学年高二数学第一学期 能力训练(26)

2023-2024学年陕西省高二上册第一次月考数学模拟试题（A）一、单选题1．已知集合{}2Z 230A x x x =∈--<，{}2,1,0,1,2B =--，则A B ⋂等于（）A ．{}2,1--B ．{}1,2C ．{}2,1,0--D ．{}0,1,2【正确答案】D【分析】求出集合A ，利用交集运算可求得结果.【详解】{}{}{}2230130,1,2A x x x x x =∈--<=∈-<<=Z Z ，{}2,1,0,1,2B =--，{}0,1,2A B ∴⋂=.故选：D.2．经过直线20x y -=与60x y +-=的交点，且与直线210x y +-=垂直的直线方程为（）A ．280x y +-=B ．260x y --=C ．2100x y +-=D ．260x y -+=【正确答案】D【分析】根据题意，联立方程组交点为(2,4)P ，设所求直线方程为20x y m -+=，把点P 代入直线20x y m -+=，求得6m =，即可求解.【详解】由题意，联立方程组2060x y x y -=⎧⎨+-=⎩，解得2,4x y ==，即交点为(2,4)P ，设与直线210x y +-=垂直的直线方程为20x y m -+=，把点(2,4)P 代入20x y m -+=，即280-+=m ，解得6m =，即所求直线方程为260x y -+=.故选：D.3．函数3()xx f x e=的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】C【分析】根据题意，由33()()()xxx x f x f x ee---==-=-，可知()f x 为奇函数，图象关于原点对称，排除A ，B ；令()0f x =，可知0x =，可知图象与x 轴只有一个交点，据此分析可得答案.【详解】解：由33()()()xxx x f x f x ee---==-=-，可知()f x 为奇函数，所以图象关于原点对称，排除A ，B ；令()0f x =，可知0x =，可知图象与x 轴只有一个交点，排除D ，故选：C.本题考查函数的图象分析，注意分析选项中函数图象的异同，利用排除法分析.属于中档题.4．已知0a >，且1a ≠，函数log ,0()21,0a x x a x f x x +>⎧=⎨-≤⎩，若()3f a =，则()f a -=（）A ．34-B ．78-C ．3D ．7【正确答案】A【分析】根据分段函数的解析式和()3f a =求出a 的值，然后代入即可求解.【详解】因为()3f a =，又0a >，所以()log 13a f a a a a =+=+=，解得：2a =，所以2log 2,0()21,0x x x f x x +>⎧=⎨-≤⎩，则()23(2)214f a f --=-=-=-，故选.A5．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是A ．8B ．62C ．10D ．82【正确答案】C【详解】在正方体中画出该三棱锥，如图所示：易知：各个面均是直角三角形，且4AB =，14AA =，3BC =，∴6ABC S = ，18A AB S = ，110A AC S = ，162A BC S = 所以四个面中面积最大的是10，故选C ．点睛：1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．6．已知直线1:210l mx y m -+-=过定点P ，若点P 在直线2:20l Ax By ++=上，且0AB >，则12A B+的最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【正确答案】D【分析】先求出定点(2,1)P --，然后利用点P 在直线2l 上得到22A B +=，再利用基本不等式即可求解.【详解】因为直线1:210l mx y m -+-=可化为：(2)(1)0m x y +-+=，令2010x y +=⎧⎨+=⎩，解得：21x y =-⎧⎨=-⎩，所以定点(2,1)P --，又因为点P 在直线2:20l Ax By ++=上，所以22A B +=，则12112141(2)((4)(44222B A A B A B A B A B +=++=⨯++≥⨯+=，当且仅当4B AA B =，即1,12A B ==时取等号，所以12A B+的最小值为4，故选.D7．若直线l 将圆()()22129x y -++=平分，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为（）A ．10x y ++=或20x y +=B ．10x y -+=或20x y +=C ．10x y -+=或20x y -=D ．10x y --=或20x y -=【正确答案】A【分析】分两种情况讨论：（1）直线l 过原点；（2）直线l 在两坐标轴上的截距非零，且相等.分别求出两种情况下直线l 的方程，即可得解.【详解】由题意可知，直线l 过圆心()1,2-，分以下两种情况讨论：（1）直线l 过原点，则该直线的斜率为20210k --==--，此时直线l 的方程为2y x =-，即20x y +=；（2）直线l 在两坐标轴上的截距非零且相等，可设直线l 的方程为()0x y a a +=≠，则有121a =-=-，此时，直线l 的方程为10x y ++=.综上所述，直线l 的方程为10x y ++=或20x y +=.故选：A.8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若22coscos 212A BC +-=，4sin 3sin B A =，1a b -=，则c 的值为（）A B ．7C ．37D ．6【正确答案】A【分析】利用余弦的降幂公式，化简已知条件求得C ；再利用正弦定理将角化边结合已知求得,a b ，再用余弦定理即可求得c .【详解】由22coscos 212A BC +-=得221cos()(2cos 1)22cos cos 1A B C C C ++--=--=，即22cos cos 10C C +-=，解得1cos 2C =或cos 1C =-(舍去)．由4sin 3sin B A =及正弦定理，得43b a =，结合1a b -=，得4,3a b ==.由余弦定理，知2222212cos 43243132c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=，所以c =.故选：A9．函数f (x )=A cos(ωx +φ)(ω>0)的部分图象如图所示，给出以下结论：①f (x )的最小正周期为2；②f (x )图象的一条对称轴为直线12x =-；③f (x )在132,244k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k ∈Z 上是减函数；④f (x )的最大值为A .则正确结论的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【正确答案】B【分析】由题图可知，函数的最小正周期为2，函数过点1(,0)4和5(,0)4，可得对称轴x 3+4=k (k ∈Z )和单调减区间2k -14≤x ≤2k +34(k ∈Z )时，即可得出结果.【详解】由题图可知，函数f (x )的最小正周期T =2×51()44-=2，故①正确；因为函数f (x )的图象过点1(,0)4和5(,0)4，所以函数f (x )图象的对称轴为直线x =1513(+24424⋅=kT +k (k ∈Z )，故直线x =12-不是函数f (x )图象的对称轴，故②不正确；由图可知，当144-T +kT ≤x ≤+1+44T +kT (k ∈Z )，即2k -14≤x ≤2k +34(k ∈Z )时，f (x )是减函数，故③正确；若A >0，则最大值是A ，若A <0，则最大值是-A ，故④不正确.综上知正确结论的个数为2.故选：B本题考查了三角函数图形的性质，考查了计算能力和逻辑推理能力，属于一般题目.10．已知点P 在直线21y x =+上，过点P 作圆22:(2)1C x y -+=的切线，切点为A ，则||PA 的最小值为（）AB ．2C D ．3【正确答案】B求出PC 的最小值，由切线长公式可结论．【详解】圆半径为1r =，PA =，因为P 在直线21y x =+即210x y -+=上，圆心(2,0)C 到P 点的最小值为d =所以min 2PA =．故选：B ．本题考查切线长公式，属于基础题．11．已知点(7,3)P ，Q 为圆22:210250M x y x y +--+=上一点，点S 在x 轴上，则||||SP SQ +的最小值为（）A ．7B ．8C ．9D ．10【正确答案】C【分析】本题目是数形结合的题目，根据两点之间线段最短的原则，可以将SP 转换为'SP ，连接'MP ，找到S 点的位置，从而求出线段和的最小值【详解】将圆方程化为标准方程为：()()22151x y -+-=，如下图所示：作点(7,3)P 关于x 轴的对称点'(7,3)P -，连接'MP 与圆相交于点Q ，与x 轴相交于点S ，此时，||||SP SQ +的值最小，且'''||||||||SP SQ SP SQ P Q P M r +=+==-，由圆的标准方程得：M 点坐标为()1,5，半径1r =，所以'366410P M +=，'9P M r -=，所以||||SP SQ +最小值为9故选：C12．在ABC 中，90A ∠=︒，34AB AC ==，，动点P 在ABC 的内切圆上若BP AB AC λμ=+，则λμ+的最大值为（）A ．2B ．1C ．0D ．12【正确答案】C由题意，以A 为原点，以AB 、AC 所在直线分别为x 轴、y 轴建立直角坐标系，设(),P x y ，求出内切圆方程，再根据直线与圆的位置关系即可求出最值．【详解】解：由题意，以A 为原点，以AB 、AC 所在直线分别为x 轴、y 轴建立直角坐标系，则()0,0A ，()3,0B ，()0,4C ，∵,3,42A AB AC π===，∴5BC =，∵ABC 的面积为13462S =⨯⨯=，∴ABC 的内切圆半径()6113452r ==++，∴内切圆圆心()1,1M ，∵点P 在ABC 的内切圆上，设(),P x y ，∴()()22111x y -+-=，由BP AB AC λμ=+得()()3,3,4x y λμ-=，即334x y λμ-⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴令334x yz λμ-=+=+，即4443y x z =-++，即4312120x y z +--=，由几何知识，当直线4443y x z =-++与圆M 相切时334x yz -=+有最值，此时4312121z +--=，解得0z =，或65z =-，∴λμ+的最大值为0，故选：C ．关键点睛：本题主要考查直线与圆的位置关系，通过题意建立以A 为原点，以AB 、AC 所在直线分别为x 轴、y 轴的直角坐标系求出内切圆的方程，利用点到直线的距离公式求解是解决本题的关键.二、填空题13．经过点(,3),(1,)P m Q m -的直线的倾斜角为135︒，则实数m 的值为___________．【正确答案】1【分析】由直线的倾斜角和斜率公式可得结果.【详解】由题意可知：3tan1351m m-︒=+，解得1m =，故1．14．已知P 为圆22(1)1x y ++=上任意一点，A ，B 为直线3470x y +-=上的两个动点，且||2AB =，则PAB 面积的最大值是___________．【正确答案】3【分析】直接利用直线和圆的位置关系，利用点到直线的距离公式和三角形的面积公式的应用求出结果．【详解】解：根据圆的方程，圆心(1,0)-到直线3470x y +-=的距离2d ，所以圆上的点P 到直线的最大距离213max d =+=，此时最大面积13232PAB S =⨯⨯=△．故3．15．过点(2,4)P 引圆22(1)(1)1x y -+-=的切线，则切线方程为__________．【正确答案】2x =或4340x y -+=【详解】圆心坐标(1,1)，半径1r =，∵直线与圆相切，∴圆心到直线距离1d r ==，若直线无斜率，其方程为2x =符合题意，若直线存在斜率，设其方程为4(2)y k x -=-，即420kx y k -+-=，1d =，解得43k =，∴切线方程为2x =或4340x y -+=，故答案为2x =或4340x y -+=.点睛：本题主要考查了直线与圆的位置关系之相切，属于基础题；求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，若点在圆上（即为切点），则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意斜率不存在的切线.16．方程()21sin 10x x π-+=在区间[]2,4-内的所有解之和等于______.【正确答案】8【详解】因为2sin y x π=与11y x =--的图像都关于点()1,0成中心对称，共8个交点，所以，其和为8.三、解答题17．已知等差数列{}n a 的公差d 不为0，11a =，2a 是1a 与6a 的等比中项.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S .【正确答案】（1）32n a n =-；（2）31n nS n =+.（1）由题得()()21115a d a a d +=⋅+，化简即得3d =和数列{}n a 的通项；（2）利用裂项相消法求数列{}n b 的前n 项和n S .【详解】（1）由已知得2216a a a =⋅，∴()()21115a d a a d +=⋅+，化简得23d d =，∵0d ≠，∴3d =，∴32n a n =-.（2）由（1）知()()1111323133231n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，∴11111111113447323133131n n S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.本题主要考查等差数列的通项的求法，考查等比中项的应用，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18．某景区对2018年1-5月的游客量x 与利润y 的统计数据如表：月份12345游客量（万人）46578利润（万元）1934264145(1)根据所给统计数据，求y 关于x 的线性回归方程y bx a =+$$$；(2)据估计6月份将有10万游客光临，请你判断景区上半年的总利润能否突破220万元？（参考数据：511057i i i x y ==∑，521190i i x ==∑）()()()1122211nni ii ii i n niii i x x yyx y nx ybx x xnx====---==--∑∑∑∑ ，a y bx =-$$．【正确答案】(1)ˆ 6.77.2yx =-；(2)能，理由见解析.【分析】（1）由已知结合公式即可求得y 关于x 的线性回归方程;（2）在（1）中的线性回归方程中，取10x =，求得y 值，进一步求得景区上半年的估计总利润得答案.【详解】（1）6,33x y == ，515221510575633ˆ 6.71905365i i i i i x y x yb xx ==-⋅-⨯⨯∴===-⨯-∑∑，ˆˆ33 6.767.2ay bx ∴=-=-⨯=-，ˆ 6.77.2yx ∴=-（2）当10x =时，ˆ 6.7107.259.8y=⨯-=，上半年景区总利润为：193426414559.8224.8220+++++=>万元，据估计景区上半年的总利润能突破220万元.19．已知函数()22cos 212sin 3f x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭．(1)求()f x 的单调增区间；(2)设a ，b ，c 为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，已知()12f A =，a =8+=b c ，求△ABC 的面积．【正确答案】(1)πππ,π()36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z(2)【分析】(1)将函数利用两角差的余弦公式、二倍角的余弦公式和两角和的正弦公式化简，然后利用正弦函数的单调增区间即可求解；(2)先根据条件求出角A ，再利用余弦定理和题中条件得到8bc =，然后利用三角形面积公式即可求解.【详解】（1）因为函数()22π1cos(2)12sin cos 2sin 2cos 2322f x x x x x x =-+-=-++1πcos 2sin 2sin(2)226x x x =+=+，令πππ2π22π,262k x k k -≤+≤+∈Z ，解得：ππππ,36k x k k -≤≤+∈Z ，所以函数()f x 的单调增区间为πππ,π()36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z .（2）由（1）可知：()π1sin(262f A A =+=，因为(0,π)A ∈，所以ππ13π2(,)666A +∈，则π5π266A +=，解得：π3A =，又a =8+=b c ，由余弦定理可得：22222()2cos 22b c a b c bc a A bc bc+-+--==，也即16424022bc bc --=，解得：8bc =，所以11sin 8222ABC S bc A ==⨯⨯=△20．已知圆C 经过两点()1,3P --，()3,1Q -，且圆心C 在直线240x y +-=上，直线l 的方程为()12530k x y k -++-=．(1)求圆C 方程；(2)证明：直线l 与圆C 一定有交点；(3)求直线l 被圆C 截得的弦长的取值范围．【正确答案】(1)22(2)(1)25x y -+-=；(2)证明见解析；(3).【分析】（1）先求得PQ 的中垂线方程，由24011(2)2x y y x +-=⎧⎪⎨+=+⎪⎩求得圆心即可；（2）将直线l 的方程化为(3)(25)0k x x y ----=，令30250x x y -=⎧⎨--=⎩得到定点(3,1)M -，转化为点与圆的位置关系求解；（3）设圆心C 到直线l 的距离为d，由弦长L ==d 的范围求解.【详解】（1）因为(1,3),(3,1)P Q ---，所以PQ 的中垂线为11(2)2y x +=+上，由24011(2)2x y y x +-=⎧⎪⎨+=+⎪⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩，所以圆心为()2,1C ，又半径||5r PC ==，∴圆C 的方程为22(2)(1)25x y -+-=．