《新BBG》考前三个月2016高考二轮复习数学(江苏专用理科)知识考点题型篇：专题4 三角函数与平面向量 第17练

第44练 不等式选讲[题型分析·高考展望] 本部分主要考查绝对值不等式的解法.求含绝对值的函数的值域及求含参数的绝对值不等式中参数的取值范围，不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式，绝对值不等式的应用成为命题的热点，主要考查基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想.常考题型精析题型一 含绝对值不等式的解法例1 已知函数f (x )＝|x －a |，其中a ＞1.(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，求a 的值.点评 (1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值.(2)用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法.变式训练1 (2014·重庆改编)若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，求实数a 的取值范围.题型二 不等式的证明例2 (1)已知x ，y 均为正数，且x >y .求证：2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3. (2)已知实数x ，y 满足：|x ＋y |<13，|2x －y |<16， 求证：|y |<518.点评 (1)作差法应该是证明不等式的常用方法.作差法证明不等式的一般步骤：①作差；②分解因式；③与0比较；④结论.关键是代数式的变形能力.(2)在不等式的证明中，适当“放”“缩”是常用的推证技巧.变式训练2 (1)若a ，b ∈R ，求证：|a ＋b |1＋|a ＋b |≤|a |1＋|a |＋|b |1＋|b |. (2)已知a ，b ，c 均为正数，a ＋b ＝1，求证：a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.题型三 利用算术—几何平均不等式或柯西不等式证明或求最值例3 (1)已知a ，b ，c 均为正数，证明：a 2＋b 2＋c 2＋(1a ＋1b ＋1c)2≥63，并确定a ，b ，c 为何值时，等号成立；(2)已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，求3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1的最大值.点评利用算术—几何平均不等式或柯西不等式求最值时，首先要观察式子特点，构造出基本不等式或柯西不等式的结构形式，其次要注意取得最值的条件是否成立.变式训练3(2015·福建)已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c的最小值为4.(1)求a＋b＋c的值；(2)求14a2＋19b2＋c2的最小值.高考题型精练1.(2015·江苏)解不等式x＋|2x＋3|≥2.2.(2015·陕西)已知关于x的不等式|x＋a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}.(1)求实数a，b的值；(2)求at＋12＋bt的最大值.3.(2014·课标全国Ⅰ)若a >0，b >0，且1a ＋1b ＝ab . (1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由.4.设函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a >0.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋2的解集；(2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值.5.设a 、b 、c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明：(1)ab ＋bc ＋ca ≤13；(2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.6.(2014·课标全国Ⅱ)设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |(a >0). (1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)<5，求a 的取值范围.7.(2014·福建)已知定义在R上的函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|的最小值为a.(1)求a的值；(2)若p，q，r是正实数，且满足p＋q＋r＝a，求证：p2＋q2＋r2≥3.8.(2015·课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.答案精析第44讲 不等式选讲常考题型典例剖析例1 解 (1)当a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋6，x ≤2，2，2＜x ＜4，2x －6，x ≥4.当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4|得－2x ＋6≥4，解得x ≤1；当2＜x ＜4时，f (x )≥4－|x －4|无解；当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4|得2x －6≥4，解得x ≥5；所以f (x )≥4－|x －4|的解集为{x |x ≤1或x ≥5}.(2)记h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2a ，x ≤0，4x －2a ，0＜x ＜a ，2a ，x ≥a .由|h (x )|≤2，解得a －12≤x ≤a ＋12. 又已知|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －12＝1，a ＋12＝2，于是a ＝3.变式训练1 解 设y ＝|2x －1|＋|x ＋2|＝⎩⎨⎧ －3x －1，x <－2，－x ＋3，－2≤x <12，3x ＋1，x ≥12.当x <－2时，y ＝－3x －1>5；当－2≤x <12时，y ＝－x ＋3>52；当x ≥12时，y ＝3x ＋1≥52，故函数y ＝|2x －1|＋|x ＋2|的最小值为52.因为不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，所以52≥a 2＋12a ＋2.解不等式52≥a 2＋12a ＋2，得－1≤a ≤12，故a 的取值范围为[－1，12].例2 证明 (1)因为x >0，y >0，x －y >0，2x ＋1x 2－2xy ＋y 2－2y ＝2(x －y )＋1(x －y )2＝(x －y )＋(x －y )＋1(x －y )2≥ 33(x －y )21(x －y )2＝3，所以2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3，(2)因为3|y |＝|3y |＝|2(x ＋y )－(2x －y )|≤2|x ＋y |＋|2x －y |，由题设知|x ＋y |<13，|2x －y |<16，从而3|y |<23＋16＝56，所以|y |<518.变式训练2 证明 (1)当|a ＋b |＝0时，不等式显然成立.当|a ＋b |≠0时，由0<|a ＋b |≤|a |＋|b |⇒1|a ＋b |≥1|a |＋|b |，所以|a ＋b |1＋|a ＋b |＝11|a ＋b |＋1≤11＋1|a |＋|b |＝|a |＋|b |1＋|a |＋|b |≤|a |1＋|a |＋|b |1＋|b |. (2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a＋a ≥2c ， 故a 2b ＋b 2c ＋c 2a＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )， 即a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c ， 所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1. 例3 解 (1)方法一 因为a ，b ，c 均为正数，由算术—几何平均不等式得a 2＋b 2＋c 2≥3(abc )23，①1a ＋1b ＋1c ≥3(abc ) 13-，所以(1a ＋1b ＋1c)2≥9(abc )23-.② 故a 2＋b 2＋c 2＋(1a ＋1b ＋1c)2 ≥3(abc )23＋9(abc )23-. 又3(abc )23＋9(abc )23-≥227＝63，③ 所以原不等式成立.当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立.当且仅当3(abc )23＝9(abc )23-时，③式等号成立. 故当且仅当a ＝b ＝c ＝314时，原不等式等号成立.方法二 因为a ，b ，c 均为正数，由基本不等式得a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac .所以a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac .①同理1a 2＋1b 2＋1c 2≥1ab ＋1bc ＋1ac，② 故a 2＋b 2＋c 2＋(1a ＋1b ＋1c)2≥ab ＋bc ＋ac ＋3ab ＋3bc ＋3ac≥6 3.③所以原不等式成立.当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立，当且仅当a ＝b ＝c ，(ab )2＝(bc )2＝(ac )2＝3时，③式等号成立.故当且仅当a ＝b ＝c ＝314时，原不等式等号成立. (2)方法一 利用算术—几何平均不等式 (3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)2＝(3a ＋1)＋(3b ＋1)＋(3c ＋1)＋23a ＋1·3b ＋1＋23b ＋1·3c ＋1＋23a ＋1·3c ＋1 ≤(3a ＋1)＋(3b ＋1)＋(3c ＋1)＋[(3a ＋1)＋(3b ＋1)]＋[(3b ＋1)＋(3c ＋1)]＋[(3a ＋1)＋(3c ＋1)]＝3[(3a ＋1)＋(3b ＋1)＋(3c ＋1)]＝18， ∴3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1≤32， ∴(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)max ＝3 2.方法二 利用柯西不等式∵(12＋12＋12)[(3a ＋1)2＋(3b ＋1)2＋(3c ＋1)2]≥(1·3a ＋1＋1·3b ＋1＋1·3c ＋1)2∴(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)2≤3[3(a ＋b ＋c )＋3].又∵a ＋b ＋c ＝1，∴(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)2≤18， ∴3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1≤32， 当且仅当3a ＋1＝3b ＋1＝3c ＋1时，等号成立. ∴(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)max ＝3 2.变式训练3 解 (1)因为f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c ≥|(x ＋a )－(x －b )|＋c ＝|a ＋b |＋c ， 当且仅当－a ≤x ≤b 时，等号成立.又a ＞0，b ＞0，所以|a ＋b |＝a ＋b .所以f (x )的最小值为a ＋b ＋c .又已知f (x )的最小值为4，所以a ＋b ＋c ＝4.(2)由(1)知a ＋b ＋c ＝4，由柯西不等式得⎝⎛⎭⎫14a 2＋19b 2＋c 2(4＋9＋1) ≥⎝⎛⎭⎫a 2×2＋b 3×3＋c ×12＝(a ＋b ＋c )2＝16， 即14a 2＋19b 2＋c 2≥87. 当且仅当12a 2＝13b 3＝c 1，即a ＝87，b ＝187，c ＝27时等号成立. 故14a 2＋19b 2＋c 2的最小值为87. 常考题型精练1.解 原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＜－32，－x －3≥2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－32，3x ＋3≥2.解得x ≤－5或x ≥－13. 综上，原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－5或x ≥－13. 2.解 (1)由|x ＋a |＜b ，得－b －a ＜x ＜b －a ，则⎩⎪⎨⎪⎧ －b －a ＝2，b －a ＝4，解得a ＝－3，b ＝1. (2)－3t ＋12＋t ＝34－t ＋t ≤[(3)2＋12][(4－t )2＋(t )2]＝24－t ＋t ＝4， 当且仅当4－t 3＝t 1，即t ＝1时等号成立， 故(－3t ＋12＋t )max ＝4.3.解 (1)由ab ＝1a ＋1b ≥2ab，得ab ≥2， 且当a ＝b ＝2时等号成立.故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥42，且当a ＝b ＝2时等号成立.所以a 3＋b 3的最小值为4 2.(2)由(1)知，2a ＋3b ≥26ab ≥4 3.由于43>6，从而不存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6.4.解 (1)当a ＝1时，f (x )≥3x ＋2可化为|x －1|≥2.由此可得x ≥3或x ≤－1.故不等式f (x )≥3x ＋2的解集为{x |x ≥3或x ≤－1}.(2)由f (x )≤0得|x －a |＋3x ≤0.此不等式化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，x －a ＋3x ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧ x <a ，a －x ＋3x ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，x ≤－a 2.因为a >0，所以不等式组的解集为{x |x ≤－a 2}. 由题设可得－a 2＝－1，故a ＝2. 5.证明 (1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1.所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13. (2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a＋a ≥2c ， 故a 2b ＋b 2c ＋c 2a＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )， 即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c .所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1. 6.(1)证明 由a >0，有f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |≥ ⎪⎪⎪⎪x ＋1a －(x －a )＝1a＋a ≥2. 所以f (x )≥2.(2)解 f (3)＝⎪⎪⎪⎪3＋1a ＋|3－a |. 当a >3时，f (3)＝a ＋1a， 由f (3)<5，得3<a <5＋212. 当0<a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a， 由f (3)<5，得1＋52<a ≤3. 综上，a 的取值范围是(1＋52，5＋212). 7.(1)解 因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当－1≤x ≤2时，等号成立，所以f (x )的最小值等于3，即a ＝3.(2)证明 由(1)知p ＋q ＋r ＝3，又因为p ，q ，r 是正实数，所以(p 2＋q 2＋r 2)(12＋12＋12)≥(p ×1＋q ×1＋r ×1)2＝(p ＋q ＋r )2＝9，即p 2＋q 2＋r 2≥3.8.解 (1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0. 当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解；当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0，解得23<x <1； 当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2.所以f (x )>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪23<x <2. (2)由题设可得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝⎛⎭⎪⎫2a －13，0，B (2a ＋1,0)，C (a ，a ＋1)， △ABC 的面积为23(a ＋1)2. 由题设得23(a ＋1)2>6，故a >2. 所以a 的取值范围为(2，＋∞).。

中档大题5圆锥曲线1。

已知椭圆错误!＋错误!＝1 (a>b≥1）的离心率e＝错误!，右焦点到直线2ax＋by－错误!＝0的距离为错误!。

（1）求椭圆C的方程；(2）已知椭圆C的方程与直线x－y＋m＝0交于不同的两点M，N，且线段MN的中点不在圆x2＋y2＝1内，求m的取值范围。

2。

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：错误!＋错误!＝1 （a〉b>0)的左焦点为F1(－1，0),且点P错误!在椭圆C上.(1）求椭圆C的方程;（2）若过顶点A(－错误!，0）的直线l1交y轴于点Q,交曲线C于点R，过坐标原点O作直线l2，使得l2∥l1，且l2交曲线C于点S，证明：AQ，错误!OS，AR成等比数列.3。

（2015·无锡模拟)如图所示,椭圆错误!＋错误!＝1（a〉b>0）的上、下顶点分别为A,B，已知点B在直线l：y＝－1上，且椭圆的离心率e＝错误!.(1)求椭圆的标准方程;（2)设P是椭圆上异于A，B的任意一点，PQ⊥y轴,Q为垂足，M为线段PQ的中点,直线AM交直线l于点C，N为线段BC的中点,求证：OM⊥MN。

4。

已知椭圆C：错误!＋错误!＝1 （a〉b>0)的两个焦点分别为F1（－错误!，0），F2（错误!，0),点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直。

（1）求椭圆C的方程;（2)过点M（1,0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设点N（3，2），记直线AN,BN的斜率分别为k1，k2，求证：k1＋k2为定值.5.已知双曲线M：错误!－错误!＝1(a>0，b>0)的上焦点为F，上顶点为A,B为虚轴的端点,离心率e＝错误!,且S△ABF＝1－错误!.抛物线N的顶点在坐标原点，焦点为F。

(1)求双曲线M和抛物线N的方程；(2）设动直线l与抛物线N相切于点P,与抛物线的准线相交于点Q，则以PQ为直径的圆是否恒过y轴上的一个定点？如果是，试求出该点的坐标，如果不是，请说明理由。

