平行线专题(一)

小专题（一） 平行线中的“拐点”问题教材母题：如图，如果////AB CD EF ，那么BAC ACE CEF ∠+∠+∠=（ ）A.180︒B.270︒C.360︒D.540︒拓展变式：如图，//AB CD ，则A E F C ∠+∠+∠+∠=_____________.方法指导当两条平行线不是被第三条直线所截，而是被一条折线所截时，则不能直接应用平行线的性质，因此需过折线的“转折点”作一条平行线，利用平行公理的推论得出三条直线互相平行，从而多丰次利用平行线的性质解决问题.变式训练变式1 变“外凸”为“内凹”1.如图，直线//,36,AB CD C E ︒∠=∠为直角，则A ∠等于（ ）A.36︒B.44︒C.54︒D.64︒2.如图，已知//AB CD ，试判断,B BED ∠∠和D ∠之间的关系，并说明理由.变式2 变“平行线间”为“平行线的外部”3.已知//AB CD ，点E 为,AB CD 之外任意一点.（1）如图1，探究BED ∠与,B D ∠∠的数量关系，并说明理由（2）如图2，探究CDE ∠与,B BED ∠∠的数量关系，并说明理由.变式3 变“一次”为“多次” 4.（1）如图1，//AB CD ，则E G ∠+∠与B F D ∠+∠+∠有何关系？（2）如图2，若//AB CD ，又能得到什么结论？请直接写出结论.参考答案教材母题 C拓展变式 540变式训练1.C2.解：BED B D ∠=∠+∠.理由如下：过点E 作//EF AB ，则.//B BEF AB CD ∠=∠，//..EF CD DEF D BED ∴∴∠=∠∠=BEF DEF ∠+∠，BED B D ∴∠=∠+∠.3.解：（1）B BED D ∠=∠+∠.理由如下：过点E 作//EF AB .又//AB CD ， ////.,.EF AB CD BEF B D DEF BEF ∴∴∠=∠∠=∠∠BED DEF =∠+∠， B BED D ∴∠=∠+∠.（2）CDE B ∠=∠+BED ∠.理由如下：过点E 作//EF AB .又//AB CD ，////.180,180EF AB CD B BEF CDE DEF ︒︒∴∴∠+∠=∠+∠=. 又,DEF BEF BED CDE BEF BED B BEF ∠=∠-∠∴∠+∠-∠=∠+∠， 即CDE B BED ∠=∠+∠.4.解：（1）过点E 作//EM AB ，过点F 作//FN AB ，过点G 作//GH CD .//,////////.1,2AB CD AB EM FN GH CD B ∴∴∠=∠∠=3,45,6D ∠∠=∠∠=∠.125634B D ∴∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠，即BEF FGD B EFG D ∠+∠=∠+∠+∠.（2）12112n n B F F F D E E E -∠+∠+∠++∠+∠=∠+∠++∠.。

2020-2021学年度人教版七年级数学下册新考向多视角同步训练专项训练卷(一) 平行线的判定与性质的综合应用1.(2020江苏镇江期末,18,★★☆)如图,在△ABC中点D、E分别在AB、BC上,且DE∥AC,∠1=∠2(1)求证:AF∥BC;(2)若AC平分∠BAF,∠B=50°,求∠1的度数.2.(2019广东湛江二中月考,18,★★☆)如图所示,已∠1+∠2=180°,∠DEF=∠A(1)试判断DE与AC的位置关系,并说明理由;(2)若∠A=60°,∠ACD=35°,求∠1的度数.3.(2020山西临汾三中期末,20,★★☆)如图,点F在线段AB上,点E,G在线段CD上,FG∥AE,∠1=∠2(1)求证:AB∥CD;(2)若FG⊥BC于点H,BC平分∠ABD,∠D=112°,求∠1的度数4.(2019江苏苏州模拟,19,★★☆)如图所示,AB∥CD直线EF分别与AB、CD相交于M、N,∠AME=60°(1)求∠DNF的度数;(2)若∠P=90°,∠2=∠6=60°,求证:MP平分∠BMN5.(2019山东济南四中期末,20,★★☆)如图所示B、C、E三点在同一条直线上,A、F、E三点在同一条直线上,AB∥CD,∠1=∠2,∠3=∠4(1)试判断AD与BE是否平行,说说你的理由;(2)若∠1=46°,∠4=75°,求∠ABC的度数6.(2019浙江温州实验学校期末,20,★★☆)如图所示,已知∠1=∠BDC,∠2+∠3=180°(1)请你判断AD与EC的位置关系,并说明理由;(2)若DA平分∠BDC,CE⊥FA,∠1=70°,试求∠FAB的度数.7.(2020四川成都九中期中,21,★★☆)如图①,AB,BC被直线AC所截,点D是线段AC上的点,过点D作DE∥AB连接AE,∠B=∠E(1)求证:AE∥BC;(2)将线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ,图②,连接DQ.若∠E=75°,DE⊥DQ,求∠Q的度数8.(2020湖南师大附中期末,19,★★☆)如图,D,E,G分别是AB,AC,BC边上的点,∠1+∠2=180°,∠3=∠B(1)请说明DE∥BC的理由;(2)若DE平分∠ADC,∠2=2∠B,判断CD与EG的位置关系,并说明理由9.(2020独家原创试题)如图①,已知∠ACB=80°,点A在直线EF上,点B在直线GH上,且∠CAE+∠CBG=80°(1)试判断直线EF与GH的位置关系,并说明理由;(2)如图②,若点B在直线GH上运动,作∠CP=2∠CAE,作∠CBP=2∠CBG,试判断∠PB的大小是否会随着点B的运动而发生变化,若不变,求出∠APB的大小;若变化,请说明理由.10.(2020重庆南开中学期末,20,★★☆)如图,CD⊥AB于D,FE⊥AB于E,∠ACD+∠F=180°(1)求证:AC∥FG;(2)若∠A=45°,∠BCD:∠ACD=2:3,求∠BCD的度数.11.(2019四川乐山模拟,22,★★★)【问题情境】我们知道“两条平行线被第三条直线所截,位角相等,内错角相等,同旁内角互补”所以在某些探究性问题中通过“构造平行线”可以起到转化的作用已知三角板ABC中,∠BAC=60°,∠B=30°,∠BCA=90°,长方形DEFG中,DE∥GF【问题初探】(1)如图①所示,若将三角板ABC的顶点A放在长方形的边GF上,BC与DE相交于点M,AB⊥DE于点N,求∠EMC的度数分析:过点C作CH∥GF,则CH∥DE∥GF,从而得∠CAF=∠HCA,∠EMC=∠BCH,然后可以求得∠EMC的度数根据分析,请你直接写出:∠CAF的度数为________,∠EMC的度数为________；【类比再探】(2)若将三角板ABC按如图②所示的方式摆放(AB与DE不垂直),请你猜想∠CAF与∠EMC的数量关系,并说明理由12.(2019广西柳州期末,23,★★★)为了安全起见,在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯.如图①所示,灯A的光线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转,灯B的光线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转,两灯不停交叉照射巡视.已知灯A转动的速度是每秒2度,灯B转动的速度是每秒1度,假定主道路是平行的,即PQ∥MN,且∠BA M:∠BAN=2:1.(1)填空:∠BAN=________；(2)若灯B先转动30秒,灯A才开始转动,在灯B的光线到达BQ之前,灯A转动多少秒时,两灯的光线互相平行?(3)如图②所示,若两灯同时转动,在灯A的光线到达AN之前.若两灯的光线交于点C,过C作∠ACE交PQ于点E,且∠ACE=120°,请探究在两灯转动的过程中∠BAC与∠BCE的数量关系是否发生变化若不变,请求出其数量关系;若改变,请说明理由13.(2019黑龙江齐齐哈尔一模,22,★★★)(1)问题情境:如图①所示,AB∥CD,∠PAB=130°,∠PCD=120°求∠APC的度数小明想到一种方法,但是没有解答完:如图②所示,过P作PE∥AB,∴∠APE+∠PAB=180°∴∠APE=180°-∠PAB=180°-130°=50°AB∥CD,∴PE∥CD请你帮助小明完成剩余的解答;(2)问题迁移:请你依据小明的思路,解答下面的问题如图③所示,AD∥BC,点P在射线OM上运动,∠ADP=∠α,∠BCP=∠β(i)当点P在A、B两点之间时,∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系?请说明理由;(ii)当点P在A、B两点的外侧时(点P与点不重合),请直接写出∠CPD、∠α、∠β之间的数量关系【参考答案及解析】1.解析:(1)证明:∵DE∥AC,∴∠1=∠C, ∵∠1=∠2,∴∠C=∠2 ∴AF∥BC(2)∵AF∥BC,∴∠B+∠BAF=180°,∵∠B=50°,∴∠BAF=180°-50°=130°, ∵AC 平分∠BAF, ∴∠2=12 ∠BAF=65°∵∠1=∠2,∴∠1=65° 2.解析:(1)DE∥AC 理由如下:∵∠1+∠2=180°,∠BDC+∠2=180°,∴∠1=∠BDC,∴BD∥EF,∴∠DEF=∠BDE,∵∠DEF=∠A,∴∠BDE=∠A,∴DE∥AC.(2)∵∠A=60°,∠ACD=35°,∴∠2=180°-∠A -∠ACD=85°, ∵∠1+∠2=180°,∴∠1=180°-∠2=95° 3.解析:(1)证明:如图,∵FG∥AE,∴∠2=∠3, ∵∠1=∠2,∴∠1=∠3,∴AB∥CD(2)∵AB∥CD,∴∠ABD+∠D=180°,∵∠D=112°,∴∠ABD=180°-∠D=68°, ∵BC 平分∠ABD,∴∠4=12∠ABD=34°,∵FG⊥BC,∴∠1+∠4=90°,∴∠1=90°-34°=56° 4.解析:(1)∵AB∥CD,∠AME=60°,∴∠CN E=∠AME=60°, ∴∠DNF=∠CNE=60°.(2)证明:∠AME+∠1+∠2=180°,∠DNF+∠5+∠6=180°,∠2=∠6=60°,∠AME=60°,∠DNF=60° ∴∠1=∠5=60°,∴MQ∥NP,∴∠PMQ=∠P=90° ∴∠3=∠PMQ -∠2=30°∵∠1+∠2+∠3+∠4=∠EMN=180° ∴∠4=180°-∠1-∠2-∠3=30° ∴∠3=∠4,即MP 平分∠BMN5.解析:(1)AD∥BE理由AB∥CD,∴∠BAE=∠4,∵∠2=∠1,∴∠1+∠C AE=∠2+∠CAE, ∴∠BAE=∠CAD,∠CAD=∠4 ∵∠3=∠4,∴∠3=∠CAD,AD∥BE (2)∵∠3=∠4,∠4=75°∴∠3=75∴∠ABC=180°-(∠1+∠3)=180°-(46°+75°)=59° 6.解析:(1)AD∥EC理由∵∠1=∠BDC,∴AB∥CD,∴∠2=∠ADC, 又∵∠2+∠3=180°,∠ADC+∠3=180° ∴AD∥EC(2)∵∠1=∠BDC,∠1=70°,∴∠BDC=70° ∵DA 平分∠BDC,∴∠ADC=12 ∠BDC=35°∴∠2=∠ADC=35°,∵CE⊥AE,AD∥EC ∴∠FAD=∠AEC=90°∴∠FAB=∠FAD -∠2=90°-35°=55° 7.解析:(1)证明:∵DE∥AB,∴∠BAE+∠E=180°, ∵∠B=∠E ∴∠BAE+∠B=180°,∴AE∥BC (2)如图,过D 作DF∥AE 交AB 于F, ∵PQ∥AE,∴DF∥PQ∥AE, ∴∠E+∠EDF=180°∵∠E=75°,∴∠EDF=180-75°=105°, ∵DE⊥DQ ∴∠EDQ=90°,∴∠FDQ=360°-105°-90°=165°,∵DF∥PQ,∴∠FDQ+∠Q=180°,∴∠Q=180°-165°=15°8.解析:(1)∵∠1+∠2=180°,∠1=∠DFG,∴∠2+∠DFG=180°,∴AB∥EG,∴∠B=∠EGC 又∵∠B=∠3,∴∠3=∠EGC,∴DE∥BC (2)CD⊥EG∵DE∥BC,∴∠B=∠ADE=∠EDC,∵∠2=2∠B,∠2+∠ADE+∠EDC=180°,∴2∠B+∠B+∠B=180°,∴∠B=45°∴∠2=2∠B=90°,∴CD⊥AB,又∵AB∥EG,∴CD⊥EG9.解析:(1)EF∥GH理由如下:如图,过点C作CD∥EF,∴∠CAE=∠ACD,∵∠ACB=∠ACD+∠BCD=80°,∠CAE+∠CBG=80°∴∠BCD=∠CBG∴CD∥GH,∴EF∥GH(2)∠APB的大小不会随着点B的运动而发生变化∵∠CAP=2∠CAE,∠CBP=2∠CBG∴∠CAP+∠CBP=2∠CAE+2∠CBG=2(∠CAE+∠CBG)=2×80°=160°∴∠APB=360°-∠ACB-(∠CAP+∠CBP)=360°-80-160°=120°故∠APB的大小为120°10.解析:(1)证明:CD⊥AB,FE⊥AB,∴∠AEH=∠ADC=90°∴EF∥DC,∴∠AHE=∠ACD,∵∠ACD+∠F=180°,∴∠AHE+∠F=180°∠AHE+∠EHC=180°,∴∠EHC=∠F,∴AC∥FG(2)∵∠BCD:∠ACD=2:3,∴设∠BCD=2x,∠ACD=3x,∵CD⊥AB,∴∠ADC=90°,∴∠A+∠ACD=90°,∴45°+3x=90°∴x=15°,∴∠BCD=2x=30°11.解析:(1)答案为30°；60过点C作CH∥GF,则CH∥DE∥GF∴∠CAF=∠HGA,∠EMC=∠MCH,∵∠BAF=90°,∴∠CAF=90°-60°=30°∴∠HCA=30°,∴∠MCH=90°-∠HCA=60°,∠EMC=60°(2)∠CAF+∠EMC=90°理由如下:过点C作CH∥GF,则∠CAF=∠ACH∴∠EMC+∠CAF=∠MCH+∠ACH=∠ACB=90°12.解析:(1)∵∠BAM+∠BAN=180°,∠BAM:∠BAN=2:1, ∴∠BAN=180°×13=60°,故答案为60°(2)设灯A 转动t 秒时,两灯的光线(AC 和BD)互相平行 ①当0<t≤90时,如图1, ∵PQ∥MN,∴∠PBD=∠BDA, ∵AC∥BD,∴∠CAM=∠BDA,∴∠CAM=∠PBD,∴2t=1·(30+t),解得t=30.②当90<<150时,如图2, ∵PQ∥MN,∴∠PBD+∠BDA=180°, ∵AC∥BD,∴∠CAN=∠BDA, ∴∠PBD+∠CAN=180°,∴1·(30+t)+(2t -180)=180,解得t=110综上所述,当t=30或110时,两灯的光线互相平行 (3)∠BAC 和∠BCE 的数量关系不会变化 设灯A 转动的时间为m 秒,则∠CAN=(180-2m)°,∴∠BAC=60°-(180-2m)°=(2m -120)°, ∵MN∥PQ,∠BAN=60°,∴∠ABP=180°-60°=120° ∴∠ABC=(120-m)°,∴∠BCA=180°-∠ABC -∠BAC=(180-m)°,∵∠ACE=120°,∴∠BCE=120°-∠BCA=120°-(180-m)=(m-60)°, ∴∠BAC:∠BCE=2:1,即∠BAC=2∠BCE 13.解析:(1)剩余过程:∴∠CPE+∠PCD=180°∴∠CPE=180°-120°=60°,∴∠APC=50°+60°=110°如图1,过P作PE∥AD交CD于E,∵AD∥BC,∴AD∥PE∥BC∴∠α=∠DPE,∠β=∠CPE∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β(ii)∠CPD=∠β-∠α或∠CPD=∠α-∠β详解:当P在BA的延长线上时,∠CPD=∠β-∠α理由如下:如图2,过P作PE∥AD交ON于E,∵AD∥BC,∴AD∥PE∥BC,∴∠α=∠DPE,∠β=∠CPE,∴∠CPD=∠CPE-∠DPE=∠β-∠α当P在B、O之间时,∠CPD=∠α-∠β理由:如图3,过P作PE∥AD交ON于E,∵AD∥BC,∴AD∥PE∥BC,∴∠α=∠DPE,∠β=∠CPE,∴∠CPD=∠DPE-∠CPE=∠α-∠β综上,∠CPD=∠β-∠α或∠CPD=∠α-∠β。