（2）直线l 的方程可化为(3)(25)0k x x y ----=，令30250x x y -=⎧⎨--=⎩可得3x =，1y =-，∴直线l 过定点(3,1)M -，由22(32)(11)25-+--<可知M 在圆内，∴直线l 与圆C 一定相交．（3）设圆心C 到直线l 的距离为d ，弦长为L ，则L ==，∵0||d CM ≤≤，即0d ≤≤∴10L ≤≤，即弦长的取值范围是．21．n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知0n a >，2243n n n a a S +=+．(1)求{}n a 的通项公式；(2)设12n n n a b -=，求数列{}n b 的前n 项和．【正确答案】(1)n a =21n +；(2)125102n n -+-.【分析】（1）先用数列第n 项与前n 项和的关系求出数列{}n a 的递推公式，再由等差数列的定义写出数列{}n a 的通项公式；（2）根据（1）数列{}n b 的通项公式，再由错位相减法求其前n 项和．【详解】（1）当1n =时，211112434+3a a S a +=+=，因为0n a >，所以1a =3，当2n ≥时，221122n n n n a a a a --+--=14343n n S S -+--=4na 即111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+，因为0n a >，所以12n n a a --=，所以数列{n a }是首项为3，公差为2的等差数列，所以n a =21n +；（2）由（1）知，n b =1212n n -+，所以数列{n b }前n 项和为0213572+12222n n n T -=++++ ,23113572121222222n n nn n T --+∴=+++++ ,两式相减得，23112222213222222n n nn T -+=+++++- 即231111112132()222222n n n n T -+=+++++- 112122321212n n n -+=+⨯--2552nn +=-，125102n n n T -+∴=-.22．已知圆1C 与圆()()222:124C x y +++=关于直线1y x =+对称.（1）求圆1C 的方程及圆1C 与圆2C 的公共弦长；（2）设过点()0,3A 的直线l 与圆1C 交于M 、N 两点，O 为坐标原点，求OM ON ⋅ 的最小值及此时直线l 的方程.【正确答案】（1）圆1C 的方程为()2234x y ++=，公共弦长为（2）OM ON ⋅的最小值为14-，此时直线l的方程为)13y x =+.（1）设点()1,C a b ，由题意可知，两圆圆心关于直线1y x =+对称，可得出关于a 、b 的方程组，解出这两个未知数的值，可求得圆1C 的方程，求得两圆的公共弦方程，求出公共弦截圆1C 所得弦长，即可得解；（2）由题意可知直线l 的斜率存在，设点()11,M x y 、()22,N x y ，设直线l 的方程为3y kx =+，将直线l 的方程与圆1C 的方程联立，列出韦达定理，利用平面向量数量积的坐标运算可得出OM ON⋅ 关于k 的关系式，进而可求得OM ON ⋅ 的最小值以及对应的k 值，即可得出直线l 的方程.【详解】（1）设()1,C a b ，则由题意得2111121022b a a b +⎧⋅=-⎪⎪+⎨--⎪-+=⎪⎩，解得30a b =-⎧⎨=⎩，∴圆1C 的方程为()2234x y ++=.将圆1C 与圆2C 的方程相减得两圆的公共弦所在直线方程为10x y -+=，圆心()13,0C -=，两圆的公共弦长为=（2）若直线l 与y 轴重合，此时直线l 与圆1C 相离，不合乎题意；所以，直线l 的斜率存在，设点()11,M x y 、()22,N x y ，设直线l 的方程为3y kx =+，联立()22334y kx x y =+⎧⎪⎨++=⎪⎩，整理得()()22161140k x k x ++++=，()()()222361561451850k k k k ∆=+-+=-++>，解得9955k -+<<，由韦达定理得()122611k x x k ++=-+，122141x x k =+，所以，()()()2212121212218139231k k OM ON x x y y k x x k x x k +⋅=+=++++=-+ ()218151k k -=-+，其中9955k -+<<.要求OM ON ⋅ 最小值，只需在10k ->的情形下计算.令1k t -=，则218185551492222t OM ON t t t t ⋅=-=-≥--++++当且仅当t =OM ON ⋅取得最小值14-此时1k =，则直线l的方程为)13y x =+.本题考查圆的方程的求解，同时也考查了利用韦达定理求平面向量数量积的最值，考查计算能力，属于中等题.。

2024-2025学年广东省深圳市高二上学期第一次月考数学质量检测试题一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.）1. 如图所示，在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（）A B C ABC '''-A ABC '-A. 三棱锥B. 四棱锥C. 三棱柱D. 组合体2. 棱长为的正四面体的表面积为（ ）1B. C. D. 3. 如图，在正四棱台中，分别为棱的中1111ABCD A B C D -,,,E F G H 1111,,,A D B C BC AD 点，则（）A. 直线与直线是异面直线B. 直线与直线是异面直线HE GF HE 1BB C. 直线与直线共面D. 直线与直线共面HE 1CC HE BF 4. 底面积是，侧面积是的圆锥的体积是（）π3πA. C. 2π35. 已知正方体中，E 为中点，则异面直线与 所成角的余弦值1111ABCD A B C D -11B C 1BA CE 为（ ）6. 如图，在正四棱台中，，则该正四棱台1111ABCD A B C D-1114,2,AB A B AA ===的体积为（）A. B. C. D. 11291409112314037. 我国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题:“今有木长二丈，围之三尺.葛生其下，缠木七周，上与木齐.问葛长几何?”其意思为:“圆木长2丈，圆周长为3尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木7周，顶部刚好与圆木平齐，问葛藤长为多少?"若1丈尺，则10=葛藤最少长（ ）A. 21尺B. 25尺C. 29尺D. 33尺8. 如图所示，在正方体中，E ，F 分别为，AB 上的中点，且1111ABCD A B C D -1AA P 点是正方形内的动点，若平面，则P 点的轨迹长度为EF =11ABB A 1C P ∥1CD EF （）A. B. D. 3ππ二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的部分分，有选错的得0分.）9. 已知，是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，有如下四个命题，其中正确的αβ是（）A. 若，，则B. 若，，，则αβ⊥l β⊥l α∥m β⊥l m ∥l α⊂αβ⊥C. 若，，，则 D. 若，，则αβ∥m α⊥l β⊂l m⊥m αβ= l α∥l m∥10. 在实践课上，小华将透明塑料制成了一个长方体容器，如图（1），1111ABCD A B C D -，，在容器内灌进一些水，现固定容器底面一边BC2AB BC ==15A A =()14D H DH =于地面上，再将容器倾斜，如图（2），则（）A. 有水的部分始终呈三棱柱或四棱柱B. 棱与水面所在平面平行11A D C. 水面EFGH 所在四边形的面积为定值D. 当容器倾斜成如图（3）所示时，EF 的最小值为11. 半正多面体（semiregular solid ）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），则（）A. 平面EABBF ⊥B. 该二十四等边体的体积为203C. 该二十四等边体外接球的表面积为6πD. PN 与平面EBFN 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分）12. 如下图，三角形A'B'C'是三角形 ABC 的直观图，则三角形 ABC 的面积是_______.13. 圆柱的底面半径为1，侧面积为，则该圆柱外接球的表面积为______．10π14. 球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体.如图1，一个球面的半径为，球冠的高是，球冠的表面积公式是.R h 2πS Rh =如图2，已知是以为直径的圆上的两点，，扇形,C D AB ππ,63AOC BOD ∠∠==的面积为，则扇形绕直线旋转一周形成的几何体的表面积为__________.COD πCOD AB四、解答题（本题共5小题，共7分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.如图，在正三棱柱中，，，，分别是，，，111ABC A B C -E F G H AB AC 11A B 的中点.11A C（1）求证：，，，四点共面；B C H G （2）求证：平面平面；//BCHG 1A EF 16.如图，AB 为⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，M 为圆周上任意一点，AN ⊥PM ，N 为垂足.（1）若，Q 为PB 的中点，求三棱锥的体积；2PA AM BM ===Q ABM -（2）求证：AN ⊥平面PBM ；（3）若AQ ⊥PB ，垂足为Q ，求证：NQ ⊥PB.17.我国古代数学名著《九章算术》中，称四面都为直角三角形的三棱锥为“鳖臑”．如图，在三棱锥中，平面．A BCD -AB ⊥,BCD BC CD⊥（1）证明：三棱锥为鳖臑；A BCD -（2）若为上一点，点分别为的中点．平面与平面的交线为E AD ,P Q ,BC BE DPQ ACD ．l ①证明：直线平面；//PQ ACD ②判断与的位置关系，并证明你的结论．PQ l 18. 一块四棱锥木块如图所示，平面，四边形ABCD 为平行四边形，且SD ⊥ABCD ，.60BAD ∠=︒224AB BC SD ===（1）要经过点B 、D 将木料锯开，使得截面平行于侧棱，在木料表面该怎样画线？并说SA 明理由；（2）计算（1）中所得截面的面积；（3）求直线SC 与（1）中截面所在平面所成角的正弦值.19. 空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，2π角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲π3率均为.如图，在直三棱柱中，点A 的曲率为，M 为的π2π3π3-⨯=111ABC A B C -2π31CC 中点，且.AB AC =（1）判断的形状，并说明理由；ABC V （2）若，求点到平面的距离；124AA AB ==B 1AB M （3）表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多面体的顶点数为D ，棱数为L ，面数为M ，则有.利用此定理2D L M -+=试证明：简单多面体的总曲率（多面体有顶点的曲率之和）是常数.2024-2025学年广东省深圳市高二上学期第一次月考数学质量检测试题一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.）1. 如图所示，在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（）A B C ABC '''-A ABC '-A. 三棱锥B. 四棱锥C. 三棱柱D. 组合体【正确答案】B【分析】根据图形和棱锥的定义及结构特征，即可得出结论．【详解】三棱台中，沿平面截去三棱锥，A B C ABC '''-A BC 'A ABC '-剩余的部分是以为顶点，四边形为底面的四棱锥．A 'BCCB ''A BCC B '''-故选：B2. 棱长为的正四面体的表面积为（ ）1B. C. D. 【正确答案】A【分析】利用三角形的面积公式可得出正四面体的表面积.【详解】棱长为的正四面体的表面积为.1221141sin 604122S =⨯⨯⨯=⨯⨯= 故选：A.3. 如图，在正四棱台中，分别为棱的中1111ABCD A B C D -,,,E F G H 1111,,,A D B C BC AD 点，则（）A. 直线与直线是异面直线B. 直线与直线是异面直线HE GF HE 1BB C. 直线与直线共面D. 直线与直线共面HE 1CC HE BF 【正确答案】C【分析】由正四棱台的结构特征，侧棱的延长线交于同一点，的延长线必过此点，,HE GF 可判断选项中的线线位置关系.【详解】延长，1111,,,AA BB CC DD 由正四棱台的性质可得侧棱的延长线交于同一点，设该交点为.1111,,,AA BB CC DD P分别为棱的中点，,,,E F G H 1111,,,A D B C BC AD 延长，则的延长线必过点，,HE GF ,HE GF P 则直线与直线相交于点；与直线相交于点；与直线相交于点HE GF P 1BB P 1CC P；与直线是异面直线.BF 故选：C.4. 底面积是，侧面积是的圆锥的体积是（）π3πA. C. 2π3【正确答案】D【分析】先利用圆锥的侧面积公式求出母线长，进而求出高，再利用圆锥的体积公式求解．【详解】设圆锥的母线长为，高为，半径为， l h r 则且，故2ππS r ==底=π3πS r l ⨯⨯=侧1,3r l ==，h ∴===圆锥的体积为．∴21π13⨯⨯⨯=故选：D ．5. 已知正方体中，E 为中点，则异面直线与 所成角的余弦值1111ABCD A B C D -11B C 1BA CE 为（ ）【正确答案】D【分析】连接，，根据异面直线所成角的定义，转化为求（或其补角），1CD 1D E1D CE ∠然后在中用余弦定理即可解得.1D CE 【详解】连接，，如图：1CD 1D E因为为正方体可得，所以（或其补角）是异面直线1111ABCD A B C D -11//CDBA 1D CE ∠与 所成角，1BA CE 设正方体的棱长为，，a1CD===，1,CE D E ======在中，，1D CE 2221111cos 2CD CE DE D CE CD CE +-∠=⋅⋅==所以异面直线与 .1BA CE故选：D.6. 如图，在正四棱台中，，则该正四棱台1111ABCD A B C D-1114,2,AB A B AA ===的体积为（）A. B. C. D. 1129140911231403【正确答案】A【分析】作出截面，过点作，结合等腰梯形的性质得到高，再计算体积即可.1A 1A E AC ⊥【详解】过作出截面如图所示，过点作，垂足为，11,AC A C 1A 1A E AC ⊥E 易知为正四棱台的高，1A E 1111ABCD A B C D - 因为，1124,ABA B ==所以由勾股定理得，11AC A C==又，11CC AA ==则在等腰梯形中，，11ACCA AE =所以，143A E ===所以所求体积为.11111114112((1643339ABCD A B C D V S S A E =⨯++⋅=⨯++⨯=故选.A7. 我国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题:“今有木长二丈，围之三尺.葛生其下，缠木七周，上与木齐.问葛长几何?”其意思为:“圆木长2丈，圆周长为3尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木7周，顶部刚好与圆木平齐，问葛藤长为多少?"若1丈尺，则10=葛藤最少长（ ）A. 21尺B. 25尺C. 29尺D. 33尺【正确答案】C【分析】根据题意知，圆柱的侧面展开图是矩形，且矩形的长为（尺），高为尺，则葛2120藤的最少长度为矩形的对角线长，利用勾股定理可求得结果.【详解】根据题意知，圆柱的侧面展开图是矩形，如下图所示，矩形的高（即圆木长）为尺，矩形的底边长为（尺），207321⨯=（尺）.29=故选：C.8. 如图所示，在正方体中，E ，F 分别为，AB 上的中点，且1111ABCD A B C D -1AAP 点是正方形内的动点，若平面，则P 点的轨迹长度为EF =11ABB A 1C P ∥1CD EF （）A. B. D. 3ππ【正确答案】C【分析】取的中点，的中点为，连接，可得四边形11A B H 1B B G 11,,,,GH C H C G EG HF 是平行四边形，可得∥,同理可得∥.可得面面平行，进而得出P 点11EGC D 1C G 1D E 1C H CF 的轨迹.【详解】如图所示，取的中点，的中点为，连接，11A B H 1B B G 11,,,,GH C H C G EG HF则∥，，且∥，，11A B EG 11A B EG =11A B 11C D 1111A B C D =可得∥，且，可知四边形是平行四边形，则∥，EG 11C D 11EG C D =11EGC D 1C G 1D E 且平面，平面，可得∥平面，1C G ⊄1CD EF 1D E ⊄1CD EF 1C G 1CD EF 同理可得：∥平面，1C H 1CD EF 且，平面，可知平面∥平面，111C H C G C = 11,C H C G ⊂1C GH 1C GH 1CD EF 又因为P 点是正方形内的动点，平面，11ABB A 1C P ∥1CD EF 所以点在线段上，M GH由题意可知：，可得，1111,22GH A B EF A B ==GH EF ==所以P 故选：C.二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的部分分，有选错的得0分.）9. 已知，是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，有如下四个命题，其中正确的αβ是（）A. 若，，则B. 若，，，则αβ⊥l β⊥l α∥m β⊥l m ∥l α⊂αβ⊥C. 若，，，则 D. 若，，则αβ∥m α⊥l β⊂l m ⊥m αβ= l α∥l m∥【正确答案】BC【分析】根据空间中垂直关系的转化可判断ABC 的正误，根据线面平行定义可判断D 的正误.【详解】对于A ，若，，则或，故A 错误；αβ⊥l β⊥l α∥l α⊂对于B ，若，，则，而，故，故B 正确；m β⊥l m ∥l β⊥l α⊂αβ⊥对于C ，若，，则，而，故，故C 正确；αβ∥m α⊥m β⊥l β⊂l m ⊥对于D ，若，，则或异面，故D 错误，m αβ= l α∥l m ∥,l m 故选：BC10. 