专题3 解三角形【三年高考】1. 【2016高考江苏，理15】在中，AC=6，（1）求AB的长；（2）求的值.【答案】（1）；(2)（2）在中，，所以，于是又故因为，所以因此【考点】同角三角函数的基本关系、正余弦定理、两角和与差的正余弦公式【名师点睛】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先应从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式是解决三角问题的关键，同时应明确角的范围、开方时正负的取舍等.2．【2015江苏高考，15】（本小题满分14分）在中，已知.（1）求的长；（2）求的值.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）已知两边及夹角求第三边，应用余弦定理，可得的长，（2）利用（1）的结果，则由余弦定理先求出角C的余弦值，再根据平方关系及三角形角的范围求出角C的正弦值，最后利用二倍角公式求出的值.试题解析：（1）由余弦定理知，，所以．（2）由正弦定理知，，所以．因为，所以为锐角，则．因此．【考点定位】余弦定理，二倍角公式3．[2016高考新课标Ⅲ文数改编]在中，，边上的高等于,则（）【答案】【解析】试题分析：设边上的高线为，则，所以．由正弦定理，知，即，解得．考点：正弦定理．【方法点拨】在平面几何图形中求相关的几何量时，需寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，常常将所涉及到已知几何量与所求几何集中到某一个三角形，然后选用正弦定理与余弦定理求解．4．【2016高考山东文数改编】中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知,则A= ．【答案】考点：余弦定理【名师点睛】本题主要考查余弦定理的应用、三角函数的同角公式及诱导公式，是高考常考知识内容.本题难度较小，解答此类问题，注重边角的相互转换是关键，本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.5．【2016高考新课标2文数】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，a=1，则b=____________.【答案】【解析】试题分析：因为，且为三角形内角，所以，，又因为，所以.考点：正弦定理，三角函数和差公式.【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．6．【2016高考北京文数】在△ABC中，，，则=_________.【答案】1考点：解三角形【名师点睛】①根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键．②熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用．7．【2016高考四川文科】（本题满分12分）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且.（I）证明：；（II）若，求.【答案】（Ⅰ）证明详见解析；（Ⅱ）4.【解析】试题分析：（Ⅰ）已知条件式中有边有角，利用正弦定理，将边角进行转化（本小题是将边转化为角），结合诱导公式进行证明；（Ⅱ）从已知式可以看出首先利用余弦定理解出cos A=，再根据平方关系解出sinA，代入（Ⅰ）中等式sin A sin B=sin A cos B+cos A sin B，解出tanB的值.试题解析：（Ⅰ）根据正弦定理，可设===k(k>0)．则a=k sin A，b=k sin B，c=k sin C．代入+=中，有+=，变形可得sin A sin B=sin A cos B+cos A sin B=sin(A+B)．在△ABC中，由A+B+C=π，有sin(A+B)=sin(π–C)=sin C，所以sin A sin B=sin C．考点：正弦定理、余弦定理、商数关系、平方关系.【名师点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、商数关系等基础知识，考查学生的分析问题的能力和计算能力.在解三角形的应用中，凡是遇到等式中有边又有角时，可用正弦定理进行边角互化，一种是化为三角函数问题，一般是化为代数式变形问题．在角的变化过程中注意三角形的内角和为这个结论，否则难以得出结论．8．【2016高考天津文数】（本小题满分13分）在中，内角所对应的边分别为a,b,c，已知.(Ⅰ)求B；(Ⅱ)若，求sinC的值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ）利用正弦定理，将边化为角：,再根据三角形内角范围化简得，（Ⅱ）问题为“已知两角，求第三角”，先利用三角形内角和为，将所求角化为两已知角的和，再根据两角和的正弦公式求解试题解析：（Ⅰ）解：在中，由，可得，又由得，所以，得；（Ⅱ）解：由得，则，所以考点：同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式、两角和的正弦公式以及正弦定理【名师点睛】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数关系、两角和与差公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式，是解决三角问题的关键，明确角的范围，对开方时正负取舍是解题正确的保证. 9．【2016高考浙江文数】（本题满分14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b+c=2a cos B．（Ⅰ）证明：A=2B；（Ⅱ）若cos B=，求cos C的值．【答案】（I）证明见解析；（II）.【解析】试题分析：（I）先由正弦定理可得，进而由两角和的正弦公式可得，再判断的取值范围，进而可证；（II）先用同角三角函数的基本关系可得，再用二倍角公式可得，进而可得和，最后用两角和的余弦公式可得．试题解析：（I）由正弦定理得，故，于是，，又，故，所以或，因此，（舍去）或，所以，.（II）由，得，，故，，.考点：三角函数及其变换、正弦和余弦定理.【思路点睛】（I）用正弦定理将边转化为角，进而用两角和的正弦公式转化为含有，的式子，根据角的范围可证；（II）先用同角三角函数的基本关系及二倍角公式可得，进而可得和，再用两角和的余弦公式可得．10．【2016高考新课标1卷】（本小题满分为12分）的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知（I）求C；（II）若的面积为,求的周长．【答案】（I）（II）【解析】试题分析：（I）先利用正弦定理进行边角代换化简得得,故；（II）根据．及得．再利用余弦定理得．再根据可得的周长为．试题解析：（I）由已知及正弦定理得,,即．故．可得,所以．（II）由已知,．又,所以．由已知及余弦定理得,．故,从而．所以的周长为．考点：正弦定理、余弦定理及三角形面积公式【名师点睛】三角形中的三角变换常用到诱导公式,,就是常用的结论,另外利用正弦定理或余弦定理处理条件中含有边或角的等式,常考虑对其实施“边化角”或“角化边.”11．【2015高考上海，理14】在锐角三角形中，，为边上的点，与的面积分别为和．过作于，于，则．【答案】【解析】由题意得：，又,因为DEAF四点共圆，因此12.【2015高考湖北，理13】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 m.【答案】【解析】依题意，，，在中，由，所以，因为，由正弦定理可得，即m，在中，因为，，所以，所以m.13.【2015高考山东，理16】设.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）在锐角中，角的对边分别为,若,求面积的最大值.（II）由得，由题意知为锐角，所以，由余弦定理：，可得：，即：当且仅当时等号成立.因此，所以面积的最大值为14.【2015高考四川，理19】如图，A，B，C，D为平面四边形ABCD的四个内角.（1）证明：（2）若求的值.A BCD【解析】（1）.（2）由，得.由（1），有连结BD ，在中，有，在中，有，所以，则，于是.连结AC ，同理可得，于是，所以.15．【2015高考陕西，理17】的内角，，所对的边分别为，，．向量与平行．（I ）求；（II ）若，求的面积．【解析】（I ）因为，所以，由正弦定理，得，又，从而，由于，所以(II)解法一：由余弦定理，得，而，得，即，因为，所以.故的面积为.解法二：由正弦定理，得，从而，又由，知，所以.故，所以的面积为.16. 【2014全国2高考理第4题】钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=_______.【答案】17.【2014天津高考理第12题】在中，内角所对的边分别是．已知，，则的值为_______．【答案】．【解析】因为代入得，由余弦定理得．18.【2014全国1高考理第16题】已知分别为三个内角的对边，，且，则面积的最大值为____________．【答案】19.【2014高考浙江理第18题】在中，内角所对的边分别为.已知，（I）求角的大小；（II）若，求的面积.【解析】（I）由题意得，，即，，由得，，又，得，即，所以；（II）由，，得，由，得，从而，故，所以的面积为．【2017年高考命题预测】纵观2016各地高考试题，解三角形问题，是每年高考必考的知识点之一，题型一般是选择和填空的形式，大题往往结合三角恒等变换，也有单独解三角形,主要考查正弦定理或余弦定理的运用，以及在三角形中运用三角公式进行三角变换的能力和利用三角形面积求边长等,考查利用三角公式进行恒等变形的技能，以及基本运算的能力，特别突出算理方法的考查．难度属于中、低档；分值为5分，或12分.高考对解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的综合运用为主，从近几年的高考试题来看，正弦定理、余弦定理是高考的热点，主要涉及三角形的边角转化、三角形形状的判断、三角形内三角函数的求值以及三角恒等式的证明问题，立体几何体的空间角以及解析几何中的有关角等问题.今后高考的命题会以正弦定理、余弦定理为知识框架，以三角形为主要依托，结合实际应用问题考察正弦定理、余弦定理及应用.题型一般为选择题、填空题，也可能是中、难度的解答题, 主要考查学生分析问题、解决问题的能力和处理交汇性问题的能力．故在201.7年复习备考中，注意掌握利用正弦定理、余弦定理转化为三角形中各边之间的关系或各角之间的关系，并结合三角形的内角和为180°，诱导公式，同角三角函数基本关系，两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行化简求值．预测2017年高考仍将以正弦定理、余弦定理，尤其是两个定理的综合应用为主要考点，重点考查计算能力以及应用数学知识分析和解决问题的能力．【2017年高考考点定位】高考对解三角形的考查有两种主要形式：一是直接考查正弦定理、余弦定理；二是以正弦定理、余弦定理为工具考查涉及三角形的边角转化、三角形形状的判断、三角形内三角函数的求值以及三角恒等式的证明问题.从涉及的知识上讲，常与诱导公式，同角三角函数基本关系，两角和与差的正弦、余弦、正切公式,向量等知识相联系，小题目综合化是这部分内容的一种趋势.【考点1】利用正余弦定理在三角形中求三角函数值、求角、求边长【备考知识梳理】1．直角三角形中各元素间的关系： 如图，在中，，.（1）三边之间的关系：.（勾股定理） （2）锐角之间的关系：；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义），，.46810ab c CBA2．斜三角形中各元素间的关系：如图，在中，为其内角，分别表示的对边.（1）三角形内角和：.（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.（为外接圆半径）变形：，，;;；.（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍；；.推论：;;.变形：;;.【规律方法技巧】解斜三角形的常规思维方法是： （1）已知两角和一边（如），由求，由正弦定理求；（2）已知两边和夹角（如），应用余弦定理求边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用，求另一角；（3）已知两边和其中一边的对角（如），应用正弦定理求B，由求，再由正弦定理或余弦定理求边，要注意解可能有多种情况；A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＜b sin A a＝b sin A b sin A＜a＜b a≥b a＞b a≤b 解的个数无解一解两解一解一解无解（4）已知三边，应余弦定理求，再由，求角.(5)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用．(6)在含有三角形内角的三角函数和边的混合关系式中要注意变换方向的选择．正弦定理、余弦定理、三角形面积公式本身就是一个方程，在解三角形的试题中方程思想是主要的数学思想方法，要注意从方程的角度出发分析问题．(7)如何恰当选择正弦定理与余弦定理解题利用正弦定理解三角形时，可将正弦定理视为方程或方程组，利用方程思想处理已知量与未知量的关系.熟记正弦定理同三角形外接圆半径、三角形面积之间的关系等结论，对于相关问题是十分有益的.利用正弦定理可解决以下两类问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边角；二是已知两边和一边对应的角，求其他边角，由于此时的三角形不能确定，应对它进行分类讨论.利用正弦定理解题一般适应的特点（1）如果所给的等式两边有齐次的边的形式或齐次的角的正弦的形式，可以利用正弦定理进行边角互换，这是高考中常见的形式；（2）根据所给条件构造（1）的形式，便于利用正弦定理进行边角互换，体现的是转化思想的灵活应用.余弦定理与平面几何知识、向量、三角函数有着密切的联系，常解决一下两类问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边角；二是已知三边求三角.由于这两种情形下三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一. 余弦定理的重要应用(8)三角形的余弦定理作为解决三角形问题的利剑，必须熟练掌握应用.为此，就其常见的几种变形形式，介绍如下.①联系完全平方式巧过渡:由则.②联系重要不等式求范围：由，则当且仅当等号成立.③联系数量积的定义式妙转化：在中，由.(9)在三角形内求值、证明或判断三角形形状时，要用正、余弦定理完成边与角的互化，一般是都化为边或都化为角，然后用三角公式或代数方法求解，从而达到求值、证明或判断的目的．解题时要注意隐含条件．【考点针对训练】1. 【江苏省如东高级中学2016届高三上学期期中考试数学试题】在锐角中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,,的面积为，则的最大角的正切值是________【答案】【解析】由题意得，由余弦定理得：，因此B角最大，2.已知△的三边所对的角分别为,且, 则的值为________.【答案】【解析】由正弦定理得：，因为，所以，所以，因为，所以，所以．【考点2】利用正余弦定理求三角形面积【备考知识梳理】三角形的面积公式：（1）（分别表示上的高）；（2）；（3）；（4）；（为外接圆半径）（5）；（6）△＝；；（7）.（为内切圆半径,）【规律方法技巧】利用来求的面积是在已知两边及夹角的前提下来求的，事实上，两边及夹角中的某个(或两个)量需要通过解三角形求出，这就需要先利用正、余弦定理解三角形．求解此类三角形的基本量的技巧：先将几何问题转化为代数问题，正确分析已知等式中的边角关系，利用正弦定理、余弦定理、任意三角形面积公式等工具进行三角形中边角的互化，若要把“边”化为“角”，常利用“，，，;”，若要把“角”化为“边”，常利用，;;等；然后利用三角形的内角和定理、大边对大角等知识求出三角形的基本量．解三角形中，应特别注意问题中的隐含条件，正弦定理和余弦定理，三角形的面积公式，三角形中的边角关系，内角和定理等．例如利用边的值判断隐含条件或，极其隐蔽．另外常见的错误还有：(1)在化简三角函数式子时要注意恒等变形不要轻易约分(消去某一个式子)等，(2)在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解或无解，所以要进行分类讨论．【考点针对训练】1. 【江苏省南京市2016届高三年级第三次学情调研适应性测试数学】在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝，b＝3，sin C＝2sin A，则ΔABC的面积为．【答案】【解析】由正弦定理得：，因此由余弦定理得：，因此2．【江苏省启东中学2015届高三下学期期初调研测】.已知△ABC中，∠B＝45°，AC＝4，则△ABC面积的最大值为 .【答案】；【解析】，，得，，△ABC面积的最大值为【考点3】利用正余弦定理判断三角形形状【备考知识梳理】解斜三角形的主要依据是：设的三边为，对应的三个角为.（1）角与角关系：；（2）边与边关系：，，，；（3）边与角关系：正弦定理.（为外接圆半径）；余弦定理；；.它们的变形形式有：，，.5．三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点.（1）角的变换因为在中，，所以；；.；（2）三角形边、角关系定理及面积公式面积公式r为三角形内切圆半径，p为周长之半.（3）在中，熟记并会证明：成等差数列的充分必要条件是；是正三角形的充分必要条件是成等差数列且成等比数列.【规律方法技巧】依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：1．利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；2．利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用这个结论．如何利用余弦定理判定三角形的形状由于与同号，故当时，角为锐角；当时，三角形为直角三角形；当时，三角形为钝角三角形．三角形中常见的结论(1) .(2)在三角形中大边对大角，反之亦然．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(4)在中，是的充要条件【考点针对训练】1. 【江苏省启东中学2015～2016学年度第一学期第一次阶段测试】(本小题满分14分)已知中，角、、所对的边分别为、、，满足．⑴求角的值；⑵若，，成等差数列，试判断的形状．【答案】（1）；（2）等边三角形．【解析】⑴由正弦定理，得：，整理，得：，由余弦定理，得：，是的内角，；⑵，，成等差数列，，由⑴可知，，，整理，得：，由，得，，是等边三角形．2.设的内角A、B、C所对的边分别为a,b,c，若，则的形状为_________.【答案】直角三角形【解析】因为，由正弦定理可得：，所以，即，A为三角形内角，所以sinA=1，A=，所以三角形是直角三角形．【考点4】正、余弦定理的实际应用【备考知识梳理】仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．(如图(a))．2．方位角从某点的指北方向线起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．如B点的方位角为α(如图(b))．3．方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)××度．易混点：易混淆方位角与方向角概念：方位角是指北方向与目标方向线按顺时针之间的夹角，而方向角是正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角．【规律方法技巧】三角形应用题的解题要点：解斜三角形的问题，通常都要根据题意，从实际问题中寻找出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形得出所要求的量，从而得到实际问题的解．有些时候也必须注意到三角形的特殊性，如直角三角形、等腰三角形、锐角三角形等．正确理解和掌握方位角、俯角、仰角对于解决三角形应用题也是必不可少的．把握解三角形应用题的四步：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系；(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型；(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解；(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．求距离问题的注意事项：(1)选定或确定要求解的三角形，即所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．求解高度问题应注意：(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角；(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图；(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用．解决测量角度问题的注意事项：(1)明确方位角的含义；(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步；(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用．【考点针对训练】1. 【江苏省清江中学数学模拟试卷】（15分）在一个六角形体育馆的一角MAN内，用长为a的围栏设置一个运动器材存储区域（如图所示），已知，B是墙角线AM上的一点，C是墙角线AN上的一点. （1）若，求存储区域面积的最大值；（2）若，在折线MBCN内选一点D，使，求四边形存储区域DBAC的最大面积.【答案】（1）最大值为；（2）最大面积为.（2）由，知点D在以B，C为焦点的椭圆上，∵，∴要使四边形DBAC面积最大，只需的面积最大，此时点D到BC的距离最大，即D必为椭圆短轴顶点.由，得短半轴长，面积的最大值为.因此，四边形ACDB面积的最大值为.2. 【江苏省扬州中学2015届高三8月开学】一走廊拐角处的横截面如图所示，已知内壁和外壁都是半径为1m的四分之一圆弧，分别与圆弧相切于两点，且两组平行墙壁间的走廊宽度都是1m.（1）若水平放置的木棒的两个端点分别在外壁和上，且木棒与内壁圆弧相切于点设试用表示木棒的长度（2）若一根水平放置的木棒能通过该走廊拐角处，求木棒长度的最大值．②若M在线段CT上，即若S在线段GT的延长线上，则TS=QS-QT，在中，，因此．．（2）设，则，因此．因为，又，所以恒成立，因此函数在是减函数，所以，即．所以一根水平放置的木棒若能通过该走廊拐角处，则其长度的最大值为．【两年模拟详解析】1．【南京市、盐城市2016届高三年级第一次模拟考试数学】在中，设分别为角的对边，若，，，则边= .【答案】7【解析】由得，由得，由得．2．【江苏省扬州中学2015—2016学年第二学期质量检测】已知，若存在，满足,则称是的一个“友好”三角形.若等腰存在“友好”三角形，则其底角的弧度数为．【答案】【解析】不妨设为顶角，则由题意得，且,因此有，逐一验证得：满足．3．【江苏省扬州中学2016届高三4月质量监测】已知△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且BC边上的高为a，则的最大值为______．【答案】【解析】由题意得，因此,当且仅当时取等号．4．【江苏省苏北三市（徐州市、连云港市、宿迁市）2016届高三最后一次模拟考试】已知函数和函数的图象交于三点，则的面积为 . 【答案】5．【盐城市2016届高三年级第三次模拟考试】在中，角所对的边分别为，若为锐角三角形，且满足，则的取值范围是 .【答案】【解析】由得，因此即，因为为锐角三角形，所以从而，．6．【江苏省扬州中学2015—2016学年第二学期质量检测】设的内角的对边分别为，且为钝角.（1）证明：；（2）求的取值范围.【答案】（1）详见解析（2）【解析】（1）由及正弦定理，得，∴，即，又为钝角，因此，(不写范围的扣1分)故，即；（2）由（1）知，，∴，于是，∵，∴，因此，由此可知的取值范围是．7．【江苏省苏中三市2016届高三第二次调研测试数学试题】在斜三角形中，．（1）求的值；（2）若，，求的周长．【答案】（1）（2）（2）在中，，则，由正弦定理，得，故，．所以的周长为．8．【江苏省南京市2016届高三年级第三次学情调研适应性测试数学】(本小题满分14分)。

