方程并确定未知数的取值范围；（5）证明适合方程的解的对应点都在曲线上，且曲线上对应点都满足方程（实际应用常省略这一步）。

3．直线的倾斜角和斜率：直线向上的方向与x轴正方向所成的小于1800的正角，叫做它的倾斜角。

规定平行于x 轴的直线的倾斜角为00，倾斜角的正切值（如果存在的话）叫做该直线的斜率。

根据直线上一点及斜率可求直线方程。

4．直线方程的几种形式：（1）一般式：0；（2）点斜式：0(0)；（3）斜截式：；（4）截距式：；（5）两点式：；（6）法线式方程：θθ（其中θ为法线倾斜角，为原点到直线的距离）；（7）参数式：（其中θ为该直线倾斜角），t的几何意义是定点P0（x0, y0）到动点P（x, y）的有向线段的数量（线段的长度前添加正负号，若P0P方向向上则取正，否则取负）。

5．到角与夹角：若直线l1, l2的斜率分别为k1, k2，将l1绕它们的交点逆时针旋转到与l2重合所转过的最小正角叫l1到l2的角；l1与l2所成的角中不超过900的正角叫两者的夹角。

若记到角为θ，夹角为α，则θα=.6．平行与垂直：若直线l1与l2的斜率分别为k1, k2。

且两者不重合，则l12的充要条件是k12；l1l2的充要条件是k1k21。

7．两点P1(x1, y1)与P2(x2, y2)间的距离公式：1P2。

8．点P(x0, y0)到直线l: 0的距离公式：。

解析几何竞赛题选


a2 + 2 (a + 2)2
(x
+
y
+
z
− b)2
−
2b a+2
(x
+
y
+
z
− b)
− b2
=
0
，
当 a = −2 时，由⑤得， x + y + z = b ，这表明，π 在这个平面上。
同时，将④代入③，有 x2 + y2 + z2 = 6t2 + 2bt + b2 = 6(t + 1 b)2 + 5 b2 。由于 66
=
sin(π
−
α
+
β
)
=
α sin(
+
β
)
2R 2
2
22
m
L
β Cα γ
n
= sin α cos β + cos α sin β = l
22
2 2 2R
1
−
m2 4R2
+
m 2R
1
−
l2 4R
2
.
n=l
1−
m2 4R2
+m
1
−
l2 4R2
,
两边平方得解之即得证。
c B
l M
十六、ΔABC的面积为1，点E, F,G分别在边 BC,CA, AB上，AE于点R处平分BF, BF于点 S处平分CG，CG于点T 处平分AE, 求ΔRST的面积。
+ +
(z (z
+ 1) 2 −1)2
，
即
⎧x