在实践课上，小华将透明塑料制成了一个长方体容器，如图（1），1111ABCD A B C D -，，在容器内灌进一些水，现固定容器底面一边BC2AB BC ==15A A =()14D H DH =于地面上，再将容器倾斜，如图（2），则（）A. 有水的部分始终呈三棱柱或四棱柱B. 棱与水面所在平面平行11A D C. 水面EFGH 所在四边形的面积为定值D. 当容器倾斜成如图（3）所示时，EF的最小值为【正确答案】ABD【分析】由棱柱的概述判断A ；由线面平行判定定理判断B ；计算可判断C ；利用基EFGH S 本不等式可判断D.【详解】由棱柱的定义知，选项A 正确；对于选项B ，由于，，所以，且不在水面所在平面11A D BC ∥BC FG ∥11A D FG ∥11A D 内，所以棱与水面所在平面平行，选项B 正确；11A D 对于选项C ，在图（1）中，，在图（2）中，4EFGH S FG EF BC AB =⋅=⋅=，选项C 错误；4EFGH S FG EF AB BC =⋅>⋅=对于选项D ，，所以．12212V BE BF BC =⨯⨯=⋅⋅⋅△4BE BF ⋅=，当且仅当时，等号成立，22228EF BE BF BE BF =+≥⋅=2BE BF ==所以EF 的最小值为，选项D正确．故选：ABD ．11. 半正多面体（semiregular solid ）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），则（）A. 平面EABBF ⊥B. 该二十四等边体的体积为203C. 该二十四等边体外接球的表面积为6πD. PN 与平面EBFN【正确答案】BD【分析】A 用反证法判断；B 先补齐八个角成正方体，再计算体积判断；C 先找到球心与半径，再计算表面积判断；D 先找到直线与平面所成角，再求正弦值判断．【详解】对于A ，假设A 对，即平面，于是，BF ⊥EAB BF AB ⊥，但六边形为正六边形，，矛盾，90ABF ∠=︒ABFPQH 120ABF ∠=︒所以A 错误；对于B ，补齐八个角构成棱长为2的正方体，则该二十四等边体的体积为，3112028111323-⋅⋅⋅⋅⋅=所以B 对；对于C ，取正方形对角线交点，ACPM O即为该二十四等边体外接球的球心，其半径为，其表面积为，所以C 错误；R =24π8πR =对于D ，因为在平面内射影为，PN EBFN NS 所以与平面所成角即为，PN EBFN PNS ∠其正弦值为，所以D 对．PS PN==故选：BD ．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分）12. 如下图，三角形A'B'C'是三角形 ABC 的直观图，则三角形 ABC 的面积是_______.【正确答案】2【分析】画出原图形可得答案.【详解】由直观图画出原图，如图，可得是等腰三角形，且，ABC V 2,2BC OA ==所以三角形的面积.ABC 12222S =⨯⨯=故答案为:2.13. 圆柱的底面半径为1，侧面积为，则该圆柱外接球的表面积为______．10π【正确答案】29π【分析】先利用侧面积求出圆柱的高，再求出球的半径可得表面积.【详解】设圆柱的高为，其外接球的半径为，h R 由圆柱的底面半径为1，侧面积为，得，解得，10π2π10πh =5h =由圆柱和球的对称性可知，球心位于圆柱上下底面中心连线的中点处，因此.R ==24π29πS R ==故29π14. 球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体.如图1，一个球面的半径为，球冠的高是，球冠的表面积公式是.R h 2πS Rh =如图2，已知是以为直径的圆上的两点，，扇形,C D AB ππ,63AOC BOD ∠∠==的面积为，则扇形绕直线旋转一周形成的几何体的表面积为__________.COD πCOD AB【正确答案】)61π+【分析】首先求出，再根据扇形面积公式求出圆的半径，过点作交DOC ∠C CE AB ⊥于点，过点作交于点，即可求出，将扇AB E D DF AB ⊥AB F ,,,,,CE OE AE OF BF DF 形绕直线旋转一周形成的几何体为一个半径的球中上下截去两个球缺所剩余部DOC AB R 分再挖去两个圆锥，再根据所给公式分别求出表面积.【详解】因为，所以，设圆的半径为，ππ,63AOC BOD ∠∠==π2DOC ∠=R 又，解得（负值舍去），2COD 1ππ22S R =⨯⨯=扇形2R =过点作交于点，过点作交于点，C CE AB ⊥AB ED DF AB ⊥AB F 则，ππsin1,cos 66CE OC OE OC ====所以，同理可得，2AE R OE =-=-1DF OF ==将扇形绕直线旋转一周形成的几何体为一个半径的球中，上下截去两个球COD AB 2R =缺所剩余部分再挖去两个圆锥，其中上面球缺的高，上面圆锥的底面半径，高为，12h =-11r=1h ='下面球缺的高，下面圆锥的底面半径，21h =2r =21h ='则上面球冠的表面积，(112π2π228πs Rh ==⨯⨯-=-下面球冠的表面积，球的表面积，222π2π214πs Rh ==⨯⨯=24π16πS R ==球上面圆锥的侧面积，下面圆锥的侧面积111ππ122πS rl ==⨯⨯='，222ππ2S r l ==='所以几何体的表面积.())''121116π8π4π2π61πS S S S S S =--++=---++=+球故答案为.)61π+关键点点睛：本题关键是弄清楚经过旋转之后得到的几何体是如何组成，对于表面积要合理转化.四、解答题（本题共5小题，共7分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 如图，在正三棱柱中，，，，分别是，，，111ABC A B C -E F G H AB AC 11A B 的中点.11A C（1）求证：，，，四点共面；B C H G （2）求证：平面平面；//BCHG 1A EF 【正确答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）证明出，得到四点共面；//GH BC （2）先得到，，证明出线面平行，面面平行.1//A E BG //GH EF 【小问1详解】∵，分别是，的中点，G H 11A B 11A C ∴是的中位线，∴，GH 111A B C △11//GH B C又在三棱柱中，，∴，111ABC A B C -11//B C BC //GH BC ∴，，，四点共面.B C H G 【小问2详解】∵在三棱柱中，，，111ABC A B C -11//A B AB 11A B AB =∴，，1//A G EB 1111122A G A B AB EB ===∴四边形是平行四边形，∴，1A EBG 1//A E BG ∵平面，平面，∴平面.1A E ⊂1A EF BG ⊂/1A EF //BG 1A EF 又，是，的中点，所以，又.E F AB AC //EF BC //GH BC 所以，//GH EF ∵平面，平面，∴平面.EF ⊂1A EF GH ⊂/1A EF //GH 1A EF 又，平面，BG GH G = ,BG GH ⊂BCHG 所以平面平面.//BCHG 1A EF 16. 如图，AB 为⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，M 为圆周上任意一点，AN ⊥PM ，N 为垂足.（1）若，Q 为PB 的中点，求三棱锥的体积；2PA AM BM ===Q ABM -（2）求证：AN ⊥平面PBM ；（3）若AQ ⊥PB ，垂足为Q ，求证：NQ ⊥PB.【正确答案】（1）23（2）证明见解析 （3）证明见解析【分析】（1）先得到，根据Q 为PB 的中点，故1433P AMB AMB V S PA -=⋅= ；1223Q ABM P AMB V V --==（2）由线线垂直，得到线面垂直，即BM ⊥平面PAM .，故BM ⊥AN ，又AN ⊥PM ，从而得到线面垂直；（3）由(1)知AN ⊥平面PBM ，故AN ⊥PB ，又AQ ⊥PB ，故PB ⊥平面ANQ ，得到答案.【小问1详解】因为AB 为⊙O 的直径，所以⊥，AM BM 又，故，2AM BM ==122AMB S AM BM =⋅= 又PA 垂直于⊙O 所在的平面，，2PA =故，11422333P AMB AMB V S PA -=⋅=⨯⨯= 因为Q 为PB 的中点，所以.11422233Q ABM P AMB V V --==⨯=【小问2详解】∵AB 为⊙O 的直径，∴AM ⊥BM .又PA ⊥平面ABM ，BM 平面ABM ，⊂∴PA ⊥BM .又∵，PA ，AM 平面PAM ，PA AM A = ⊂∴BM ⊥平面PAM .又AN 平面PAM ，∴BM ⊥AN .⊂又AN ⊥PM ，且，BM ，PM 平面PBM ，BM PM M = ⊂∴AN ⊥平面PBM .【小问3详解】由(1)知AN ⊥平面PBM ，PB ⊂平面PBM ，∴AN ⊥PB .又∵AQ ⊥PB ，AN ∩AQ ＝A ，AN ，AQ ⊂平面ANQ ，∴PB ⊥平面ANQ .又NQ 平面ANQ ，⊂∴PB ⊥NQ .17. 我国古代数学名著《九章算术》中，称四面都为直角三角形的三棱锥为“鳖臑”．如图，在三棱锥中，平面．A BCD -AB ⊥,BCD BC CD ⊥（1）证明：三棱锥为鳖臑；A BCD -（2）若为上一点，点分别为的中点．平面与平面的交线为E AD ,P Q ,BC BE DPQ ACD ．l ①证明：直线平面；//PQ ACD ②判断与的位置关系，并证明你的结论．PQ l 【正确答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②平行，证明见解析.【分析】（1）利用线面垂直的性质及判定定理即可求解；（2）①利用三角形的中位线定理及线面平行的判定定理即可求解；②利用①的结论及线面平行的性质定理即可求解.【小问1详解】∵，BC CD ⊥∴为直角三角形，BCD △∵平面，且平面，平面，平面，AB ⊥BCD BD ⊂BCD ⊂BC BCD CD ⊂BCD∴，，，AB BC ⊥AB BD ⊥AB CD ⊥∴和为直角三角形，ABC V ABD △∵，平面，平面，BC AB B ⋂=BC ⊂ABC AB ⊂ABC ∴平面，CD ⊥ABC 又∵平面，AC ⊂ABC ∴，CD AD ⊥∴为直角三角形，ACD ∴三棱锥为鳖曘.A BCD -【小问2详解】①连接，∵点分别为的中点，CE ,P Q ,BC BE ∴，//PQ CE 且平面，平面，PQ ⊄ACD CE ⊂ACD 所以直线平面，//PQ ACD ②平行，证明：平面，平面，平面平面=，//PQ ACD PQ ⊂DPQ DPQ ⋂ACD l 所以.//PQ l 18. 一块四棱锥木块如图所示，平面，四边形ABCD 为平行四边形，且SD ⊥ABCD ，.60BAD ∠=︒224AB BC SD ===（1）要经过点B 、D 将木料锯开，使得截面平行于侧棱，在木料表面该怎样画线？并说SA 明理由；（2）计算（1）中所得截面的面积；（3）求直线SC 与（1）中截面所在平面所成角的正弦值.【正确答案】（1）即为要画的线，理由见解析；,ED EB （2（3【分析】（1）要使截面与平行，考虑构造线线平行，取的中点，取的对SA S C E ABCD 称中心,连接,证明即得截面；O OE //SA OE BDE （2）分别计算的三边，再利用三角形面积公式计算即得；BDE （3）利用等体积求出点到平面的距离，再由线面所成角的定义即可求得.C BDE 【小问1详解】如图，取的中点，连接,则即为要画的线.S C E ,,ED EB ,ED EB理由如下：连接与交于点，连接.BD AC O OE 因四边形ABCD 为平行四边形，则点为的中点，故,O AC //SA OE 又因平面,平面,故有平面；SA ⊄BDE OE ⊂BDE SA ∥BDE 【小问2详解】如图中，过点作于点，连接,E EF DC ⊥FBF 因平面,平面，则,SD ⊥ABCD CD ⊂ABCD SD CD ⊥故,平面,,//EF SD ⊥EF ABCD 112EF SD ==12DE SC ===因，则,12,60,22CFDC DCB BC ==∠== 2BF =因平面，则，故,BF ⊂ABCD EF FB ⊥BE ==又由余弦定理，，故得.22224224cos6012BD =+-⨯⨯=BD =又，O 为BD 中点，则，DE DB =OE BD ⊥于是截面的面积为；12BDE S =⨯= 【小问3详解】过点作平面，交平面于点,连接,C CH ⊥BDE BDE H EH则即直线与截面所成的角.CEH ∠S C BDE 由可得，,E BCD C BED V V --=1133BCD BED S EF S CH ⨯=⨯即得：，则BCD BED S EF CH S ⨯===sin CH CEH EC ∠===即直线SC 与平面BDE 思路点睛：本题主要考查运用线面平行的判定方法解决实际问题和线面所成角的求法，属于较难题.解题的思路在于充分利用平行四边形对角线性质、等腰三角形三线合一，三角形中位线性质等方法寻找线线平行；对于线面所成角问题，除了定义法作图求解外，对于不易找到点在平面的射影时，可考虑运用等体积转化求解.19. 空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，2π角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲π3率均为.如图，在直三棱柱中，点A 的曲率为，M 为的π2π3π3-⨯=111ABC A B C -2π31CC 中点，且.AB AC =（1）判断的形状，并说明理由；ABC V （2）若，求点到平面的距离；124AA AB ==B 1AB M （3）表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多面体的顶点数为D ，棱数为L ，面数为M ，则有.利用此定理2D L M -+=试证明：简单多面体的总曲率（多面体有顶点的曲率之和）是常数.【正确答案】（1）为等边三角形，理由见解析ABC V （2（3）证明见解析【分析】（1）根据线面垂直的性质可得，，即可根据曲率的定义求解，1AA AC ⊥1AA AB ⊥（2）利用等体积法，结合锥体体积公式即可求解，（3）根据则多面体的棱数，顶点数，以及内角之和，即可根据曲率的定义求解.【小问1详解】因为在直三棱柱中，111ABC A B C -平面，平面，1AA ⊥ABC ,AC AB ⊂ABC 所以，，1AA AC ⊥1AA AB ⊥所以点A 的曲率为，得，π2ππ2232BAC -⨯-∠=π3BAC ∠=因为，所以为等边三角形.AB AC =ABC V【小问2详解】取中点D ，连接、，BC AD AM 因为D 为的中点，所以，BC AD BC ⊥因为平面，平面，所以，1BB ⊥ABC AD ⊂ABC 1BB AD ⊥因为，平面，所以平面；1BB BC B = 1,AA AB ⊂11ABB A AD ⊥11BB C C 所以是三棱锥的高.AD 1A BB M -设点到平面的距离为，则有，即.B 1AB M h 11B AB M A BB M V V --=11AB M BB M S h S AD =⋅在中有，同理计算得，11Rt AA B△1AB ==1AM B M BM ===.AD =所以，，112AB M S =⨯=114242BB M S =⨯⨯=所以.h ==【小问3详解】证明：设多面体有M 个面，给组成多面体的多边形编号，分别为号，1,2,,M ⋅⋅⋅设第号多边形有条边，i ()1i M ≤≤i L 则多面体共有条棱，122ML L L L ++⋅⋅⋅+=由题意，多面体共有个顶点，12222ML L L D M L M ++⋅⋅⋅+=-+=-+号多边形的内角之和为，i π2πi L -所以所有多边形的内角之和为，()12π2πM L L L M ++⋅⋅⋅+-所以多面体的总曲率为()122ππ2πM D L L L M ⎡⎤-++⋅⋅⋅+-⎣⎦.()12122π2π2π4π2M M L L L M L L L M ++⋅⋅⋅+⎛⎫⎡⎤=-+-++⋅⋅⋅+-= ⎪⎣⎦⎝⎭所以简单多面体的总曲率为.4π。

2024-2025学年中学生标准学术能力诊断性测试高二上学期9月测试数学（A）试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知a,b∈R，那么log2a>log2b是(12)a<(12)b的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2.集合A={x∣y=ln(x2−2x−3)},B={y∣y=x2−2x+3,x∈A}，则A∩∁R B=( )A. (−∞,−1)B. (−∞,−1)∪(3,6]C. (3,+∞)D. (−∞,−1)∪[6,+∞)3.已知复数z满足z⋅z=5，则|z−2+4i|的最大值为( )A. 5B. 6C. 35D. 364.已知非零向量a,b满足3|a|=|b|，向量a在向量b方向上的投影向量是，则a与b夹角的余弦值为( )A. 33B. 13C. −33D. −135.设函数f(x)的定义域为R，且f(−x+4)+f(x)=2，f(x+2)=f(−x)，当x∈[1,2]时，f(x)=ax2+x+b，f(3)+f(0)=−3，则b−a=( )A. −9B. −6C. 6D. 96.班级里有50名学生，在一次考试中统计出平均分为80分，方差为70，后来发现有3名同学的分数登错了，甲实际得60分却记成了75分，乙实际得80分却记成了90分，丙实际得90分却记成了65分，则关于更正后的平均分和方差分别是( )A. 82，73B. 80，73C. 82，67D. 80，677.已知sin(40∘−θ)=4cos50∘⋅cos40∘⋅cosθ，且θ∈(−π2,π2)，则θ=( )A. −π3B. −π6C. π6D. π38.已知函数f(x)=x−22x+1+2，则不等式f(t2)+f(2t−3)>2的解集为( )A. (−∞,−1)∪(3,+∞)B. (−1,3)C. (−∞,−3)∪(1,+∞)D. (−3,1)二、多选题：本题共3小题，共18分。