中档大题3立体几何1.(2015·连云港二模)如图(1)所示，平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，AD＝4.将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD，如图(2)所示.(1)求证：AB⊥DE；(2)求三棱锥E—ABD的侧面积和体积.2.如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AB⊥平面BB1C1C，BB1＝2BC，D，E，F分别是CC1，A1C1，B1C1的中点，G在BB1上，且BG＝3GB1.(1)求证：B1D⊥平面ABD；(2)求证：平面GEF∥平面ABD.3.如图所示，已知斜四棱柱ABCD—A1B1C1D1各棱长都是2，∠BAD＝∠A1AD＝60°，E，O分别是棱CC1，AD的中点，平面ADD1A1⊥平面ABCD.(1)求证：OC∥平面AED1；(2)求证：AD⊥D1C；(3)求几何体D —AED 1的体积.4.如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，且P A ＝AB ＝BC ＝12AD ＝1. (1)求PB 与CD 所成的角；(2)求直线PD 与平面P AC 所成的角的余弦值；(3)求二面角B －PC －D 的余弦值.5.如图1，∠ACB ＝45°，BC ＝3，过动点A 作AD ⊥BC ，垂足D 在线段BC 上且异于点B ，连结AB ，沿AD 将△ABD 折起，使∠BDC ＝90°，如图2.(1)当BD 的长为多少时，三棱锥A －BCD 的体积最大；(2)当三棱锥A －BCD 的体积最大时，设点E ，M 分别为棱BC ，AC 的中点，线段CD 上是否存在点N ，使得EN ⊥BM ？若存在，求出点N 的坐标，若不存在，说明理由.6.如图，在四棱锥P—ABCD中，平面P AD⊥底面ABCD，其中底面ABCD为等腰梯形，AD∥BC，P A＝AB＝BC＝CD＝2，PD＝23，P A⊥PD，Q为PD的中点.(1)证明：CQ∥平面P AB；(2)求二面角D—AQ—C的余弦值.答案精析中档大题3立体几何1.(1)证明在△ABD中，因为AB＝2，AD＝4，∠DAB＝60°，所以BD＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠DAB＝2 3.所以AB2＋BD2＝AD2.所以AB⊥BD.因为平面EBD⊥平面ABD，平面EBD∩平面ABD＝BD，AB⊂平面ABD，所以AB⊥平面EBD. 又DE⊂平面EBD，所以AB⊥DE.(2)解由(1)知AB⊥BD.因为CD∥AB，所以CD⊥BD，从而DE⊥BD.在Rt△DBE中，因为BD＝23，DE＝DC＝AB＝2，所以S△EDB＝12BD×DE＝2 3.因为AB⊥平面EBD，BE⊂平面EBD，所以AB⊥BE. 因为BE＝AD＝4，所以S△EAB＝12AB×BE＝12×2×4＝4.因为DE⊥BD，平面EBD⊥平面ABD，所以ED⊥平面ABD，而AD⊂平面ABD，所以ED⊥AD.所以S△EAD＝12AD×DE＝12×4×2＝4.综上，三棱锥E—ABD的侧面积S＝S△EDB＋S△EAB＋S△EAD＝8＋2 3.因为DE⊥平面ABD，且S△ABD＝S△EDB＝23，DE＝2，所以V三棱锥E—ABD＝13S△ABD×DE＝13×23×2＝433. 2.证明 (1)取BB 1的中点为M ，连结MD ，如图所示.因为BB 1＝2BC ，且四边形BB 1C 1C 为平行四边形，所以四边形CDMB 和四边形DMB 1C 1均为菱形，故∠CDB ＝∠BDM ，∠MDB 1＝∠B 1DC 1，所以∠BDM ＋∠MDB 1＝90°，即BD ⊥B 1D .又AB ⊥平面BB 1C 1C ，B 1D ⊂平面BB 1C 1C ，所以AB ⊥B 1D .又AB ∩BD ＝B ，所以B 1D ⊥平面ABD .(2)如图所示，连结MC 1，可知G 为MB 1的中点，又F 为B 1C 1的中点，所以GF ∥MC 1.又MB 綊C 1D ，所以四边形BMC 1D 为平行四边形，所以MC 1∥BD ，故GF ∥BD .又BD ⊂平面ABD ，所以GF ∥平面ABD .又EF ∥A 1B 1，A 1B 1∥AB ，AB ⊂平面ABD ，所以EF ∥平面ABD .又EF ∩GF ＝F ，故平面GEF ∥平面ABD .3.(1)证明 如图，连结A 1D 交AD 1于点F ，连结OF ，EF ，则F 为A 1D 的中点，也为AD 1的中点.因为E ，O 分别是棱CC 1，AD 的中点，所以OF ∥DD 1∥CC 1，OF ＝12CC 1，CE ＝12CC 1， 所以OF 綊CE ，所以四边形OCEF 为平行四边形，所以OC ∥EF .因为EF ⊂平面AED 1，OC ⊄平面AED 1，所以OC ∥平面AED 1.(2)证明 如图，连结A 1O .因为斜四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的各棱长都是2，∠A 1AD ＝60°，所以△AA 1D 为正三角形.又O 是棱AD 的中点，所以A 1O ⊥AD .因为平面ADD 1A 1⊥平面ABCD ，平面ADD 1A 1∩平面ABCD ＝AD ，所以A 1O ⊥平面ABCD .如图，连结A 1B ，OB .因为∠BAD ＝60°，所以AD ⊥OB .因为A 1O ∩OB ＝O ，所以AD ⊥平面A 1OB ，所以AD ⊥A 1B .因为A 1B ∥D 1C ，所以AD ⊥D 1C .(3)解 连结BD ，BD 1.因为平面ADD 1A 1∥平面BB 1C 1C ，所以点E 到平面ADD 1A 1的距离等于点B 到平面ADD 1A 1的距离，所以VD —AED 1＝VE —ADD 1＝VB —ADD 1＝13×12×2×2×sin 120°×3＝1.4.解 (1)由题意，可得P A ，AB ，AD 两两垂直，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.因为P A ＝AB ＝BC ＝12AD ＝1，所以A (0,0,0)，P (0,0,1)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,2,0).所以PB →＝(1,0，－1)，CD →＝(－1,1,0).所以|cos 〈PB →，CD →〉|＝|PB →·CD →||PB →|×|CD →|＝|－1＋0＋0|2×2＝12. 所以PB 与CD 所成的角为60°.(2)由(1)知PD →＝(0,2，－1)，AP →＝(0,0,1)，AC →＝(1,1,0).设m ＝(x ，y ，z )是平面P AC 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ·AP →＝0，m ·AC →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ z ＝0，x ＋y ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧z ＝0，x ＝－y ， 取x ＝1，则m ＝(1，－1,0).所以直线PD 与平面P AC 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈PD →，m 〉|＝|PD →·m ||PD →|·|m |＝25×2＝105， 因为θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以cos θ＝155. 设直线PD 与平面P AC 所成的角的余弦值为155. (3)PB →＝(1,0，－1)，BC →＝(0,1,0).设n ＝(a ，b ，c )是平面PBC 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·PB →＝0，n ·BC →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a －c ＝0，b ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝c ，b ＝0， 取a ＝1，则n ＝(1,0,1).同理可得平面PDC 的一个法向量为n 0＝(1,1,2)，设二面角B －PC －D 的大小为θ1，则|cos θ1|＝|cos 〈n ，n 0〉|＝|n·n 0||n |·|n 0|＝32·6＝32. 因为二面角B －PC －D 为钝角，所以二面角B －PC －D 的余弦值为－32.5.解 (1)在△ABC 中，设BD ＝x (0<x <3)，则CD ＝3－x .由AD ⊥BC ，∠ACB ＝45°知，△ADC 为等腰直角三角形，所以AD ＝CD ＝3－x .由折起前AD ⊥BC 知，折起后AD ⊥DC ，AD ⊥BD ，且BD ∩DC ＝D ，所以AD ⊥平面BCD .又∠BDC ＝90°，所以S △BCD ＝12BD ·CD ＝12x (3－x ).于是V A －BCD ＝13AD ·S △BCD ＝13(3－x )·12x (3－x )＝16(x 3－6x 2＋9x ).令f (x )＝16(x 3－6x 2＋9x )，由f ′(x )＝12(x －1)(x －3)＝0，且0<x <3，解得x ＝1.当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈(1,3)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，所以当x ＝1时，f (x )取得最大值.故当BD ＝1时，三棱锥A －BCD 的体积最大.(2)线段CD 上存在点N ，使得EN ⊥BM ，理由如下：以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz .由(1)知，当三棱锥A －BCD 的体积最大时，BD ＝1，AD ＝CD ＝2.于是可得D (0,0,0)，B (1,0,0)，C (0,2,0)，A (0,0,2)，M (0,1,1)，E (12，1,0)，且BM →＝(－1,1,1).假设存在这样的点N ，设其坐标为N (0，λ，0)，其中λ∈[0,2]，则EN →＝(－12，λ－1,0).因为EN ⊥BM 等价于EN →·BM →＝0，即(－12，λ－1,0)·(－1,1,1)＝12＋λ－1＝0， 解得λ＝12，满足λ∈[0,2]，故存在点N 满足题意，此时N (0，12，0). 6.(1)证明 如图所示，取P A 的中点N ，连结QN ，BN .在△P AD 中，PN ＝NA ，PQ ＝QD ，所以QN ∥AD ，且QN ＝12AD . 在△APD 中，P A ＝2，PD ＝23，P A ⊥PD ，所以AD ＝P A 2＋PD 2＝22＋(23)2＝4，而BC ＝2，所以BC ＝12AD . 又BC ∥AD ，所以QN ∥BC ，且QN ＝BC ，故四边形BCQN 为平行四边形，所以BN ∥CQ .又CQ ⊄平面P AB ，BN ⊂平面P AB ，所以CQ ∥平面P AB .(2)解 如图，在平面P AD 内，过点P 作PO ⊥AD 于点O ，连结OB .因为平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，所以PO ⊥平面ABCD .又PO ⊥AD ，AP ⊥PD ， 所以PO ＝AP ×PD AD ＝2×234＝3， 故AO ＝AP 2－PO 2＝22－(3)2＝1.在等腰梯形ABCD 中，取AD 的中点M ，连结BM ，又BC ＝2，AD ＝4，AD ∥BC ，所以DM ＝BC ＝2，DM ∥BC ，故四边形BCDM 为平行四边形.所以BM ＝CD ＝AB ＝2.在△ABM 中，AB ＝AM ＝BM ＝2，AO ＝OM ＝1，所以BO ⊥AD .又平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，所以BO ⊥平面P AD .如图，以O 为坐标原点，分别以OB ，OD ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则O (0,0,0)，D (0,3,0)，A (0，－1,0)，B (3，0,0)，P (0,0，3)，C (3，2,0)，则AC →＝(3，3,0).因为Q 为DP 的中点，故Q ⎝⎛⎭⎫0，32，32， 所以AQ →＝⎝⎛⎭⎫0，52，32. 设平面AQC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ⊥AC →，m ⊥AQ →，可得⎩⎨⎧ m ·AC →＝3x ＋3y ＝0，m ·AQ →＝52y ＋32z ＝0，令y ＝－3，则x ＝3，z ＝5.故平面AQC 的一个法向量为m ＝(3，－3，5).因为BO ⊥平面P AD ，所以OB →＝(3，0,0)是平面ADQ 的一个法向量.故cos 〈OB →，m 〉＝OB →·m |OB →|·|m |＝333·32＋(－3)2＋52＝337＝33737. 从而可知二面角D —AQ —C 的余弦值为33737.。