高一数学竞赛知识点

高一数学竞赛知识点一、函数与方程在高一数学竞赛中，函数与方程是一个重要的知识点。

函数是数学中的基本概念之一，可以理解为自变量与因变量之间的一种对应关系。

在数学竞赛中，我们需要掌握函数的定义、性质以及函数的图像、单调性等相关知识。

方程是数学中另一个重要的概念，是含有未知数的等式。

在数学竞赛中，我们需要学会解一元一次方程、一元二次方程、一元三次方程等不同类型的方程，并能够应用解方程的方法解决实际问题。

二、数列与数列的极限数列是由一系列有规律的数按一定顺序排列而成的序列。

在数学竞赛中，我们需要学习数列的概念、公式、性质以及常见数列的求和公式。

数列的极限是数学分析中的重要概念，是指当数列的项数趋向无穷大时，数列的极限值。

在数学竞赛中，我们需要学会判断数列的极限是否存在，以及求解数列的极限值。

三、平面几何与空间几何平面几何是数学中的一个分支，研究平面内的点、直线、角等基本几何概念及其性质。

在数学竞赛中，我们需要学习平面几何的基本概念、定理以及相关的解题方法。

空间几何是平面几何的延伸，研究空间内的点、直线、面等几何对象及其性质。

在数学竞赛中，我们需要掌握空间几何的基本概念、定理以及相关的解题方法。

四、概率与统计概率是数学中的一个分支，研究随机事件发生的可能性大小。

在数学竞赛中，我们需要学习概率的基本概念、性质以及常见的计算方法。

统计是数学中另一个重要的分支，研究数据的收集、整理、分析和解释。

在数学竞赛中，我们需要学习统计的基本概念、性质以及常见的统计方法。

五、数论数论是数学中的一个分支，研究整数的性质和整数之间的关系。

在数学竞赛中，我们需要学习数论的基本概念、性质以及常见的解题方法。

数论在密码学、编码等领域有广泛的应用，是数学竞赛中的重要知识点之一。

六、解析几何解析几何是数学中的一个分支，通过代数方法研究几何问题。

在数学竞赛中，我们需要学习解析几何的基本概念、性质以及常见的解题方法。

解析几何在计算机图形学、物理学等领域有广泛的应用，是数学竞赛中的重要知识点之一。

2022年全国高中数学联赛几何专题(平面几何解析几何)