第五章相交线与平行线专题（一）相交线1．如图所示，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠AOD，∠BOC＝80°，求∠BOD和∠AOE的度数．2．如图，三条直线相交于点O，则∠1＋∠2＋∠3等于()A．90°B．120°C．180°D．360°,(第2题图)),(第3题图))3．如图，三条直线AB，CD，EF相交于点O，若∠BOE＝4∠BOD，∠AOE＝100°，则∠AOC 等于()A．30°B．20°C．15°D．10°4．如图，AB和CD相交于点O.(1)若∠1＋∠3＝50°，则∠3＝__ __；(2)若∠1∶∠2＝2∶3，则∠3＝__ __；(3)若∠2－∠3＝70°，则∠3＝__ __．5．如图，两条直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC，若∠1＝30°，∠2＝___ _，∠3＝__ __．6．如图所示，直线AB，CD，EF相交于点O.(1)试写出∠AOC，∠AOE，∠EOC的对顶角；(2)试写出∠AOC，∠AOE，∠EOC的邻补角；(3)若∠AOC＝40°，求∠BOD，∠BOC的度数．7．如图，一长方形纸片ABCD沿折痕EF对折，得到点D的对应点D′，点C的对应点C′，若∠BFE＝50°，试求∠BFC′的度数．8．如图所示，已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，若∠3∶∠2＝8∶1，求∠AOC 的度数．第五章相交线与平行线专题（二）平行线的判定1．如图所示，直线a ，b 被直线c 所截，现给出下列四个条件：①∠1＝∠5；②∠1＝∠7；③∠2＋∠3＝180°；④∠4＝∠7.其中能说明a ∥b 的条件为( )A ．①②B ．①③C ．①④D ．③④2．如图所示，要得到DE ∥BC ，则需要的条件为( )A ．CD ⊥AB ，GF ⊥AB B ．∠4＋∠5＝180°C ．∠1＝∠3D ．∠2＝∠33．对于图中标记的各角，下列条件能够推理得到a ∥b 的是( )A ．∠1＝∠2B ．∠2＝∠4C ．∠3＝∠4D ．∠1＋∠4＝180°4．如图，在下列给出的条件中，不能判定AB ∥DF 的是( )A ．∠A ＋∠2＝180°B ．∠3＝∠AC ．∠1＝∠4D ．∠1＝∠A5．)如图所示，下列判断不正确的是( )A ．∵∠1＝∠2，∴AE ∥BDB ．∵∠1＝∠2，∴AB ∥EDC ．∵∠3＝∠4，∴AB ∥CD D ．∵∠5＝∠BDC ，∴AE ∥BD6．如图，能说明AB ∥DE 的有( )①∠1＝∠D ；②∠CFB ＋∠D ＝180°；③∠B ＝∠D ；④∠D ＝∠BFD.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个(第1题图)(第2题图) (第5题图)(第6题图)7．如图，给出下面的推理：①因为∠B ＝∠BEF ，所以AB ∥EF ；②因为∠B ＝∠CDE ， 所以AB ∥CD ；③因为∠B ＋∠BDC ＝180°，所以AB ∥EF ；④因为AB ∥CD ，CD ∥EF ， 所以AB ∥EF.其中正确的推理是( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④9．如图，下列推理正确的是( )A ．∵∠1＝∠2，∴AB ∥CD B ．∵∠1＋∠2＝180°，∴AB ∥CDC ．∵∠3＝∠4，∴AB ∥CD D ．∵∠3＋∠4＝180°，∴AB ∥CD10．如图，已知直线EF 分别交CD ，AB 于点M ，N ，且∠EMD ＝65°，∠MNB ＝115°，则下列结论正确的是( )A ．AE ∥CFB ．AB ∥CDC ．∠A ＝∠D D ．∠E ＝∠F11．如图，BD 平分∠ABC ，若∠1＝∠2，则( )A ．AB ∥CD B ．AD ∥BC C ．AD ＝BC D ．AB ＝CD12．如图所示，AC ⊥BC ，垂足为C ，∠B ＝50°，∠ACD ＝40°，则AB 与CD 的位置关系是 AB ∥CD__.13．如图所示，下列条件中：(1)∠B ＋∠BCD ＝180°；(2)∠1＝∠2；(3)∠3＝∠4；(4)∠B ＝∠5.能判定AB ∥CD的条件有 ．(填序号),(第9题图)) ,(第10题图)) ,(第11题图)) ,(第12题图))14．(8分)如图，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，且∠1＋∠2＝90°，直线AB，CD有何位置关系？说明理由．16．(10分)如图，已知直线a，b，c被直线d，e所截，且∠1＝∠2，∠3＋∠4＝180°，则a与c平行吗？为什么？17．(12分)如图，AC⊥EC，B，C，D在同一直线上，∠A＝∠1，∠E＝∠2，直线AB与DE平行吗？试说明理由．第五章相交线与平行线专题（三）平行线的性质1．如图，直线m ∥n ，∠α为( )A ．70 B ．65° C ．50° D ．40°2．如图，AB ∥ED ，AG 平分∠BAC ，∠ECF ＝70°，则∠FAG 的度数是( )A ．155°B ．145°C ．110°D ．35°3．如图，已知AB ∥CD ，∠1＝130°，则∠2＝__ ．4．如图，EF ∥BC ，AC 平分∠BAF ，∠B ＝80°，求∠C 的度数5．如图，把三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝30°，则∠2的度数为( )A ．60°B ．50°C ．40°D ．30°6． 6．一张长方形的纸条，按如图方式折叠一下，已知∠3＝120°，则∠1的度数为( )7．A ．30° B ．60° C ．90° D ．120°8．9． ,(第1题图)) ,(第2题图)) ,(第5题图)) ,(第6题图))10．7．(4分)如图，∠1＝50°，∠2＝140°，∠C ＝50°，则∠B ＝____．9．某次考古发掘出的一个梯形残缺玉片如下图，工作人员从玉片上量得∠A ＝115°，∠D ＝100°，已知梯形的两底AD ∥BC ，请你帮助工作人员求出另外两个角的度数，并说明理由．10．如图所示，点B 是△ADC 的边AD 的延长线上一点，DE ∥AC ，若∠C ＝50°， ∠BDE ＝60°，则∠CDB 的度数等于( )A ．70°B ．100°C ．110°D ．120°11．如图所示，已知AB ∥EF ∥DC ，EG ∥BD ，则图中与∠1相等的角共有( )A ．6个B ．5个C ．4个D ．2个12．如图所示，已知AB ∥CD ，BC ∥DE ，则∠B ＋∠D 的度数为____．13．如图，AC ∥BD ，AE 平分∠BAC 交BD 于点E ，若∠1＝64°，则∠2＝___ _．(第10题图) (第11题图), ( 第 7 题图 )14．(12分)如图所示，已知∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，DE过O点，且DE∥BC，求∠BOC的度数．15．(12分)如图，直线AD与AB，CD相交于A，D两点，EC，BF与AB，CD相交于点E，C，B，F，如果∠1＝∠2，∠B＝∠C.小明在图上把两组相等角的信息标注出来后，略加分析，便发现CE∥BF，同桌的小慧说：“不光有这个发现，我还能得到∠A＝∠D呢？”小明再深入其中，很快也明白了小慧是怎么得到∠A＝∠D的了．你能帮助他们写出过程吗？16．(12分)如图，已知直线l1∥l2，且l3和l1，l2分别交于A，B两点，点P在AB上．(1)试找出∠1，∠2，∠3之间的关系并说明理由；(2)如果点P在A，B两点之间运动时，问∠1，∠2，∠3之间的关系是否发生变化？(3)如果点P在A，B两点外侧运动时，试探究∠1，∠2，∠3之间的关系(点P和A，B不重合)．第五章相交线与平行线专题（四）平行线的性质与判定的综合运用1．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，OT ⊥AB 于点O ，CE ∥AB 交CD 于点C ，若∠ECO ＝30°，则∠DOT 的度数为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．120°2．如图，AB ∥CD ，∠DFE ＝135°，则∠ABE 的度数是( )A ．30°B ．45C ．60°D ．90°3．如图，a ，b ，c 为三条直线，且a ⊥c ，b ⊥c ，若∠1＝70°，则∠2的度数为( )A ．70°B ．90°C ．110°D ．80°4．如图所示，已知∠1＝∠2＝∠3＝55°，则∠4的度数是( )A ．110°B ．115°C ．120°D ．125°5．(4分)如图所示，已知∠1＝∠2，∠3＝80°，则∠4等于( )A ．80°B ．70°C ．60°D ．50°6．(4分)如图，已知直线a ∥b ，∠1＝40°，∠2＝60°，则∠3等于( )A ．100°B ．60°C ．40°D ．20°(第1题图)(第2题图) (第3题图)(第4题图)7．将一副直角三角板如图所示放置，使含30°角的三角板短直角边和含45°角 的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为__．8．如图所示是一大门的栏杆，AE 为地面，BA ⊥AE 于点A ，CD ∥AE ，则∠ABC ＋∠BCD＝ _9．(8分)如图，直线AB ，CD 分别与直线AC 相交于点A ，C ，与直线BD 相交于点B ，D.若∠1＝∠2，∠3＝75°，求∠4的度数．10．如图，AB ∥CD ，AE 交CD 于C ，∠A ＝34°，∠DEC ＝90°，则∠D 的度数为() A ．17° B ．34° C ．56° D ．124°11．如图，已知AB ∥CD ，∠C ＝65°，∠E ＝30°，则∠A 的度数为( )A ．30°B ．32.5°C ．35°D ．37.5°12．如图所示，AB ∥CD ∥EF ，则∠BAD ＋∠ADE ＋∠DEF 等于( )A ．180°B ．270°C ．360°D ．540°13．如图所示，∠A ＝60°，∠4＝45°，DE ∥BC ，EF ∥AB ，则∠1＝___ _， ∠2＝__ __， ∠3＝__ _，∠B ＝__ _，∠C ＝___ _． (第5题图) (第6题图,(第10题图)) ,(第11题图)(第7题图) (第8题图)14．如图，直线l1∥l2∥l3，点A ，B ，C 分别在直线l1，l2，l3上．若∠1＝70°，∠2＝50°，则∠ABC ＝____．15．如图，l ∥m ，等边△ABC 的顶点A 在直线m 上，则∠α＝__．16．(8分)如图，AD ⊥BC 于点D ，EG ⊥BC 于点G ，∠E ＝∠3.请问：AD 平分∠BAC 吗？若平分，请说明理由．17．(10分)如图所示，CD ⊥AB ，垂足为D ，F 是BC 上任意一点，EF ⊥AB ，垂足为E ，且∠1＝∠2，∠3＝80°，求∠BCA 的度数．18．(12分)如图所示，∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠B ，试判断∠AED 与∠C 的大小关系，并(第12题图)(第13题图) ,(第14题图)),(第15题图)说明你的理由．第五章相交线与平行线专题（五）平行线的性质与判定变式训练【教材母题】(教材P36第8题(2)改编)如图，∠1＋∠2＝180°，∠3＝108°，求∠4的度数．变式1.(2014·菏泽)如图，直线l∥m∥n，等边△ABC的顶点B，C分别在直线n和m上，边BC与直线n所夹的角为25°，则∠α的度数为()A．25°B．45°C．35°D．30°变式2.(2014·邵阳)如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE的大小是()A．45°B．54°C．40°D．50°,(第1题图)),(第2题图))变式3.(2014·聊城)如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，如果∠1＝27°，那么∠2的度数为()A．53°B．55°C．57°D．60°变式4.(2014·遵义)如图，直线l1∥l2，∠A＝125°，∠B＝85°，则∠1＋∠2＝() A．30°B．35°C．36°D．40°,(第3题图)),(第4题图))变式5.如果一个角的两边分别与另一个角的两边平行，且一个角比另一个角的3倍少40°，则这两个角的度数分别为__变式6.填写推理理由：如图，CD∥EF，∠1＝∠2.求证：∠3＝∠ACB.变式7.如图所示，已知AD⊥BC于D，E是AB上一点，EF⊥BC于F，且∠1＝∠2，试判断∠B与∠CDG的大小关系，并说明理由．变式8.如图，AB∥CD，∠EAB＋∠FDC＝180°.求证：AE∥FD.变式9.如图，∠BAP＋∠APD＝180°，∠1＝∠2.求证：∠E＝∠F.变式10.若AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝∠4，AD与BC平行吗？为什么？变式11.如图，已知∠1＝∠2，∠MAE＝45°，∠FEG＝15°，∠NCE＝75°，EG平分∠AEC，试说明AB∥EF∥CD.变式12.(探究题)(1)如图①，若AB∥CD，则∠B＋∠D＝∠E，你能说明理由吗？(2)反之，若∠B＋∠D＝∠E，直线AB与CD有什么位置关系？(3)若将点E移至图②的位置，此时∠B，∠D，∠E之间有什么关系？(4)若将点E移至图③的位置，此时∠B，∠D，∠E之间的关系又如何？(5)在图④中，AB∥CD，∠E＋∠G与∠B＋∠F＋∠D之间有何关系？。