沈阳市第二十中学2024-2025学年度（上）高二年级阶段验收数学试卷考试时间：120分钟考试分数：150分第I 卷（选择题共58分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若直线的倾斜角是，则（ ）A ．B ．C．D ．2．已知空间向量，则在上的投影是（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知点与关于直线对称，则（ ）A ．B ．C ．0D ．34．已知某圆的方程为，则m 的取值范围是（ ）A ．RB ．C ．D ．5．如图，在平行六面体中，底面，侧面都是正方形，且，若P 是与的交点，则异面直线与的夹角的余弦值为（ ）ABCD6．已知，则异面直线与之间的距离是（ ）AB ．CD ．27．直线与直线相交于点P ，对任意实数m ，直线:3410l x y +-=αsin α=45-35-3545(1,1,1),(2,0,0)a b == a b (1,0,0)11,1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭(2,0,0)222,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭(2,0)A (0,4)B 0ax y b ++=a b +=4-2-2210x y mx y ++++=(,)-∞+∞ (,)-∞+∞ [1111ABCD A B C D -ABCD 11A ADD 1120,2A AB AB ∠=︒=1C D 1CD AP DC (0,1,0),(2,1,0),(1,0,0),(0,1,1)A B C D --AB CD 121(1):220l x m y m ++--=2:(1)220l m x y m +---=分别恒过定点，则的最大值为（ ）A ．2B ．C ．D ．48．如图，在棱长为1的正方体中，点M 是左侧面上的一个动点，满足，则与的夹角的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．二、多选题：本题共3小题，每小题6分．共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．9．过），且在x 轴与y 轴上的截距都相等的直线有（ ）A ．B ．C ．D ．10．在平行六面体中，记，设，下列结论中正确的是（ ）．A ．若点P 在直线上，则B ．若点P 在直线上，则C ．若点P 在平面内，则D ．若点P 在平面内，则11．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且．则下列结论中正确的有（ ）A ．三棱锥的体积为定值B ．当E 向运动时，二面角的大小不变C ．二面角的最小值为12,l l ,A B ||||PA PB+1111ABCD A B C D -11ADD A 11BC BM ⋅= 1BC BM 75︒30︒45︒60︒(1,2)A 1x =2y x =10x y -+=30x y +-=111ABCD A B C D -1,,AB a AD b AA c === AP xa yb zc =++ 1A D 1x y +=1AC x y z ==1A BD 1x y z ++=11B BDD 1x y +=1111ABCD A B C D -11B D ,EF EF =A BEF -1D A EFB --E ABC --45︒D ．当E 向运动时，总成立第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知向量，若，则_______．13．平面上有四条直线，它们的方程分别是．则由这四条直线围成四边形的面积是_______．14．将由一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的多面体放在空间直角坐标系中，使得A 为坐标原点，如图所示．已知，且该多面体所有的顶点都在球上，令球在坐标平面内正射影的边缘为圆，则圆在平面坐标系内的标准方程为_______，令正四棱锥的内切球在坐标平面内正射影的边缘为圆，则圆在平面坐标系内的标准方程为_______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题13分）（1）求过三点的圆的一般方程；（2）求过两点和，且圆心在x 轴上的圆的标准方程．16．（本题15分）如图，在直三棱柱中，分别为的中点．（1）证明：平面；1D AE CF ⊥()2(1,,),,,32a m n b m n == //a b mn =21,4250,1,40y x x y y x x y =+-+==-++-=1111ABCD A B C D -1111P A B C D -A xyz -12,1AB AA ==1O 1O A xy -1O '1O 'A xy -1111P A B C D -2O A xz -2O '2O 'A xz -(1,0),(0,1),(2,3)A B C (1,2)C-(1,D 111ABC A B C -1,2,,,BA BC BA BC BB D E F ⊥===111,,AA B C AB //EF 11ACC A（2）求直线与平面所成角的正弦值．17．（本题15分）如图，在以P的圆锥中，底面圆O 的直径长为是圆O 所在平面内一点，且是圆O 的切线，连接交圆O 于点D ，连接．（1）求证：平面平面；（2）若E 是的中点，连接，当时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．18．（本题17分）已知直线．（1）若当时，，当时，，求的值；（2）经过的定点记为关于的对称点记为N ．①求点N 的坐标；②在上是否存在点P ，使得的面积为2，若存在，求出点P 坐标，若不存在，说明理由．19．（本题17分）如图，在三棱台中，是等边三角形，，侧棱平面，点E 是棱上的动点（不含端点B ）．（1）求二面角平面角余弦的最小值；（2）当E 为棱的中点时，在平面内的射影是F ，求点F 到平面的距离．CE DEF AB 2,C AC BC ,PD PC PBC ⊥PAC PC ,OE ED 120BOD ∠=︒PAC DOE 12:(1)20,:35l x y l y x λλλ++++==+1λλ=12//l l 2λλ=12l l ⊥12λλ+1l ,M M 2l 2l PMN V 111ABC A B C -ABC V 11124,2AB A B CC ===1CC ⊥ABC 1BB C AE B --1BB 1A ACE ABC高二期初月考数学参考答案及评分标准1．C2．A 3．B 4．B 5．A 6．A 7．D 8．D 9．BD 10．BCD 11．ABC 12．1613．14．15．解：（1）设圆的一般方程为，……1分由题将三点代入得：……4分解得，所以所求圆的一般方程为；……6分（2）由题，设圆心为，，……7分，即，……10分，……12分∴圆的标准方程为．……13分（若用其他方法，适当给分）16．解：（1）证明：取的中点G ，连接，因为分别为的中点，所以，……2分又E 为的中点，，所以，……4分所以四边形是平行四边形，所以，……5分32229(1)(1)4x y -+-=22(1)(3x z -+=-220x y Dx Ey F ++++=101049230DF E F D E F ++=⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩332D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩223320x y xy +--+=(,0)M a ||||MC MD = 2222(1)(02)(1)(0a a ∴++-=-+-222142112a a a a +++=-++2,||a r MC ∴===22(2)13x y -+=AC 1,FG GC ,F G ,AB AC 1//,2FG BC FG BC =11B C 1111//,BC B C BC B C =11//,FG EC FG EC =1EFGC 1//EF GC又平面平面，所以平面……6分（2）在直三棱柱中，平面，又平面平面，所以，又，故以B 为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系如图所示，……8分则，所以，设平面的法向量为，则令得，所以平面的一个法向量为，……12分设直线与平面所成的角为，则，……14分即直线与平面15分17．解：（1）证明：因为是圆O 的直径，与圆O 切于点A ，所以，又底面圆底面圆，EF ⊂/111,ACC A GC ⊂11ACC A //EF 11ACC A 111ABC A B C -1BB ⊥ABC BA ⊂,ABC BC ⊂ABC 11,BB BA BB BC ⊥⊥BA BC ⊥1,,BA BC BB ,,x y z (0,2,0),(2,0,1),(0,1,2),(1,0,0)C D E F (1,1,2),(1,0,1),(0,1,2)FE FD CE =-==- DEF (,,)m x y z =200m FE x y z m FD x z ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 1x =3,1y z ==-DEF (1,3,1)m =- CE DEF θ||sin |cos ,|||||m CE m CE m CE θ⋅=〈〉=== CE DEF AB AC AC AB ⊥PO ⊥,O AC ⊂,O PO AC ∴⊥平面，平面平面，……2分在中，，则，……4分因为平面，所以平面．又平面，所以平面平面……6分（2）底面圆O ，如图以O 为原点，在底面圆O 内过点作的垂线为x 轴，分别为轴建立空间直角坐标系，……7分得，，由（1）知，为平面的一个法向量，……9分设平面的一个法向量为，，，即，令，所以平面的一个法向量为，……13分，……14分所以平面与平面．……15分,,PO AB O PO AB =⊂ PAB AC ∴⊥,PAB PB ⊂,PAB AC PB ∴⊥PAB V 2PA PB AB ===222,PA PB AB PA PB +=∴⊥,,PA AC A PA AC =⊂ PAC PB ⊥PAC PB ⊂PBC PBC ⊥PAC PO ⊥ AB ,OB OP ,y z 1(0,1,0),(0,1,0),,0,1,02A B D C ⎫⎫---⎪⎪⎪⎪⎭⎭11(0,0,1),,22P E ⎫-⎪⎪⎭(0,1,1)m BP ==- PAC ODE (,,)n x y z =111,,,0222OE OD ⎫⎫=-=-⎪⎪⎪⎪⎭⎭00n OE n OD ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩ 11022102x y z x y -+=-=x =3,1y z ==ODE n = cos ,||||m n m n m n ⋅∴===⋅ PAC ODE18．解：（1）依题有，……4分解得，所以；……6分（2）①因为，所以，即，所以，……8分令，由对称性知，解得，，所以……10分②由上知，……11分直线方程为，……12分令，则P 到的距离13分而三角形的面积为2，所以有，即， (4)于是，解得或，……16分()1112212315310λλλλλ++⎧=≠⎪-⎨⎪-+=⎩123412λλ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩1214λλ+=-(1)20x y y λ++++=1020x y y ++=⎧⎨+=⎩12x y =⎧⎨=-⎩(1,2)M -(,)N x y 2135222113y x y x -+⎧=⨯+⎪⎪⎨+⎪=-⎪-⎩50x y =-⎧⎨=⎩(5,0)N -||MN ==MN 350x y ++=()00,35P x x +MN d PMN 122d =⨯d =05101x +=095x =-115-从而在直线上，存在点或……17分19．（1）取棱的中点D ，有，又平面平面，所以，在平面中，过点C 作，所以，，……2分以C 为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系如图所示，因为是等边三角形，，所以，因为，所以．设，所以，……4分所以．设平面的一个法向量为，又，所以，即，令，得的一个法向量为，……6分设平面的法向量为，又，所以，即，令，得，2l 92,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭118,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭AB CD AB ⊥1CC ⊥,ABC AB ⊂ABC 1CC AB ⊥ABC //CF AB 1,CC CF CD CF ⊥⊥1CCCD ⊥1,,CD CF CC ,,x y z ABC V 11124,2AB A B CC ===12,0),2,0),(0,0,2)A B C-1112C B CB = 12)B 1((0,1])BE BB λλ=∈ 1(,,2)BE BB λλλ==- ,2,2)E λλ-ABE ()1111,,n x y z =(0,4,0),(,4,2)AB AE λλ==- 1100AB n AE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 111140(4)20y x y z λλ=⎧⎪⎨+-+=⎪⎩12x =110,y z ==ABE 1n = ACE ()2222,,n x y z = (2,0)AC =- 2200AC n AE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 2222320(4)20y x y z λλ⎧-+=⎪⎨+-+=⎪⎩21x =2y z ==所以平面的一个法向量为，……8分设平面与平面的夹角为，所以设，因为，所以，所以，所以，所以当时，平面与平面的夹角的余弦值最小，最小值为；……10分（2）因为E为点，由（1）知，平面的一个法向量是，因F 在平面内，所以令，所以，……12分所以，ACE 2n ⎛= ⎝ ABE ACEθ121212coscos ,n n n n n n θ⋅===⋅ 3(2)625t λλλ-=+=-(0,1]λ∈(,1]t ∈-∞-1[1,0)t ∈-cos θ===11t=-ABE ACE 173,12E ⎫⎪⎪⎭ACE n =-ACE CF CA CE λμ=+ 32,0),12CF λμ⎫=-+⎪⎪⎭3,2,2F μλμμ⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭又，所以，……14分因平面，所以，，……15分即，解得，……16分这样点F 的竖坐标为，也就是说，F 到平面的距离是……17分11,2)A -1321,22A F λμμ⎛⎫=+-++- ⎪ ⎪⎝⎭ 1A F ⊥ACE 1//A F n==83412112λμλμ+=⎧⎨-=⎩831μ=831ABC 831。

2024-2025学年吉林省长春市高二上学期第一次月考数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．在空间直角坐标系中，已知点，点则（ ）Oxyz ()1,3,5P ()1,3,5Q --A ．点和点关于轴对称B ．点和点关于轴对称P Q x P Q y C ．点和点关于轴对称D ．点和点关于原点中心对称P Q z P Q 2．向量，若，则（ ）()()2,1,3,1,2,9a x b y ==- a ∥b A ．B ．1x y ==11,22x y ==-C ．D ．13,62x y ==-12,63x y =-=3．直三棱柱中，若，则（ ）111ABC A B C -1,,CA a CB b CC c === 1A B =A ．B ．a b c +-r r ra b c -+r r rC ．D ．a b c -++ a b c -+- 4．下列可使非零向量构成空间的一组基底的条件是（ ）,,a b c A ．两两垂直B ．,,a b c b cλ= C ．D ．a mb nc =+a b c ++=5．已知，则直线恒过定点（ ）2b a c =+0ax by c ++=A ．B ．(1,2)-(1,2)C ．D ．(1,2)-(1,2)--6．已知：，：，则两圆的位1C 2222416160x y x y +++-=2C 22228840x y x y ++--=置关系为（ ）A ．相切B ．外离C ．相交D ．内含7．已知点为椭圆上任意一点，直线过的圆心且P 22:11612x y C +=l 22:430M x y x +-+= 与交于两点，则的取值范围是（ ）M ,A B PA PB ⋅A ．B ．C ．D ．[]3,35[]2,34[]2,36[]4,368．已知圆和圆交于两点，点在圆221:2470C x y x y +---=222:(3)(1)12C x y +++=P 上运动，点在圆上运动，则下列说法正确的是（ ）1C Q 2C A ．圆和圆关于直线对称1C 2C 8650x y +-=B ．圆和圆的公共弦长为1C 2CC ．的取值范围为PQ0,5⎡+⎣D ．若为直线上的动点，则的最小值为M 80-+=x y PM MQ+-二、多选题（本大题共3小题）9．已知向量，，则下列正确的是（ ）()1,2,0a =-()2,4,0b =-A ．B ．//a ba b⊥ C ．D ．在方向上的投影向量为2b a = a b ()1,2,0-10．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图，把三片这样的达·芬奇方砖拼成组合，把这个组合再转换成空间几何体．若图中每个正方体的棱长为1，则下列结论正确的是（ ）A ．B ．点到直线的距离是122CQ AB AD AA =--+1C CQ C ．D ．异面直线与所成角的正切值为43CQ = CQ BD 11．已知实数满足方程，则下列说法正确的是（ ）,x y 22410x y x +-+=A ．的最大值为B ．的最大值为y x -2-22x y +7+C ．的最大值为D ．的最小值为y x x y+2三、填空题（本大题共3小题）12．O 为空间任意一点，若，若ABCP 四点共面，则3148OP OA OB tOC=++ t =．13．已知点和点，是动点，且直线与的斜率之积等于，则()2,0A -()2,0B P AP BP 34-动点的轨迹方程为．P 14．已知点为圆上位于第一象限内的点，过点作圆P 221:(5)4C x y -+=P 的两条切线，切点分别为，直线222:2C x y ax +-220(25)a a a +-+=<<,PM PN M N 、分别交轴于两点，则 ， ．,PM PN x (1,0),(4,0)A B ||||PA PB =||MN =四、解答题（本大题共5小题）15．分别求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)已知椭圆的离心率为，短轴长为23e =(2)椭圆与有相同的焦点，且经过点，求椭圆的标准方程.C 2212x y +=31,2M ⎛⎫⎪⎝⎭C 16．已知圆心为的圆经过点，且圆心在直线上．C ()()1,4,3,6A B C 340x y -=(1)求圆的方程；C (2)已知直线过点且直线截圆所得的弦长为2，求直线的一般式方程．l ()1,1l C l 17．