2022年全国高中数学联赛几何专题（平面几何解析几何）数学竞赛中的平面几何一、引言1．国际数学竞赛中出现的几何问题，包括平面几何与立体几何，但以平面几何为主体．国际数学竞赛中的平面几何题数量较多、难度适中、方法多样（综合几何法、代数计算法、几何变换法等），从内容上看可以分成三个层次：第一层次，中学几何问题．这是与中学教材结合比较紧密的常规几何题，虽然也有轨迹与作图，但主要是以全等法、相似法为基础的证明题，重点是与圆有关的命题，因为圆的命题知识容量大、变化余地大、综合性也强，是编拟竞赛试题的优质素材．第二层次，中学几何的拓展．第三层次，组合几何——几何与组合的交叉．这是用组合数学的成果来解决几何学中的问题，主要研究几何图形的拓扑性质和有限制条件的欧几里得性质．所涉及的类型包括计数、分类、构造、覆盖、递推关系以及相邻、相交、包含等拓扑性质．这类问题在第六届IMO（1964）就出现了，但近30年，无论内容、形式和难度都上了新的台阶，成为一类极有竞赛味、也极具挑战性的新颖题目．组合几何的异军突起是数学竞赛的三大热点之一．2．在中国的数学竞赛大纲中，对平面几何内容除了教材内容外有如下的补充．初中竞赛大纲：四种命题及其关系；三角形的不等关系；同一个三角形中的边角不等关系，不同三角形中的边角不等关系;面积及等积变换;三角形的心（内心、外心、垂心、重心）及其性质．高中竞赛大纲:几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理；三角形中的几个特殊点:旁心、费马点，欧拉线；几何不等式；几何极值问题；几何中的变换：对称、平移、旋转；圆的幂和根轴；面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法．二、基本内容全等三角形的判别与性质，相似三角形的判别与性质，等腰三角形的判别与性质，“三线八角”基本图形，中位线定理，平行线截割定理，圆中角（圆心角、圆周角、弦切角）定理等大家都已经非常熟悉，此外，竞赛中还经常用到以下基本内容．定义1点集的直径是指两个端点都属于这个集合且长度达到最大值的线段（一个点集可能有多条直径，也可能没有直径）．定义2如果对点集A中的任意两点，以这两点为端点的线段包含在A 里，则集合A称为是凸的．定义3设M1,M2,,Mn是多边形，如果MM1M2Mn并且当ij时，Mi与Mj 没有公共的内点，则称多边形M剖分为多边形M1,M2,,Mn．定义4如果凸边形N的所有顶点都在凸多边形M的边上，则称多边形N内接于多边性M．定理1两点之间直线距离最短．推论三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．定理2三角形的内角之等于180．凸n边形（n3）的n个内角和等于(n2)外角和为180180；（每一个顶点处只计算一个外角）．702022年全国高中数学联赛集训暨2022年中国数学奥林匹克赛前训练材料--内部使用证明如图1，过C作CE//AB，则有ECAA，（两直线平行，内错角相等）得ABCACB（结合律）ECBB（等量代换）180．（两直线平行，同旁内角互补图1推论三角形的一个外角等于两个不相邻内角之和．定理3三角形中大边对大角、小边对小角．证明（1）如图2，在ABC中，已知ABAC，可在AB上截取ADAC，则在等腰ACD中有12．（等腰三角形的性质定理）又在BCD中，2B，（外角定理）更有C12B．（传递性）说明由上面的证明知ABACBC,ABACBC,ABACBC,这样的分断式命题，其逆命题必定成立．证明如下：图2（2）反之，在ABC中，若CB，这时AB,AC有且只有三种关系ABAC，ABAC，ABAC．若ABAC，由上证得CB，与已知CB矛盾．若ABAC，由等腰三角形性质定理得CB，与已知CB矛盾．所以ABAC．定理4在ABC与A1B1C1中，若ABA1B1,ACAC11，则AA1BCB1C1．定理5凸四边形ABCD内接于圆的充分必要条件是：ABCCDA180（或BADDCB180）．证明当四边形ABCD内接于圆时，由圆周角定理有ABCCDA1111ADCABCADCABC180．2222同理可证BADDCB180．反之，当ABCCDA180时，首先过不共线的三点A,B,C作O，若点D不在O上，则有两种可能：（1）D在O的外部（如图3（1））．记AD与O相交于S，连CS，在CDS中有ASCCDA．又由上证，有ABCASC180，得180ABCCDAABCASC180，矛盾．712022年全国高中数学联赛集训暨2022年中国数学奥林匹克赛前训练材料--内部使用图3（2）D在O的内部（如图3（2））．记AD的延长线与O相交于S，连CS，在CDS中有ASCCDA．又由上证，有ABCASC180，得180ABCCDAABCASC180，矛盾．定理6凸四边形ABCD外切于圆的充分必要条件是ABCDBCAD．证明当凸四边形ABCD外切于圆时，设各边的切点分别为P,Q,R,S （如图4），根据圆外一点到圆的两切线长相等，有APAS,PBBQ,CRQC,DRDS.相加APPBCRDRASBQQCDS，得ABCDBCAD．图4反之，若ABCDBCAD，我们引B,C的平分线，因为BC360，所以，两条角平分线必定相交于四边形内部一点，记为N，则N到三边AB,BC,CD的距离相等，可以以N为圆心作N与AB,BC,CD同时相切，这时AD与N的关系有且只有三种可能：相离、相切、相交．（1）若AD与N相离（如图5（1））．过A作切线与CD相交于D，在ADD中，有//DDADAD．①//但由上证，有ABCDBCAD，又由已知，有ABCDBCAD相减得CDCDADAD，////DD/ADAD/，与①矛盾．图5722022年全国高中数学联赛集训暨2022年中国数学奥林匹克赛前训练材料--内部使用（2）若AD与N相交（如图5（2））．过A作切线与CD的延长线相交于D，在ADD中，有①//DDADAD．//但由上证，有ABCDBCAD，//又由已知，有ABCDBCAD相减得CDCDADAD，//即DDADAD，与①矛盾．综上得AD与N的相切，即凸四边形ABCD外切于圆．定理7（相交弦定理）圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．定理8（切割线定理）从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．定义5从一点A作O的割线交O于B,C，则点A到两交点B,C的线段长度之积ABAC称为点A对O的羃．对于两个已知圆有等羃的点的轨迹，称为两圆的根轴（或等羃轴）．定理9若两圆相交，其根轴在两圆公共弦所在的直线上；若两圆相切，其根轴在过两圆切点的公切线上；若两圆相离，则两圆的四条公切线的中点在根轴上．定理10（三角形面积公式）在ABC中，记a,b,c为三边长，p//1(abc)为半周长，R是2外接圆半径，r为内切圆半径，ha是边BC上的高，ra是与边BC及AB,AC的延长线相切的旁切圆的半径，则ABC的面积S为：(1)S111ahabhbchc；222111(2)SabinCacinBbcinA；222(3)Sp(pa)(pb)(pc)；(4)Sabc2R2inAinBinC；4R(5)Srp；1ra(bca)；21(7)SR2(in2Ain2Bin2C)．2定理11在RtABC中，有(6)S（1）abc，（勾股定理的逆定理也成立）（2）r2221c(abc),R．22732022年全国高中数学联赛集训暨2022年中国数学奥林匹克赛前训练材料--内部使用定理12（角平分线定理）设AD是ABC中A的平分线，则．ABBD．ACDC此定理有10多种证法，下面是有辅助线与无辅助线的两种代表性证法．证明1（相似法）如图6，延长BA到E，使AEAC，连CE，则BAD1A（已知）21AECACE（外角定理）2AEC，（等腰三角形的两个底角相等）有AD//CE，BDABAB得．（平行线截割定理）图6DCAEAC11ABADinABCSABD2AB2证明2（面积法）．DCSACD1ACADin1AAC22定理13（正弦定理、余弦定理）在ABC中，有（1）abcoBccoC，bacoAccoC，cacoAbcoB．abC2R；（2）inAinBinC222（3）abc2bccoA，b2a2c22accoB，c2a2b22abcoC．（4）inAinBinC2inBinCcoA．222abC2R；inAinBinC证明1（1）当ABC为直角三角形时，命题显然成立．（2）当ABC为锐角三角形时，如图7（1），作ABC外接圆O，则圆心O在ABC的内部，（2）连BO交O于D，连结DC．因为BD是O的直径，所以BCD90，在直角BCD中有aabc2R，但AD，故得2R．同理可证2R,2R．inDinAinBinCabC2R．得inAinBinC（1）（2）图7（3）当ABC为钝角三角形时，记A为钝角，则圆心O在ABC的外部，过A作直径，仿上证74。