小专题（一）平行线中的“拐点”问题模型1 M型【例1】如图，已知AB∥CD，则∠B，∠BED，∠D之间有何数量关系？请说明理由．【思路点拨】由已知条件知，AB∥CD，但图形中没有截这两条平行线的第三条直线，因而不能直接用平行线的性质解决．为此可构造第三条直线，即过点E 作EF∥AB，于是BE，DE就可以作为第三条直线了．变式当点E运动到平行线的外侧1．已知AB∥CD，点E为AB，CD之外任意一点．(1)如图1，探究∠BED与∠B，∠D的数量关系，并说明理由；(2)如图2，探究∠CDE与∠B，∠BED的数量关系，并说明理由．2．(1)如图1中，AB∥CD，则∠E＋∠G与∠B＋∠F＋∠D有何关系？(2)在图2中，若AB∥CD，又能得到什么结论？如果出现多个拐点时，可以作多条平行线，从而将多拐点问题转化为一个拐点问题来处理．M型最终的结论为：朝左的角之和等于朝右的角之和．模型2 铅笔型【例2】如图，直线AB∥CD，∠B，∠BED，∠D之间有什么关系呢？为什么？3．(1)①如图1，MA1∥NA2，则∠A1＋∠A2＝度；②如图2，MA1∥NA3，则∠A1＋∠A2＋∠A3＝度；③如图3，MA1∥NA4，则∠A1＋∠A2＋∠A3＋∠A4＝度；④图4，MA1∥NA5，则∠A1＋∠A2＋∠A3＋∠A4＋∠A5＝度；从上述结论中你发现了什么规律？(2)如图5，MA1∥NAn，则∠A1＋∠A2＋∠A3＋…＋∠An＝度．小专题(二) 利用平行线的性质求角的度数类型1 直接利用平行线的性质与判定求角度1．如图，OC是∠AOB的平分线，l∥OB.若∠1＝52°，则∠2的度数为( ) A．52° B．54° C．64° D．69°2．如图，CD∥AB，点O在AB上，OE平分∠BOD，OF⊥OE，∠D＝110°，则∠AOF 的度数是( )A．20° B．25° C．30° D．35°3．如图，AB∥CD，CB∥DE，∠B＝50°，则∠D＝．4．如图，已知EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝80°，求∠AGD的度数．类型2 借助学具的特征求角度5．如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起．若∠1＝40°，则∠2的大小是( )A．40° B．60° C．70° D．80°6．如图，一块直角三角板的两锐角的顶点刚好落在平行线l1，l2上，已知∠C是直角，则∠1＋∠2的度数等于( )A．75° B．90° C．105° D．120°类型3 折叠问题中求角度7．将一个长方形纸片折叠成如图所示的图形．若∠ABC＝26°，则∠ACD＝．8．如图，一个四边形纸片ABCD，∠B＝∠D＝90°，∠C＝130°.把纸片按如图所示折叠，使点B落在AD边上的B′点，AE是折痕，则∠AEB的度数是．类型4 抽象出平行线模型求角度(建模思想)9．如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝38°，一束光线(与水平线OB平行)从点C射入经平面镜反射后，反射光线落在OB上的点E处，已知∠ADC＝∠ODE.则∠DEB的度数是度．10．如图1是我们常用的折叠式小刀，图2中刀柄外形是一个梯形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成如图2所示的∠1与∠2，则∠1与∠2的度数和是．小专题(三) 平行线的性质与判定的综合运用——教材P37T13的变式与应用教材母题(教材P37T13)：完成下面的证明．(1)如图1，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，DE∥BA，DF ∥CA.求证：∠FDE＝∠A.证明：∵DE∥BA，∴∠FDE＝．∵DF∥CA，∴∠A＝．∴∠FDE＝∠A.(2)如图2，AB和CD相交于点O，∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD.求证AC∥BD.证明：∵∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD，又∠COA＝∠BOD( )，∴∠C＝．∴AC∥BD(内错角相等，两直线平行)．(1)判定两直线平行的方法有五种：①平行线的定义；②平行公理的推论；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行；⑤同旁内角互补，两直线平行．(2)判定两直线平行时，定义一般不常用，其他四种方法要灵活运用，推理时要注意书写格式．(3)由两条直线平行得到同位角相等、内错角相等或同旁内角互补，解题时应结合图形先确认所成的角是不是两平行线被第三条直线所截得的同位角或内错角或同旁内角，同时要学会简单的几何说理，做到每一步有理有据．1．如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别为D，F，∠2＋∠3＝180°.试说明：∠GDC＝∠B.下面是不完整的说理过程，请你将横线上的过程和括号里的理由补充完整．解：因为AD⊥BC，EF⊥BC(已知)，①所以∠ADB＝∠EFB＝ (垂直的定义)．②所以 (同位角相等，两直线平行)．③所以∠1＋∠2＝ (两直线平行，同旁内角互补)．④又因为∠2＋∠3＝180°( )，⑤所以∠1＝∠3( )．⑥所以AB∥DG( )．⑦所以∠GDC＝∠B( )．2．如图，点G在射线BC上，射线DE与AB，AG分别交于点H，M.若DF∥AB，∠B＝75°，∠D＝105°，求证：∠AME＝∠AGC.3．如图，AB∥CD，AE平分∠BAD，CD与AE相交于点F，∠CFE＝∠E.求证：AD ∥BC.4．如图，∠E＝∠1，∠3＋∠ABC＝180°，BE是∠ABC的平分线．你能判断DF 与AB的位置关系吗？请说明理由．5．如图，AB⊥BD于点B，点E是BD上的点，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，且∠1＋∠2＝90°.求证：CD⊥BD.6．如图，把一张长方形ABCD的纸片沿EF折叠后，ED与BC的交点为G，点D，C分别落在D′，C′的位置上．若∠EFG＝55°，求∠1，∠2的度数．7．如图，已知BC∥GE，∠AFG＝∠1＝50°.(1)求证：AF∥DE；(2)若AQ平分∠FAC，交BC于点Q，且∠Q＝15°，求∠ACQ的度数．参考答案：小专题（一）平行线中的“拐点”问题模型1 M型【例1】如图，已知AB∥CD，则∠B，∠BED，∠D之间有何数量关系？请说明理由．【思路点拨】由已知条件知，AB∥CD，但图形中没有截这两条平行线的第三条直线，因而不能直接用平行线的性质解决．为此可构造第三条直线，即过点E 作EF∥AB，于是BE，DE就可以作为第三条直线了．【解答】∠BED＝∠B＋∠D.理由：过点E作EF∥AB，则EF∥CD.∴∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF.∴∠BED＝∠BEF＋∠DEF＝∠B＋∠D.变式当点E运动到平行线的外侧1．已知AB∥CD，点E为AB，CD之外任意一点．(1)如图1，探究∠BED与∠B，∠D的数量关系，并说明理由；(2)如图2，探究∠CDE与∠B，∠BED的数量关系，并说明理由．解：(1)∠B＝∠BED＋∠D.理由如下：过点E作EF∥AB，则AB∥CD∥EF.∴∠BEF＝∠B，∠D＝∠DEF.∵∠BEF＝∠BED＋∠DEF，∴∠B＝∠BED＋∠D.(2)∠CDE＝∠B＋∠BED.理由如下：过点E作EF∥AB，则AB∥CD∥EF.∴∠B＋∠BEF＝180°，∠CDE＋∠DEF＝180°.又∵∠DEF＝∠BEF－∠BED，∴∠CDE＋∠BEF－∠BED＝∠B＋∠BEF，即∠CDE＝∠B＋∠BED.拓展平行线间有多个拐点2．(1)如图1中，AB∥CD，则∠E＋∠G与∠B＋∠F＋∠D有何关系？(2)在图2中，若AB∥CD，又能得到什么结论？解：(1)∠BEF＋∠FGD＝∠B＋∠EFG＋∠D.理由：过点E，F，G分别作EM∥AB，FN∥AB，GH∥AB，由AB∥CD，得AB∥EM∥FN∥GH∥CD.∴∠BEM＝∠B，∠MEF＝∠EFN，∠NFG＝∠FGH，∠HGD＝∠D.∴∠BEF＋∠FGD＝∠BEM＋∠MEF＋∠FGH＋∠HGD＝∠B＋∠EFN＋∠NFG＋∠D＝∠B＋∠EFG＋∠D.(2)在图2中，有∠E1＋∠E2＋∠E3＋…＋∠En＝∠B＋∠F1＋∠F2＋…＋∠Fn－1＋∠D.如果出现多个拐点时，可以作多条平行线，从而将多拐点问题转化为一个拐点问题来处理．M型最终的结论为：朝左的角之和等于朝右的角之和．模型2 铅笔型【例2】如图，直线AB∥CD，∠B，∠BED，∠D之间有什么关系呢？为什么？【解答】∠B＋∠BED＋∠D＝360°.理由：过点E作EF∥AB.∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF.∴∠B＋∠BEF＝180°，∠D＋∠DEF＝180°. ∴∠B＋∠BEF＋∠D＋∠DEF＝360°，即∠B＋∠BED＋∠D＝360°.拓展平行线间有多个拐点3．(1)①如图1，MA1∥NA2，则∠A1＋∠A2＝180度；②如图2，MA1∥NA3，则∠A1＋∠A2＋∠A3＝360度；③如图3，MA1∥NA4，则∠A1＋∠A2＋∠A3＋∠A4＝540度；④图4，MA1∥NA5，则∠A1＋∠A2＋∠A3＋∠A4＋∠A5＝720度；从上述结论中你发现了什么规律？(2)如图5，MA1∥NAn，则∠A1＋∠A2＋∠A3＋…＋∠An＝180(n－1)度．解：每增加一个角，度数增加180°.小专题(二) 利用平行线的性质求角的度数类型1 直接利用平行线的性质与判定求角度1．如图，OC是∠AOB的平分线，l∥OB.若∠1＝52°，则∠2的度数为( C ) A．52° B．54° C．64° D．69°2．如图，CD∥AB，点O在AB上，OE平分∠BOD，OF⊥OE，∠D＝110°，则∠AOF 的度数是( D )A．20° B．25° C．30°D．35°3．如图，AB∥CD，CB∥DE，∠B＝50°，则∠D＝130°．4．如图，已知EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝80°，求∠AGD的度数．解：∵EF∥AD，∴∠2＝∠3(两直线平行，同位角相等)．∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3(等量代换)．∴AB∥DG(内错角相等，两直线平行)．∴∠BAC＋∠AGD＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．∵∠BAC＝80°，∴∠AGD＝100°.类型2 借助学具的特征求角度5．如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起．若∠1＝40°，则∠2的大小是( D )A．40° B．60° C．70° D．80°6．如图，一块直角三角板的两锐角的顶点刚好落在平行线l1，l2上，已知∠C是直角，则∠1＋∠2的度数等于( B )A．75° B．90° C．105° D．120°类型3 折叠问题中求角度7．将一个长方形纸片折叠成如图所示的图形．若∠ABC＝26°，则∠ACD＝128°．8．如图，一个四边形纸片ABCD，∠B＝∠D＝90°，∠C＝130°.把纸片按如图所示折叠，使点B落在AD边上的B′点，AE是折痕，则∠AEB的度数是65°．类型4 抽象出平行线模型求角度(建模思想)9．如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝38°，一束光线(与水平线OB平行)从点C射入经平面镜反射后，反射光线落在OB上的点E处，已知∠ADC＝∠ODE.则∠DEB的度数是76度．10．如图1是我们常用的折叠式小刀，图2中刀柄外形是一个梯形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成如图2所示的∠1与∠2，则∠1与∠2的度数和是90°．小专题(三) 平行线的性质与判定的综合运用——教材P37T13的变式与应用教材母题(教材P37T13)：完成下面的证明．(1)如图1，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，DE∥BA，DF ∥CA.求证：∠FDE＝∠A.证明：∵DE∥BA，∴∠FDE＝∠BFD(两直线平行，内错角相等)．∵DF∥CA，∴∠A＝∠BFD(两直线平行，同位角相等)．∴∠FDE＝∠A.(2)如图2，AB和CD相交于点O，∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD.求证AC∥BD.证明：∵∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD，又∠COA＝∠BOD(对顶角相等)，∴∠C＝∠D．∴AC∥BD(内错角相等，两直线平行)．(1)判定两直线平行的方法有五种：①平行线的定义；②平行公理的推论；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行；⑤同旁内角互补，两直线平行．(2)判定两直线平行时，定义一般不常用，其他四种方法要灵活运用，推理时要注意书写格式．(3)由两条直线平行得到同位角相等、内错角相等或同旁内角互补，解题时应结合图形先确认所成的角是不是两平行线被第三条直线所截得的同位角或内错角或同旁内角，同时要学会简单的几何说理，做到每一步有理有据．1．如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别为D，F，∠2＋∠3＝180°.试说明：∠GDC＝∠B.下面是不完整的说理过程，请你将横线上的过程和括号里的理由补充完整．解：因为AD⊥BC，EF⊥BC(已知)，①所以∠ADB＝∠EFB＝90°(垂直的定义)．②所以AD∥EF(同位角相等，两直线平行)．③所以∠1＋∠2＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．④又因为∠2＋∠3＝180°(已知)，⑤所以∠1＝∠3(同角的补角相等)．⑥所以AB∥DG(内错角相等，两直线平行)．⑦所以∠GDC＝∠B(两直线平行，同位角相等)．2．如图，点G在射线BC上，射线DE与AB，AG分别交于点H，M.若DF∥AB，∠B＝75°，∠D＝105°，求证：∠AME＝∠AGC.证明：∵DF∥AB(已知)，∴∠D＝∠BHM(两直线平行，同位角相等)．又∵∠B＝75°，∠D＝105°(已知)，∴∠B＋∠BHM＝75°＋105°＝180°.∴DE∥BC(同旁内角互补，两直线平行)．∴∠AME＝∠AGC(两直线平行，同位角相等)．3．如图，AB∥CD，AE平分∠BAD，CD与AE相交于点F，∠CFE＝∠E.求证：AD ∥BC.证明：∵AE平分∠BAD(已知)，∴∠1＝∠2(角平分线的定义)．∵AB∥CD(已知)，∴∠1＝∠CFE(两直线平行，同位角相等)．又∵∠1＝∠2(已证)，∠CFE＝∠E(已知)，∴∠2＝∠E(等量代换)．∴AD∥BC(内错角相等，两直线平行)．4．如图，∠E＝∠1，∠3＋∠ABC＝180°，BE是∠ABC的平分线．你能判断DF 与AB的位置关系吗？请说明理由．解：DF∥AB.理由：∵BE是∠ABC的平分线，∴∠1＝∠2(角平分线的定义)．∵∠E＝∠1(已知)，∴∠E＝∠2(等量代换)．∴AE∥BC(内错角相等，两直线平行)．∴∠A＋∠ABC＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．∵∠3＋∠ABC＝180°(已知)，∴∠A＝∠3(等量代换)．∴DF∥AB(同位角相等，两直线平行)．5．如图，AB⊥BD于点B，点E是BD上的点，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，且∠1＋∠2＝90°.求证：CD⊥BD.证明：∵AE平分∠BAC，CE平分∠ACD(已知)，∴∠BAC＝2∠1，∠ACD＝2∠2(角平分线的性质)．∴∠BAC＋∠ACD＝2∠1＋2∠2＝2(∠1＋∠2)．∵∠1＋∠2＝90°(已知)，∴∠BAC＋∠ACD＝180°.∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)．∴∠B＋∠D＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．∴∠D＝180°－∠B(等式的性质)．∵AB⊥BD(已知)，∴∠B＝90°(垂直的定义)．∴∠D＝90°，即CD⊥BD.6．如图，把一张长方形ABCD的纸片沿EF折叠后，ED与BC的交点为G，点D，C分别落在D′，C′的位置上．若∠EFG＝55°，求∠1，∠2的度数．解：∵AD∥BC，∠EFG＝55°，∴∠2＝∠GED，∠DEF＝∠EFG＝55°(两直线平行，内错角相等)．由折叠，知∠GEF＝∠DEF＝55°.∴∠GED＝110°.∴∠2＝110°.∴∠1＝180°－∠2＝70°(两直线平行，同旁内角互补)．7．如图，已知BC∥GE，∠AFG＝∠1＝50°.(1)求证：AF∥DE；(2)若AQ平分∠FAC，交BC于点Q，且∠Q＝15°，求∠ACQ的度数．解：(1)证明：∵BC∥GE，∴∠E＝∠1＝50°.∵∠AFG＝∠1＝50°，∴∠E＝∠AFG＝50°.∴AF∥DE.(2)过点A作AP∥GE，∵BC∥GE，∴AP∥GE∥BC.∴∠FAP＝∠AFG＝50°，∠PAQ＝∠Q＝15°.∴∠FAQ＝∠FAP＋∠PAQ＝65°.∵AQ平分∠FAC，∴∠CAQ＝∠FAQ＝65°.∴∠CAP＝80°.∴∠ACQ＝180°－∠CAP＝100°.。