如图，四边形与四边形均为等腰梯形，ABCD ADEF，，，，，平面，//BC AD //EF AD 4=AD AB =2BC EF ==AF =FB ⊥ABCD 为上一点，且，连接、、M AD FM AD ⊥BD BE BM(1)证明：平面；⊥BC BFM (2)求平面与平面的夹角的余弦值.ABF DBE18．已知圆与圆内切．()222:0O x y r r +=>22:220E x y x y +--=(1)求的值．r (2)直线与圆交于两点，若，求的值；:1l y kx =+O ,M N 7OM ON ⋅=-k (3)过点作倾斜角互补的两条直线分别与圆相交，所得的弦为和，若E O AB CD ，求实数的最大值．AB CDλ=λ19．已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫a bO OA a = OB b = AOB ∠做向量，的夹角，记作.定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向a b ,a ba b a b ⨯ 量，都垂直，它的模.如图，在四棱锥中，底面a b sin ,a b a b a b ⨯=⋅ P ABCD -为矩形，底面，，为上一点，.ABCD PD ⊥ABCD 4DP DA ==E AD AD BP ⨯=(1)求的长；AB (2)若为的中点，求二面角的余弦值；E AD P EB A --(3)若为上一点，且满足，求.M PB AD BP EM λ⨯=λ答案1．【正确答案】B【详解】由题得点与点的横坐标与竖坐标互为相反数，纵坐标相同，P Q 所以点和点关于轴对称,P Q y 故选：B.2．【正确答案】C【分析】利用空间向量平行列出关于的方程组，解之即可求得的值.,x y ,x y 【详解】因为，所以，由题意可得，a b ∥a b λ=()()()2,1,31,2,9,2,9x y y λλλλ=-=-所以则.2,12,39,x y λλλ=⎧⎪=-⎨⎪=⎩131632x y λ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩故选C.【思路导引】根据题目条件列出关于的方程组，解方程组即可得到答案.a∥b ,x y 3．【正确答案】D【详解】.()11111A A B B a b B A B cCC C CB =+=-+=-+--+ 故选：D ．4．【正确答案】A【详解】由基底定义可知只有非零向量不共面时才能构成空间中的一组基底.,,a b c对于A ，因为非零向量两两垂直，所以非零向量不共面，可构成空间的一,,a b c ,,a b c 组基底，故A 正确；对于B ，，则共线，由向量特性可知空间中任意两个向量是共面的，所以b c λ=,b c 与共面，故B 错误；a,b c 对于C ，由共面定理可知非零向量共面，故C 错误；,,a b c 对于D ，即，故由共面定理可知非零向量共面，故D 错误.0a b c ++= a b c =--,,a b c 故选：A.5．【正确答案】A【分析】由题意可得，可得定点坐标.(1)(2)0a x b y -++=【详解】因为，所以，2b a c =+2c b a =-由，可得，所以，0ax by c ++=(2)0ax by b a ++-=(1)(2)0a x b y -++=当时，所以对为任意实数均成立,1,2x y ==-(11)(22)0a b -+-+=,a b 故直线过定点.(1,2)-故选A.6．【正确答案】C 【详解】因为可化为22221:22416160,2880C x y x y x y x y +++-=+++-= ,则，半径，()()221425x y +++=()11,4C --15r =因为可化为，22222:228840,4420C x y x y x y x y ++--=++--= ()()222210x y ++-=则，半径()22,2C -2r =则，因为.1C =122155r r r r -=<<+=+故选：C.7．【正确答案】A【详解】，即，22:430M x y x +-+= ()2221x y -+=则圆心，半径为.(2,0)M 1椭圆方程，,22:11612x y C +=2216,12a b ==则，22216124,2c a b c =-=-==则圆心为椭圆的焦点，(2,0)M 由题意的圆的直径，且AB 2AB = 如图，连接，由题意知为中点，则，PM M AB MA MB =-可得()()()()PA PB PM MA PM MB PM MB PM MB ⋅=+⋅+=-+ .2221PM MB PM =-=- 点为椭圆上任意一点，P 22:11612x y C +=则，，min 2PM a c =-= max 6PM a c =+= 由，26PM ≤≤ 得.21PA PB PM ⋅=- []3,35∈故选：A.8．【正确答案】D【详解】对于A ，和圆，221:2470C x y x y +---=222:(3)(1)12C x y +++=圆心和半径分别是，()()12121,2,3,1,C C R R --==则两圆心中点为，11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭若圆和圆关于直线对称，则直线是的中垂线，1C 2C 8650x y +-=12C C 但两圆心中点不在直线上，故A 错误；11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭8650x y +-=对于B ，到直线的距离，1C 8650x y ++=81255102d ++==故公共弦长为，B错误；=对于C ，圆心距为，当点和重合时，的值最小，5=P QPQ当四点共线时，的值最大为12,,,P Q C CPQ 5+故的取值范围为，C 错误；PQ0,5⎡+⎣对于D ，如图，设关于直线对称点为，1C 80-+=x y (),A m n则解得即关于直线对称点为，21,11280,22n mm n -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪-+=⎪⎩6,9,m n =-⎧⎨=⎩1C 80-+=x y ()6,9A -连接交直线于点，此时最小，2AC M PM MQ +122PM MQ MC MC C A +≥+-=-==即的最小值为，D 正确.PM MQ+故选：D.9．【正确答案】ACD【详解】ABC 选项，由题意得，故且，AC 正确，B 错误；2b a= //a b2b a= D 选项，在，Da b ()01,2,=-正确.故选：ACD10．【正确答案】ABC 【详解】依题意得，12CQ CB BQ AD BA =+=-+()11222AD AA AB AB AD AA =-+-=--+ 故A 正确；如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，1A 111(0,1,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,1,1),(1,1,1),(1,1,1),B C D Q C E -------，(1,1,1),(0,1,1),(1,0,1)G B D -----对于BC ，，1(1,2,1),(1,2,2)QC CQ =--=-所以，设，3CQ==173QC CQ m CQ ⋅==- 则点到直线的距离BC 正确；1C CQd ==对于D ，因为，(1,2,2),(1,1,0)CQ BD ---==所以cos ,CQ BD 〈〉==tan ,CQ BD 〈〉= 所以异面直线与所成角的正切值为D 错误．CQ BD 故选：ABC ．11．【正确答案】ABD【详解】根据题意，方程，即，22410x y x +-+=22(2)3x y -+=表示圆心为，半径为(2,0)对于A ，设，即，y x z -=0x y z -+=直线与圆有公共点，0x y z -+=22(2)3x y -+=所以≤22z ≤≤则的最大值为，故A 正确；z y x =-2-对于B ，设，其几何意义为圆上的点到原点的距离，t =22(2)3x y -+=所以的最大值为，t 2故的最大值为B 正确；22x y +22(27t ==+对于C ，设，则，直线与圆有公共点，yk x =0kx y -=0kx y -=22(2)3x y -+=则，解得的最大值为C 错误；≤k ≤≤yx 对于D ，设，作出图象为正方形，作出圆，如图，m x y=+22(2)3x y -+=由图象可知，正方形与圆有公共点A 时，有最小值m 2即的最小值为，故D 正确；x y+2故选：ABD12．【正确答案】/0.12518【详解】空间向量共面的基本定理的推论：，且、、不共OP xOA yOB zOC =++ A B C 线，若、、、四点共面，则，A B C P 1x y z ++=因为为空间任意一点，若，且、、、四点共面，O 3148OP OA OB tOC=++ A B C P所以，，解得.31148t ++=18t =故答案为.1813．【正确答案】221(2)43x y x +=≠±【详解】设动点的坐标为，又，，P (,)x y ()2,0A -()2,0B 所以的斜率，的斜率，AP (2)2AP y k x x =≠-+BP (2)2BP yk x x =≠-由题意可得，3(2)224y y x x x ⨯=-≠±+-化简，得点的轨迹方程为.P 221(2)43x y x +=≠±故221(2)43x y x +=≠±14．【正确答案】 2,【详解】圆的标准方程为，圆心，2C 22()2(2)x a y a a -+=->()2,0C a 则为的角平分线，所以．2PC APB ∠22AC PA BC PB=设，则，()00,P x y ()22054x y -+=所以，则，2PAPB===222AC BC =即，解得，则，()124a a -=-3a =222:(3)1C x y -+=所以点与重合，N ()4,0B 此时，可得，221,30C M MAC =∠=52M ⎛ ⎝．故；215．【正确答案】(1)或；22114480x y +=22114480y x +=(2).22143x y +=【详解】（1）由题得，222212328c a a b b a b c c ⎧=⎪=⎧⎪⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪=+=⎩⎪⎪⎩所以椭圆的标准方程为或.22114480x y +=22114480y x +=（2）椭圆满足，故该椭圆焦点坐标为，2212x y +=1c ==()1,0±因为椭圆与有相同的焦点，且经过点，C 2212x y +=31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以可设椭圆方程为，且，解得，C 22221x y a b +=22222231211ab a b ⎧⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭+=⎨⎪⎪=+⎩4241740a a -+=故，解得（舍去）或，故.()()224140aa --=214a =24a =2213b a =-=所以椭圆的标准方程为.C 22143x y +=16．【正确答案】(1)()()224310x y -+-=(2)或10x -=512170x y +-=【详解】（1）由题意，则的中点为，且，()()1,4,3,6A B AB (2,5)64131AB k -==-故线段中垂线的斜率为，AB 1-则中垂线的方程为，即，5(2)y x -=--70x y +-=联立，解得，即圆心，34070x y x y -=⎧⎨+-=⎩43x y =⎧⎨=⎩()4,3C 则半径r CA ===故圆的方程为.C ()()224310x y -+-=（2）当直线斜率不存在时，直线的方程为，l 1x =圆心到直线的距离为，由半径，(4,3)C 3r =则直线截圆所得的弦长，满足题意；l C 2=当直线斜率存在时，设直线方程为，l l 1(x 1)y k -=-化为一般式得，10kx y k -+-=由直线截圆所得的弦长，半径.l C 2r =1则圆心到直线的距离，又圆心，3d ==(4,3)由点到直线的距离公式得，3d 解得，故直线方程为，512k =-l 51(1)12y x -=--化为一般式方程为.512170x y +-=综上所述，直线的方程为或.l 10x -=512170x y +-=17．【正确答案】(1)证明见详解；【分析】（1）根据线面垂直的性质，结合线面垂直的判定定理、平行线的性质进行证明即可；（2）作，垂足为，根据平行四边形和矩形的判定定理，结合（1）的结论，EN AD ⊥N 利用勾股定理，因此可以以，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空BM BC BF x y z 间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】（1）因为平面，又平面，FB ⊥ABCD AD ⊂ABCD 所以.又，且，FB AD ⊥FM AD ⊥FB FM F ⋂=所以平面.因为，所以平面.AD ⊥BFM //BC AD ⊥BC BFM （2）作，垂足为.则.又，EN AD ⊥N //FM EN //EF AD 所以四边形是平行四边形，又，FMNE EN AD ⊥所以四边形是矩形，又四边形为等腰梯形，且，，FMNE ADEF 4=AD 2EF =所以.1AM =由（1）知平面，所以.又，AD ⊥BFM BM AD⊥AB =所以.在中，1BM =Rt AFMFM ==在中，.Rt FMB 3FB ==所以由上可知，能以，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示空间BM BC BF x y z 直角坐标系.则，，，，，所以，，(1,1,0)A --(0,0,0)B (0,0,3)F (1,3,0)D -(0,2,3)E (1,1,0)AB =，，，设平面的法向量为，(0,0,3)BF = (1,3,0)BD =- (0,2,3)BE =ABF ()111,,m x y z = 由，得可取.00m AB m BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 1110,0,x y z +=⎧⎨=⎩(1,1,0)m =- 设平面的法向量为，BDE ()222,,n x y z =由，得，可取.00n BD n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 222230,230,x y y z -+=⎧⎨-+=⎩(9,3,2)n = 因此，.cos ,m n m n m n ⋅===依题意可知，平面与平面的夹角的余弦值为ABFDBE 18．【正确答案】(1)r =(2)；1k =±(3)max λ=【详解】（1）由题意得，，O (0,0)()()2222220112x y x y x y +--=⇒-+-=故圆心，圆E 的半径为()1,1E 因为，故在圆E 上，()()2201012-+-=O (0,0)所以圆O 的半径，且r >OE r ==r =（2）由（1）知，联立，22:8O x y +=()2222812701x y k x kx y kx ⎧+=⇒++-=⎨=+⎩设，则恒成立，()()1122,,,M x y N x y ()22Δ42810k k =++>且，12122227,11k x x x x k k +=-=-++所以，()2222121212222721811111k k k y y k x x k x x k k k -=+++=--+=+++所以，解得.221212222718681711O k k x x y O y k k k M N ⋅=---+=-+==+++-1k =±（3）如图，因为直线和直线倾斜角互补，AB CD所以当直线斜率不存在时，此时直线的斜率也不存在，AB CD 此时，，AB CD=1AB CDλ==当直线的斜率为0时，直线的斜率为0，不满足倾斜角互补，AB CD 当直线斜率存在且不为0时，设直线 即，AB ():11AB y k x -=-10kx y k --+=圆心O 到直线的距离为AB d故AB ===由直线方程得直线的方程为即，AB CD ()11y k x -=--10kx y k +--=同理得CD =则，AB CD λ====当，，0k>AB CDλ====因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增，()1f x x x =+(0,1)(1,+∞)所以时，，0x >()())[)1,2,f x f ∞∞⎡∈+=+⎣所以时，故，0k >[)17212,k k ∞⎛⎫+-∈+ ⎪⎝⎭4411,1372k k ⎛⎤+∈ ⎥⎛⎫⎝⎦+- ⎪⎝⎭所以，λ⎛= ⎝当，0k <AB CDλ====由上知时，故，0k <()[)17216,k k ∞⎡⎤⎛⎫-+-+∈+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()431,14172k k ⎡⎫-∈⎪⎢⎡⎤⎛⎫⎣⎭-+-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦所以.λ⎫=⎪⎪⎭综上，max λ=19．【正确答案】(1)2(2)13-(3)10【分析】（1）首先说明为直线与所成的角，即，设PBC ∠AD PB ,AD BP PBC=∠，根据所给定义得到方程，解得即可；()0AB x x =>（2）在平面内过点作交的延长线于点，连接，为二ABCD D DF BE ⊥BE F PF PFD ∠面角的平面角，由锐角三角函数求出，设二面角的平面P EB D --cos PFD ∠P EB A --角为，则，利用诱导公式计算可得；θπPFD θ=-∠（3）依题意可得平面，在平面内过点作，垂足为，即EM ⊥PBC PDC D DN PC ⊥N 可证明平面，在平面内过点作交于点，在上取点DN ⊥PBC PBC N //MN BC PB M DA，使得，连接，即可得到四边形为平行四边形，求出，即E DE MN =EM DEMN DN可得解.【详解】（1）因为底面为矩形，底面，ABCD PD ⊥ABCD 所以，，又底面，所以，//AD BC BC DC ⊥BC ⊂ABCD PD BC ⊥又，平面，所以平面，PD DC D = ,PD DC ⊂PDC BC ⊥PDC 又平面，所以，PC ⊂PDC BC PC ⊥所以为直线与所成的角，即，PBC ∠AD PB ,AD BP PBC=∠设，则，()0AB x x =>PC ==PB ==在中Rt PBC s n i PCPBC PB ∠==又，解得（负值已舍去），AD BP ⨯==2x =所以；2AB =（2）在平面内过点作交的延长线于点，连接，ABCD D DF BE ⊥BE F PF 因为底面，底面，所以，又，PD ⊥ABCD BF ⊂ABCD PD BF ⊥DF PD D = 平面，所以平面，又平面，所以，,DF PD ⊂PDF BF ⊥PDF PF ⊂PDF BF PF ⊥所以为二面角的平面角，PFD ∠P EB D --因为为的中点，E AD所以π2sin4DF ==PF ==所以，1cos 3DF PFD PF ∠===设二面角的平面角为，则，P EB A --θπPFD θ=-∠所以，()1cos cos πcos 3PFD PFD θ=-∠=-∠=-即二面角的余弦值为；P EB A --13-（3）依题意，，又，()AD BP AD⨯⊥ ()AD BP BP⨯⊥ AD BP EM λ⨯= 所以，，又，所以，EM AD ⊥EM BP ⊥//AD BC EM BC ⊥又，平面，所以平面，PB BC B = ,PB BC ⊂PBC EM ⊥PBC 在平面内过点作，垂足为，PDC D DN PC ⊥N 由平面，平面，所以，BC ⊥PDC DN ⊂PDC BC DN ⊥又，平面，所以平面，PC BC C = ,PC BC ⊂PBC DN ⊥PBC 在平面内过点作交于点，在上取点，使得，连接PBC N //MN BC PB M DA E DE MN =，EM 所以且，所以四边形为平行四边形，//DE MN DE MN =DEMN 所以，又，即EM DN =DN ==EM=所以.10AD BP EMλ⨯===【关键点拨】本题关键是理解并应用所给定义，第三问关键是转化为求.DN。