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空间解析几何数学竞赛辅导一. 向量代数1、已知空间中任意两点),,(1111z y x M 和),,(2222z y x M ，则向量),,(12121221z z y y x x M M ---=→2、已知向量),,(321a a a a =→、),,(321b b b b =→，则 （1）向量→a 的模为232221||a a a a ++=→（2）),,(332211b a b a b a b a ±±±=±→→（3）),,(321a a a a λλλλ=→ 3、向量的内积→→⋅b a（1）><⋅⋅=⋅→→→→→→b a b a b a ,cos |||| （2）332211b a b a b a b a ++=⋅→→其中><→→b a ,为向量→→b a ,的夹角，且π>≤≤<→→b a ,0注意：利用向量的内积可求直线与直线的夹角、直线与平面的夹角、平面与平面的夹角。

4、向量的外积→→⨯b a （遵循右手原则，且→→→⊥⨯a b a 、→→→⊥⨯b b a ）321321b b b a a a k j ib a →→→→→=⨯ （1）332211//b a b a b a b a b a ==⇔=⇔→→→→λ （2）00332211=++⇔=⋅⇔⊥→→→→b a b a b a b a b a（3）几何意义： ||a b ⨯代表以,a b 为邻边的平行四边形的面积S ；平面上三点11(,,0)A x y ,22(,,0)B x y ,33(,,0)C x y 构成的三角形的面积为2121313111|||0|22ABCij k SAB AC x x y y x x y y =⨯=---- 2121313112x x y y x x y y --=--的绝对值也可以写成11223311121ABCx y Sx y x y =的绝对值。

5. 混合积：(,,)()a b c a b c =⋅⨯。

(1)注意：(,,)(,,)(,,)a b c b c a c a b ==(2)坐标表示：111222333(,,)()x y z a b c a b c x y z x y z =⋅⨯=, 其中， ()111,,a x y z =，()222,,b x y z =, ()333,,c x y z =。