【9个专题27份】2016江苏高考数学（理科）大二轮总复习与增分策略（热点+强化练）目录专题一集合与常用逻辑用语 (4)第1讲集合与常用逻辑用语 (4)二轮专题强化练 (8)学生用书答案精析 (10)二轮专题强化练答案精析 (14)第2讲不等式与线性规划 (18)二轮专题强化练 (22)学生用书答案精析 (24)二轮专题强化练答案精析 (29)专题二函数与导数 (33)第1讲函数的图象与性质 (33)二轮专题强化练 (38)学生用书答案精析 (40)二轮专题强化练答案精析 (46)第2讲函数的应用 (50)二轮专题强化练 (54)学生用书答案精析 (56)二轮专题强化练答案精析 (61)第3讲导数及其应用 (65)二轮专题强化练 (69)学生用书答案精析 (72)二轮专题强化练答案精析 (78)第4讲导数的热点问题 (83)二轮专题强化练 (89)学生用书答案精析 (92)二轮专题强化练答案精析 (97)专题三三角函数解三角形与平面向量 (102)第1讲三角函数的图象与性质 (102)二轮专题强化练 (108)学生用书答案精析 (111)二轮专题强化练答案精析 (117)第2讲三角变换与解三角形 (123)二轮专题强化练 (127)学生用书答案精析 (130)二轮专题强化练答案精析 (136)第3讲平面向量 (141)学生用书答案精析 (148)二轮专题强化练答案精析 (155)专题四数列 (160)第1讲等差数列与等比数列 (160)二轮专题强化练 (165)学生用书答案精析 (167)二轮专题强化练答案精析 (172)第2讲数列的求和问题 (177)二轮专题强化练 (183)学生用书答案精析 (186)二轮专题强化练答案精析 (191)第3讲数列的综合问题 (196)二轮专题强化练 (202)学生用书答案精析 (205)二轮专题强化练答案精析 (210)第4讲推理与证明 (215)二轮专题强化练 (222)学生用书答案精析 (225)二轮专题强化练答案精析 (230)专题五立体几何与空间向量 (234)第1讲空间几何体 (234)二轮专题强化练 (238)学生用书答案精析 (241)二轮专题强化练答案精析 (244)第2讲空间中的平行与垂直 (248)二轮专题强化练 (255)学生用书答案精析 (259)二轮专题强化练答案精析 (265)第3讲立体几何中的向量方法 (269)二轮专题强化练 (277)学生用书答案精析 (280)二轮专题强化练答案精析 (288)专题六解析几何 (295)第1讲直线与圆 (295)二轮专题强化练 (298)学生用书答案精析 (301)二轮专题强化练答案精析 (306)第2讲椭圆、双曲线、抛物线 (310)二轮专题强化练 (315)学生用书答案精析 (318)二轮专题强化练答案精析 (324)第3讲圆锥曲线的综合问题 (331)二轮专题强化练 (338)二轮专题强化练答案精析 (349)专题七概率与统计 (354)第1讲排列、组合、二项式定理 (354)二轮专题强化练 (357)学生用书答案精析 (359)二轮专题强化练答案精析 (363)第2讲概率 (365)二轮专题强化练 (371)学生用书答案精析 (374)二轮专题强化练答案精析 (378)第3讲统计初步 (382)二轮专题强化练 (389)学生用书答案精析 (393)二轮专题强化练答案精析 (397)专题八系列4选讲 (400)第1讲几何证明选讲 (400)二轮专题强化练 (407)学生用书答案精析 (411)二轮专题强化练答案精析 (416)第2讲矩阵与变换 (419)二轮专题强化练 (426)学生用书答案精析 (430)二轮专题强化练答案精析 (435)第3讲坐标系与参数方程 (438)二轮专题强化练 (444)学生用书答案精析 (449)二轮专题强化练答案精析 (452)第4讲不等式选讲 (454)二轮专题强化练 (460)学生用书答案精析 (464)二轮专题强化练答案精析 (469)专题九数学思想方法 (472)二轮专题强化练 (476)学生用书答案精析 (478)二轮专题强化练答案精析 (483)专题一集合与常用逻辑用语第1讲集合与常用逻辑用语1．(2013·江苏)集合{－1,0,1}共有________个子集．2．(2015·陕西改编)设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lg x≤0}，则M∪N＝________. 3．(2015·湖北改编)设a1，a2，…，a n∈R，n≥3.若p：a1，a2，…，a n成等比数列；q：(a21＋a22＋…＋a2n－1)(a22＋a23＋…＋a2n)＝(a1a2＋a2a3＋…＋a n－1a n)2，则p是q的______条件．4．(2014·广东改编)对任意复数ω1，ω2，定义ω1*ω2＝ω1ω2，其中ω是ω2的共轭复数，对任意复数z1，z2，z3有如下四个命题：2①(z1＋z2)*z3＝(z1*z3)＋(z2*z3);②z1*(z2＋z3)＝(z1*z2)＋(z1*z3);③(z1*z2)*z3＝z1*(z2*z3);④z1*z2＝z2*z1.则真命题的个数是1.集合是高考必考知识点，经常以不等式解集、函数的定义域、值域为背景考查集合的运算，近几年有时也会出现一些集合的新定义问题.2.高考中考查命题的真假判断或命题的否定，考查充要条件的判断.热点一集合的关系及运算1．集合的运算性质及重要结论(1)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.(2)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.(3)A∩(∁U A)＝∅，A∪(∁U A)＝U.(4)A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.2．集合运算中的常用方法(1)若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；(2)若已知的集合是点集，用数形结合法求解；(3)若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解．例 1 (1)(2015·南京模拟)已知集合A＝{x|f(x)＝lg(x2－2x)}，B＝{x|－5 <x<5}，则A∪B＝______________________________________________________________ __________.(2)对于非空集合A，B，定义运算：A B＝{x|x∈A∪B，且x∉A∩B}，已知M＝{x|a<x<b}，N＝{x|c<x<d}，其中a、b、c、d满足a＋b＝c＋d，ab<cd<0，则M N等于________．思维升华(1)集合的关系及运算问题，要先对集合进行化简，然后可借助Venn图或数轴求解．(2)对集合的新定义问题，要紧扣新定义集合的性质探究集合中元素的特征，将问题转化为熟悉的知识进行求解，也可利用特殊值法进行验证．跟踪演练 1 (1)设集合A＝{(x，y)|x＋y＝1}，B＝{(x，y)|x－y＝3}，则满足M⊆(A∩B)的集合M的个数是________．(2)设集合M＝{x|m≤x≤m＋34}，N＝{x|n－13≤x≤n}，且M，N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，如果把b－a叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是________．热点二四种命题与充要条件1．四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假．2．若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p⇔q，则p，q互为充要条件．例2 (1)(2014·江西改编)下列命题中正确的是________(填正确命题的序号)．①若a，b，c∈R，则“ax2＋bx＋c≥0”的充分条件是“b2－4ac≤0”；②若a，b，c∈R，则“ab2>cb2”的充要条件是“a>c”；③命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2≥0”；④l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β.(2)(2015·无锡模拟)已知p：m－1<x<m＋1，q：(x－2)(x－6)<0，且q是p的必要不充分条件，则m的取值范围是________．思维升华 充分条件与必要条件的三种判定方法(1)定义法：正、反方向推理，若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件(或q 是p 的必要条件)；若p ⇒q ，且q ⇏p ，则p 是q 的充分不必要条件(或q 是p 的必要不充分条件)．(2)集合法：利用集合间的包含关系．例如，若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件(B 是A 的必要条件)；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．(3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题．跟踪演练2 (1)下列五个命题：①log 2x 2＝2log 2x ；②A ∪B ＝A 的充要条件是B ⊆A ；③若y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最小值为－k ＋1；④若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (3a －1)x ＋4a (x <1)，log a x (x ≥1)对任意的x 1≠x 2都有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则实数a 的取值范围是(17，13)． 其中正确命题的序号为________．(写出所有正确命题的序号)(2)已知“x >k ”是“3x ＋1<1”的充分不必要条件，则k 的取值范围是________． 热点三 逻辑联结词、量词1．命题p ∨q ，只要p ，q 有一真，即为真；命题p ∧q ，只有p ，q 均为真，才为真；綈p 和p 为真假对立的命题．2．命题p ∨q 的否定是(綈p )∧(綈q )；命题p ∧q 的否定是(綈p )∨(綈q )．3．“∀x ∈M ，p (x )”的否定为“∃x 0∈M ，綈p (x 0)”；“∃x 0∈M ，p (x 0)”的否定为“∀x ∈M ，綈p (x )”．例 3 (1)已知命题p ：关于x 的方程a 2x 2＋ax －2＝0在[－1,1]上有解；命题q ：只有一个实数x 满足不等式x 2＋2ax ＋2a ≤0.若命题“p 或q ”是假命题，则a 的取值范围是________．(2)已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”．若命题“(綈p )∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是________． 思维升华 (1)命题的否定和否命题是两个不同的概念：命题的否定只否定命题的结论，真假与原命题相对立；(2)判断命题的真假要先明确命题的构成．由命题的真假求某个参数的取值范围，还可以考虑从集合的角度来思考，将问题转化为集合间的运算．跟踪演练 3(1)已知直线l 1：ax ＋3y ＋1＝0与l 2：2x ＋(a ＋1)y ＋1＝0，给出命题p ：l 1∥l 2的充要条件是a ＝－3或a ＝2；命题q ：l 1⊥l 2的充要条件是a ＝－35.则p ∧(綈q )为________命题(填“真”或“假”)．(2)已知命题p ：∃x 0∈R ，e 0x －mx 0＝0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1≥0，若p ∨(綈q )为假命题，则实数m 的取值范围是________．1．已知集合E ＝{1,2,3,4,5}，集合F ＝{x |x (4－x )<0}，则E ∩(∁R F )等于________．2．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝f (x )}，若对于任意(x 1，y 1)∈M ，存在(x 2，y 2)∈M ，使得x 1x 2＋y 1y 2＝0成立，则称集合M 是“Ω集合”．给出下列4个集合：①M ＝{(x ，y )|y ＝1x}； ②M ＝{(x ，y )|y ＝e x －2}；③M ＝{(x ，y )|y ＝cos x }；④M ＝{(x ，y )|y ＝ln x }．其中所有“Ω集合”的序号是________．3．设φ∈R ，则“φ＝0”是“f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数”的________条件．4．下列命题是假命题的是________．(填序号)①命题“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”的逆否命题是“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”；②若0<x <π2，且x sin x <1，则x sin 2x <1； ③对于命题p ：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0；④“x >2”是“3x ＋1－1≤0”的充要条件； ⑤若p ∧q 为假命题，则p 、q 均为假命题．提醒：完成作业 专题一 第1讲二轮专题强化练专题一 集合与常用逻辑用语、不等式第1讲 集合与常用逻辑用语A 组 专题通关1．已知集合M ＝{1，a 2}，P ＝{－a ，－1}，若M ∩P 中有一个元素，则M ∪P ＝________.2．已知集合A ＝{x |x 2－x －2≤0}，集合B 为整数集，则A ∩B ＝________.3．已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{5,6,7}，C ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x ＋y ∈B }，则C 中所含元素的个数为________．4．(2015·江苏省名校期中)已知集合M ＝{x |y ＝lg1－x x}，N ＝{y |y ＝x 2＋2x ＋3}，则(∁R M )∩N ＝________. 5．(2015·重庆改编)“x ＞1”是“log 12(x ＋2)＜0”的________条件．6．已知命题p ：2xx －1<1，命题q ：(x ＋a )(x －3)>0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．7．给出下列命题：①若“p 或q ”是假命题，则“綈p 且綈q ”是真命题；②|x |>|y |⇔x 2>y 2；③若关于x 的实系数二次不等式ax 2＋bx ＋c ≤0的解集为∅，则必有a >0，且Δ≤0； ④⎩⎨⎧ x >2，y >2⇔⎩⎨⎧x ＋y >4，xy >4. 其中真命题的个数是________．8．(2015·襄阳一中考试)已知集合A ＝{x |－1<x ≤5}，B ＝{x |m －5<x ≤2m ＋3}，且A ⊆B ，则实数m 的取值范围是________．9．由命题“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋m ≤0”是假命题，求得实数m 的取值范围是(a ，＋∞)，则实数a 的值是________．10．给出下列四个命题：①命题“若α＝β，则cos α＝cos β”的逆否命题；②“∃x 0∈R ，使得x 20－x 0>0”的否定是：“∀x ∈R ，均有x 2－x <0”；③命题“x 2＝4”是“x ＝－2”的充分不必要条件；④p ：a ∈{a ，b ，c }，q ：{a }⊆{a ，b ，c }，p 且q 为真命题．其中真命题的序号是________．(填写所有真命题的序号)11．已知命题p ：x －1x≤0，命题q ：(x －m )(x －m ＋2)≤0，m ∈R ，若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．12．已知命题p ：函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1在R 上有零点．命题q ：x 2＋3(a ＋1)x ＋2≤0在区间[12，32]内恒成立．若命题“p 且q ”是假命题，求实数a 的取值范围．B 组 能力提高13．已知p ：∃x ∈R ，mx 2＋2≤0，q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1>0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是_____________________________________．14．已知集合A＝{y|y＝x2－32x＋1，x∈[34，2]}，B＝{x|x＋m2≥1}．若A⊆B，则实数m的取值范围是__________________．15．设命题p：关于x的不等式a x>1的解集是{x|x<0}；q：函数y＝ax2－x＋a 的定义域为R.若p∨q是真命题，p∧q是假命题，则实数a的取值范围是__________________ __．16．已知集合M为点集，记性质P为“对∀(x，y)∈M，k∈(0,1)，均有(kx，ky)∈M”．给出下列集合：①{(x，y)|x2≥y}，②{(x，y)|2x2＋y2<1}，③{(x，y)|x2＋y2＋x＋2y＝0}，④{(x，y)|x3＋y3－x2y＝0}，其中具有性质P的点集序号是________．17．已知命题p：“存在a>0，使函数f(x)＝ax2－4x在(－∞，2]上单调递减”，命题q：“存在a∈R，使∀x∈R,16x2－16(a－1)x＋1≠0”．若命题“p∧q”为真命题，则实数a的取值范围为_______ _．学生用书答案精析专题一集合与常用逻辑用语、不等式第1讲集合与常用逻辑用语高考真题体验1．8【详细分析】由于集合中有3个元素，故该集合有23＝8(个)子集．2．[0,1]【详细分析】由题意得M＝{0,1}，N＝(0,1]，故M∪N＝[0,1]．3．充分不必要【详细分析】若p成立，设a1，a2，…，a n的公比为q，则(a21＋a22＋…＋a2n－1)(a22＋a23＋…＋a2n)＝a21(1＋q2＋…＋q2n－4)·a22(1＋q2＋…＋q2n－4)＝a21a22(1＋q2＋…＋q2n－4)2，(a1a2＋a2a3＋…＋a n－1a n)2＝(a1a2)2(1＋q2＋…＋q2n－4)2，故q成立，故p是q的充分条件．取a1＝a2＝…＝a n＝0，则q成立，而p不成立，故p不是q的必要条件．4．2【详细分析】由题意得(z 1＋z 2)*z 3＝(z 1＋z 2)z 3＝z 1z 3＋z 2·z 3＝z 1*z 3＋z 2*z 3，故①正确; z 1*(z 2＋z 3)＝z 1·(z 2＋z 3)=z 1z 2＋z 1z 3=(z 1*z 2)+(z 1*z 3),故②正确；(z 1*z 2)*z 3＝z 1z 2z 3，而z 1*(z 2*z 3)＝z 123z z ,故③错误；z 1*z 2=z 1z 2，而z 2*z 1=z 2z 1，故④不正确. 热点分类突破例1 (1)R (2)(a ，c ]∪[d ，b ) 【详细分析】(1)∵A ＝{x |x >2或x <0}， B ＝{x |－5<x <5}，A ∪B ＝R . (2)由已知M ＝{x |a <x <b }， ∴a <b ，又ab <0， ∴a <0<b ， 同理可得c <0<d ， 由ab <cd <0，c <0，b >0， ∴a c >d b ， ∴a －c c >d －b b.又∵a ＋b ＝c ＋d ，∴a －c ＝d －b ， ∴d －b c >d －b b，又∵c <0，b >0，∴d －b <0， 因此，a －c <0，∴a <c <0<d <b ， ∴M ∩N ＝N ，∴M N ＝{x |a <x ≤c 或d ≤x <b }＝(a ，c ]∪[d ，b )． 跟踪演练1 (1)2 (2)112【详细分析】(1)由题中集合可知，集合A 表示直线x ＋y ＝1上的点，集合B 表示直线x －y＝3上的点，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝3，可得A ∩B ＝{(2，－1)}，M 为A ∩B 的子集，可知M 可能为{(2，－1)}或∅，所以满足M ⊆(A ∩B )的集合M 的个数是2.(2)由已知，可得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ＋34≤1， 即0≤m ≤14，⎩⎪⎨⎪⎧n －13≥0，n ≤1，即13≤n ≤1，取m 的最小值0，n 的最大值1，可得M ＝[0，34]，N ＝[23，1]．所以M ∩N ＝[0，34]∩[23，1]＝[23，34]．此时集合M ∩N 的“长度”的最小值为34－23＝112.例2 (1)④ (2)[3,5]【详细分析】(1)由于“若b 2－4ac ≤0，则ax 2＋bx ＋c ≥0”是假命题，所以“ax 2＋bx ＋c ≥0”的充分条件不是“b 2－4ac ≤0”，①错；因为ab 2>cb 2，且b 2>0，所以a >c .而a >c 时，若b 2＝0，则ab 2>cb 2不成立，由此知“ab 2>cb 2”是“a >c ”的充分不必要条件，②错；“对任意x ∈R ，有x 2≥0”的否定是“存在x ∈R ，有x 2<0”，③错；由l ⊥α，l ⊥β，可得α∥β，理由：垂直于同一条直线的两个平面平行，④正确． (2)p ：m －1<x <m ＋1，q ：2<x <6； ∵q 是p 的必要不充分条件， ∴(m －1，m ＋1) (2,6)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －1≥2，m ＋1<6，或⎩⎪⎨⎪⎧m －1>2，m ＋1≤6，∴3≤m ≤5； ∴m 的取值范围为[3,5]． 跟踪演练2 (1)② (2)[2，＋∞)【详细分析】(1)①log 2x 2＝2log 2x ，左边x ∈R ，右边x >0，错误； ②A ∪B ＝A 的充要条件是B ⊆A ，正确；③若y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，因为k 的符号不定，所以y 的最小值为－|k |＋1；④若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3a －1)x ＋4a (x <1)，log ax (x ≥1)对任意的x 1≠x 2都有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，即函数为减函数，则⎩⎪⎨⎪⎧3a －1<0，0<a <1，7a －1≥0，解得17≤a <13，错误；故只有②正确．(2)由3x ＋1<1，可得3x ＋1－1＝－x ＋2x ＋1<0，所以x <－1或x >2，因为“x >k ”是“3x ＋1<1”的充分不必要条件，所以k ≥2.例3 (1){a |－1<a <0或0<a <1} (2)a >1 【详细分析】(1)由a 2x 2＋ax －2＝0， 得(ax ＋2)(ax －1)＝0，显然a ≠0，所以x ＝－2a 或x ＝1a .因为x ∈[－1,1]，故|－2a|≤1或|1a |≤1，所以|a |≥1.“只有一个实数x 满足x 2＋2ax ＋2a ≤0”，即抛物线y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点，所以Δ＝4a 2－8a ＝0.所以a ＝0或a ＝2.所以命题“p 或q ”为真命题时，|a |≥1或a ＝0.因为命题“p 或q ”为假命题，所以a 的取值范围为{a |－1<a <0或0<a <1}．(2)命题p 为真时a ≤1；“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”为真，即方程x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根，故Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，解得a ≥1或a ≤－2.(綈p )∧q 为真命题，即綈p 真且q 真，即a >1.跟踪演练3 (1)假 (2)[0,2]【详细分析】(1)对于命题p ，因为当a ＝2时，l 1与l 2重合，故命题p 为假命题；当l 1⊥l 2时，2a ＋3a ＋3＝0，解得a ＝－35，当a ＝－35时，l 1⊥l 2，故命题q 为真命题，綈q 为假命题，故命题p ∧(綈q )为假命题．(2)若p ∨(綈q )为假命题，则p 假q 真，命题p 为假命题时，有0≤m <e ；命题q 为真命题时，有Δ＝m 2－4≤0，即－2≤m ≤2.若要使p ∨(綈q )为假命题，则m 的取值范围是0≤m ≤2. 高考押题精练 1．{1,2,3,4}【详细分析】因为集合F ＝{x |x (4－x )<0}， 所以F ＝{x |x <0或x >4}， 所以∁R F ＝{x |0≤x ≤4}，所以E∩(∁R F)＝{1,2,3,4}．2．②③【详细分析】对于①，若x1x2＋y1y2＝0，则x1x2＋1x1·1x2＝0，即(x1x2)2＝－1，可知①错误；对于④，取(1,0)∈M，且存在(x2，y2)∈M，则x1x2＋y1y2＝1×x2＋0×y2＝x2>0，可知④错误．同理，可证得②和③都是正确的．3．充分不必要【详细分析】当φ＝0时，f(x)＝cos(x＋φ)＝cos x为偶函数成立；但当f(x)＝cos(x＋φ)为偶函数时，φ＝kπ，k∈Z，φ＝0不一定成立．4．④⑤【详细分析】①根据命题的四种形式，可知命题：“若p，则q”的逆否命题是“若綈q，则綈p”，故该命题正确；②因为0<x<π2，所以0<sin x<1，则x sin2x<x sin x，所以有x sin2x<x sin x<1，故该命题正确；③存在性命题的否定是全称命题，故命题正确；④解不等式3x＋1－1≤0，得x<－1或x≥2，所以“3x＋1－1≤0”的充要条件是“x<－1或x≥2”，而“x>2”是其充分不必要条件，该命题不正确；⑤p∧q为假命题时，只要p、q中至少有一个为假命题即可，不一定p、q均为假命题．二轮专题强化练答案精析专题一集合与常用逻辑用语、不等式第1讲集合与常用逻辑用语1．{－1,0,1}【详细分析】根据题意知，只能1＝－a或a2＝－a，解得a＝0或a＝－1，检验知只能a＝0，此时M∪P＝{－1,0,1}．2．{－1,0,1,2}【详细分析】因为A＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，又因为集合B为整数集，所以集合A∩B＝{－1,0,1,2}．3．13【详细分析】若x ＝5∈A ，y ＝1∈A ，则x ＋y ＝5＋1＝6∈B ，即点(5,1)∈C ；同理，(5,2)∈C ，(4,1)∈C ，(4,2)∈C ，(4,3)∈C ，(3,2)∈C ，(3,3)∈C ，(3,4)∈C ，(2,3)∈C ，(2,4)∈C ，(2,5)∈C ，(1,4)∈C ，(1,5)∈C .所以C 中所含元素的个数为13. 4．{x |x ≥2}【详细分析】由1－xx >0得0<x <1，故M ＝{x |0<x <1}，∁R M ＝{x |x ≤0或x ≥1}，y ＝(x ＋1)2＋2≥2， 故N ＝{y |y ≥2}，则(∁R M )∩N ＝{x |x ≥2}． 5．充分不必要【详细分析】由x ＞1⇒x ＋2＞3⇒log 12(x ＋2)＜0，log 12(x ＋2)＜0⇒x ＋2＞1⇒x ＞－1，故“x＞1”是“log 12(x ＋2)＜0”成立的充分不必要条件．6．(－∞，－1] 【详细分析】由p ：2xx －1<1得x ＋1x －1<0，－1<x <1，而p 是q 的充分不必要条件，即p ⇒q ，q ⇏p ，所以－a ≥1，a ≤－1. 7．2【详细分析】由“p 或q ”是假命题，知p ，q 均为假命题，∴綈p ，綈q 均为真命题，故“綈p 且綈q ”是真命题，①正确；②显然成立；③忽略了a ＝0时的情况；④可从反例x ＝1，y ＝5验证知错误．故真命题的个数为2. 8．1≤m ≤4【详细分析】⎩⎪⎨⎪⎧m －5≤－1，2m ＋3≥5，解得1≤m ≤4.故应填1≤m ≤4.9．1【详细分析】根据题意可得：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋m >0是真命题，则Δ<0，即22－4m <0，m >1，故a ＝1. 10．①④【详细分析】对①，因命题“若α＝β，则cos α＝cos β”为真命题， 所以其逆否命题亦为真命题，①正确；对②，命题“∃x 0∈R ，使得x 20－x 0>0”的否定应是：“∀x ∈R ，均有x 2－x ≤0”，故②错； 对③，因由“x 2＝4”得x ＝±2，所以“x 2＝4”是“x ＝－2”的必要不充分条件，故③错；对④，p ，q 均为真命题，由真值表判定p 且q 为真命题，故④正确．11．解 对于命题p ：x －1x ≤0，得⎩⎪⎨⎪⎧x (x －1)≤0，x ≠0，∴0<x ≤1；对于命题q ：(x －m )(x －m ＋2)≤0得m －2≤x ≤m ， 又∵p 是q 的充分不必要条件，∴p ⇒q ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2≤0，m ≥1，∴1≤m ≤2.12．解 对于命题p ，由Δ＝4a 2－4≥0解得a ≤－1或a ≥1. 对于命题q ，∵x 2＋3(a ＋1)x ＋2≤0在[12，32]内恒成立，∴3(a ＋1)≤－(x ＋2x )在[12，32]上恒成立．易知(x ＋2x )max ＝92，故只需3(a ＋1)≤－92即可．解得a ≤－52.∵命题“p 且q ”是假命题，∴命题p 和命题q 中一真一假或都为假． 当p 真q 假时，－52<a ≤－1或a ≥1；当p 假q 真时，a ∈∅； 当p 假q 假时，－1<a <1.综上所述，a 的取值范围为{a |a >－52}．13．[1，＋∞)【详细分析】∵p ∨q 为假命题， ∴p 和q 都是假命题．由p ：∃x ∈R ，mx 2＋2≤0为假命题， 得綈p ：∀x ∈R ，mx 2＋2>0为真命题， ∴m ≥0.①由q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1>0为假命题，得綈q ：∃x ∈R ，x 2－2mx ＋1≤0为真命题， ∴Δ＝(－2m )2－4≥0⇒m 2≥1⇒m ≤－1或m ≥1.② 由①和②得m ≥1. 14．m ≥34或m ≤－34【详细分析】因为y ＝(x －34)2＋716，x ∈[34，2]，所以y ∈[716，2]．又因为A ⊆B ，所以1－m 2≤716.解得m ≥34或m ≤－34.15.⎝⎛⎭⎫0，12∪[1，＋∞) 【详细分析】根据指数函数的单调性，可知命题p 为真命题时，实数a 的取值集合为P ＝{a |0<a <1}，对于命题q ：函数的定义域为R 的充要条件是ax 2－x ＋a ≥0恒成立． 当a ＝0时，不等式为－x ≥0，解得x ≤0，显然不成立； 当a ≠0时，不等式恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝(－1)2－4a ×a ≤0，解得a ≥12. 所以命题q 为真命题时，a 的取值集合为Q ＝{a |a ≥12}．由“p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题”，可知命题p ，q 一真一假， 当p 真q 假时，a 的取值范围是P ∩(∁R Q )＝{a |0<a <1}∩{a |a <12}＝{a |0<a <12}；当p 假q 真时，a 的取值范围是(∁R P )∩Q ＝{a |a ≤0或a ≥1}∩{a |a ≥12}＝{a |a ≥1}．综上，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，12∪[1，＋∞)． 16．②④【详细分析】对于①：取k ＝12，点(1,1)∈{(x ，y )|x 2≥y }，但(12，12)∉{(x ，y )|x 2≥y }，故①是不具有性质P 的点集．对于②：∀(x ，y )∈{(x ，y )|2x 2＋y 2<1}，则点(x ，y )在椭圆2x 2＋y 2＝1内部，所以对0<k <1，点(kx ，ky )也在椭圆2x 2＋y 2＝1的内部，即(kx ，ky )∈{(x ，y )|2x 2＋y 2<1}，故②是具有性质P 的点集．对于③：(x ＋12)2＋(y ＋1)2＝54，点(12，－12)在此圆上，但点(14，－14)不在此圆上，故③是不具有性质P 的点集．对于④：∀(x ，y )∈{(x ，y )|x 3＋y 3－x 2y ＝0}，对于k ∈(0,1)，因为(kx )3＋(ky )3－(kx )2·(ky )＝0⇒x 3＋y 3－x 2y ＝0，所以(kx ，ky )∈{(x ，y )|x 3＋y 3－x 2y ＝0}， 故④是具有性质P 的点集． 综上，具有性质P 的点集是②④. 17．(12，1]【详细分析】若p 为真，则对称轴x ＝－－42a ＝2a 在区间(－∞，2]的右侧，即2a≥2，∴0<a ≤1.若q 为真，则方程16x 2－16(a －1)x ＋1＝0无实数根， ∴Δ＝[－16(a －1)]2－4×16<0， ∴12<a <32. ∵命题“p ∧q ”为真命题， ∴命题p 、q 都为真， ∴⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤1，12<a <32， ∴12<a ≤1. 故实数a 的取值范围为12<a ≤1.第2讲 不等式与线性规划1．(2014·大纲全国改编)不等式组⎩⎨⎧x (x ＋2)>0，|x |<1的解集为________．2．(2015·广东改编)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≥8，1≤x ≤3，0≤y ≤2，则z ＝3x ＋2y 的最小值为________．3．(2015·重庆)设a ，b ＞0，a ＋b ＝5，则a ＋1＋b ＋3的最大值为________． 4．(2013·课标全国Ⅰ改编)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是________．1.利用不等式性质比较大小，利用基本不等式求最值及线性规划问题是高考的热点；2.一元二次不等式常与函数、数列结合考查一元二次不等式的解法和参数取值范围；3.利用不等式解决实际问题.热点一 不等式的解法1．一元二次不等式的解法先化为一般形式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)，再求相应一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集． 2．简单分式不等式的解法 (1)f (x )g (x )>0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0)； (2)f (x )g (x )≥0(≤0)⇔f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. 3．指数不等式、对数不等式及抽象函数不等式，可利用函数的单调性求解． 例1(1)已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1或x >12，则f (10x )>0的解集为____________． (2)已知函数f (x )＝(x －2)(ax ＋b )为偶函数，且在(0，＋∞)单调递增，则f (2－x )>0的解集为________．思维升华 (1)对于和函数有关的不等式，可先利用函数的单调性进行转化；(2)求解一元二次不等式的步骤：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，则利用“大于在两边，小于夹中间”得不等式的解集；(3)含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨论．跟踪演练 1 (1)关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a＝___________ _______.(2)已知f(x)是R上的减函数，A(3，－1)，B(0,1)是其图象上两点，则不等式|f(1＋lnx)|<1的解集是________________．热点二基本不等式的应用利用基本不等式求最大值、最小值，其基本法则是：(1)如果x>0，y>0，xy＝p(定值)，当x ＝y时，x＋y有最小值2p(简记为：积定，和有最小值)；(2)如果x>0，y>0，x＋y＝s(定值)，当x＝y时，xy有最大值1 4s2(简记为：和定，积有最大值)．例 2 (1)已知向量a＝(3，－2)，b＝(x，y－1)，且a∥b，若x，y均为正数，则3x＋2y的最小值是________．(2)已知关于x的不等式2x＋2 x－a≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为________．思维升华在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．跟踪演练 2 (1)(2015·天津)已知a＞0，b＞0，ab＝8，则当a的值为________时，log2a·log2(2b)取得最大值．(2)若直线2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则1a＋1b的最小值是_____________________________________________________________________ ___．热点三简单的线性规划问题解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．例3 (1)(2015·北京改编)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≤1，x ≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值为________．(2)(2014·安徽改编)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为________．思维升华 (1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围．(2)一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得．跟踪演练3 已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤－x ＋2，x ≥a ，且目标函数z ＝2x ＋y 的最小值为9，则实数a 的值是________．1．若点A (a ，b )在第一象限，且在直线x ＋2y ＝1上，则ab 的最大值为________． 2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3x －2 (x >2)，log 2(2－x ) (x <2)，则不等式f (x )≤4的解集为____________．3．已知A (1，－1)，B (x ，y )，且实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x ＋y ≥2，x ≤2，则z ＝OA →·OB→的最小值为________．4．已知不等式2x －1≥15|a 2－a |对于x ∈[2,6]恒成立，则a 的取值范围是________．提醒：完成作业 专题一 第2讲二轮专题强化练 第2讲 不等式与线性规划A 组 专题通关1．下列命题中正确的是________． ①若a >b ，则ac 2>bc 2； ②若ab >0，a >b ，则1a <1b ；③若a >b ，c <d ，则a c <bd ；④若a >b ，c >d ，则a －c >b －d .2．不等式x 2＋x <a b ＋ba对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是________．3．(2015·山东改编)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝________.4．(2014·重庆改编)若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是________．5．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导函数为f ′(x )，f ′(0)>0，且f (x )的值域为[0，＋∞)，则f (1)f ′(0)的最小值为________． 6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，(13)x ，x ≤0，那么不等式f (x )≥1的解集为________________．7．(2015·泰州一诊)某商场销售某种商品的经验表明，该产品生产总成本C 与产量q (q ∈N *)的函数关系式为C ＝100－4q ，销售单价p 与产量q 的函数关系式为p ＝25－116q .要使每件产品的平均利润最大，则产量q ＝________. 8．(2015·镇江测试)若两个正实数x ，y 满足2x＋1y ＝1，且x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是________．9．设0<a <1，集合A ＝{x ∈R |x >0}，B ＝{x ∈R |2x 2－3(1＋a )x ＋6a >0}，D ＝A ∩B ，求集合D .(用区间表示)10．运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米(按交通法规限制50≤x ≤100)(单位：千米/小时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油(2＋x 2360)升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．B 组 能力提高11．(2015·陕西改编)设f (x )＝ln x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则p 、q 、r 的大小关系为________．12．(2015·课标全国Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx的最大值为________． 13．已知x >0，y >0，x ＋y ＋3＝xy ，且不等式(x ＋y )2－a (x ＋y )＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是______．14．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数． (1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)．学生用书答案精析第2讲 不等式与线性规划高考真题体验 1．{x |0<x <1}【详细分析】由⎩⎪⎨⎪⎧x (x ＋2)>0，|x |<1，得⎩⎪⎨⎪⎧x >0或x <－2，－1<x <1， 所以0<x <1，所以原不等式组的解集为{x |0<x <1}． 2.235【详细分析】不等式组所表示的可行域如下图所示，由z ＝3x ＋2y 得y ＝－32x ＋z 2，依题意知当目标函数直线l ：y ＝－32x ＋z2经过A ⎝⎛⎭⎫1，45时，z 取得最小值即z min ＝3×1＋2×45＝235.3．3 2【详细分析】∵a ，b ＞0，a ＋b ＝5，∴(a ＋1＋b ＋3)2＝a ＋b ＋4＋2a ＋1b ＋3≤a ＋b ＋4＋(a ＋1)2＋(b ＋3)2＝a ＋b ＋4＋a ＋b ＋4＝18，当且仅当a ＝72，b ＝32时，等号成立，则a ＋1＋b ＋3≤32，即a ＋1＋b ＋3最大值为3 2. 4．[－2,0]【详细分析】函数y ＝|f (x )|的图象如图． ①当a ＝0时， |f (x )|≥ax 显然成立．②当a >0时，只需在x >0时， ln(x ＋1)≥ax 成立．比较对数函数与一次函数y ＝ax 的增长速度． 显然不存在a >0使ln(x ＋1)≥ax 在x >0上恒成立． ③当a <0时，只需在x <0时， x 2－2x ≥ax 成立． 即a ≥x －2成立， ∴a ≥－2.综上所述：－2≤a ≤0. 热点分类突破例1 (1){x |x <－lg 2} (2){x |x <0或x >4} 【详细分析】(1)由已知条件0<10x <12，解得x <lg 12＝－lg 2.(2)由题意可知f (－x )＝f (x )．即(－x －2)(－ax ＋b )＝(x －2)(ax ＋b )，(2a －b )x ＝0恒成立， 故2a －b ＝0，即b ＝2a ， 则f (x )＝a (x －2)(x ＋2)．又函数在(0，＋∞)单调递增，所以a >0. f (2－x )>0即ax (x －4)>0， 解得x <0或x >4.跟踪演练1 (1)52 (2)(1e ，e 2)【详细分析】(1)由x 2－2ax －8a 2<0， 得(x ＋2a )(x －4a )<0，因为a >0， 所以不等式的解集为(－2a,4a )， 即x 2＝4a ，x 1＝－2a ，由x 2－x 1＝15， 得4a －(－2a )＝15，解得a ＝52.(2)∵|f (1＋ln x )|<1， ∴－1<f (1＋ln x )<1， ∴f (3)<f (1＋ln x )<f (0)， 又∵f (x )在R 上为减函数， ∴0<1＋ln x <3，∴－1<ln x <2， ∴1e <x <e 2. 例2 (1)8 (2)32【详细分析】(1)∵a ∥b ，∴3(y －1)＋2x ＝0， 即2x ＋3y ＝3. ∵x >0，y >0，∴3x ＋2y ＝(3x ＋2y )·13(2x ＋3y ) ＝13(6＋6＋9y x ＋4x y )≥13(12＋2×6)＝8. 当且仅当3y ＝2x 时取等号． (2)2x ＋2x －a ＝2(x －a )＋2x －a ＋2a≥2·2(x －a )·2x －a＋2a ＝4＋2a ，由题意可知4＋2a ≥7， 得a ≥32，即实数a 的最小值为32.跟踪演练2 (1)4 (2)4 【详细分析】(1)log 2a ·log 2(2b ) ＝log 2a ·(1＋log 2b ) ≤⎝⎛⎭⎫log 2a ＋1＋log 2b 22＝⎝⎛⎭⎫log 2ab ＋122＝⎝⎛⎭⎫log 28＋122＝4，当且仅当log 2a ＝1＋log 2b ，即a ＝2b 时，等号成立，此时a ＝4，b ＝2.(2)易知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的半径为2，圆心为(－1,2)，因为直线2ax －by ＋2＝0(a >0，b >0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，所以直线2ax －by ＋2＝0(a >0，b >0)过圆心，把圆心坐标代入得：a ＋b ＝1，所以1a ＋1b ＝(1a ＋1b )(a ＋b )＝2＋b a ＋a b ≥4，当且仅当b a ＝ab ，a ＋b ＝1，即a ＝b ＝12时等号成立．例3 (1)2 (2)2或－1【详细分析】(1)可行域如图所示．目标函数化为y ＝－12x ＋12z ，当直线y ＝－12x ＋12z 过点A (0,1)时，z 取得最大值2.(2)如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当a >0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2； 当a <0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1. 跟踪演练3 3【详细分析】依题意，不等式组所表示的可行域如图所示(阴影部分)，观察图象可知，当目标函数z ＝2x ＋y 过点B (a ，a )时，z min ＝2a ＋a ＝3a ；因为目标函数z ＝2x ＋y 的最小值为9，所以3a ＝9，解得a ＝3.高考押题精练 1.18【详细分析】因为点A (a ，b )在第一象限，且在直线x ＋2y ＝1上， 所以a >0，b >0，且a ＋2b ＝1， 所以ab ＝12·a ·2b ≤12·(a ＋2b 2)2＝18，当且仅当a ＝2b ＝12，即a ＝12，b ＝14时，“＝”成立．2．{x |－14≤x <2或x ≥113}【详细分析】由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x >2，x ＋3x －2≤4或⎩⎪⎨⎪⎧x <2，log 2(2－x )≤4， 解得x ≥113或－14≤x <2，故不等式f (x )≤4的解集为{x |－14≤x <2或x ≥113}．3．－4【详细分析】画出不等式组所表示的可行域为如图所示的△ECD 的内部(包括边界)，其中E (2,6)，C (2,0)，D (0,2)．目标函数z ＝OA →·OB →＝x －y .令直线l ：y ＝x －z ，要使直线l 过可行域上的点且在y 轴上的截距－z 取得最大值，只需直线l 过点E (2,6)． 此时z 取得最小值， 且最小值z min ＝2－6＝－4. 4．[－1,2]【详细分析】设y ＝2x －1，y ′＝－2(x －1)2， 故y ＝2x －1在x ∈[2,6]上单调递减，即y min ＝26－1＝25， 故不等式2x －1≥15|a 2－a |对于x ∈[2,6]恒成立等价于15|a 2－a |≤25恒成立，化简得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2≤0，a 2－a ＋2≥0， 解得－1≤a ≤2，故a 的取值范围是[－1,2]．二轮专题强化练答案精析第2讲 不等式与线性规划1．②【详细分析】1a －1b ＝b －a ab ，由ab >0，a >b 可得 1a －1b <0，∴1a <1b ，②对 其余命题利用反例证明错误． 2．(－2,1)【详细分析】根据题意，由于不等式x 2＋x <a b ＋b a 对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则x 2＋x <(a b ＋ba )min ， ∵ab ＋b a≥2a b ·ba＝2， ∴x 2＋x <2，求解此一元二次不等式可知其解集为(－2,1)． 3．2。