专题01 平行线知识讲义【技能一】两条直线的位置关系两条直线的位置关系有三种：（1）平行——没有公共点，在同一平面内；（2）相交——有且只有1个公共点，在同一平面内；（3）异面——没有公共点，不在同一平面内.（如下图所示，直线a与b异面）【技能二】与相交线有关的知识点1. 邻补角互补；2. 对顶角相等；3. 垂直是相交的特殊情况.判断两直线垂直的方法：两直线相交形成的四个角中，①一个为直角；②邻补角相等；③对顶角互补.4. 垂线段最短；5. 从直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.6. 直角三角形斜边上的高等于直角边的乘积除以斜边的长.由S△=ab÷2=ch÷2得：h=ab÷c【技能三】三线八角1. 同位角近似“F” 【★同位角不一定相等】2. 内错角近似“Z” 【★内错角不一定相等】3. 同旁内角近似“U” 【★同旁内角不一定互补】【技能四】平行线的知识点同一平面内，永远不相交的两条直线互相平行，直线a与直线b平行，记作a∥b.【技能五】令人“烦恼”的前提前提：“同一平面内”，“直线外”在哪些情况下添加？过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；同一平面内，同垂直于一条直线的两条直线互相平行；【技能六】平行线的判定六法1. 定义——同一平面内，不相交的两条直线平行2. 同位角相等，两直线平行3. 内错角相等，两直线平行4. 同旁内角互补，两直线平行5. 平行线传递性6. 同一平面内，同垂直于一条直线的两条直线互相平行【技能七】平行线的性质及命题两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补.命题组成：题设、结论.形式：如果……，那么……分类：真命题，假命题★若两个角的两组边分别平行（垂直），则这两个角相等或互补.【如下图所示】【技能八】平移性质两条线段平移前后，长度不变，位置共线或平行.考点一：相交线题型一、基本概念例1．（2020·江阴市长泾月考）下列说法错误的是（）A．对顶角相等B．两点之间所有连线中，线段最短C．等角的补角相等D．过任意一点P，只能画一条直线【变式1－1】（2020·右玉县期中）下列说法中正确的有（ ）①对顶角相等；②一个角的补角大于这个角；③互为邻补角的两个角的平分线互相垂直；④若两个实数的和是正数，则这两个实数都是正数．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个题型二、求角度例2－1．（2021·江西赣州期末）北京大兴国际机场采用“三纵一横”全向型跑道构型，可节省飞机飞行时间，過极端天气侧向跑道可提升机场运行能力．跑道的布局为：三条南北向的跑道和一条偏东南走向的侧向跑道．如图，侧向跑道AB 在点O 南偏东70°的方向上，则这条跑道所在射线OB 与正北方向所成角的度数为（ ）A ．160°B ．110°C ．70°D ．20°例2－2．（2020·浙江嘉兴期末）将一把直尺和一块三角板如图叠放，直尺的一边刚好经过直角三角板的直角顶点且与斜边相交，则1∠与2∠一定满足的数量关系是（ ）A ．221∠=∠B ．21180∠+∠=︒C ．221180∠+∠=︒D ．2190∠-∠=︒【变式2－1】．（2021·山东济南期中）如图，直线m 和n 相交于点O ，若∠1=40°，则∠2的度数是（ ）A ．40°B ．50°C ．140°D ．150°【变式2－2】．（2019·河北邢台期末）小明用一副三角板自制对顶角的“小仪器”，第一步固定直角三角板ABC ，并将边AC 延长至点P ，第二步将另一块三角板CDE 的直角顶点与三角板ABC 的直角顶点C 重合，摆放成如图所示，延长DC 至点F ，PCD ∠与ACF ∠就是一组对顶角，若30ACF ∠=，则PCD ∠=__________，若重叠所成的∠BCE =n °（0＜n ＜90），则∠PCF 的度数为__________．【变式2－3】（2020·广东阳江期末）如图，两条直线AB，CD交于点O，射线OM是∠AOC 的平分线，若∠BOD＝80°，则∠BOM的度数是．题型三、综合题例3.（2021·湖北十堰期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，OF∠OC，（1）图中∠AOF的余角是________ (把符合条件的角都填出来)；（2）如果∠AOC=140°，那么根据________，可得∠BOD=________；（3）如果∠1=31°，求∠2和∠3的度数．【变式3－1】（2021·辽宁抚顺期末）如图，已知O 为直线AD 上一点，OB 是AOC ∠内部一条射线且满足AOB ∠与AOC ∠互补，OM ，ON 分别为AOC ∠，AOB ∠的平分线．（1）COD ∠与AOB ∠相等吗？请说明理由；（2）若30AOB ∠=︒，试求MON ∠的度数；（3）若MON α∠=，请直接写出AOC ∠的度数．（用含α的式子表示）考点二：垂线题型一、基础概念例1－1.（2021·山东临沂期末）下列四个生活、生产现象：∠用两枚钉子就可以把木条固定在墙上；∠植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；∠体育课上，老师测量某同学的跳远成绩；∠把弯曲的公路改直，就能缩短路程，其中可用基本事实“两点确定一条直线”来解释的现象有（ ）A ．∠∠B ．∠∠C ．∠∠D ．∠∠例1－2．（2021·北京顺义期末）如图，点P 在直线l 外，点A 、B 在直线l 上，若4PA =，7PB =，则点P 到直线l 的距离可能是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．7例1－3．（2020·湖南湘潭月考）下列命题中，其中正确的有（ ）．∠两条相交直线组成的四个角相等，则这两直线垂直．∠两条相交直线组成的四个角中，若有一个直角，则四角都相等．∠两条直线相交，一角的两邻补角相等，则这两直线垂直．∠两条直线相交，一角与其邻补角相等，则这两直线垂直．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【变式1－1】（2019·山西月考）如图，在三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，则图中能表示点B 到直线AC 的距离的是（ ）A ．CD 的长度B ．BC 的长度 C ．BD 的长度 D ．AD 的长度【变式1－2】（2020·福建三明期中）如图所示，某工程队计划把河水引到水池A 中，他们先过A 点作AB CD ⊥，垂足为B ，然后沿AB 开渠，可以节约人力、物力和财力，这样设计的数学依据是（ ）A ．两点之间线段最短B ．经过两点有且只有一条直线C ．垂直定义D ．垂线段最短【变式1－3】（2020·广西贺州期末）下列语句错误．．的是（ ）． A ．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离．B ．在直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短．C ．同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线．D ．经过直线外一点，有且只有一条直线平行于这条直线．题型二、相关计算例2－1.（2020·河南省淮滨县第一中学七年级期末）如图，OA OC ⊥，OB OD ⊥，且150AOD ∠=︒，则BOC ∠的度数是（ ）A ．60︒B ．30C ．50︒D ．40︒例2－2．（2019·浙江杭州）已知60BOC ︒∠=，OF 平分BOC ∠．若AO BO ⊥，OE 平分AOC ∠，则EOF ∠的度数是（ ）A．45︒B．15︒C．30︒或60︒D．45︒或15︒例2－3．（2021·江苏泰州期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF∠CD，若∠BOC比∠DOE大75o．求∠AOD和∠EOF的度数．∠，【变式2－1】（2019·四川绵阳期末）如图，若直线AB与CD相交于点O，OD平分BOF ∠=︒，则COE∠的度数为（）⊥且29OE OFBODA．116︒B．118︒C．119︒D．120︒【变式2－2】（2020·湖北咸宁期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOC，OF∠OE 于点O，若∠AOD＝70°，则∠AOF＝______度．【变式2－3】（2020·沭阳县月考）已知如图，直线AB 、CD 相交于点O ，∠COE =90°． （1）若∠AOC =36°，求∠BOE 的度数；（2）若∠BOD ：∠BOC =1：5，求∠AOE 的度数；（3）在（2）的条件下，过点O 作OF ∠AB ，请直接写出∠EOF 的度数．【变式2－4】如图，直线BC 、DE 相交于点O ，OA 、OF 为射线，OA OB ⊥，OF 平分BOE ∠，BOF COD ∠+∠＝54．求AOE ∠的度数．考点三：三线八角例1.（2020·长汀县月考）如图所示，下列结论中正确的是（）A．∠1和∠2是同位角B．∠1和∠4是内错角C．∠2和∠3是同旁内角D．∠3和∠4是对顶角例2．（2019·商水县期末）如图所示，同位角有a对，内错角有b对，同旁内角有c对，则a+b－c的值是____________例3．（2021·河南周口期末）如图，找出标注角中的同位角、内错角和同旁内角．【变式1】．（2020·黑龙江哈尔滨期末）如图，1∠和2∠不是同旁内角的是（ ） A ．B ．C ．D ．【变式2】．（2019·河南洛阳期中）如图，1∠和2∠是同位角的有（ ）A ．∠∠B ．∠∠C ．∠∠D ．∠∠【变式3】．（2020·河南周口期中）如图，直线AB ，CD 被直线EF 所截，与AB ，CD 分别交于点E，F，下列描述：∠∠1和∠2互为同位角∠∠3和∠4互为内错角∠∠1=∠4 ∠∠4+∠5=180°其中，正确的是（）A．∠∠B．∠∠C．∠∠D．∠∠【变式4】（2020·湖北武汉月考）如图所示的图形中，同位角有_____对考点四：平行线例1.（2021·江苏宿迁期末）下列说法错误的是（）A．平面内过一点有且只有一条直线与已知直线平行B．平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C．两点之间的所有连线中，线段最短D．对顶角相等例2．（2020·四川师范大学附属中学期中）下列说法中不正确的个数为（）．∠在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和垂直．∠有且只有一条直线垂直于已知直线．∠如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．∠从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离．∠过一点，有且只有一条直线与已知直线平行．A．2个B．3个C．4个D．5个【变式1】．（2021·陕西宝鸡期末）下列说法中正确的个数为（）∠不相交的两条直线叫做平行线；∠平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；∠平行于同一条直线的两条直线互相平行；∠在同一平面内，两条直线不是平行就是相交．A．1个B．2个C．3个D．4个【变式2】．（2020·江苏苏州期中）下列说法中：∠对顶角相等；∠同位角相等；∠平行于同一条直线的两条直线平行；∠垂直于同一条直线的两条直线垂直；其中正确的有（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个内部有一点M，过点M画OA的平行线，这样【变式3】．（2019·山西月考）已知AOB的直线（ ）A ．有且只有一条B ．有两条C ．有三条D ．有无数条考点五：平行线的判定例1. （2020·浙江杭州期中）如图，下列四个图中12∠=∠，不能判断不能判定//a b 的是（ ） A ． B ．C ．D ．例2．（2021·河南开封期末）如图，下列条件能判断//AD CB 的是（ ）A ．180D DAB ∠+∠=︒ B ．12∠=∠C ．34∠=∠D ．45∠=∠例3．（2021·福建三明期末）如图是利用直尺和三角板过直线l外一点P作直线l的平行线的方法，这样做的依据是（）A．同位角相等，两直线平行B．两直线平行，同位角相等C．两直线平行，内错角相等D．内错角相等，两直线平行例4．（2021·浙江绍兴期末）如图，已知CD∠DA，DA∠AB，∠1=∠4．试说明DF∠AE．请你完成下列填空，把证明过程补充完整．证明：∠_________（___________）∠∠CDA=90°，∠DAB=90°（_________）．∠∠4+∠3=90°，∠2+∠1=90°．又∠∠1=∠4，∠_____（_____），∠DF∠AE（______）．例5．（2020·甘肃张掖期末）已知：如图，1C ∠=∠，2∠和D ∠互余，1∠和D ∠互余，求证：//AB CD ．例6．（2020·渠县月考）已知：如图，,,,AC AB BD AB CAE DBF ⊥⊥∠=∠且请猜想直线AE 与BF 的位置关系，并说明理由．【变式1】（2020·洛阳市月考）下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容，则回答正确的是（ ）A ．∠代表∠FECB ．□代表同位角C ．▲代表∠EFCD ．∠代表AB【变式2】（2020·浙江金华期末）下列说法中：（1）不相交的两条直线叫做平行线；（2）经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行；（3）垂直于同一条直线的两直线平行；（4）直线//a b ，//b c ，则//a c ；（5）两条直线被第三条直线所截，同位角相等．其中正确的是________．【变式3】（2019·山西期末）如图1，在探索“如何过直线外一点作已知直线的平行线”时，小颖利用两块完全相同的三角尺进行如下操作：如图 2 所示，（1）用第一块三角尺的一条边贴住直线 l ，第二块三角尺的一条边紧靠第一块三角尺；（2）将第二块三角尺沿第一块三角尺移动，使其另一边经过点 A ，沿这边作出直线 AB ，直线 AB 即为所求，则小颖的作图依据是________．【变式4】（2020·江西宜春期末）如图，已知点E 在直线DC 上，射线EF 平分∠AED ，过E 点作EB ∠EF ，G 为射线EC 上一点，连结BG ，且90EBG BEG ︒∠+∠=．（1）求证：DEF EBG ∠=∠；（2）若EBG A ∠=∠，试判断AB 与EF 的位置关系，并说明理由．考点六：平行线的性质题型一、求度数例1－1.（2020·浙江杭州期中）如图，//AB CD ，AD AC ⊥，32ADC ︒∠=，则CAB ∠的度数是（ ）A ．120度B ．121度C ．122度D ．123度例1－2．（2021·山东潍坊期末）一把直尺与30°的直角三角板如图所示，150∠=︒，则2∠=（ ）A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°【变式1－1】（2020·浙江金华期中）如图所示，已知AD 与BC 相交于点O ，////CD OE AB ．如果40B ∠=︒，30D ∠=︒，则AOC ∠的大小为（ ）A ．60°B ．70°C ．80°D ．120°【变式1－2】如图，∠1＝∠2，AC 平分∠DAB ，且∠D ：∠DAB ＝2：1，则∠D 的度数是（ ）A ．120°B ．130°C ．140°D ．150°题型二、方位角 例2.（2021·甘肃白银期末）一条船停留在海面上，从船上看灯塔位于北偏东60°方向，那么从灯塔看船位于灯塔的 方向（ ）A ．南偏西60°B ．西偏南60°C ．南偏西30°D ．北偏西30°【变式】如图，李强和同事驾驶快艇执行巡逻任务，他们从岛屿A 处向正南方向航行到B 处时，向右转60︒航行到C 处，再向左转80︒继续航行，此时快艇的航行方向为（ ）A ．南偏东20︒B ．南偏东80︒C ．南偏西20︒D ．南偏西80︒题型三、综合题型 例3－1.（2020·浙江杭州期中）已知A ∠的两边与B 的两边分别平行，若A ∠的度数比B 的2倍少30°，则B 的度数是（ ）A ．30°B ．50°C ．30°或70°D ．50°或70°例3－2．如图，已知直线AB 、CD 被直线AC 所截，//AB CD ，E 是直线AC 右边任意一点（点E 不在直线AB ，CD 上），设BAE α∠=，DCE β∠=．下列各式：∠αβ+，∠αβ-，∠βα-，∠360αβ︒--，AEC ∠的度数可能是（ ）A ．∠∠∠B ．∠∠∠C ．∠∠∠D ．∠∠∠∠例3－3．（2021·陕西咸阳期末）如图，360ABC C CDE ∠+∠+∠=︒，直线FG 分别交AB 、DE 于点F 、G ．若1110∠=︒，则2∠=___________．例3－4．（2021·陕西西安期末）如图，178∠=︒，2102∠=︒，C D ∠=∠．求证：//AC DF ．【变式3－1】（2021·山东青岛期末）如图，//AB CD ，点E 在AC 上，110A ∠=︒，15D ∠=︒，则下列结论正确的个数是（ ）（1）AE EC =；（2）85AED ∠=︒；（3）A CED D ∠=∠+∠；（4）45BED ∠=︒A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【变式3－2】（2021·广西贵港期末）如图，直线a ，b ，//a b ，点C 在直线b 上，90DCB ∠=︒，若170∠=︒，则2∠的度数为______．【变式3－3】（2020·浙江金华期中）已知A ∠与B （A ∠，B 都是大于0°且小于180°的角）的两边一边平行，另一边垂直，且227A B ∠-∠=︒，则A ∠的度数为_________．【变式3－4】（2020·黑龙江哈尔滨期末）在同一平面内，A ∠与B 的两边分别平行，若50A ∠=︒，则B 的度数为__________︒．【变式3－5】（2021·河南洛阳期末）直线AB 和CD 被直线MN 所截，如图1，EG 平分MEB ∠，FH 平分DFE ∠，当12∠=∠时，小明证明//AB CD 的过程如下：∠EG 平分MEB ∠，FH 平分DFE ∠（已知），∠21MEB ∠=∠，22DFE ∠=∠（角平分线的定义）． ∠12∠=∠，（已知），∠MEB DFE ∠=∠（等量代换）．∠//AB CD （同位角相等，两直线平行）．请你参考上述证明过程解决下列问题：（1）如图2，EG 平分AEF ∠，FH 平分DFE ∠，1∠与2∠满足什么条件时，//AB CD ？说明理由．（2）如图3，若//AB CD ，EG 平分AEM ∠，FH 平分CFN ∠，则1∠与2∠满足怎样的条件？说明理由．【变式3－6】（2021·四川成都期末）完成下面推理过程，在括号内的横线上填空或填上推理依据．如图，已知：//AB EF ,EP EQ ⊥，90EQC APE ∠+∠=︒，求证：//AB CD证明：//AB EFAPE ∴∠=__________（__________）EP EQ ⊥PEQ ∴∠=_________（___________）即90QEF PEF ∠+∠=︒90APE QEF ∴∠+∠=︒90EQC APE ∠+∠=︒EQC ∠=________//EF ∴_______（__________________）//AB CD ∴（________________）考点七：命题例1. 举反例说明 “互为补角的两个角都是直角”为假命题．例2．（2021·浙江绍兴期末）把“同位角相等”写成“如果…那么…”的形式为：为_____．【变式1】判断下列命题的真假，如果是假命题，请举一个反例，真命题不需要举例． （1）钝角的补角是锐角；（2）一个角的余角小于这个角；（3）如果a b =，那么a b =．【变式2】（2021·山东青岛期末）把命题“锐角小于90°”改写成“如果……那么……”的形式：______．考点八：平移例1. （2020·浙江杭州模拟）如图，将ABC 沿AC 方向平移1cm 得到DEF ，若ABC 的周长为10cm ，则四边形ABEF 的周长为（ ）A ．14cmB ．13cmC ．12cmD ．10cm例2．（2021·上海宝山期末）如图，ABC 经过平移后得到DEF ，下列说法：∠//AB DE∠AD BE =∠ACB DFE ∠=∠∠ABC 和DEF 的面积相等∠四边形ACFD 和四边形BCFE 的面枳相等，其中正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【变式1】（2021·北京丰台期末）如图，将ABC ∆沿BC 所在的直线平移得到DEF ∆．如果2GC =， 4.5DF =， 那么AG =____．【变式2】（2021·上海浦东新区期末）如图，已知直角三角形ABC ，90A ∠=︒，4AB =厘米，3AC =厘米，5BC =厘米，将ABC 沿AC 方向平移1.5厘米，线段BC 在平移过程中所形成图形的面积为__________平方厘米．。