(3)几何意义：(,,)a b c 的绝对值表示以,,a b c 为三条邻边的平行六面体的体积。

,,a b c 共面的充要条件是(,,.)0a b c =。

空间不共面的四点111(,,)A x y z ,222(,,)B x y z ,333(,,)C x y z ,444(,,)D x y z 构成的四面体的体积为11121212122231313133341414144411111661x y z x x y y z z x y z V x x y y z z x y z x x y y z z x y z ---==------的绝对值。

（它实际是以,,AB AC AD 为邻边的平行六面体的体积的六分之一）例1 设径矢1=, 2r =,3r =, 证明 133221r r r r r r R⨯+⨯+⨯=垂直于ABC 平面.证明 :由于 ⋅=)(12r r -⋅[)()()(133221r r r r r r ⨯+⨯+⨯]=)()()()()()(131321211132322212r r r r r r r r r r r r r r r r r r ---++ =0)()(321321=-r r r r r r ,所以 ⊥.同理可证 ⊥.所以⊥平面ABC .例2．设P 是球内一定点，A ，B ，C 是球面上三个动点.2/CPA B PC APB π=∠=∠=∠. 以PA ，PB ，PC 为棱作平行六面体， 记与P 相对的顶点为Q ，求Q 点的轨迹.（见北京大学2007考研题）二．直线与平面方程 (一)、平面1、平面的点法式方程已知平面过点),,(000z y x P ，且法向量为),,(C B A n =→，则平面方程为0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A注意：法向量为),,(C B A n =→垂直于平面2、平面的一般方程0=+++D Cz By Ax ，其中法向量为),,(C B A n =→3、求平面方程的主要方法 （1）过直线⎩⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A 的平面方程可设为0)()(22221111=+++++++D z C y B x A D z C y B x A λ如果直线方程是点向式或参数式可转化为上述形式处理 例（1）在过直线⎩⎨⎧=++=+++0204z y x z y x 的平面中找出一个平面，使原点到它的距离最长。

（2）平面过OZ 轴，且与平面0=-z y 的夹角为060，求该平面方程（两平面夹角等于两法向量的夹角或两法向量的夹角的补角） （3）求过点)1,0,1(-M 和直线110122-=-=-z y x 的平面方程 （4）过直线⎩⎨⎧=+-=-+083042z y z x 作平面，使它平行于直线⎩⎨⎧=--=--0604z y y x(5)过平面02=+y x 和6324=++z y x 的交线作切于球面4222=++z y x 的平面（6）求由平面0173,0122=++=+-y x z x 所构成的两面角的平分面方程 （2）利用点法式求平面方程注意：（i ）任何垂直于平面的向量→n 均可作为平面的法向量 （ii ）和平面0=+++D Cz By Ax 平行的平面可设为01=+++D Cz By Ax （iii ）如存在两个向量),,(321a a a a =→、),,(321b b b b =→和平面平行（或在平面内），则平面的法向量为321321b b b a a a k j ib a n →→→→→→=⨯= 例1（1）已知两直线为111111--=-=-z y x ，221113-=--=-z y x ，求过两直线的平面方程（2）求过)1,3,8(-A 和)2,7,4(B 两点，且垂直于平面02153=--+z y x 的平面（3）一平面垂直于向量)2,1,2(且与坐标面围成的四面体体积为9，求平面方程（4）已知球面0642222=-+-++z y x z y x 与一通过球心且与直线⎩⎨⎧=-=0z y x 垂直的平面相交，求它们的交线在xoy 面上的投影 例2．已知椭球面1222222=++cz b y a x )(b a c <<， 试求过x 轴且与椭球面的交线是圆的平面方程。

解 平面过x 轴，从而过原点，得0D =。

设法向量(,,)n A B C =，由平面过x 轴得(,,)n A B C =与(1,0,0)i =垂直，得0A =，平面方程：0B y C z+=。

又0y =与0z =都不符合题意，所以0,0B C ≠≠。

不妨令Bz y ky C=-=，它与椭球面的交线为 2222222222222211x y z x c b k y a b c a b c z ky z ky ⎧⎧+++=+=⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪==⎩⎩（1）由于交线圆的圆心在原点，且该圆过点(,0,0),(,0,0)a a -，故该圆的方程也可表示为22222222211x kx y z a y a a z ky z ky⎧+⎧++=+=⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=⎩(2)比较（1）和（2）得22222221c b k k c k b c a ++=⇒=±，所求平面方程为：0±=。