第42练 矩阵与变换[题型分析·高考展望] 本讲从内容上看，主要考查二阶矩阵的基本运算，考查矩阵的逆运算及利用系数矩阵的逆矩阵求点的坐标或曲线方程等，一般以基础题目为主，难度不大.又经常与其他知识结合，在考查基础知识的同时，考查转化与化归等数学思想，以及分析问题、解决问题的能力.常考题型精析题型一 常见矩阵变换的应用例1 已知曲线C ：xy ＝1.(1)将曲线C 绕坐标原点逆时针旋转45°后，求得到的曲线C ′的方程；(2)求曲线C 的焦点坐标和渐近线方程.点评 把握常见矩阵变换类型，比用一般矩阵运算处理要方便得多，同时，从前后曲线性质分析上，可以加深对曲线性质的理解.变式训练1 已知直线l ：ax ＋y ＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1对应的变换作用下变为直线l ′：x ＋by ＝1. (1)求实数a ，b 的值； (2)若点P (x 0，y 0)在直线l 上，且A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，求点P 的坐标.题型二 二阶矩阵的逆矩阵例2 设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a00 b (其中a >0，b >0).(1)若a ＝2，b ＝3，求矩阵M 的逆矩阵M －1；(2)若曲线C ：x 2＋y 2＝1在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线C ′：x 24＋y 2＝1，求a ，b 的值.点评 对于二阶矩阵，若有AB ＝BA ＝E ，则称B 为A 的逆矩阵.因而求一个二阶矩阵的逆矩阵，可用待定系数法求解.变式训练2 (2015·福建)已知矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤2 14 3，B ＝⎣⎡⎦⎤1 10 －1. (1)求A 的逆矩阵A －1； (2)求矩阵C ，使得AC ＝B .题型三 求矩阵的特征值与特征向量例3 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1a 1，其中a ∈R ，若点P (1,1)在矩阵A 的变换下得到点P ′(0，－3). (1)求实数a 的值；(2)求矩阵A 的特征值及特征向量.点评 (1)注意特征值与特征向量的求法及特征向量的几何意义：从几何上看，特征向量的方向经过变换矩阵M 的作用后，保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变(λ>0)，或者方向相反(λ<0).特别地，当λ＝0时，特征向量就被变成了零向量.(2)计算矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 的特征向量的步骤如下： ①由矩阵M 得到特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ；②求特征多项式的根，即求λ2－(a ＋d )λ＋(ad －bc )＝0的根；③将特征多项式的根(特征值)代入特征方程⎩⎪⎨⎪⎧ (λ－a )x －by ＝0－cx ＋(λ－d )y ＝0，求解得非零解对应的向量，即是矩阵M 对应的特征向量.变式训练3 (2015·江苏)已知x ，y ∈R ，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1是矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 0的属于特征值－2的一个特征向量，求矩阵A 以及它的另一个特征值.高考题型精练1.(2014·福建)已知矩阵A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤211 2.(1)求矩阵A ；(2)求矩阵A－1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量.2.(2014·江苏)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2 1 x ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 －1，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y ，x ，y 为实数.若Aα＝Bα，求x ＋y 的值.3.已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －3－1 －1，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1.(1)求(AB )－1； (2)求直线2x ＋y －5＝0在(AB )－1对应变换作用下的直线方程.4.设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 0b 1(a >0)对应的变换作用下得到的曲线为x 2＋y 2＝1. (1)求实数a ，b 的值；(2)求A 2的逆矩阵.5.在直角坐标系中，已知△ABC 的顶点坐标为A (0,0)、B (1,1)、C (0,2)，求△ABC 在矩阵MN 作用下变换所得到的图形的面积，其中M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0.6.已知曲线C ：y 2＝2x ，在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2对应的变换作用下得到曲线C 1，C 1在矩阵N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0对应的变换作用下得到曲线C 2，求曲线C 2的方程.7.在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0,0)，B (－2,0)，C (－2,1).设k 为非零实数，矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤k 00 1，N ＝⎣⎡⎦⎤0 11 0，点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到的点分别为A 1、B 1、C 1，△A 1B 1C 1的面积是△ABC 的面积的2倍，求k 的值.8.已知二阶矩阵M 有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1,2)变换成(－2,4).(1)求矩阵M ；(2)求矩阵M 的另一个特征值，及对应的一个特征向量e 2的坐标之间的关系；(3)求直线l ：x －y ＋1＝0在矩阵M 的作用下的直线l ′的方程.答案精析第42讲 矩阵与变换常考题型典例剖析例1 解 (1)设P (x 0，y 0)是曲线C ：xy ＝1上的任一点，点P (x 0，y 0)在旋转变换后对应的点为P ′(x ′0，y ′0)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0′y 0′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 45° －sin 45°sin 45° cos 45°⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22－222222⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22x 0－22y 022x 0＋22y 0. ∴⎩⎨⎧ x ′0＝22x 0－22y 0，y ′0＝22x 0＋22y 0， ∴⎩⎨⎧ x 0＝22(x ′0＋y ′0)，y 0＝22(y ′0－x ′0).又x 0y 0＝1，∴22(y ′0＋x ′0)×22(y ′0－x ′0)＝1. ∴y ′20 －x ′20 ＝2，即曲线C ：xy ＝1旋转后所得到的曲线C ′的方程为y 2－x 2＝2.(2)曲线C ′的焦点坐标为F 1(0，－2)，F 2(0,2)，渐近线方程为y ＝±x .再顺时针旋转45°后，即可得到曲线C 的焦点坐标为(－2，－2)和(2，2)；渐近线方程为x ＝0，y ＝0.变式训练1 解 (1)设直线l ：ax ＋y ＝1上任意点M (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下的像是M ′(x ′，y ′).由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋2y ，y ′＝y .又点M ′(x ′，y ′)在l ′上，所以x ′＋by ′＝1，即x ＋(b ＋2)y ＝1，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－1.(2)由A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x0＝x 0＋2y 0，y 0＝y 0，解得y0＝0.又点P (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝1.故点P 的坐标为(1,0).例2 解 (1)设矩阵M 的逆矩阵M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1 y 1x 2 y 2，则MM －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1.又M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 3，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1 y 1x 2 y 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1.所以2x 1＝1,2y 1＝0,3x 2＝0,3y 2＝1，即x 1＝12，y 1＝0，x 2＝0，y 2＝13，故所求的逆矩阵M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 00 13.(2)设曲线C 上任意一点P (x ，y )，它在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到点P ′(x ′，y ′)， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＝x ′，by＝y ′.又点P ′(x ′，y ′)在曲线C ′上，所以x ′24＋y ′2＝1.则a 2x 24＋b 2y 2＝1为曲线C 的方程.又已知曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1，故⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝4，b 2＝1.又a >0，b >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b＝1.变式训练2 解 (1)因为|A |＝2×3－1×4＝2，所以A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 －12－42 22＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 －12－2 1. (2)由AC ＝B 得(A －1A )C ＝A －1B ，故C ＝A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 －12－21⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 －1 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 2－2 －3. 例3 解 (1)由题意得⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－3， 所以a ＋1＝－3，所以a ＝－4.(2)由(1)知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 －1－4 1， 令f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 1 4 λ－1＝(λ－1)2－4＝0. 解得A 的特征值为λ＝－1或3.当λ＝－1时，由⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋y ＝04x －2y ＝0得矩阵A 的属于特征值－1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12； 当λ＝3时，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝04x ＋2y ＝0得矩阵A 的属于特征值3的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－2. 变式训练3 解 由已知，得Aα＝－2α，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －1 y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 2， 则⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝－2，y ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，所以矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1 2 0. 从而矩阵A 的特征多项式f (λ)＝(λ＋2)(λ－1)，所以矩阵A 的另一个特征值为1.常考题型精练1.解 (1)因为矩阵A 是矩阵A －1的逆矩阵，且|A －1|＝2×2－1×1＝3≠0，所以A ＝13⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 －1－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23 －13－13 23. (2)矩阵A －1的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －1－1 λ－2＝λ2－4λ＋3＝(λ－1)(λ－3)， 令f (x )＝0，得矩阵A －1的特征值为λ1＝1或λ2＝3，所以ξ1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1是矩阵A －1的属于特征值λ1＝1的一个特征向量， ξ2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11是矩阵A －1的属于特征值λ2＝3的一个特征向量. 2.解 由已知，得Aα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2 1 x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2＋2y 2＋xy ， Bα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2＋y 4－y . 因为Aα＝Bα，所以⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2＋2y 2＋xy ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2＋y 4－y . 故⎩⎪⎨⎪⎧ －2＋2y ＝2＋y ，2＋xy ＝4－y .解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝4. 所以x ＋y ＝72. 3.解 (1)AB ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 －3－1 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 －1－1 －3， 又|AB |＝－3－1＝－4，∴(AB )－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 34 －14－14 －14. (2)设P (x 0，y 0)是直线2x ＋y －5＝0上任一点，P ′(x ，y )是在变换作用下点P 的像，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝(AB )－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 34 －14－14 －14⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0. ∴⎩⎨⎧ x ＝34x 0－14y 0，y ＝－14x 0－14y 0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x －y ，y 0＝－x －3y . 代入直线方程2x ＋y －5＝0，得2(x －y )－(x ＋3y )－5＝0，即x －5y －5＝0，即为所求的直线方程.4.解 (1)设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1上任意点P (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下的像是P ′(x ′，y ′). 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 0b 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ ax bx ＋y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝ax ，y ′＝bx ＋y . 又点P ′(x ′，y ′)在x 2＋y 2＝1上，所以x ′2＋y ′2＝1，即a 2x 2＋(bx ＋y )2＝1，整理得(a 2＋b 2)x 2＋2bxy ＋y 2＝1.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝2，2b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝1. 因为a >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝1.(2)由(1)知，A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 1，A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 02 1. 所以|A 2|＝1，(A 2)－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0－2 1. 5.解 由在矩阵线性变换下的几何意义可知，在矩阵N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0作用下，一个图形变换为其绕原点逆时针旋转90°得到的图形；在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0作用下，一个图形变换为与之关于直线y ＝x 对称的图形，因此，△ABC 在矩阵MN 作用下变换所得到的图形与△ABC 全等，从而其面积等于△ABC 的面积，即为1.6.解 设A ＝NM ，则A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0， 设P (x ′，y ′)是曲线C 上任一点，在两次变换下，在曲线C 2上的对应的点为P (x ，y )，则⎩⎨⎧x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2y ′ x ′， 即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2y ′，y ＝x ′，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝y ，y ′＝－12x . 又点P (x ′，y ′)在曲线C ：y 2＝2x 上，∴(－12x )2＝2y ，即y ＝18x 2. 7.解 由题设得MN ＝⎣⎡⎦⎤k 00 1⎣⎡⎦⎤0 11 0＝⎣⎡⎦⎤0 k 1 0.由⎣⎡⎦⎤0 k 1 0⎣⎡⎦⎤00＝⎣⎡⎦⎤00，⎣⎡⎦⎤0 k 1 0⎣⎡⎦⎤－20＝⎣⎡⎦⎤0－2， ⎣⎡⎦⎤0 k 1 0⎣⎡⎦⎤－21＝⎣⎡⎦⎤k －2， 可知A 1(0,0)，B 1(0，－2)，C 1(k ，－2).计算得△ABC 的面积是1，△A 1B 1C 1的面积是|k |，由题设知|k |＝2×1＝2，所以k 的值为－2或2.8.解 (1)设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤88， 故⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝8，c ＋d ＝8.⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 4，故⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2b ＝－2，－c ＋2d ＝4.联立以上两方程组解得a ＝6，b ＝2，c ＝4，d ＝4，故M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6 24 4. (2)由(1)知，矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－6 －2 －4 λ－4＝(λ－6)(λ－4)－8＝λ2－10λ＋16，故其另一个特征值为λ＝2.设矩阵M 的另一个特征向量是e 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则Me 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤6x ＋2y 4x ＋4y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，解得2x ＋y ＝0. (3)设点(x ，y )是直线l 上的任一点，其在矩阵M 的变换下对应的点的坐标为(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤6 24 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′， 即x ＝14x ′－18y ′，y ＝－14x ′＋38y ′，代入直线l 的方程后并化简得x ′－y ′＋2＝0，即x －y ＋2＝0.。