A B CD EF专题一：平行线的判定例1．已知如图，指出下列推理中的错误，并加以改正。

（1）∵∠1和∠2是内错角，∴∠1=∠2，（2）∵AD//BC ， ∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）（3）∵∠1=∠2，∴AB//CD （两直线平行，内错角相等）例2．如图，∠1=∠2，∠3=∠4，试EF 是否与GH 平行？专题二：平行线性质和判定的混合例3．已知如图，∠1+∠2=180°，∠A=∠C ，AD 平分∠BDF ，求证：BC 平分∠DBE 。

例4：如图，已知：AD ∥BC, ∠AEF=∠B,求证：AD ∥EF 。

专题三：平行线识别中的新型题一、开放型 例1. 如图1，已知：∠B=∠D ，要使BE∥DF，还需补充什么条件?请说明你的理由．二、猜想型例2 、如图2， CE 平分∠BCD，∠1=∠2=70°，∠3=40°，AB 和CD 平行吗？为什么？三、操作型例3、某驾驶员驾驶汽车在公路上行驶，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（）图1 图2（A ）第一次向左拐300，第二次向右拐30（B ）第一次向右拐500，第二次向左拐1300（C ）第一次向右拐500，第二次向右拐130（D ）第一次向左拐500，第二次向左拐1300四、探索型例4、 如图4，已知∠1=∠2，BD 平分∠ABC，可得到哪两条直线平行?如果要得到另外两条直线平行，则应将上述两个条件之一作如何改变?专题四：做辅助线，一题多解题例1、已知如图，∠BED=∠B+∠D 。

求证：AB//CD 。

■专题精练1、如图，已知：AB ∥DE ，∠ABC+∠DEF=180°, 求证：BC ∥EF 。

2、如图，已知：∠1＝∠2，求证：∠3＋∠4=180o3、如图，已知：AB ∥CD ，MG 平分∠AMN ,NH 平分∠DNM ，求证：MG ∥NH 。

3、探索发现: 如图所示,已知AB ∥CD,分别探索下列四个图形中∠P 与∠A,∠C 的关系,•请你从所得的四个关系中任选一个加以说明.（提示：过点P 做平行线）图4AB C DMFG123451ABC DMF GEHN2A BCDFEEDCBAFEDCBAPDCBA P DCBAP DCB A PDCB A(1) (2) (3) (4)变式1：如图所示,已知AB ∥CD,∠ABE=130°,∠CDE=152°,求∠BED 的度数.变式2：如图所示,AB ∥CD,则∠A+∠E+∠F+∠C 等于( )A.180°B.360°C.540°D.720°。

专题1.3 平行线的判定（知识解读）【学习目标】1．理解和掌握平行线的判定公理及3个判定定理．2．通过经历探索平行线的判定方法的过程，发展学生的逻辑推理能力．3．掌握应用数学语言表示平行线的判定公理及定理，逐步掌握规范的推理论证格式，通过学生画图、讨论、推理等活动，给学生渗透化归思想和分类思想．【知识点梳理】知识点1：平行公理及推论1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．记作：如果a∥b，a∥c，那么a∥c注意：(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．（2）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性知识点2：平行线判定判定方法（1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行简单说成：同位角相等，两直线平行。

几何语言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）判定方法（2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行。

∵∠2＝∠3∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）判定方法（3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行简单说成：同旁内角互补，两直线平行。

∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）【典例分析】【考点1：平行线公理及推论】【典例1】（2023秋•鼓楼区校级期末）下列说法正确的是（）A．不相交的两条直线叫做平行线B．同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直C．平角是一条直线D．过同一平面内三点中任意两点，只能画出3条直线【变式1】（2023秋•奉化区校级期末）下列说法正确的是（）A．两点之间，直线最短B．永不相交的两条直线叫做平行线C．若AC＝BC，则点C为线段AB的中点D．两点确定一条直线【典例2】（2023春•麒麟区期末）下列说法正确的是（）A．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b∥c，则a∥cB．在同一平面内，a，b，c是直线，且a⊥b，b⊥c，则a⊥cC．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b⊥c，则a∥cD．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b∥c，则a⊥c【变式2-1】（2023春•阳春市校级月考）下列说法中，正确的个数为（）（1）过一点有无数条直线与已知直线平行（2）如果a∥b，a∥c，那么b∥c（3）如果两线段不相交，那么它们就平行（4）如果两直线不相交，那么它们就平行A．1个A B．2个C．3个D．4个【变式2-2】（2023春•饶平县校级期中）若AB∥CD，AB∥EF，则∥，理由是．【考点2：平行线判定】【典例3】（2023秋•香坊区校级期中）如图，下列各组条件中，能得到AB∥CD 的是（）A．∠1＝∠3B．∠2＝∠4C．∠B＝∠D D．∠1+∠2+∠B＝180°【变式3-1】（2023春•台江区校级期中）如图，过直线外一点作已知直线的平行线，其依据是（）A．两直线平行，同位角相等B．内错角相等，两直线平行C．同位角相等，两直线平行D．两直线平行，内错角相等【变式3-2】（2023•德保县二模）如图，能判定AD∥BC的条件是（）A．∠1＝∠3B．∠1＝∠2C．∠2＝∠3D．∠2＝∠4【变式3-3】（2023春•宾阳县期中）如图，直线a、b都与直线c相交，给出下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠6；③∠4+∠7＝180°；④∠5+∠8＝180°．其中能判断a∥b的条件是（）A．①③B．②④C．①②③④D．①③④【典例4】（2023春•重庆月考）如图，点E、F分别在AB、CD上，AF⊥CE于点O，∠1＝∠B，∠A+∠2＝90°，求证：AB∥CD．请填空．证明：∵AF⊥CE（已知）∴∠AOE＝90°（）又∵∠1＝∠B（）∴（）∴∠AFB＝∠AOE（）∴∠AFB＝90°（）又∵∠AFC+∠AFB+∠2＝（平角的定义）∴∠AFC+∠2＝（）°又∵∠A+∠2＝90°（已知）∴∠A＝∠AFC（）∴（内错角相等，两直线平行）【变式4-1】（2023秋•社旗县期末）〖我阅读〗“推理”是数学的一种基本思想，包括归纳推理和演绎推理．演绎推理是一种从一般到特殊的推理，它借助于一些公认的基本事实及由此推导得到的结论，通过推断，说明最后结论的正确．〖我会做〗填空（理由或数学式）已知：如图，∠1＝∠E，∠B＝∠D．求证：AB∥CD．证明：∵∠1＝∠E（）∴（）∴+∠2＝180° （）∵∠B＝∴+＝180°∴AB∥CD（）【变式4-2】（2023春•岳池县期末）把下面的说理过程补充完整：已知，如图，直线AB，CD被直线EF所截，点H为CD与EF的交点，GH ⊥CD于点H，∠2＝30°，∠1＝60°．试说明：AB∥CD．解：∵GH⊥CD（），∴∠CHG＝90°（）又∵∠2＝30°（），∴∠3＝（）∴∠4＝60°（）又∵∠1＝60°（）∴∠1＝∠4（）∴AB∥CD（）【变式4-3】（2023春•宁远县期末）完成下面的证明如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠α+∠β＝90°，求证：AB∥CD．完成推理过程BE平分∠ABD（已知），∴∠ABD＝2∠α（）．∵DE平分∠BDC（已知），∴∠BDC＝2∠β （）∴∠ABD+∠BDC＝2∠α+2∠β＝2（∠α+∠β）（）∵∠α+∠β＝90°（已知），∴∠ABD+∠BDC＝180°（）．∴AB∥CD（）．【典例5】（2023春•大埔县期末）如图，已知∠A＝∠C，AD⊥BE，BC⊥BE，点D在线段EC上，求证：AB∥CD．【变式5-1】（2023秋•西乡县期末）如图，已知∠A＝∠ADE，∠C＝∠E．求证：BE∥CD．【变式5-2】（2023春•宣恩县期末）如图，AD⊥BC于D，EF⊥BC于F，∠1＝∠2，AB与DG平行吗？为什么？专题1.3 平行线的判定（知识解读）【学习目标】1．理解和掌握平行线的判定公理及两个判定定理．2．通过经历探索平行线的判定方法的过程，发展学生的逻辑推理能力．3．掌握应用数学语言表示平行线的判定公理及定理，逐步掌握规范的推理论证格式，通过学生画图、讨论、推理等活动，给学生渗透化归思想和分类思想．【知识点梳理】知识点1：平行公理及推论1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．记作：如果a∥b，a∥c，那么a∥c注意：(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．（2）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性知识点2：平行线判定判定方法（1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行简单说成：同位角相等，两直线平行。

专题01 平行线的四大模型平行线的性质和判定是证明角相等、研究角的关系的重要依据，是研究几何图形位置关系与数量关系的基础，是平面几何的一个重要内容和学习简单的逻辑推理的素材。

它不但为三角形的内角和定理的证明提供了转化的方法，而且也是今后学习三角形、四边形知识的基础.本节课重点学习平行线的基础模型的应用迁移.模型一“铅笔”模型点P在EF右侧，在AB、CD内部“铅笔”模型结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°；结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD.专题分析模型分类模型分析【典例1】（2023秋•南岗区校级期中）已知，射线FG分别交射线AB、DC于点F、G，点E为射线FG上一点．（1）如图1，若∠A+∠D＝∠AED，求证：AB∥CD．（2）如图2，若AB∥CD，求证：∠A﹣∠D＝∠AED．（3）如图3，在（2）的条件下，DI交AI于点Ⅰ，交AE于点K，∠EDI＝∠CDE，∠BAI＝∠EAI，∠I＝∠AED＝25°，求∠EKD的度数．【变式1-1】（2023•渝中区校级模拟）如图，已知直线a∥b，∠BAC＝90°，∠1＝40°，则∠2的度数为（）A．40°B．50°C．130°D．140°典例分析【变式1-2】（2023•金安区一模）如图，已知a∥b，∠1＝45°，∠2＝125°，则∠ABC的度数为（）A．100°B．105°C．115°D．125°【变式1-3】（2022春•肇州县期末）如图，AB∥CD，∠C＝110°，∠B＝120°，则∠BEC ＝（）A．110°B．120°C．130°D．150°【变式1-4】（2023春•巴南区月考）已知直线MN∥PQ，点C、B分别在直线MN、PQ上，点A在直线MN和PO之间．（1）如图1，求证：∠CAB﹣∠MCA＝∠PBA；（2）如图2，CD∥AB，点E在直线PQ上，且∠MCA＝∠DCE，求证：∠ECN＝∠CAB；（3）如图3，BF平分∠PBA，CG平分∠ACN，且AF∥CG．若∠CAB＝50°，直接写出∠AFB的度数．【变式1-5】（2023春•遂宁期末）如图，直线PQ∥MN，两个三角形如图①放置，其中∠ABC ＝∠CDE＝90°，∠ACB＝30°，∠BAC＝60°，∠DCE＝∠DEC＝45°，点E在直线PQ上，点B，C均在直线MN上，且CE平分∠ACN．（1）求∠DEQ的度数；（2）如图②，若将△ABC绕B点以每秒3°的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G）．设旋转时间为t秒，当t＝10时，边BG与CD有何位置关系？请说明理由．模型分析模型二“猪蹄”模型（模型）点P在EF左侧，在AB、CD内部“猪蹄”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.典例分析【典例2】（2023春•邵阳县期末）如图，直线AB∥CD，连接EF，直线AB，CD及线段EF 把平面分成①②③④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点G落在某个部分时，连接GE，GF，构成∠EGF，∠GEB，∠GFD三个角．（1）当动点G落在第③部分时，如图一，试说明：∠EGF，∠GEB，∠GFD三者的关系；（2）当动点G落在第②部分时，如图二，思考（1）中三者关系是否仍然成立若不成立，说明理由．【变式2-1】（2023•盘锦）如图，直线AB∥CD，将一个含60°角的直角三角尺EGF按图中方式放置，点E在AB上，边GF，EF分别交CD于点H，K，若∠BEF＝64°，则∠GHC等于（）A．44°B．34°C．24°D．14°【变式2-2】（2023•盘锦）如图，直线AB∥CD，将一个含60°角的直角三角尺EGF按图中方式放置，点E在AB上，边GF，EF分别交CD于点H，K，若∠BEF＝64°，则∠GHC等于（）A．44°B．34°C．24°D．14°【变式2-3】（2023•海南模拟）如图，已知AB∥DE，∠B＝20°，∠D＝130°，那么∠BCD 等于（）A．60°B．70°C．80°D．90°【变式2-4】（2023春•覃塘区期末）如图，AB∥CD，将一副直角三角板作如下摆放，∠GEF ＝60°，∠MNP＝45°．下列结论：①GE∥MP；②∠EFN＝150°；③∠BEF＝65°；④∠AEG＝35°，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【变式2-5】（2023春•赣县区期末）【问题背景】：同学们，观察小猪的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们就把这个图形的形象称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．【问题探究】：（1）如图1，AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接BE、DE，得到∠BED 与∠B、∠D之间的数量关系，并说明理由；【类比迁移】：（2）请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题：如图2，直线AB∥CD，若∠B＝23°，∠G＝35°，∠D＝25°，求∠BEG+∠GFD的度数；【灵活应用】：（3）如图3，直线AB∥CD，若∠E＝∠B＝60°，∠F＝85°，则∠D＝25度．【变式2-6】（2023春•邵阳期末）如图1，直线AB∥CD，P是截线MN上的一点．（1）若∠MNB＝45°，∠MDP＝20°，求∠MPD；（2）如图1，当点P在线段MN上运动时，∠CDP与∠ABP的平分线交于Q，问是否为定值，若是定值，请求出；若不是定值，请说明理由；（3）如图2，若T是直线MN上且位于M点的上方的一点，如图所示，当点P在射线MT上运动时，∠CDP与∠ABP的平分线交于Q，问的值是否和（2）问中的情况一样呢？请你写出探究过程，说明理由．【变式2-7】（2023春•防城港期末）阅读下面材料：（1）小亮同学遇到这样一个问题：已知：如图甲，AB∥CD，E为直线AB，CD之间一点，连接BE、DE得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D．下面是小亮写出了该问题的证明，请你帮他把证明过程补充完整．证明：过点E作EF∥AB，则有∠BEF＝∠B，∵AB∥CD，∴CD∥EF，∴∠FED＝∠D，∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．（2）请你参考小亮思考问题的方法，解决问题：如图乙，直线a∥b，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，若∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，求∠BED的度数，（温馨提示：过点E作EF∥AB）模型分析模型三“臭脚”模型“臭脚”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD.典例分析【典例3】（2023春•中山区期末）如图，∠ABE+∠BED＝∠CDE．（1）如图1，求证AB∥CD；（2）如图2，点P在AB上，∠CDP＝∠EDP，BF平分∠ABE，交PD于点F，探究∠BFP，∠BED的数量关系，并证明你的结论；（3）在（2）的条件下，如图3，PQ交ED延长线于点Q，∠DPQ＝2∠APQ，∠PQD ＝80°，求∠CDE的度数．【变式3-1】已知AB∥CD．（1）如图1，求证：∠ABE+∠DCE﹣∠BEC＝180°；（2）如图2，∠DCE的平分线CG的反向延长线交∠ABE的平分线BF于F．若BF∥CE，∠BEC＝26°，求∠BFC．模型分析结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.典例分析【典例4】（2022秋•朝阳区校级期末）已知AB∥CD，点E在AB上，点F在DC上，点G 为射线EF上一点．（1）【基础问题】如图1，试说明：∠AGD＝∠A+∠D．（完成图中的填空部分）证明：过点G作直线MN∥AB，又∵AB∥CD，∴∥CD∵MN∥AB，∴∠＝∠MGA．∵MN∥CD，∴∠D＝（）∴∠AGD＝∠AGM+∠DGM＝∠A+∠D．（2）【类比探究】如图2，当点G在线段EF延长线上时，请写出∠AGD、∠A、∠D三者之间的数量关系，并说明理由．（3）【应用拓展】如图3，AH平分∠GAE，DH交AH于点H，且∠GDH＝2∠HDF，∠HDF＝22°，∠H＝32°，直接写出∠DGA的度数为°．【变式4-1】（2022秋•肃州区校级期末）如图（1），AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝130°，求∠EPF的度数．小明想到了以下方法：解：如图（1），过点P作PM∥AB，∴∠1＝∠AEP＝40°（两直线平行，内错角相等）∵AB∥CD（已知）∴PM∥CD（平行于同一条直线的两直线平行）∴∠2+∠PFD＝180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠PFD＝130°（已知）∴∠2＝180°﹣130°＝50°∴∠EPF＝∠1+∠2＝40°+50°＝90°即∠EPF＝90°【探究】如图（2），AB∥CD，∠AEP＝50°，∠PFC＝120°，求∠EPF的度数．【应用】如图（3），在【探究】的条件下，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，求∠G的度数．【变式4-2】（2022春•朝阳县期末）学习完平行线的性质与判定之后，我们发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题．（1）小明遇到了下面的问题：如图1，l1∥l2，点P在l1，l2内部，探究∠A，∠APB，∠B的关系，小明过点P作l1的平行线，可得∠APB，∠A，∠B之间的数量关系是：∠APB＝．（2）如图2，若AC∥BD，点P在AC，BD外部，∠A，∠B，∠APB的数量关系是否发生变化？请写出证明过程．【变式4-3】（2020春•乳山市期中）【信息阅读】材料信息：如图①，AB∥DE，点C是直线AB，DE外任意一点，连接BC，DC．方法信息：如图②，在“材料信息”的条件下，∠B＝55°，∠D＝35°，求∠BCD的度数．解：过点C作CF∥AB．∴∠BCF＝∠B＝55°．∵AB∥DE，∴CF∥DE．∴∠DCF＝∠D＝35°．∴∠BCD＝55°﹣35°＝20°．【问题解决】（1）通过【信息阅读】，猜想：∠B，∠D，∠BCD之间有怎样的等量关系？请直接写出结论：；（2）如图③，在“材料信息”的条件下，改变点C的位置，∠B，∠D，∠BCD之间的等量关系是否改变？若不改变，请写出理由；若改变，请写出新的等量关系及理由．1.（2023春•建昌县期末）如图，将一个含30°角的直角三角板的直角顶点C放在直尺的两边MN，PQ之间，则下列结论中：①∠1＝∠3；②∠2＝∠3；③∠1+∠3＝90°；④若∠3＝60°，则AB⊥PQ，其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．（2023春•芜湖期末）如图所示是汽车灯的剖面图，从位于O点灯发出光照射到凹面镜上反射出的光线BA，CD都是水平线，若∠ABO＝α，∠DCO＝60°，则∠BOC的度数为（）A．180°﹣αB．120°﹣αC．60°+αD．60°﹣α3．（2022•恩施州）已知直线l1∥l2，将含30°角的直角三角板按如图所示摆放．若∠1＝120°，则∠2＝（）A．120°B．130°C．140°D．150°4．（2022•博山区一模）如图，直线a∥b，点M、N分别在直线a、b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3等于（）A．360°B．300°C．270°D．180°5．（2021春•椒江区校级月考）如图，已知AB∥CD，∠BAD和∠BCD的平分线交于点E，∠FBC＝n°，∠BAD＝m°，则∠AEC等于（）度．A．90﹣+m B．90﹣﹣C．90﹣D．90﹣+ 6．（2023春•赫山区期末）【问题情景】（1）如图1，AB∥CD，∠P AB＝135°，∠PCD＝115°，求∠APC的度数；【问题迁移】（2）如图2，已知∠MON，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A，B两点之间运动时，连接PD，PC，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β，求∠CPD与∠α，∠β之间的数量关系，并说明理由；【知识拓展】（3）在（2）的条件下，若将“点P在A，B两点之间运动”改为“点P在A，B两点外侧运动（点P与点A，B，O三点不重合）”其他条件不变，请直接写出∠CPD 与∠α，∠β之间的数量关系．7．（2022春•良庆区校级期中）已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系；（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD＝∠C；（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB＝∠CFD，∠BFC＝3∠DBE，求∠EBC的度数．8．（2021秋•平昌县期末）如图，AD∥BC，∠BAD的平分线交BC于点G，∠BCD＝90°．（1）试说明：∠BAG＝∠BGA；（2）如图1，点F在AG的反向延长线上，连接CF交AD于点E，若∠BAG﹣∠F＝45°，求证：CF平分∠BCD．（3）如图2，线段AG上有点P，满足∠ABP＝3∠PBG，过点C作CH∥AG．若在直线AG上取一点M，使∠PBM＝∠DCH，求的值．9．（2023春•黑山县期中）问题情境我们知道，“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”，所以在某些探究性问题中通过“构造平行线”可以起到转化的作用．已知三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，长方形DEFG中，DE∥GF．问题初探（1）如图（1），若将三角板ABC的顶点A放在长方形的边GF上，BC与DE相交于点M，AB⊥DE于点N，求∠EMC的度数．分析：过点C作CH∥GF．则有CH∥DE，从而得∠CAF＝∠HCA，∠EMC＝∠MCH，从而可以求得∠EMC的度数．由分析得，请你直接写出：∠CAF的度数为，∠EMC的度数为．类比再探（2）若将三角板ABC按图（2）所示方式摆放（AB与DE不垂直），请你猜想写∠CAF 与∠EMC的数量关系，并说明理由．（3）请你总结（1），（2）解决问题的思路，在图（3）中探究∠BAG与∠BMD的数量关系？并说明理由．10．（2022春•龙亭区校级期末）如图，已知AB∥CD，E、F分别在AB、CD上，点G在AB、CD之间，连接GE、GF．（1）当∠BEG＝40°，EP平分∠BEG，FP平分∠DFG时：①如图1，若EG⊥FG，则∠P的度数为；②如图2，在CD的下方有一点Q，EG平分∠BEQ，FD平分∠GFQ，求∠Q+2∠P的度数；（2）如图3，在AB的上方有一点O，若FO平分∠GFC．线段GE的延长线平分∠OEA，则当∠EOF+∠EGF＝100°时，请直接写出∠OEA与∠OFC的数量关系．11．（2023春•孝义市期末）综合与探究数学活动课上，老师以“一个含45°的直角三角板和两条平行线”为背景展开探究活动，如图1，已知直线m∥n，直角三角板ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝∠ABC＝45°．（1）如图1，若∠2＝65°，则∠1＝；（直接写出答案）（2）“启航”小组在图1的基础上继续展开探究：如图2，调整三角板的位置，当三角板ABC的直角顶点C在直线n上，直线m与AB，AC相交时，他们得出的结论是：∠1﹣∠2＝135°，你认为启航小组的结论是否正确，请说明理由；（3）如图3，受到“启航”小组的启发，“睿智”小组提出的问题是：在图2的基础上，继续调整三角板的位置，当点C不在直线n上，直线m与AC，BC相交时，∠1与∠2有怎样的数量关系？请你用平行线的知识说明理由．12．（2023春•安化县期末）在课后学习中，小红探究平行线中的线段与角的数量关系，如图，直线AB∥CD，点N在直线CD上，点P在直线AB上，点M为平面上任意一点，连接MP，MN，PN．（1）如图1，点M在直线CD上，PM平分∠APN，试说明∠PMN＝∠MPN；（2）如图2，点M在直线AB，CD之间，∠PMN＝70°，∠MNC＝30°，求∠APM的度数；（3）如图3，∠APM和∠MNC的平分线交于点Q，∠PQN与∠PMN有何数量关系？并说明理由．12．（2023春•甘井子区期末）如图1，点M在射线BA，CD之间，0°＜∠ABM＜30°，连接BM，过点M作ME⊥BM交射线CD于点E，且∠MED﹣∠B＝90°．（1）求证：AB∥CD；（2）过点C作∠ECN＝∠B，交直线ME于点N，先按要求画图，再解决下列问题．①当CN在CD上方，满足∠CNE＝5∠B时，在图2中画图，求∠B的度数；②作∠BME的角平分线交射线CD于点K，交∠ECN的角平分线于点F，请直接写出∠MKC与∠MFC之间的数量关系．。