2024-2025学年第一学期高二年级第一次阶段检测数学试卷（答案在最后）一、单选题(每题5分，共40分）1.已知直线1l的斜率为0，且直线12l l ⊥，则直线2l 的倾斜角为A.0︒B.45︒C.90︒D.180︒【答案】C 【解析】【分析】由斜率定义可判断直线1l 与x 轴平行，再由直线12l l ⊥得解．【详解】因为直线1l 的斜率为0，所以直线1l 与x 轴平行，又直线12l l ⊥，故直线2l 的倾斜角为90 ．【点睛】本题考查了直线斜率与倾斜角的定义．2.已知直线3230x y +-=和6410x y ++=之间的距离是（）A.4B.13C.26D.26【答案】D 【解析】【分析】由平行线间距离公式即可求解.【详解】直线6410x y ++=可以转化为13202x y ++=，由两条平行直线间的距离公式可得7713226d ===.故选：D3.圆()2249x y -+=和圆()2234x y +-=的位置关系是（）A.外离B.相交C.外切D.内含【答案】C 【解析】【分析】计算两圆的圆心之间的距离和半径比较，即得答案.【详解】圆()2249x y -+=的圆心为()4,0，半径为3，圆()2234x y +-=的圆心为0,3，半径为2，523==+，所以两圆外切.故选：C4.已知圆()22420x y mx my m m ++-+=∈R 与x 轴相切，则m =（）A.1B.0或14C.0或1D.14【答案】D 【解析】【分析】根据一般式得圆的标准式方程，即可根据相切得r m ==求解.【详解】将()22420x y mx my m m ++-+=∈R 化为标准式为：()()22225x m y m m m ++-=-，故圆心为()2,m m -半径为r =15m >或0m <，由于()22420x y mx my m m ++-+=∈R 与x轴相切，故r m ==，解得14m =，或0m =（舍去），故选：D5.已知点()0,1P -关于直线10x y -+=对称的点Q 的坐标是（）A.(2,1)B.(2,1)- C.(1,2)D.(2,1)--【答案】B 【解析】【分析】设(),Q a b ，根据,P Q 中点在对称直线上及PQ 与对称直线垂直列方程求解.【详解】设(),Q a b ，则110011022b a a b +⎧=-⎪⎪-⎨+-⎪-+=⎪⎩，解得2a =-，1b =.故选：B6.已知椭圆的方程为22194x y +=，过椭圆中心的直线交椭圆于A 、B 两点，2F 是椭圆的右焦点，则2ABF △的周长的最小值为（）A.8B.6+C.10D.8+【答案】C【解析】【分析】根据题意结合椭圆定义可得2ABF △的周长为2a AB +，结合椭圆的性质分析求解.【详解】椭圆的方程为22194x y +=，则3a =，2b =，c ==，连接1AF ，1BF ，则由椭圆的中心对称性可知12OA OB OF OF ==，，可知12AF BF 为平行四边形，则21BF AF =，可得2ABF △的周长为22122AF BF AB AF AF AB a AB ++=++=+，当AB 位于短轴的端点时，A 取最小值，最小值为24b =，所以周长为26410a AB +≥+=．故选：C.7.已知点()2,3A -，()3,2B --，若过点()1,1的直线与线段AB 相交，则该直线斜率的取值范围是（）A.[)3,4,4⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦B.(]3,4,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣--⋃⎭∞C.3,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D.34,4⎡⎤-⎢⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】首先求出直线PA 、PB 的斜率，然后结合图象即可写出答案．【详解】解：记()1,1为点P ，直线PA 的斜率31421PA k --==--，直线PB 的斜率213314PB k --==--，因为直线l 过点()1,1P ，且与线段AB 相交，结合图象，可得直线l 的斜率k 的取值范围是(]3,4,4∞∞⎡⎫--⋃+⎪⎢⎣⎭．故选：B ．8.已知直线(2)y k x =+与曲线21y x =-有公共点，则实数k 的取值范围是（）A.33,33⎡-⎢⎣⎦B.30,3⎡⎢⎣⎦C.3,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.[3,3]-【答案】B 【解析】【分析】根据题意，得到直线(2)y k x =+过定点(2,0)P -，以及曲线221(0)x y y +=≥，画出直线与曲线的图象，结合直线与圆相切和图象，即可求解.【详解】由直线(2)y k x =+过定点(2,0)P -，又由曲线21y x =-221(0)x y y +=≥，作出曲线21y x =-(2)y k x =+的图象，如图所示，因为直线(2)y k x =+，可得20kx y k -+=，2221(1)kk =+-，解得33k =±，若直线(2)y k x =+与曲线21y x =-303k ≤≤，即实数k 的取值范围为30,3⎡⎢⎣⎦.故选：B.二、多选题(每小题6分，本题18分)9.以下四个命题叙述正确的是（）A.直线210x y -+=在x 轴上的截距是1B.直线0x ky +=和2380x y ++=的交点为P ，且P 在直线10x y --=上，则k 的值是12-C.设点(,)M x y 是直线20x y +-=上的动点，O 为原点，则OM 的最小值是2D.直线()12:310:2110L ax y L x a y ++=+++=，，若12//L L ，则3a =-或2【答案】BC 【解析】【分析】求出直线的横截距判断A ；解方程组求出k 判断B ；求出点到直线的距离判断C ；验证判断D.【详解】对于A ，直线210x y -+=在x 轴上的截距是12-，A 错误；对于B ，由238010x y x y ++=⎧⎨--=⎩解得12x y =-⎧⎨=-⎩，即(1,2)P --，则120k --=，解得12k =-，B 正确；对于C ，依题意，min222211OM-==+C 正确；对于D ，当2a =时，直线12:2310,:2310L x y L x y ++=++=重合，D 错误.故选：BC10.已知M 是圆22:414450C x y x y +--+=上任一点，()2,3Q -，则下列说法正确的是（）A.圆心C 的坐标为()2,7B.点Q 在圆C 内C.MQ 的最大值为62D.过()3,5P 的最短弦长是23【答案】ACD 【解析】【分析】由圆的标准方程可判断A ，由点和圆的位置关系可判断B ，由圆外一点到圆的距离的最值可判断C ，由圆的几何性质可判断D.【详解】将圆C 的方程化为标准方程()()22278x y -+-=，圆心()2,7,C r =对于A ：圆心C 的坐标为()2,7，故A 正确；对于B ：因为()()2222378--+->，所以点Q 在圆C 外，故B 错误；对于C ：因为CQ ==，r =所以MQ ≤≤，即MQ ≤≤，故C 正确；对于D ：因为()()22325758CP =-+-=<，所以点()3,5P 在圆内，当弦垂直于CP 时弦长最短，又CP =，最短弦长为=D 正确.故选：ACD.11.已知椭圆22:416C x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是C 上的任意一点，则（）A.C 的离心率为12B.128PF PF +=C.1PF 的最大值为4+D.使12F PF ∠为直角的点P 有4个【答案】BCD 【解析】【分析】根据椭圆的标准方程求出,,a b c ，由离心率定义判断A ，由椭圆定义判断B ，由椭圆的几何性质判断C ，根据以线段12F F 为直径的圆与椭圆交点个数判断D.【详解】由原方程可得椭圆标准方程为221164x y +=，4,2a b c ∴==⇒=，2c e a ∴==，故A 错误；由椭圆定义可知1228PF PF a +==，故B 正确；由椭圆的性质知1max ||4PF a c =+=+C 正确；易知以线段12F F 为直径的圆（因为b c a <<）与C 有4个交点，故满足12F PF ∠为直角的点P 有4个，故D 正确.故选：BCD三、填空题(每小题5分，本题15分)12.已知三点A (1,1)-，B (,3)a ，C (4,5)在同一直线上，则实数a 的值是________.【答案】3【解析】【分析】利用三点共线与斜率的关系，斜率的计算公式.【详解】 三点A (1,1)-，B (,3)a ，C (4,5)在同一直线上，AB AC k k ∴=，∴4613a =-，解得3a =.故答案为：3.13.已知椭圆C 的左焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B ，若ABF △为等腰三角形，则C 的离心率为______．【答案】12-+【解析】【分析】利用椭圆的性质计算即可.【详解】不妨设椭圆的长轴、短轴、焦距分别为()2,2,20,0,0a b c a b c >>>，则222a b c =+，且根据椭圆的性质易知()()(),0,,0,0,F c A a B b -，所以,AB AF a c BF a ==+=，显然若ABF △为等腰三角形，则只能有AB AF =，即()22222220a b a c a ac c +=+⇒--=，则21312202c c c e a a a -+⎛⎫--=⇒== ⎪⎝⎭.故答案为：132-+14.如果实数,x y 满足等式224240x y x y --++=，那么22x y +的最大值是________；2x y -的最大值是________．【答案】①.1465+6514②.355##535-+【解析】【分析】画出图形，通过数形结合，以及直线与圆的位置关系、所求代数式的几何意义逐一求解即可.【详解】由224240x y x y --++=，得2222(2)(1)9,x y x y ++-=+的几何意义为圆22(2)(1)9x y ++-=上的动点到原点距离的平方．因为圆心()2,1-553+，则22x y +的最大值是253)1465=+令2x y t -=，则t -是直线2x y t -=在y 轴上的截距，当直线与圆相切时，直线2x y t -=在y 轴上的截距，一个是最大值，一个是最小值，此时，圆心()2,1-到直线2x y t -=的距离4135td ---==，解得535t =-±，所以2x y -的最大值为355-．故答案为：1465+；355.四、解答题15.已知点(2,1)P -和直线:250l x y +-=.（1）若直线1l 经过点P ，且1l l ⊥，求直线1l 的方程；（2）若直线2l 经过点P ，且在两坐标轴上的截距相等，求直线2l 的方程.【答案】（1）250x y --=（2）20x y +=和10x y +-=【解析】【分析】（1）根据直线垂直的斜率关系，即可由点斜式求解，（2）根据分类讨论，结合截距式即可代入点求解.【小问1详解】由直线l 的方程可知它的斜率为12-，因为1l l ⊥，所以直线1l 的斜率为2.又直线1l 经过点(2,1)P -，所以直线1l 的方程为：12(2)y x +=-，即250x y --=；【小问2详解】若直线2l 经过原点，设直线方程为y kx =，代入(2,1)P -可得20x y +=，若直线2l 不经过原点，设直线方程为1x ya a+=，代入(2,1)P -可得1a =，故直线2l 方程为10x y +-=.综上，直线2l 的方程为20x y +=和10x y +-=.16.（1）椭圆C 与椭圆C 1:2212x y +=有相同的焦点，且经过点M 31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，求椭圆C 的标准方程；（2）已知椭圆22126x y +=的焦点分别是1F ，2F ，点M 在椭圆上，且120F M F M ⋅= ，求点M 到x 轴的距离.【答案】（1）22143x y +=；（2【解析】【分析】（1）确定椭圆焦点坐标，根据椭圆定义求得,a b ，即得答案；（2）设(,)M x y ，可得1(,2)F M x y =+ ，2(,2)F M x y =-；由120F M F M ⋅= 得2240x y +-=，结合椭圆方程求出||y =，即得答案.【详解】（1）椭圆C 1：2212x y +=的焦点坐标为(1,0)±，所以椭圆C 的焦点坐标也为(1,0)±，即得焦距为22c =，∵椭圆C 过点M 3(1,2，∴24a =+=，∴2,a b ==，∴椭圆的标准方程为22143x y +=.（2）由椭圆方程得，1(0,2)-F ，2(0,2)F ，设(,)M x y ，则1(,2)F M x y =+ ，2(,2)F M x y =-；由120F M F M ⋅=得：2240x y +-=（1）；又点M 在椭圆上，可得22126x y +=（2）；（1）（2）联立消去2x 得，23y =，即||y =；故点M 到x 17.（1）已知点A ，B 的坐标分别为()2,0-，2,0，直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是34-，求点M 的轨迹方程；（2）如图，已知圆22:1O x y +=和定点()4,0A ，P 为圆O 外一点，直线PQ 与圆O 相切于点Q ，若PQ =，求点P 的轨迹方程．【答案】（1）()221243x y x +=≠±；（2）221633x y x +-+=0.【解析】【分析】设动点坐标为(),x y ，用坐标表示动点满足的条件，列出方程，化简即可.【详解】（1）设s ，则2AM y k x =+，2BM y k x =-，()32224AM BM y y k k x x x ∴⋅=⋅=-≠±+-，化简整理得，()2234122x y x +=≠±，所以点M 的轨迹方程为：()221243x y x +=≠±.（2）设s ，依题意2PQ =，则222PQ PA =，即2222OP OQ PA -=，即()2222124x y x y ⎡⎤+-=-+⎣⎦，整理得2216330x y x +-+=.18.（1）求圆心在直线1:2l y x =-上，与直线2:1l x y +=相切于点(2,1)A -的圆C 的方程.（2）若过点(1,0)P -作圆22:(1)(2)2D x y -++=的切线，求切线的斜率.【答案】（1）22(1)(2)2x y -++=；（2）23-±【解析】【分析】（1）由圆的切线性质求出直线CA 的方程，进而求出圆心C 的坐标及圆半径即可得解.（2）按切线斜率存在与否分类讨论，借助点到直线距离公式列式计算即得.【详解】（1）依题意，2CA l ⊥，则直线CA 的斜率为1，方程为12y x +=-，即3y x =-，由23y x y x =-⎧⎨=-⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩，则圆C 的圆心(1,2)C -，22(21)(12)2||CA -=-++=所以所求圆的方程为：22(1)(2)2x y -++=.（2）圆22:(1)(2)2D x y -++=的圆心(1,2)D -，半径r =当切线l 的斜率不存在时，:1l x =-，点D 到切线l 的距离为2，不等于半径，不满足题意；当切线l 的斜率存在时，设:(1)l y k x =+，即0kx y k -+=，=，解得2k =-±，所以切线的斜率为2-±19.如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点()3,1P ，焦距为，斜率为13-的直线l 与椭圆C 相交于异于点P 的,M N 两点，且直线,PM PN 均不与x 轴垂直.（1）求椭圆C 的方程；（2）若MN =，求MN 的方程；（3）记直线PM 的斜率为1k ，直线PN 的斜率为2k ，证明:12k k 为定值.【答案】（1）221124x y +=（2）123y x =--（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据条件列方程组求解即可；（2）设直线l 的方程为13y x m =-+，与椭圆联立，由弦长公式求得MN 的方程；（3）将韦达定理代入12k k 中计算结果为定值.【小问1详解】由题意得222229112a b c a b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得2a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，故椭圆C 的方程为221124x y +=.【小问2详解】设直线l 的方程为13y x m =-+，()()1122,,,M x y N x y 由22131124y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得22469360x mx m -+-=，由()22Δ(6)14440m m =-->，得434333m -<<，则212123936,24m m x x x x -+==.2MN ===解得2m =或2m =-当2m =时，直线1:23l y x =-+经过点()3,1P ，不符合题意，舍去；当2m =-时，直线l 的方程为123y x =--.【小问3详解】直线PM ，PN 均不与x 轴垂直，所以123,3x x ≠≠，则0m ≠且2m ≠，所以()()1212121212111111333333x m x m y y k k x x x x ⎛⎫⎛⎫-+--+- ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭=⋅=----()()()212121212111(1)9339x x m x x m x x x x --++-=-++()222221936131(1)3619432936391833942m m m m m m m m m m -⋅--⋅+--===---⋅+为定值.。