第39练 归纳推理与类比推理[题型分析·高考展望] 归纳推理与类比推理是新增内容，在高考中，常以填空题的形式考查.题目难度不大，只要掌握合情推理的基础理论知识和基本方法即可解决.常考题型精析题型一 利用归纳推理求解相关问题 例1 (1)(2015·陕西)观察下列等式： 1－12＝12， 1－12＋13－14＝13＋14， 1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16， …据此规律，第n 个等式可为___________________________________________________.(2)如图所示，是某小朋友在用火柴拼图时呈现的图形，其中第1个图形用了3根火柴，第2个图形用了9根火柴，第3个图形用了18根火柴，…，则第2 014个图形用的火柴根数为________.(填序号)①2 012×2 015 ②2 013×2 014 ③2 013×2 015④3 021×2 015点评 归纳推理的三个特点(1)归纳推理的前提是几个已知的特殊对象，归纳所得到的结论是未知的一般现象，该结论超越了前提所包含的范围；(2)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否准确，还需要经过逻辑推理和实践检验，因此归纳推理不能作为数学证明的工具；(3)归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助发现问题和提出问题.变式训练1 (2014·陕西)观察分析下表中的数据：猜想一般凸多面体中F ，V ，E 所满足的等式是__________________________. 题型二 利用类比推理求解相关问题例2 如图所示，在平面上，用一条直线截正方形的一个角，截下的是一个直角三角形，有勾股定理c 2＝a 2＋b 2.空间中的正方体，用一平面去截正方体的一角，截下的是一个三条侧棱两两垂直的三棱锥，若这三个两两垂直的侧面的面积分别为S 1，S 2，S 3，截面面积为S ，类比平面中的结论有________________________. 点评 类比推理的一般步骤(1)定类，即找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；(2)推测，即用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；(3)检验，即检验猜想的正确性，要将类比推理运用于简单推理之中，在不断的推理中提高自己的观察、归纳、类比能力.变式训练2 (2015·南京模拟)已知正三角形内切圆的半径是其高的13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是________.(填序号)①正四面体的内切球的半径是其高的12；②正四面体的内切球的半径是其高的13；③正四面体的内切球的半径是其高的14；④正四面体的内切球的半径是其高的15.高考题型精练1.(2015·连云港模拟)我们知道，在边长为a 的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值32a ，类比上述结论，边长为a 的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值________.2.已知x >0，观察不等式x ＋1x≥2x ·1x ＝2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥33x 2·x 2·4x 2＝3，…，由此可得一般结论：x ＋axn ≥n ＋1(n ∈N *)，则a 的值为________. 3.观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝______. 4.(2014·北京改编)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有________人.5.在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14.推广到空间可以得到类似结论，已知正四面体P —ABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝________.6.若数列{a n }是等差数列，则数列{b n }(b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn )也为等差数列.类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为________.(填序号) ①d n ＝c 1＋c 2＋…＋c nn ；②d n ＝c 1·c 2·…·c nn ；③d n ＝ n c n 1＋c n 2＋…＋c nnn；④d n ＝n c 1·c 2·…·c n .7.仔细观察下面○和●的排列规律：○ ● ○○ ● ○○○ ● ○○○○ ● ○○○○○ ● ○○○○○○ ●……若依此规律继续下去，得到一系列的○和●，那么在前120个○和●中，●的个数是________. 8.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n ，记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式： 三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N (n,4)＝n 2， 五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n ，六边形数 N (n,6)＝2n 2－n…可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝____________.9.两点等分单位圆时，有相应正确关系为sin α＋sin(π＋α)＝0；三点等分单位圆时，有相应正确关系为sin α＋sin(α＋2π3)＋sin(α＋4π3)＝0.由此可以推知：四点等分单位圆时的相应正确关系为________________________. 10.观察下列等式 12＝1 12－22＝－3 12－22＋32＝6 12－22＋32－42＝－10 …照此规律，第n 个等式可为_______________________________________________________. 11.观察下列不等式： 1＋122<32， 1＋122＋132<53， 1＋122＋132＋142<74， …照此规律，第五个．．．不等式为_______________________________________________________. 12.(2015·扬州模拟)在计算“1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k 项： k (k ＋1)＝13[k (k ＋1)(k ＋2)－(k －1)k (k ＋1)]，由此得1×2＝13(1×2×3－0×1×2)，2×3＝13(2×3×4－1×2×3)，…，n (n ＋1)＝13[n (n ＋1)(n ＋2)－(n －1)n (n ＋1)].相加，得1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)＝13n (n ＋1)·(n ＋2).类比上述方法，请你计算“1×2×3＋2×3×4＋…＋n (n ＋1)·(n ＋2)”，其结果为_________.答案精析第39练 归纳推理与类比推理常考题型典例剖析例1 (1)1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (2)④解析 (1)等式左边的特征：第1个等式有2项，第2个有4项，第3个有6项，且正负交错，故第n 个等式左边有2n 项且正负交错，应为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ；等式右边的特征：第1个有1项，第2个有2项，第3个有3项，故第n 个有n 项，且由前几个的规律不难发现第n 个等式右边应为1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n. (2)由题意，第1个图形需要火柴的根数为3×1； 第2个图形需要火柴的根数为3×(1＋2)； 第3个图形需要火柴的根数为3×(1＋2＋3)； ……由此，可以推出，第n 个图形需要火柴的根数为3×(1＋2＋3＋…＋n ). 所以第2 014个图形所需火柴的根数为3×(1＋2＋3＋…＋2 014) ＝3×2 014×(1＋2 014)2＝3 021×2 015.变式训练1 F ＋V －E ＝2解析 观察F ，V ，E 的变化得F ＋V －E ＝2.例2 S 2＝S 21＋S 22＋S 23解析 建立从平面图形到空间图形的类比，在由平面几何的性质类比推理空间立体几何的性质时，注意平面几何中点的性质可类比推理空间几何中线的性质，平面几何中线的性质可类比推理空间几何中面的性质，平面几何中面的性质可类比推理空间几何中体的性质.所以三角形类比空间中的三棱锥，线段的长度类比图形的面积，于是作出猜想：S 2＝S 21＋S 22＋S 23.变式训练2 ③解析 设正四面体的每个面的面积是S ，高是h ，内切球半径为R ，由体积分割可得：13SR ×4＝13Sh ，所以R ＝14h .故③正确.常考题型精练 1.63a 解析 正四面体内任一点与四个面组成四个三棱锥，它们的体积之和为正四面体的体积.设点到四个面的距离分别为h 1，h 2，h 3，h 4，每个面的面积为34a 2，正四面体的体积为212a 3，则有13×34a 2(h 1＋h 2＋h 3＋h 4)＝212a 3，得h 1＋h 2＋h 3＋h 4＝63a . 2.n n解析 根据已知，续写一个不等式：x ＋33x 3＝x 3＋x 3＋x 3＋33x 3≥44x 3·x 3·x 3·33x 3＝4，由此可得a ＝n n . 3.123解析 观察可得各式的值构成数列1,3,4,7,11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项.继续写出此数列为1,3,4,7,11,18,29,47,76,123，…，第十项为123，即a 10＋b 10＝123. 4.3解析 假设满足条件的学生有4位及4位以上，设其中4位同学分别为甲、乙、丙、丁，则4位同学中必有两个人语文成绩一样，且这两个人数学成绩不一样(或4位同学中必有两个数学成绩一样，且这两个人语文成绩不一样)，那么这两个人中一个人的成绩比另一个人好，故满足条件的学生不能超过3人.当有3位学生时，用A ，B ，C 表示“优秀”“合格”“不合格”，则满足题意的有AC ，CA ，BB ，所以最多有3人. 5.127解析 从平面图形类比空间图形，从二维类比三维，如图，设正四面体的棱长为a ，E 为等边三角形ABC 的中心，O 为内切球与外接球球心. 则AE ＝33a ，DE ＝63a ，设OA ＝R ，OE ＝r ， 则OA 2＝AE 2＋OE 2， 即R 2＝⎝⎛⎭⎫63a －R 2＋⎝⎛⎭⎫33a 2， ∴R ＝64a ，r ＝612a ， ∴正四面体的外接球和内切球的半径之比为3∶1，故正四面体P —ABC 的内切球体积V 1与外接球体积V 2之比等于127.6.④解析 若{a n }是等差数列，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n (n －1)2d ，∴b n ＝a 1＋(n －1)2d ＝d 2n ＋a 1－d2，即{b n }为等差数列；若{c n }是等比数列，则c 1·c 2·…·c n ＝c n 1·q 1＋2＋…＋(n －1)＝c n 1·q n (n －1)2， ∴d n ＝nc 1·c 2·…·c n ＝c 1·q n －12，即{d n }为等比数列，故④正确.7.14解析 进行分组○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|……， 则前n 组两种圈的总数是f (n )＝2＋3＋4＋…＋(n ＋1)＝n (n ＋3)2， 易知f (14)＝119，f (15)＝135，故n ＝14. 8.1 000解析 由N (n,4)＝n 2，N (n,6)＝2n 2－n ，可以推测：当k 为偶数时，N (n ，k )＝k －22n 2＋4－k2n ，∴N (10,24)＝24－22×100＋4－242×10＝1 100－100＝1 000.9.sin α＋sin(α＋π2)＋sin(α＋π)＋sin(α＋3π2)＝0解析 由类比推理可知，四点等分单位圆时，α与α＋π的终边互为反向延长线，α＋π2与α＋3π2的终边互为反向延长线，如图.10.12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1·n (n ＋1)2解析 观察等式左边的式子，每次增加一项，故第n 个等式左边有n 项，指数都是2，且正、负相间，所以等式左边的通项为(－1)n ＋1n 2.等式右边的值的符号也是正、负相间，其绝对值分别为1,3,6,10,15,21，….设此数列为{a n }，则a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，a 5－a 4＝5，…，a n －a n －1＝n ，各式相加得a n －a 1＝2＋3＋4＋…＋n ，即a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.所以第n 个等式为12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1·n (n ＋1)2.11.1＋122＋132＋142＋152＋162<116解析 观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列.∴第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162<116.12.14n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3) 解析 类比已知条件得k (k ＋1)(k ＋2)＝14[k (k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)－(k －1)k (k ＋1)(k ＋2)]，由此得1×2×3＝14(1×2×3×4－0×1×2×3)，2×3×4＝14(2×3×4×5－1×2×3×4)，3×4×5＝14(3×4×5×6－2×3×4×5)，…，n (n ＋1)(n ＋2)＝14[n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)－(n －1)n (n ＋1)(n ＋2)].以上几个式子相加得：1×2×3＋2×3×4＋…＋n (n ＋1)(n ＋2)1＝4n(n＋1)(n＋2)(n＋3).古今名言敏而好学，不耻下问——孔子业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随——韩愈兴于《诗》，立于礼，成于乐——孔子己所不欲，勿施于人——孔子读书破万卷，下笔如有神——杜甫读书有三到，谓心到，眼到，口到——朱熹立身以立学为先，立学以读书为本——欧阳修读万卷书，行万里路——刘彝黑发不知勤学早，白首方悔读书迟——颜真卿书卷多情似故人，晨昏忧乐每相亲——于谦书犹药也，善读之可以医愚——刘向莫等闲，白了少年头，空悲切——岳飞发奋识遍天下字，立志读尽人间书——苏轼鸟欲高飞先振翅，人求上进先读书——李苦禅立志宜思真品格，读书须尽苦功夫——阮元非淡泊无以明志，非宁静无以致远——诸葛亮熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟——孙洙《唐诗三百首序》书到用时方恨少，事非经过不知难——陆游问渠那得清如许，为有源头活水来——朱熹旧书不厌百回读，熟读精思子自知——苏轼书痴者文必工，艺痴者技必良——蒲松龄声明访问者可将本资料提供的内容用于个人学习、研究或欣赏，以及其他非商业性或非盈利性用途，但同时应遵守著作权法及其他相关法律的规定，不得侵犯本文档及相关权利人的合法权利。