小专题(一)平行线的性质与判定1．填写推理理由：如图，CD∥EF，∠1＝∠2.求证：∠3＝∠ACB.证明：∵CD∥EF，∴∠DCB＝∠2( )．∵∠1＝∠2，∴∠DCB＝∠1( )．∴GD∥CB( )．∴∠3＝∠ACB( )．2．如图，已知EAB是直线，AD∥BC，AD平分∠EAC，试判定∠B与∠C的大小关系，并说明理由．3．如图，已知AD∥BE，∠A＝∠E，求证：∠1＝∠2.4．已知：如图，AD∥EF，∠1＝∠2.求证：AB∥DG.5．(蓟县期中)已知：如图，∠1＋∠2＝180°，∠3＝100°，OK平分∠DOH，求∠KOH的度数．6．如图，已知AB∥CD，∠B＝40°，CN是∠BCE的平分线，CM⊥CN，求∠BCM的度数．7．如图，把一张长方形的纸片ABCD沿EF折叠后，ED与BC的交点为G，点D，C分别落在D′，C′的位置上，若∠EFG＝55°，求∠1，∠2的度数．8．如图，EF∥AD，AD∥BC，CE平分∠BCF，∠DAC＝130°，∠FEC＝15°，求∠ACF的度数．9．如图，AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G，∠E＝∠3.请问：AD平分∠BAC吗？若平分，请说明理由．10．已知：如图，直线EF分别交AB，CD于点E，F，且∠AEF＝66°，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P.(1)求∠PEF的度数；(2)若已知直线AB∥CD，求∠P的度数．12．(萧山区月考)如图，已知直线l1∥l2，直线l3和直线l1，l2交于点C和D，直线l3上有一点P.(1)如图1，若P点在C，D之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系是否发生变化，并说明理由；(2)若点P在C，D两点的外侧运动时(P点与点C，D不重合，如图2和3)，试直接写出∠PAC，∠APB，∠PBD 之间的关系，不必写理由．小专题(一)平行线的性质与判定1．填写推理理由：如图，CD∥EF，∠1＝∠2.求证：∠3＝∠ACB.证明：∵CD∥EF，∴∠DCB＝∠2(两直线平行，同位角相等)．∵∠1＝∠2，∴∠DCB＝∠1(等量代换)．∴GD∥CB(内错角相等，两直线平行)．∴∠3＝∠ACB(两直线平行，同位角相等)．2．如图，已知EAB是直线，AD∥BC，AD平分∠EAC，试判定∠B与∠C的大小关系，并说明理由．解：∠B＝∠C.理由：∵AD平分∠EAC，∴∠EAD＝∠DAC.∵AD∥BC，∴∠EAD＝∠B，∠DAC＝∠C.∴∠B＝∠C.3．如图，已知AD∥BE，∠A＝∠E，求证：∠1＝∠2.证明：∵AD∥BE，∴∠A＝∠EBC.∵∠A＝∠E，∴∠EBC＝∠E.∴DE∥AB.∴∠1＝∠2.4．已知：如图，AD∥EF，∠1＝∠2.求证：AB∥DG.证明：∵AD ∥EF ， ∴∠1＝∠BAD. ∵∠1＝∠2， ∴∠BAD ＝∠2. ∴AB ∥DG .5．(蓟县期中)已知：如图，∠1＋∠2＝180°，∠3＝100°，OK 平分∠DOH ，求∠KOH 的度数．解：∵∠1＋∠2＝180°，∴AB ∥CD.∴∠GOD ＝∠3＝100°.∴∠DOH ＝180°－∠GOD ＝180°－100°＝80°. 又∵OK 平分∠DOH ，∴∠KOH ＝12∠DOH ＝12×80°＝40°.6．如图，已知AB ∥CD ，∠B ＝40°，CN 是∠BCE 的平分线，CM ⊥CN ，求∠BCM 的度数．解：∵AB ∥CD ， ∴∠BCE ＋∠B ＝180°. ∵∠B ＝40°，∴∠BCE ＝180°－40°＝140°. ∵CN 是∠BCE 的平分线，∴∠BCN ＝12∠BCE ＝12×140°＝70°.∵CM ⊥CN ，∴∠BCM ＝90°－70°＝20°.7．如图，把一张长方形的纸片ABCD沿EF折叠后，ED与BC的交点为G，点D，C分别落在D′，C′的位置上，若∠EFG＝55°，求∠1，∠2的度数．解：∵AD∥BC，∠EFG＝55°，∴∠2＝∠GED，∠1＋∠GED＝180°，∠DEF＝∠EFG＝55°.由折叠知∠GEF＝∠DEF＝55°.∴∠GED＝110°.∴∠1＝180°－∠GED＝70°，∠2＝110°.8．如图，EF∥AD，AD∥BC，CE平分∠BCF，∠DAC＝130°，∠FEC＝15°，求∠ACF的度数．解：∵AD∥BC，∴∠ACB＋∠DAC＝180°.又∵∠DAC＝130°，∴∠ACB＝50°.∵EF∥AD，AD∥BC，∴EF∥BC.∴∠BCE＝∠FEC＝15°.又∵CE平分∠BCF，∴∠BCF＝2∠BCE＝30°.∴∠ACF＝∠ACB－∠BCF＝20°.9．如图，AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G，∠E＝∠3.请问：AD平分∠BAC吗？若平分，请说明理由．解：AD平分∠BAC.理由：∵AD⊥BC，EG⊥BC，∴∠ADC＝∠EGC＝90°.∴∠3＝∠2，∠E＝∠1.∵∠3＝∠E，∴∠1＝∠2，即AD平分∠BAC.10．如图所示，已知∠ABC＝80°，∠BCD＝40°，∠CDE＝140°，试确定AB与DE的位置关系，并说明理由．解：AB∥DE.理由：过点C作FG∥AB，∴∠BCG＝∠ABC＝80°.又∠BCD＝40°，∴∠DCG＝∠BCG－∠BCD＝40°.∵∠CDE＝140°，∴∠CDE＋∠DCG＝180°.∴DE∥FG.∴AB∥DE.11．如图，直线l1，l2均被直线l3，l4所截，且l3与l4相交，给定以下三个条件：①l1⊥l3；②∠1＝∠2；③∠2＋∠3＝90°.请从这三个条件中选择两个作为条件，另一个作为结论组成一个真命题，并进行证明．解：已知：l1⊥l3，∠1＝∠2.求证：∠2＋∠3＝90°.证明：∵∠1＝∠2，∴l1∥l2.∵l1⊥l3，∴l2⊥l3.∴∠3＋∠4＝90°.∵∠4＝∠2，∴∠2＋∠3＝90°.12．已知：如图，直线EF分别交AB，CD于点E，F，且∠AEF＝66°，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P.(1)求∠PEF 的度数；(2)若已知直线AB ∥CD ，求∠P 的度数． 解：(1)∵∠AEF ＝66°，∴∠BEF ＝180°－∠AEF ＝180°－66°＝114°. 又∵EP 平分∠BEF ，∴∠PEF ＝∠PEB ＝12∠BEF ＝57°.(2)过点P 作PQ ∥AB. ∴∠EPQ ＝∠PEB ＝57°. ∵AB ∥CD ，∴PQ ∥CD ，∠DFE ＝∠AEF ＝66°. ∴∠FPQ ＝∠PFO. ∵FP 平分∠DFE ， ∴∠PFD ＝12∠DFE ＝33°.∴∠FPQ ＝33°.∴∠EPF ＝∠EPQ ＋∠FPQ ＝57°＋33°＝90°.13．(萧山区月考)如图，已知直线l 1∥l 2，直线l 3和直线l 1，l 2交于点C 和D ，直线l 3上有一点P.(1)如图1，若P 点在C ，D 之间运动时，问∠PAC ，∠APB ，∠PBD 之间的关系是否发生变化，并说明理由； (2)若点P 在C ，D 两点的外侧运动时(P 点与点C ，D 不重合，如图2和3)，试直接写出∠PAC ，∠APB ，∠PBD 之间的关系，不必写理由．解：(1)当P 点在C ，D 之间运动时， ∠APB ＝∠PAC ＋∠PBD. 理由：过点P 作PE ∥l 1， ∵l 1∥l 2，∴PE ∥l 2∥l 1.∴∠PAC ＝∠APE ，∠PBD ＝∠BPE.∴∠APB ＝∠APE ＋∠BPE ＝∠PAC ＋∠PBD.(2)当点P 在C ，D 两点的外侧运动时，在l 2下方时，则∠PAC ＝∠PBD ＋∠APB ； 在l 1上方时，则∠PBD ＝∠PAC ＋∠APB.。