长安一中2022—2023学年度第一学期第一次质量检测高二年级数学（理科）试题时间：100分钟总分：150分一、选择题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－3x －4>0}，B ＝{x |－2≤x ≤2}，则如图所示阴影部分所表示的集合为( )A ．{x |－2≤x <4}B ．{x |x ≤2或x ≥4}C ．{x |－2≤x ≤－1}D ．{x |－1≤x ≤2}2.已知平面α，直线m ，n 满足m ⊄α，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3.下列函数中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是( )A ．f (x )＝2xB ．f (x )＝|x －1|C ．f (x )＝1x－xD ．f (x )＝ln(x ＋1)4.将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数( ) A ．在区间⎣⎡⎦⎤3π4，5π4上单调递增 B ．在区间⎣⎡⎦⎤3π4，π上单调递减 C ．在区间⎣⎡⎦⎤5π4，3π2上单调递增 D ．在区间⎣⎡⎦⎤3π2，2π上单调递减 5．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )A ．96里B ．48里C ．192里D ．24里 6.如图，在四面体ABCD 中，已知AB ⊥AC ，BD ⊥AC ，那么点D 在平面ABC 内的射影H 必在( )A ．直线AB 上 B ．直线BC 上 C ．直线AC 上D ．△ABC 内部7．已知命题p ：,x ∃∈R 210x x -+≥；命题q ：若22a b <，则a b <．下列命题为真命题的是( )A ．p q ∧B ．p q ⌝∧ C ．p q ⌝∧ D ．p q ⌝⌝∧8.已知椭圆及以下3个函数：①②③；其中函数图像能等分该椭圆面积的函数个数有（）A, 1个 B ,2个 C, 3个 D,0个9.各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，S 3n ＝14，则S 4n 等于( )A ．80B ．30C ．26D ．1610.已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为（）A ．312-B ．23-C ．312-D ．31-11.若不等式组2022020x y x y x y m +-⎧⎪+-⎨⎪-+⎩≤≥≥，表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为（）A ．－3B ．1C ．43D ．3 12.直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( )A ．[2,6]B ．[4,8]C ．[2，32]D ．[22，32]13.设F 为抛物线C ：23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于,A B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A ．334B ．938 C ．6332 D ．9414.在△ABC 中，AC =3，BC =4，∠C =90∘.P 为△ABC 所在平面内的动点，且PC =1，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是( ) A. [−5,3]B. [−3,5]C. [−6,4]D. [−4,6]二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2022-2023学年广东省广州市第九十七中学高二上学期12月阶段训练数学试题一、单选题1．下列说法正确的是（ ）3...3...，7与数列7，3，5，1是同一数列；②数列0，1，2，3...的一个通项公式为1n a n =-； ③数列0，1，0，1…没有通项公式；④数列1n n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是递增数列A ．①③B ．②④C ．②③D ．②③④【答案】B【分析】根据数列的概念即可判断A 项；代入可判断B 项；根据数列中前几项的特点写出通项可说明C 项错误；作差法求1n n a a +-与0的关系可判断D 项.【详解】数列有顺序，①错误；逐个代入检验，可知数列前几项满足通项公式，②正确；()112nn a --=就是③的一个通项公式，③错误； 设1n n a n =+，则1121n n n n a a n n ++-=-++()()()()()()212101212n n n n n n n +-+==>++++， 所以，1n n a a +>，所以④正确. 故选：B.2．在等差数列{}n a 中，3a ，9a 是方程224120x x ++=的两根，则数列{}n a 的前11项和等于 A ．66 B ．132C ．-66D ．-132【答案】D【解析】利用韦达定理得3924a a +=-，进而612a =-，再利用求和公式求解即可 【详解】因为3a ，9a 是方程224120x x ++=的两根，所以3924a a +=-， 又396242a a a +=-=，所以612a =-，61111111211()13222a a a S ⨯⨯+===-，故选D.【点睛】本题考查等差数列的性质及求和公式，考查方程思想，是基础题3．如图，已知在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1||||1AB AD AA ===，且113A AD A AB DAB π∠=∠=∠=，则1AC =（ ）A 6B 3C 2D ．22【答案】A【分析】根据题意得11AC AB AD AA →→→→=++，进而根据空间向量求模即可. 【详解】由题意可知，因为11AC AB AD AA →→→→=++， 所以2222211111222AC AB AD AA AB AD AA AB AD AB AA AD AA →→→→→→→→→→→→→⎛⎫=++=+++⋅+⋅+⋅ ⎪⎝⎭1111116=+++++=，所以16AC →= 故选：A ．4．已知P 为抛物线24y x =上的任意一点，F 为抛物线的焦点，点B 坐标为()3,2，则PB PF +的最小值为（ ） A ．4 B ．3C ．2D 13【答案】A【分析】作出图形，过点P 作抛物线准线的垂线PA ，由抛物线的定义得PF PA =，从而得出PB PF PB PA +=+，再由P 、B 、A 三点共线时，PB PA +取最小值得解.【详解】如下图所示：过点P 作抛物线准线:1l x =-的垂线PA ，由抛物线的定义得PF PA =，4PB PF PB PA AB ∴+=+≥=，当且仅当P 、B 、A 三点共线时，等号成立，因此，PB PF +的最小值为4. 故选：A.【点睛】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于中等题．5．斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致．如下图是重庆千厮门嘉陵江大桥，共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列．已知拉索上端相邻两个锚的间距()11,2,3,,9i i PP i +=均为3.4m ，拉索下端相邻两个锚的间距()11,2,3,,9i i A A i +=均为16m ．最短拉索的锚1P ，1A 满足166m OP =，186m OA =，则最长拉索所在直线的斜率为（ ）A ．0.47±B ．0.45±C ．0.42±D ．0.40±【答案】C【分析】根据题意利用已知长度可分别计算10OA ，10OP ，再利用斜率的定义可解. 【详解】根据题意，最短拉索的锚1P ，1A 满足166m OP =，186m OA =，且()11,2,3,,9i i PP i +=均为3.4m ，拉索下端相邻两个锚的间距()11,2,3,,9i i A A i +=均为16m ，则10111086916230OA OA A A =+=+⨯=，即点()10230,0A ， 同理()10230,0B -，又101110669 3.496.6OP OP PP =+=+⨯=，即点()100,96.6P ， 所以101096.600.420230A P k -==--，101096.600.420230B P k -==+，故选：C.6．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0和圆x 2＋y 2－6x ＝0交于A ，B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是（ ） A ．x ＋y ＋3＝0 B ．2x －y －5＝0 C ．3x －y －9＝0 D ．4x －3y ＋7＝0【答案】C【分析】两圆公共弦的垂直平分线的方程即为两圆圆心所在直线的方程，求出两圆的圆心，从而可得答案.【详解】解：AB 的垂直平分线的方程即为两圆圆心所在直线的方程， 圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心为()2,3-， 圆x 2＋y 2－6x ＝0的圆心为3,0， 则两圆圆心所在直线的方程为320332y x +-=+-，即3x －y －9＝0. 故选：C.7．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点()3,4A -，且法向量为(1,2)n =-的直线（点法式）方程为：()()()13240x y ⨯++-⨯-=，化简得2110x y -+=.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点()1,2,3A ，且法向量为(1,2,1)m =--的平面的方程为（ ）A ．220x y z +--=B ．220x y z ---=C ．220x y z ++-=D ．220x y z +++=【答案】A【分析】类比平面中求动点轨迹方程的方法，在空间任取一点P （x ，y ，z ），则AP =（x ﹣1，y ﹣2，z ﹣3），利用平面法向量为n =（﹣1，﹣2，1），即可求得结论．【详解】类比平面中求动点轨迹方程的方法，在空间任取一点P （x ，y ，z ），则AP =（x ﹣1，y ﹣2，z ﹣3）∵平面法向量为n =（﹣1，﹣2，1）， ∴﹣（x ﹣1）﹣2×（y ﹣2）+1×（z ﹣3）＝0 ∴x +2y ﹣z ﹣2＝0， 故选A ．【点睛】本题考查了类比推理，考查了空间向量数量积的坐标运算，由于平面向量与空间向量的运算性质相似，利用求平面曲线方程的办法，构造向量，利用向量的性质解决空间内平面方程的求解问题，属于中档题．8．已知椭圆1C ：()222210x y a b a b +=>>与双曲线2C ：()222210,0x y m n m n-=>>有相同的焦点1F ，2F ，点P 使两曲线的一个公共点，且1260F PF ∠=︒，若椭圆离心率1e =则双曲线2C 的离心率2e =（ ）AB ．2 CD ．3【答案】C【分析】设12,PF s PF t ==，由椭圆和双曲线的定义，解方程可得s ，t ，由余弦定理，可得a ，m 与c 的关系，结合离心率公式，可得e 1，e 2的关系，计算可得所求值． 【详解】设12,PF s PF t ==，P 为第一象限的交点， 由椭圆和双曲线的定义可得2,2s t a s t m +=-=， 解得,s a m t a m =+=-， 12F PF ∆中，1260F PF ∠=︒，可得()22222222242cos6022c s t st a m am a m am a m ︒=+-=++++---，即22234a m c +=， 可得222234a m c c +=，即2221314e e +=，由1e =2e故选：C【点睛】本题主要考查了椭圆和双曲线的定义和性质，主要是离心率，余弦定理，考查了化简整理的运算能力，属于中档题．二、多选题9．已知直线l20y ++=，则（ ） A ．直线l 的倾斜角为5π6B ．直线l 在y 轴上的截距为2-C ．直线l 的一个法向量为()1,3u =D ．直线l 的一个方向向量为()3,3v =-【答案】BD【分析】将直线方程化简为一般式得到2π3θ=，截距为2-，l 的一个方向向量为()3,3v =-，D 正确，计算0u v ⋅≠得到C 错误，得到答案.【详解】直线l20y ++=，则2y =-，tan k θ=，[)0,πθ∈，故2π3θ=，A 错误， 直线l 在y 轴上的截距为2-，B 正确.3=-l 的一个方向向量为()3,3v =-，D 正确；()(3,30u v ⋅=-⋅==，C 错误.故选：BD.10．下列说法中，正确的有（ ）A ．数列{}n a 的通项212n a n n=+，则{}n a 中最大项为第2项； B ．已知数列{}n a 中，1(2)n a n n =+，那么1120是这个数列的第10项;C ．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，24S =，410S =，则618S =；D ．已知13n n a a +=+，则数列{}n a 是递增数列． 【答案】BCD【分析】对于A ，算出12,a a 即可判断；对于B ，令()112120n n =+，计算出10n =，即可判断；对于C ，利用等差数列前n 项和的性质即可判断；对于D ，由130n n a a +-=>，即可判断 【详解】对于A ，因为11=3a ，218a =，故{}n a 中最大项不是第2项，故错误； 对于B ，令()112120n n =+，解得10n =，故1120是{}n a 的第10项，故正确； 对于C ，已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ， 则24264,,S S S S S --成等差数列，所以()422642S S S S S -=+-,即612410S =+-，解得618S =，故正确；对于D ，由13n n a a +=+可得130n n a a +-=>，即1n n a a +>，所以数列为递增数列，故正确， 故选：BCD11．设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，下列命题正确的有（ ） A ．11AB AC AA AD ++=B ．二面角1A BD A --的正切值为2C ．若()11AM xAB yAC zAD x y z =++++=，则正方体内的M 点所形成的面积为23D ．设P 为11A B 上的动点，则三棱锥1D PCC -的体积为43【答案】BCD【分析】根据正方体建立空间直角坐标系，利用坐标运算可以验证选项A ，B ；利用四点共面确定M 点区域，即可求解面积，验证选项C ；利用三棱锥体积转换，求解三棱锥1D PCC -的体积，验证D 选项.【详解】解：如图，因为正方体1111ABCD A B C D -，建立空间直角坐标系则111(0,0,0),(0,0,2),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(2,2,2),(0,2,2)A A B C D C D对于选项A ，1(2,0,0)(2,2,0)(0,0,2)(4,2,2)AB AC AA ++==++，1(0,2,2)AD = 故11AB AC AA AD ++≠，选项A 错误； 对于选项B ，由于正方体中有1AA ⊥平面ABD ， 所以1(0,0,2)AA =可以作为平面ABD 的一个法向量 又11(2,2,2),(2,2,0),(0,2,2)AC BD A D ==-=- 所以1114400,0440AC BD AC A D ⋅=-++=⋅=+-= 所以111,AC BD AC A D ⊥⊥则1(2,2,2)AC =是平面1A BD 的一个法向量 设二面角1A BD A --的大小为θ，且θ为锐角所以11111143cos cos ,3223AA AC AA AC AA AC ⋅=〈〉===⨯⋅θ， 故2116sin 1cos ,3AA AC =-〈〉=θ，则sin tan 2cos θθθ==，故B 选项正确； 对于选项C ，若()11AM xAB yAC zAD x y z =++++=，则若1,,,M B C D 四点共面 则正方体内的M 点所形成区域为三角形1BC D ，且1122BC BD C D === 则11π2222sin 2323BC DS=⨯⨯⨯=，故C 选项正确； 对于选项D ，设P 为11A B 上的动点，则三棱锥1D PCC -的体积 111111111142223323D PCC P DCC B DCC DCC V V V SB C ---===⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=，故D 选项正确. 故选：BCD.12．已知圆O 的半径为定长r ，A 是圆O 所在平面内一个定点，P 是圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线l 和直线OP 相交于点Q .当点P 在圆上运动时，下列判断正确的是（ ）A ．点Q 的轨迹可能是椭圆B ．点Q 的轨迹可能是双曲线的一支C ．点Q 的轨迹可能是抛物线D ．点Q 的轨迹可能是一个定点【答案】ABD【分析】根据点A 的位置分类讨论其轨迹. 【详解】①当点A 在圆内时，且不为圆心连接QA ，由已知得QA QP ＝.∴QO QA QO QP OP r ＋＝＋＝＝.又∵点A 在圆内，∴OA OP ＜，根据椭圆的定义，点Q 的轨迹是以O ，A 为焦点，r 为长轴长的椭圆，故A 正确； ②当点A 在圆上时，点Q 与圆心重合，轨迹为定点，故D 正确； ③点A 在圆外时，连接QA ，由已知得QA QP ＝.∴||QA QO QP QO OP r --＝＝＝，又∵A 在圆外，∴|OA OP ＞∣，根据双曲线的定义，点Q 的轨迹是以O ，A 为焦点，r 为实轴长的双曲线的一支(靠近O )，故B 正确； ④当点A 与圆心O 重合时，点Q 的轨迹为圆； 故选：ABD.