(3)轨迹法求方程方法：（i ）设平面上任一一点),,(z y x M （ii ）列出含有z y x ,,的方程化简的平面方程例 求由平面013=++-z y x 和023=--+z y x 所构成的二面角的平分面的方程（二）、直线 1、直线的对称式方程过点),,(000z y x P 且方向向量为),,(321v v v v =→直线方程32010v z z v y y v x x -=-=- 注意：方向向量),,(321v v v v =→和直线平行 2、直线的一般方程⎩⎨⎧=+++=+++022221111D z C y B x A D z C y B x A ，注意该直线为平面01111=+++D z C y B x A 和02222=+++D z C y B x A 的交线3、直线的参数方程⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=tv z z t v y y t v x x 3020104、求直线方程的主要方法(1)把直线的一般方程化为点向式方程 方法：已知直线方程为⎩⎨⎧=+++=+++022221111D z C y B x A D z C y B x A ，则该直线的方向向量为),,(321222111v v v C B A C B A kj i v ==→→→→在直线上任取一点),,(000z y x ，则直线方程为32010v z z v y y v x x -=-=- 例化直线的一般方程⎩⎨⎧=--+=-++0132052z y x z y x 为标准方程(2)根据直线的方向向量求直线方程例（1）过点)2,1,0(M ，且平行于两相交平面013=++-z y x 和023=--+z y x 的直线方程（2求过点)0,4,2(M ，且与直线⎩⎨⎧=--=-+023012z y z x 平行的直线方程（3）求过点)2,0,1(-M ，且与平面0643=+-+z y x 平行，又与直线14213zy x =+=-垂直的直线方程 注意：一直线和两直线垂直；一直线和两平面平行；一直线和一平面平行，和另一直线垂直均可确定直线的方向向量 (3)利用直线和直线的位置关系求直线方程 注意：（1）两直线平行，则332211n m n m n m ==，其中),,(321m m m 和),,(321n n n 为直线的方向向量 （2）两直线302010m z z m y y m x x -=-=-和312111n z z n y y n x x -=-=-相交，则 0321321010101=---=∆n n n m m m z z y y x x 且332211n m n m n m ≠≠ （3）两直线302010m z z m y y m x x -=-=-和312111n z z n y y n x x -=-=-异面，其中公垂线的方向向量为),,(321321321v v v n n n m m m kj iv ==→→→→，则两异面直线的距离为||||→∆=v d ；公垂线方程为⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=---=---0032132111132132100v v v n n n z z y y x x v v v m m m z z y y x x例（1）求通过点)1,1,1(M 且与两直线321z y x ==和431221-=-=-z y x 都相交的直线方程解：设所求直线的方向向量为),,(c b a ，已知两直线的方向向量为)3,2,1(、)4,1,2(，且分别过点)0,0,0(、)3,2,1( 则0321111=cb a ，即02=+-c b a ；0412210=--cba，即02=-+c b a 故b c a 2,0==，故)2,1,0(),,(=c b a 所求直线为211101-=-=-z y x （2）已知两异面直线0111+=-=z y x和011111-=-=-z y x ，求它们的距离与公垂线方程 （3）求与直线137182-=-=+z y x 平行且与下列两直线相交的直线 ⎩⎨⎧+=-=3465x z x z 和⎩⎨⎧+=-=5342y z x z （4）求过点)3,2,1(-P 与z 轴相交，且与已知直线22334--=-=z y x 垂直的直线方程（三）有关知识补充:1. 不在一条直线上的三点(,,)(1,2,3)i i i i P x y z i =的平面等价于11213,,PP PP PP 共面⇔11213(,,)0PP PP PP =⇔1112121213131310x x y y z z x x y y z z x x y y z z ------=---。