小题精练小题精练11.下列各组集合中表示同一集合的是____________ •(填序号)①M={(3,2)}, N={(2,3)}；②A/={2,3}, N={3,2}；③M={(x, y)\x+y= 1}, N= {y\x+y= 1}；④M={2,3}, N={(2,3)}.2.已知i为虚数单位，集合P={ — 1,1}, Q={i, i2},若PG0={zi},则复数z= ________________ .3.在一次跳伞训练屮，甲、乙两位学员各跳一次，设命题〃是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为_______ .(填序号)①(続p)V (続妙②pV(縹q);③(続刃/\(締q);4. ___________________________________________________________ 已知函数5.函数,/(x)=2|log2x|的图象大致是/(x)=2 + log2x, xW[l,2],则函数y=j{x)+J{x)的值域为_________________________ .6.若平面a的一个法向量为(1,2,0),平面0的一个法向量为(2, -1,0),则平面u和平面0的位置关系是________________ •7. __________________________________________________________________ 已知函数f{x) = sin(yx+cos€ox(co>0)在侄 "上单调递减，则3的取值范围是 _______________8. ______________________________________________________________ 已知函数g（x）=2\且有g⑷g（b） = 2,若a>0且b>0,则ab的最大值为 ___________________ .2 1 1 29•已知数列仏｝满足小=1,兀2=亍且--- + —=丁（〃22）,则心= _____________ •> X”-1 心+1 X”10.已知数列匕“｝的首项为©=*,其前n项和则数列｛a“｝的通项公式为■11 .函数y=ln（l +£）+yj 1 -x2的定义域为 ____ .12.如图所示，刊丄<30所在的平面，力E是<90的直径，C是<30上的一点，E, F分别是点、4在PB, PC上的射影，给出下列结论：①4F丄PB；②EF丄PB；③AF丄BC；④ME丄平面PBC.其中正确结论的序号是________ .13._________________________________________ 下列关于函数/«=（2x-xV的判断正确的是____________________________________________ .①/⑴>0的解集是｛x|0<x<2｝；②/（-迈）是极小值，祁）是极大值；③/（X）既没有最小值，也没有最人值.14.若炸（0,号）,且si『a+cos2a=£贝lj tana的值等于 __________答案精析高考题型集训答案精析小题精练小题精练11.②解析①中的集合M表示由点(3,2)所组成的单点集，集合N表示由点(2,3)所组成的单点集，故集合M与N不是同一个集合.②中的集合M表示由直线x+y=l上的所有点组成的集合, 集合N 表示由直线x+y= 1上的所有点的纵坐标组成的集合，即N= {y\x+y=l} = R,故集合M与N不是同一个集合.④中的集合M有两个元素，而集合N只含有一个元素，故集合M与N不是同一个集合.对于②，由集合元素的无序性，可知M, N表示同一个集合.2.i解析因为Q={i, i2},所以0={i, -1}.又"={—1,1},所以PQ0={—1},所以zi= —1,所以z=i.3.①解析“至少有一位学员没有落在指定范围”=“甲没有落在指定范围”或“乙没有落在指定范围” =(^p)V(^ q).4卜土解析y=f(x) +/(x2)=2 + log2x+2 + log2x2=4+3log2x,注意到为使得y=/(x)+/(/)有意义, 必有1W/W2,得1 WxWd从而4WyW#.5.③X9解析VAx)=2|log2x|=5 1一，0<x< 1.6 •垂直解析由(1,2,0)X(2, —1，O)=1X2 + 2X(—1) + OXO = O,知两平面的法向量互相垂直，所以两平面互相垂直.解析./(兀)=sinex+cosex=V^sin@x +另,7E 71 3 71令2加+㊁Wex+才W2M+迈■伙GZ), 解得绝+严0W 绝+尹（5co 4co co 4co v 7由题意，函数./w 在位，»上单调递减， 故（申，兀）为函数单调递减区间的一个子区间,解析 ・・・2"2〃=2“灯=2,・・・d + b=l, “w (字)2=£解析 由关系式易知为首项为占=1, 的等差数列，右=呼 I 耳丿兀1 厶 Xn Z 10^=^+T ）解析由5=*, S n =n 2a n9①.:S“_ 】=(〃 一1 )2Q “ -1 .②①一②，得 a…=S tl —S n -\= n 2a,t ~(n —\ )2a n - \,即 a n =n 2a n —(n —l)2a fl -i ，亦即才：=缶+ S$2). • g a% 给-1 。