平行线证明专题训练一．选择题（共16小题）1．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O．若∠BOC＝130°，则∠A的度数为（）A．100°B．90°C．80°D．70°2．下列命题为假命题的是（）A．直角都相等B．对顶角相等C．同位角相等D．同角的余角相等3．下列命题中：正确的说法有（）①成轴对称的两个图形一定全等；②直线l经过线段AB的中点，则l是线段AB的垂直平分线；③一条线段可以看作是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；④等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角的角平分线．A．1个B．2个C．3个D．4个4．下列命题是真命题的是（）A．如果a＞b，a＞c，那么b＝cB．相等的角是对顶角C．一个角的补角大于这个角D．一个三角形中至少有两个锐角5．如图，在△ABC中，D、E、F分别在AB、BC、AC上，且EF∥AB，要使DF∥BC，只需再有下列条件中的（）即可．A．∠1＝∠2B．∠1＝∠DFE C．∠1＝∠AFD D．∠2＝∠AFD 6．如图，已知∠1＝∠2，则有（）A．AD∥BC B．AB∥CD C．∠ABC＝∠ADC D．AB⊥CD7．如图，在△ABC中，∠C＝36°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（）A．36°B．72°C．50°D．46°8．在△ABC中，∠A＝35°，∠B＝80°，则∠C＝（）A．85°B．75°C．65°D．55°9．如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1＝85°，∠2＝50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是（）A．15°B．25°C．35°D．50°10．图中，∠2的度数是（）A．110°B．70°C．60°D．40°11．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AE是高，若∠B＝40°，∠C＝60°，则∠EAD 的度数为（）A．30°B．10°C．40°D．20°12．如图，BD是∠ABC的角平分线，CD是∠ACB的角平分线，∠BDC＝120°，则∠A的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．75°13．如图，△ABC中，∠A＝75°，∠B＝65°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，若∠1＝20°，则∠2的度数为（）A．40°B．45°C．50°D．60°14．对于命题“若a＞b，则a2＞b2”，能说明它属于假命题的反例是（）A．a＝2，b＝1B．a＝﹣1，b＝﹣2C．a＝﹣2，b＝﹣1D．a＝﹣1，b＝1 15．能说明命题“若a2＝b2，则a＝b”是假命题的一个反例可以是（）A．a＝2，b＝﹣2B．a＝2，b＝3C．a＝﹣2，b＝﹣2D．a＝﹣2，b＝﹣3 16．如图，下列条件中能得到AB∥CD的是（）A．∠1＝∠2B．∠3＝∠4C．∠1＝∠4D．∠2＝∠3二．填空题（共3小题）17．如图，△ABC中，∠A＝80°，△ABC的两条角平分线交于点P，∠BPD的度数是_____．18．如图，AD，CE为△ABC的角平分线且交于O点，∠DAC＝30°，∠ECA＝35°，则∠AOB＝_____．19．如图，把一张三角形纸片（△ABC）进行折叠，使点A落在BC上的点F处，折痕为DE，点D，点E分别在AB和AC上，DE∥BC，若∠B＝75°，则∠BDF的度数为_____．三．解答题（共8小题）20．已知：如图∠B＝40°，∠B＝∠BAD，∠C＝∠ADC，求∠DAC的度数．21．如图，在下列解答中，填写适当的理由或数学式：（1）∵AD∥BE，（已知）∴∠B＝∠_____．（_____）（2）∵∠E+∠_____＝180°，（已知）∴AC∥DE．（_____）（3）∵_____∥_____，（已知）∴∠ACB＝∠DAC．（_____）22．如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝40°，AD是∠BAC的角平分线，AE是高，求∠EAD的度数．23．如图，∠1＝∠2，∠A＝∠F，求证：∠C＝∠D．请阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）证明：∵∠1＝∠2（已知）∠1＝∠3（_____）∴∠2＝∠3（等量代换）∴BD∥_____（_____）∴∠4＝_____（_____）又∵∠A＝∠F（已知）∴AC∥_____（_____）∴∠4＝_____（_____）∴∠C＝∠D（等量代换）24．如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB．（Ⅰ）若∠A＝60°，则∠BOC的度数为_____；（Ⅱ）若∠A＝100°，则∠BOC的度数_____；（Ⅲ）若∠A＝α，求∠BOC的度数，并说明理由．25．已知：如图，∠1+∠2＝180°，∠A＝∠D．求证：AB∥CD．（在每步证明过程后面注明理由）26．（1）如图，在三角形纸片ABC中．∠A＝64°，∠B＝76°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内部，折痕为MN．如果∠1＝17°，求∠2的度数；（2）小明在（1）的解题过程中发现∠1+∠2＝2∠C，小明的这个发现对任意的三角形都成立吗？请说明理由．27．如图，点E在直线DF上，点B在直线AC上，若∠AGB＝∠EHF，∠C＝∠D．试说明：∠A＝∠F．请同学们补充下面的解答过程，并填空（理由或数学式）．解：∵∠AGB＝∠DGF（_____）∠AGB＝∠EHF（已知）∴∠DGF＝∠EHF（_____）∴_____∥_____（_____）∴∠D＝_____（_____）∵∠D＝∠C（已知）∴_____＝∠C（_____）∴_____∥_____（_____）∴∠A＝∠F（_____）平行线证明专题训练参考答案与试题解析一．选择题（共16小题）1．解：在△OBC中，∠OBC+∠OCB＝180﹣∠BOC＝180﹣130＝50°，又∵∠ABC、∠ACB的平分线交于点O．∴∠ABC+∠ACB＝2∠OBC+2∠OCB＝2（∠OBC+∠OCB）＝100°∴∠A＝180﹣（∠ABC+∠ACB）＝180﹣100＝80°故选：C．2．解：A、直角都相等，是真命题；B、对顶角相等，是真命题；C、两直线平行，同位角相等，则同位角相等是假命题；D、同角的余角相等，是真命题；故选：C．3．解：①成轴对称的两个图形一定全等，故符合题意；②直线l经过线段AB的中点且垂直线段，则l是线段AB的垂直平分线，故不符合题意；③一条线段可以看作是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形，故符合题意；④等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角的角平分线所在的直线．故不符合题意故选：B．4．解：A、如果a＞b，a＞c，不能判断b，c的大小，原命题是假命题；B、相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题；C、一个角的补角不一定大于这个角，原命题是假命题；D、个三角形中至少有两个锐角，原命题是真命题；故选：D．5．解：∵EF∥AB，∴∠1＝∠2，∵∠1＝∠DFE，∴∠2＝∠DFE，∴DF∥BC，故选：B．6．解：∵∠1＝∠2，∴AB∥CD，故选：B．7．解：由折叠的性质得：∠D＝∠C＝36°，根据外角性质得：∠1＝∠3+∠C，∠3＝∠2+∠D，则∠1＝∠2+∠C+∠D＝∠2+2∠C＝∠2+72°，则∠1﹣∠2＝72°．故选：B．8．解：∵∠A＝35°，∠B＝80°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣35°﹣80°＝65°，故选：C．9．解：∵∠AOC＝∠2＝50°时，OA∥b，∴要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是85°﹣50°＝35°．故选：C．10．解：∵∠1＝60°+20°＝80°，∴∠2＝180°﹣60°﹣80°＝40°，故选：D．11．解：∵∠B＝40°，∠C＝60°，∠B+∠C+∠BAC＝180°∴∠BAC＝80°又∵AD平分∠BAC∴∠CAD＝40°∵AE⊥BC，∠C＝60°∴∠AEC＝90°，∠CAE＝30°∴∠EAD＝10°，故选：B．12．解：∵BD、CD是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB，∴∠D＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A＝120°，∴∠A＝60°；故选：C．13．解：∵∠A＝75°，∠B＝65°，∴∠C＝180°﹣（65°+75°）＝40°，∴∠CDE+∠CED＝180°﹣∠C＝140°，∴∠2＝360°﹣（∠A+∠B+∠1+∠CED+∠CDE）＝360°﹣300°＝60°．故选：D．14．解：对于命题“若a＞b，则a2＞b2”，能说明它属于假命题的反例是a＝﹣1，b＝﹣2，a＞b，但（﹣1）2＜（﹣2）2，故选：B．15．解：能说明命题“若a2＝b2，则a＝b”是假命题的一个反例是a＝2，b＝﹣2，a2＝b2，但a＝﹣b，故选：A．16．解：A，∠1＝∠2不能判定两条直线平行；不符合题意；B，∠3＝∠4不能判定两条直线平行，不符合题意；C，∠1＝∠4可以判定AD∥BC，不符合题意；D，∠2＝∠3可以判定AB∥CD，根据内错角相等，两条直线平行，符合题意．故选：D．二．填空题（共3小题）17．解：∵△ABC中，∠A＝80°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝100°，∵△ABC的两条角平分线交于点P，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，∴∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+ACB）＝×100°＝50°，∴∠BPD＝∠PBC+∠PCB＝50°；故答案为：50°．18．解：∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，∠DAC＝30°，∠ECA＝35°，∴∠BAC＝2∠DAC＝60°，∠ACB＝2∠ECA＝70°，∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝50°．∵△ABC的三条角平分线交于一点，∴BO平分∠ABC，∴∠ABO＝∠ABC＝25°，∴∠AOB＝180°﹣25°﹣30°＝125°故答案为125°19．解：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B＝75°，又∵∠ADE＝∠EDF＝75°，∴∠BDF＝180°﹣75°﹣75°＝30°，故答案为30°．三．解答题（共8小题）20．解：∵∠B＝40°，∴∠B＝∠BAD＝40°，∴∠ADC＝80°，∴∠C＝∠ADC＝80°，∴∠DAC＝180°﹣80°﹣80°＝20°．21．解：（1）∵AD∥BE，（已知）∴∠B＝∠F AD．（两直线平行，同位角相等）（2）∵∠E+∠ACE＝180°，（已知）∴AC∥DE．（同旁内角互补，两直线平行）（3）∵AD∥BE，（已知）∴∠ACB＝∠DAC．（两直线平行，内错角相等）故答案为：（1）F AD；两直线平行，同位角相等；（2）ACE；同旁内角互补，两直线平行；AD；BE；两直线平行，内错角相等．22．解：∵∠B＝60°，∠C＝40°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣60°﹣40°＝80°，∵AD是角平分线，∴∠BAD＝∠BAC＝×80°＝40°，∵AE是高，∴∠BEA＝90°，∴∠BAE＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°，∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝40°﹣30°＝10°．23．解：∵∠1＝∠2（已知）∠1＝∠3（对顶角相等）∴∠2＝∠3（等量代换）∴BD∥CE（同位角相等，两直线平行）∴∠4＝∠C（两直线平行，同位角相等）又∵∠A＝∠F（已知）∴AC∥DF（内错角相等，两直线平行）∴∠4＝∠D（两直线平行，内错角相等）∴∠C＝∠D（等量代换）；故答案为：对顶角相等；CE；同位角相等，两直线平行；∠C；两直线平行，同位角相等；DF；内错角相等，两直线平行；∠D；两直线平行，内错角相等．24．解：（Ⅰ）∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，∠A＝60°，∴∠CBO+∠BCO＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣60°）＝60°，∴∠BOC＝180°﹣（∠CBO+∠BCO）＝180°﹣60°＝120°；故答案为：120°；（Ⅱ）同理，若∠A＝100°，则∠BOC＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A＝140°，故答案为140°；（Ⅲ）同理，若∠A＝α，则∠BOC＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+．25．证明：∵∠1与∠CGD是对顶角，∴∠1＝∠CGD（对顶角相等），∵∠1+∠2＝180°（已知），∴∠CGD+∠2＝180°（等量代换），∴AE∥FD（同旁内角互补，两直线平行），∴∠A＝∠BFD（两直线平行，同位角相等），又∵∠A＝∠D（已知），∴∠BFD＝∠D（等量代换），∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．26．解：（1）∵△ABC中，∠A＝64°，∠B＝76°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣64°﹣76°＝40°，∵∠1＝17°，∴∠CNM＝，在△CMN中，∠CMN＝180°﹣∠C﹣∠CNM＝180°﹣40°﹣81.5°＝58.5°，∴∠2＝180°﹣2∠CMN＝180°﹣2×58.5°＝63°．（2）由题意可知：2∠CNM+∠1＝180°，2∠CMN+∠2＝180°，∴2（∠CNM+∠CMN）+∠1+∠2＝360°，∵∠C+∠CNM+∠CMN＝180°，∴∠CMN+∠CMN＝180°﹣∠C，∴2（180°﹣∠C）＝360°﹣（∠1+∠2），∴∠1+∠2＝2∠C．27．解：∵∠AGB＝∠DGF（对顶角相等）∠AGB＝∠EHF（已知）∴∠DGF＝∠EHF（等量代换）∴BD∥CE（同位角相等，两直线平行）∴∠D＝∠CEF（两直线平行，同位角相等）∵∠D＝∠C（已知）∴∠CEF＝∠C（等量代换）∴DF∥AC（内错角相等，两直线平行）∴∠A＝∠F（两直线平行，内错角相等）故答案为：对顶角相等；等量代换；BD；CE；同位角相等，两直线平行；∠CEF；两直线平行，同位角相等；∠CEF；等量代换；DF；AC；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．。