回扣专项练回扣练1 集合与常用逻辑用语1。

如图所示，I是全集，A,B,C是I的子集，则阴影部分表示的集合是________。

①（A∩B）∩C；②（A∩∁I B)∩C；③（A∩B）∩（∁I C)；④（∁I B）∪A∩C。

2。

已知直线l1：ax＋3y＋1＝0与l2：2x＋(a＋1）y＋1＝0,给出命题p:l1∥l2的充要条件是a＝－3或a＝2；命题q：l1⊥l2的充要条件是a ＝－错误!.对于以上两个命题，下列结论中正确的是________.①“p∧q”为真；②“p∨q”为假；③“p∨(綈q)”为假；④“p∧(綈q)”为真。

3。

给出如下四个命题:①若“p∨q"为真命题,则p，q均为真命题；②“若a>b,则2a〉2b－1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b－1”；③“∀x∈R，x2＋x≥1"的否定是“∃x0∈R,x2，0＋x0≤1”;④“x>0”是“x＋错误!≥2”的充要条件。

其中假命题是________.4。

下列说法错误的是________.①命题“若x2－4x＋3＝0,则x＝3”的逆否命题是“若x≠3，则x2－4x＋3≠0”;②“x>1”是“｜x｜>0”的充分不必要条件；③若p∧q为假命题，则p、q均为假命题；④命题p:“∃x∈R，使得x2＋x＋1<0”，则綈p：“∀x∈R，x2＋x ＋1≥0”.5。

若集合A＝｛x｜log2x≤错误!},B＝｛x|错误!＋1≤0}，则B∩(∁R A)＝____________.6.若p：a∈R，｜a｜〈1，q:关于x的二次方程x2＋（a＋1）x＋a－2＝0的一个根大于零，另一个根小于零，则p是q的__________条件。

7。

若a，b为向量，则“｜a·b｜＝|a｜|b｜”是“a∥b"的________条件。

8.已知集合M，若a∈M,则错误!∈M，则称a为集合M的“亮点”，若M＝{x∈Z|错误!≥1｝，则集合M中的“亮点"共有________个. 9.已知集合A＝{x∈R|x2－3x＋2＝0},B＝｛x∈Z|y＝错误!｝，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为________。

第43练坐标系与参数方程[题型分析·高考展望]高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用.以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识.常考题型精析题型一极坐标与直角坐标的互化例1在以O为极点的极坐标系中，直线l与曲线C的极坐标方程分别是ρcos(θ＋π4)＝32和ρsin2θ＝8cosθ，直线l与曲线C交于点A、B，求线段AB的长.点评(1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一.(2)在与曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性.变式训练1(2014·广东改编)在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ＝cos θ和ρsin θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线C1和C2交点的直角坐标.题型二参数方程与普通方程的互化例2 (2015·福建)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3cos t ，y ＝－2＋3sin t (t 为参数).在极坐标系(与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴)中，直线l 的方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝m (m ∈R ). (1)求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； (2)设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值.点评 (1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法.常见的消参方法有代入消参法，加减消参法，平方消参法等.(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解、漏解，若x 、y 有范围限制，要标出x 、y 的取值范围.变式训练2 (2014·福建)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数).(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围.题型三 极坐标、参数方程及其应用例3 (2015·课标全国Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，曲线C 3：ρ＝23cos θ. (1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求AB 的最大值.点评 (1)利用参数方程解决问题，要理解参数的几何意义.(2)解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题，将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化为普通方程，有助于对方程所表示的曲线的认识，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是转化与化归思想的应用.变式训练3 (2015·陕西)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数).以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ. (1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标.高考题型精练1.(2015·江苏)已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρ·sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4－4＝0，求圆C 的半径.2.(2014·安徽改编)以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，求直线l 被圆C 截得的弦长.3.(2015·课标全国Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积.4.(2015·湖南)已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点M 的直角坐标为(5，3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求MA ·MB 的值.5.(2014·辽宁)将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C . (1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.6.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝1＋kt(t 为参数)，以O 为原点，Ox 轴为极轴，单位长度不变，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝4cos θ，(1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)若直线l 和曲线C 相切，求实数k 的值.7.(2014·课标全国Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈[0，π2].(1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标.8.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t (t 为参数).在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B .若点P 的坐标为(3，5)，求P A ＋PB .答案精析第43讲 坐标系与参数方程 常考题型典例剖析例1 解 ∵ρcos(θ＋π4)＝ρcos θcos π4－ρsin θsin π4＝22ρcos θ－22ρsin θ ＝32，∴直线l 对应的直角坐标方程为x －y ＝6. 又∵ρsin 2θ＝8cos θ， ∴ρ2sin 2θ＝8ρcos θ.∴曲线C 对应的直角坐标方程是y 2＝8x .解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝6y 2＝8x ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2y ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝18y ＝12， 所以A (2，－4)，B (18,12)， 所以AB ＝(18－2)2＋[12－(－4)]2＝16 2.即线段AB 的长为16 2.变式训练1 解 因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，由ρsin 2θ＝cos θ，得ρ2sin 2θ＝ρcos θ，所以曲线C 1的普通方程为y 2＝x .由ρsin θ＝1，得曲线C 2的普通方程为y ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝x ，y ＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，故曲线C 1与曲线C 2交点的直角坐标为(1,1).例2 解 (1)消去参数t ，得到圆C 的普通方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9. 由2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝m ，得ρsin θ－ρcos θ－m ＝0.所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋m ＝0. (2)依题意，圆心C 到直线l 的距离等于2， 即|1－(－2)＋m |2＝2，解得m ＝－3±2 2.变式训练2 解 (1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0， 圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4，解得－25≤a ≤2 5.例3 解 (1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，或⎩⎨⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝⎛⎭⎫32，32.(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α＜π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α).所以AB ＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3. 当α＝5π6时，AB 取得最大值，最大值为4.变式训练3 解 (1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ， 从而有x 2＋y 2＝23y ，所以x 2＋(y －3)2＝3. (2)设P ⎝⎛⎭⎫3＋12t ，32t ，又C (0，3)，则PC ＝⎝⎛⎭⎫3＋12t 2＋⎝⎛⎭⎫32t －32＝t 2＋12，故当t ＝0时，PC 取得最小值， 此时，P 点的直角坐标为(3,0). 常考题型精练1.解 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy . 圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρ⎝⎛⎭⎫22sin θ－22cos θ－4＝0，化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.则圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6，所以圆C 的半径为 6.2.解 直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)化为直角坐标方程是y ＝x －4，圆C 的极坐标方程ρ＝4cos θ化为直角坐标方程是x 2＋y 2－4x ＝0.圆C 的圆心(2,0)到直线x －y －4＝0的距离为d ＝22＝ 2.又圆C 的半径r ＝2，因此直线l 被圆C 截得的弦长为2r 2－d 2＝2 2.3.解 (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2， C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. (2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2. 故ρ1－ρ2＝2，即MN ＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 为等腰直角三角形， 所以△C 2MN 的面积为12.4.解 (1)ρ＝2cos θ等价于ρ2＝2ρcos θ.①将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x 代入①即得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0.②(2)将⎩⎨⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t 代入②式，得t 2＋53t ＋18＝0.设这个方程的两个实根分别为t 1，t 2，则由参数t 的几何意义即知，MA ·MB ＝|t 1t 2|＝18.5.解 (1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C 上的点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1.由x 21＋y 21＝1得x 2＋(y 2)2＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.故C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝2sin t (t 为参数).(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.不妨设P 1(1,0)，P 2(0,2)，则线段P 1P 2的中点坐标为(12，1)，所求直线斜率为k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12(x －12)，化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3， 即ρ＝34sin θ－2cos θ.6.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＝1＋kt，得直线l 的普通方程为y ＝kx ＋1，由ρsin 2θ＝4cos θ得ρ2sin 2θ＝4ρcos θ，y 2＝4x ，曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x . (2)把y ＝kx ＋1代入y 2＝4x ， 得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0，当直线l 与曲线C 相切时，由Δ＝(2k －4)2－4k 2＝0， 得k ＝1.经检验k ＝1适合题意，∴所求实数k ＝1. 7.解 (1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1).可得C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t (t 为参数，0≤t ≤π).11 (2)设D (1＋cos t ，sin t )，由(1)知C 是以G (1,0)为圆心，1为半径的上半圆，因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π3. 故D 的直角坐标为(1＋cos π3，sin π3)，即(32，32). 8.解 方法一 (1)由ρ＝25sin θ，得x 2＋y 2－25y ＝0，即x 2＋(y －5)2＝5.(2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得(3－22t )2＋(22t )2＝5，即t 2－32t ＋4＝0. 由于Δ＝(－32)2－4×4＝2>0，故可设t 1，t 2是上述方程的两实根，所以⎩⎪⎨⎪⎧ t 1＋t 2＝32，t 1·t 2＝4. 又直线l 过点P (3，5)，故由上式及t 的几何意义得P A ＋PB ＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3 2.方法二 (1)同方法一.(2)因为圆C 的圆心为点(0，5)，半径r ＝5，直线l 的普通方程为y ＝－x ＋3＋ 5.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋(y －5)2＝5，y ＝－x ＋3＋5得x 2－3x ＋2＝0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2＋5或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝1＋ 5.不妨设A (1,2＋5)，B (2,1＋5)，又点P 的坐标为(3，5)，故P A ＋PB ＝8＋2＝3 2.。

小题精练51. (2015•课标全国I 改编)设复数z 满足芒f=i ，则|z| =2. 设函数./(x)在R 上可导，其导函数为/ (%), 且函数./(X )在x=-2处取得极小值，则函数y=xf (x)的图象可能是 __________ .(填序号)3. 己知可行域是HABC 的内部及其边界,/\ABC 的顶点坐标分别为A(5,2)t 3(1,1), C(l,4), 若目标函数z=d+y(d<0)取得最小值时的最优解有无穷多个，则实数a 的值为 _____________4. 如图，两个正方形ABCD 和MDEF 所在平面互相垂直，设A/、N 分别是BD 和AE 的中点，那么①丄MN ； ®MN//平面CDE ；③CE ；④MN 、CE 异面.其小正确结论的序号是 _______ .5. 已知一2, G],心 一8成等差数列，一2, 1八,抵，by, —8成等比数列，则里严= _________ • 6. _______________________________________________________________ 若卩=込+7市，0=7币+*7不@20),则P, 0的大小关系是 _________________________________ .2 27. 设P 是椭圆主'+刍=1上—点，M, N 分别是两圆(x+4)2+_y 2 = l 和(%—4)2+/=1上的点， 则PM+PN 的最小值，最大值分别为 ___________ •8. (2015-苏州模拟)从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，如果按性别 比例分层抽样，则不同的抽取方法数为 ________ .9. 设直线处+S+l)p=迈SWN)与两坐标轴围成的三角形面积为S”，则S+S2+・・・+S2(H5 的值为 _______ .10. (2015-徐州模拟)若 cos(c (+咼—sina=¥^,则 sin(u+¥)= _____________ .11.已知0为亠4BC 内一点，且OA + OC+2OB = 0f 则厶AOC 与44BC 的面积之比是\ [[/-2W0 X①B C12.已知数列｛2〃一"”｝的前n项和必=9一6〃，则数列｛如｝的通项公式是________ .13.已知函数y=sinex(e>0)在一个周期内的图象如图所示，要得到函数y=sin(*+苟的图象，贝懦将函数y=siiwx的图象向__________ 平移_______ 个单位长度.X2 V214.已知点力(4,0)和3(2,2), M是椭圆石+〒=1上一动点，则MA+MB的最大值为小题精练5 ・・・|z| = |i|=l.由.心)在x=-2处取得极小值可知，当x<-2时，f (兀)<0,则对'«>0；当一2勺<0 (x)>0,则 h (x)<0；当 x>0 时，xf (x)>0,故③正确.目标函数z=ax+y (a<0)取得最小值时的最优解有无穷多个，则y=—ax+z 与直线 45 平行,kAB=N ，—Q=才,a = _才.4.①②③解析•・•两个正方形MCD 和ADEF 所在平面互相垂直，设M 、N 分 别是3D 和/E 的中点，取40的中点G,连结MG, NG,易得丄平面MNG,进而得到/D 丄MN,故①正确；连结/C, CE,根据三角 形中位线定理，可得MN 〃CE,白线面平行的判定定理，可得②MN 〃平面CDE 及③MN 〃CE 正确，④MN 、CE 异面错误.b i9 —8成等比数列.所以局= — 8X(—2)=16, b2=4(舍去)，仇=一4,所以吩'===㊁6.P<Q解析 要比较P, 0的大小关系，只要比较严，02的大小关系，只要比较2a + 7+2pd(a+7) 与2。

压轴大题2直线与圆锥曲线（二）1。

设椭圆C:错误!＋错误!＝1(a>b〉0）的离心率e＝错误!，左顶点M到直线错误!＋错误!＝1的距离d＝错误!，O为坐标原点.(1）求椭圆C的方程;（2）设直线l与椭圆C相交于A，B两点,若以AB为直径的圆经过坐标原点，证明：点O到直线AB的距离为定值.2.若直线l:y＝错误!－错误!过双曲线错误!－错误!＝1 (a>0，b>0）的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线平行.（1)求双曲线的方程;(2)若过点B(0，b）且与x轴不平行的直线和双曲线相交于不同的两点M，N，MN的垂直平分线为m，求直线m在y轴上的截距的取值范围。

3。

(2015·南通模拟)已知平面上的动点R(x，y）及两定点A(－2,0)，B(2,0），直线RA，RB的斜率分别为k1，k2，且k1k2＝－错误!,设动点R 的轨迹为曲线C。

(1)求曲线C的方程；（2）四边形MNPQ的四个顶点均在曲线C上,且MQ∥NP，MQ⊥x 轴，若直线MN和直线QP交于点S(4，0).问：四边形MNPQ两条对角线的交点是否为定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.4.已知直线l：y＝x＋1，圆O：x2＋y2＝错误!，直线l被圆截得的弦长与椭圆C：错误!＋错误!＝1 (a>b〉0)的短轴长相等，椭圆的离心率e＝错误!. (1）求椭圆C的方程；(2）过点M错误!的直线l′交椭圆于A，B两点，试问:在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l′如何转动，以AB为直径的圆恒过定点T？若存在,求出点T的坐标；若不存在,请说明理由。

答案精析压轴大题2 直线与圆锥曲线(二)1.（1）解由e＝错误!，得c＝错误!a,又b2＝a2－c2，所以b＝错误!a，即a＝2b。

由左顶点M(－a，0）到直线错误!＋错误!＝1，即bx＋ay－ab＝0的距离d＝错误!,得错误!＝错误!，即错误!＝错误!，把a＝2b代入上式，得错误!＝错误!，解得b＝1。