三、填空题13．直线l 的方向向量是()1,1,1s =-，平面α的法向量()222,,n x x x =+-，若直线//l 平面α，则x =______．【答案】2【分析】线面平行时，直线的方向向量垂直于平面的法向量，即它们的数量积为零，根据数量积的坐标表示列出方程求解即可.【详解】解：若直线//l 平面α，则0s n ⋅=， 22220x x x x ∴-++-=-=，解得2x =，故答案为：2.14．数列{}n a 的前n 项和为n S ，21n n S =+，则通项公式n a =______．【答案】13122n n n -=⎧⎨≥⎩，， 【分析】利用公式1112n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，，进行求解.【详解】由题知，当1n =时，111213a S ==+=，当2n ≥时，1121n n S --=+ ①又21nn S =+ ②由②减去①有：12n n a -=，当1n =不满足上式，所以13122n n n a n -=⎧=⎨≥⎩，，. 故答案为：13122n n n -=⎧⎨≥⎩，，. 15．从()0,1M -点发出的光线经过直线1y x =+反射，反射光线刚好通过坐标原点，则反射光线所在直线的方程为_________． 【答案】20x y +=【分析】求出点M 关于直线1y x =+的对称点A 的坐标，可求出反射光线OA 的斜率，进而可求得反射光线所在直线的方程.【详解】设点()0,1M -关于直线1y x =+的对称点为(),A m n ， 则线段AM 的中点1,22m n B -⎛⎫⎪⎝⎭在直线1y x =+上，则1122n m -=+，① 因为直线1y x =+的斜率为1，直线AM 与直线1y x =+垂直，则11AM n k m+==-，② 联立①②可得21m n =-⎧⎨=⎩，即点()2,1A -，因为反射光线过原点()0,0O ，所以，反射光线所在直线的斜率为12OA k =-，所以反射光线所在直线的方程为12y x =-，即20x y +=．故答案为：20x y +=．16．我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心（简称“地心”）2F 为一个焦点的椭圆，已知它的近地点A （离地面最近的点）距地面439km ，远地点B （离地面最远的点）距地面2384km ，AB 是椭圆的长轴，地球半径为6371km ，则卫星运行的椭圆轨道的长轴AB 的长为______km ．【答案】15565【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，进而根据题意列出关系式即可求出.【详解】根据题意，以AB 中点O 为坐标原点，2F ，A ，B 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设卫星运行的轨道的椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，则由题知439637123846371a c a c -=+⎧⎨+=+⎩，解得7782.5972.5a c =⎧⎨=⎩，所以，卫星运行的椭圆轨道的长轴AB 的长为227782.515565a =⨯=()km . 故答案为：15565.四、解答题17．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-. （1）求公差d 及{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最小值.【答案】（1）2d =，29n a n =-；（2）()2416n S n =--，最小值为16-.【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，由题意得13315a d +=-，再由17a =-可得2d =，从而可求出{}n a 的通项公式；（2）由（1）得()228416n S n n n =-=--，从而可求出其最小值 【详解】（1）设{}n a 的公差为d ，由题意得13315a d +=-. 由17a =-得2d =.所以{}n a 的通项公式为29n a n =-. （2）由（1）得()228416n S n n n =-=--. 所以4n =时，n S 取得最小值，最小值为16-18．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线方程为y =，且双曲线C 过点()2,3-.(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线:3l y kx =+与双曲线C 只有一个公共点，求实数k 的值. 【答案】(1)2213y x -=(2)k =±k =【分析】（1）由题意得22491b a b⎧⎪⎨-=⎪⎩，解方程组求出22,a b ，从而可求得双曲线C 的方程，（2）将直线方程代入双曲线方程中化简，然后二次项系数为零和二次项系数不为零，两种情况求解即可【详解】（1）由题意得22491b a b ⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得2213a b ⎧=⎨=⎩所以双曲线方程为2213y x -=.（2）由22313y kx y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得22(3)6120k x kx ---=，由题意得()22230Δ364830k k k ⎧-≠⎪⎨=+-=⎪⎩，解得k =±当230k -=，即k =直线l 与双曲线C的渐近线y =平行，直线l 与双曲线C 只有一个公共点，所以k =±k =19．已知过抛物线28y x =的焦点F 的直线与抛物线交于()11,A x y ，()22,B x y 两点. （1）证明：12y y 为定值.（2）若10AF =，O 为坐标原点，求AOF 的面积与BOF 的面积的比值. 【答案】（1）证明见解析 （2）4【解析】（1）根据抛物线的性质得出()2,0F ，设出直线AB 的方程，并代入抛物线方程利用韦达定理即可证明；（2）由抛物线的定义结合抛物线方程，得出18x =，18y =，由（1）得出21628y -==，根据三角形面积公式计算AOFBOFS S △△即可得出结论. 【详解】（1）证明：()2,0F ，设直线AB 的方程为2x my =+，联立228x my y x =+⎧⎨=⎩，得28160y my --=，故1216y y =-.（2）解：由抛物线的定义，得1210AF x =+=，得18x =，则211864y x ==，所以18y =.由（1）知21628y -== 故11221||241||2AOF BOFOF y S y Sy OF y ⋅===.【点睛】本题主要考查了韦达定理的应用以及抛物线中的三角形面积问题，属于中档题.20．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，AB DC ，2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC 的中点．(1)证明：BE DC ⊥；(2)若F 为棱PC 上一点，CF CP λ=且满足BF AC ⊥，求平面PAB 与平面FAB 所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见详解 (2)31010【分析】（1）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法即可证明BE PD ⊥．（2）根据F 为棱PC 上一点，BF AC ⊥，求出F 的坐标，进而求出平面FAB 的一个法向量.又AD ⊥平面ABP ，所以AD 即为平面ABP 的一个法向量.进而根据法向量可求得结果. 【详解】（1）∵PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，所以,,AB AD AP 两两垂直. 以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，∵2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC 的中点. ∴(1,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P ，(1,1,1)E ， ∵(0,1,1)BE =，(2,0,0)DC =，0BE DC ∴⋅=，即BE DC ∴⊥，∴BE DC ⊥.（2）由（1）可得，(1,2,0)BC =，(2,2,2)CP =--，(2,2,0)AC =.则(2,2,2)CF CP λλλλ==--(01)λ≤≤， 故(12,22,2)BF BC CF λλλ=+=--，由BF AC ⊥得，0BF AC =⋅，即()()(12,22,2)(2,2,0)2122220λλλλλ--⋅=-+-=， 解得34λ=，即113,,222BF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 设平面FAB 的法向量为()1111,,n x y z =，由1100n AB n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得111101130222x x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩， 令11z =-，则()10,3,1n =-，因为PA ⊥底面ABCD ，AD ⊂底面ABCD ，所以PA AD ⊥. 又AD AB ⊥，PA ⊂平面ABP ，AB ⊂平面ABP ，AB PA A =， 所以AD ⊥平面ABP .所以，AD 即为平面ABP 的一个法向量，(0,2,0)AD =， 则111cos ,2AD n AD n AD n ⋅===⋅⨯故平面FAB 与平面PAB21．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C :22240x y x y F ++-+=，且圆C 被直线30x y -++=截得的弦长为2.(1)求圆C 的标准方程；(2)若圆C 的切线l 在x 轴和y 轴上的截距相等，求切线l 的方程. 【答案】(1)()()22122x y ++-= (2)26y x ，26y x ，=1y x --，3y x =-+.【分析】（1）将一般方程转化标准方程，再求出弦心距，从而可求半径，故可得标准方程. （2）就直线是否过原点分类讨论后可求切线的方程.【详解】（1）圆C :22240x y x y F ++-+=即为()()22125x y F ++-=-，故()1,2C -，故C 到直线30x y -++=1=，故22511F -=+，故3F =.故圆C 的标准方程为：()()22122x y ++-=. （2）若直线l 过原点，则其方程为：y kx =，故2221k k--=+，故2420k k --=，故26k =±. 故此时直线方程为：26yx ，26yx .若直线l 不过原点，则可设其方程为()00x y m m ++=≠， 故1222m-++=，故12m +=，解得1m =或3m =-.故此时直线方程为：=1y x --，3y x =-+. 过直线的方程为: 26yx ，26yx ，=1y x --，3y x =-+.22．已知：点(1,2)A 是离心率为22的椭圆C ：22221(0)y x a b a b +=>>上的一点．斜率为2的直线BD 交椭圆C 于B 、D 两点，且A 、B 、D 三点不重合． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）△ABD 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？ （Ⅲ）求证：直线AB 、AD 的斜率之和为定值．【答案】（1）22124x y +=；（2）见解析.【详解】试题分析：（1）根据题意列出关于a 、b 、c 的方程组，结合性质222a b c =+ ，求出a 、b 、c ，即可得结果；；（2）设直线BD 的方程为2y x m =+，直线与曲线联立，根据韦达定理、弦长公式点到直线的距离公式及三角形面积公式将ABD ∆的面积用m 表示，进而可得结果；（3）将直线AB 、AD 的斜率之和用m 表示，消去m 即可.试题解析：（Ⅰ） 2ce a=， 22121b a +=，222a b c =+∴ 2a =，b =c =∴22124x y +=… （Ⅱ）设直线BD的方程为y m =+ ∴2224y m x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩22440x m ⇒++-= ∴ 28640m ∆=-+>m ⇒-<12,x x += ----① 21244m x x -=-----②121BD x =-===设d 为点A 到直线BD ：ym =+的距离， ∴ d =∴12ABD S BD d ∆==，当且仅当2m =±时取等号.因为2± (∈-，所以当2m =±时， ABD ∆ （Ⅲ）设()11,D x y ，()22,B x y ，直线AB 、AD 的斜率分别为：AB k、AD k ，则AD ABk k +=1212= =()12121221x x m x x x x ⎡⎤+-⎢⎥-++⎢⎥⎣⎦------*将（Ⅱ）中①、②式代入*式整理得 ()12121221x x m x x x x ⎡⎤+-⎢⎥-++⎢⎥⎣⎦=0，即AD AB k k +=0.【方法点睛】本题主要考查待定待定系数法求椭圆标准方程方程、圆锥曲线的定值问题以及，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.。

湖南师大附中2023-2024学年度高二第一学期第一次大练习（月考）数 学时量：120分钟 满分：150分得分：_________一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知1i22iz −=+，则z z −=（ ） A ．i −B ．iC ．0D ．12．已知直线m ，n 和平面α，β，给出下列四个命题，其中正确的是（ ） A ．若m ∥α，n α⊂，则m ∥n B ．若αβ⊥，m α⊂，则m β⊥ C ．若m ∥n ，n β⊥，m α⊂，则αβ⊥D ．若m α⊂，n β⊂，m ∥β，n ∥α，则α∥β 3．若()()21ln21x f x x a x −=++为偶函数，则a=（ ） A ．0B ．12C ．1D ．24．如图，在四面体A -BCD 中，点O 为底面△BCD 的重心，P 为AO 的中点，设AB a = ，AC b = ，AD c =，则BP =（ ）A ．511666a b c −− B ．511666a b c −++ C ．211333a b c −−D ．211333a b c −++ 5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b=c ，()2221sin a b A =−，则A=（ ） A ．34π B ．3πC ．4πD ．6π6．将一枚骰子连续抛两次，得到正而朝上的点数分别为x ，y ，记事件A 为“x y +为偶数”，事件B 为“7x y +<”，则()P B A 的值为（ ） A ．12B ．13C ．79D ．597．若tan 2tan 5πα=，则3cos 10sin 5παπα− =−（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．对实数a ，b ，定义运算“*”：,1,1a ab a b b a b −≤ ∗=−> ，设函数()()()212f x xx =+∗+，若函数()y f x c =−有两个零点，则实数c 的取值范围是（ ） A ．()()2,45,+∞ B ．(](]1,24,5 C ．()(],14,5−∞D ．[]1,2二、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．2019年中国5G 建设有序推进，新型信息基础设施能力不断提升，有力支撑社会的数字化转型，电信业务发展迅速，下图是2010-2019年中国移动电话用户数及增速走势图．根据该图，下列说法正确的是（ ）A ．2010-2019年中国移动电话用户数逐年增加B ．2011-2019年中国移动电话用户数增速的中位数为7.2%C ．2011-2019年中国移动电话用户数在2011年增速最快D ．中国移动电话用户数在2011-2014年的增速逐年递减，因此期户数逐年减少10．已知直线l ：()220a x ay ++−=与n ：()2360a x y −+−=，下列选项正确的是（ ） A ．若l ∥n ，则a=6或1a =−B ．若l n ⊥，则1a =C ．直线恒过点（1，1−）D ．若直线n 在x 轴上的截距为6，则直线n 的斜截式为123y x =−−11．已知函数()()cos 21f x A x ϕ=+−（0A >，0ϕπ<<），若函数()y f x =的部分图象如图所示，函数()()sin g x A Ax ϕ=−，则下列结论正确的是（ ）A ．将函数()1y f x =+的图象向左平移6π个单位长度可得到函数()g x 的图象B ．函数()y g x =的图象关于点（6π−，0）对称 C ．函数()g x 在区间0,2πD ．若函数()g x θ+（0θ≥）为偶函数，则θ的最小值为712π 12．如图ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 是棱CC 1上的动点（不含端点），点F 在侧面BCC 1B 1上运动，且满足A 1F ∥平面AD 1E ，则下列命题正确的有（ ）A ．侧面BCC 1B 1上存在点F ，使役A 1F ⊥BC 1B ．直线A 1F 与直线DC 所成角的正切值的范围为（0） C ．当点E 固定时，三棱雉D 1-AEF 的体积为定值D ．设正方体的棱长为1，当E 为棱CC 1上靠近C 1的三等分点时，则过点A ，D 1，E三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知圆锥的侧面积（单位：cm 2）为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：cm ）是__________．14．已知()()25,3log 1,3x e x f x x x − ≤ =−> ，则()()126f f =__________．15．设函数()sin 5f x x πω=+（0ω>），若()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，则ω的取值范围是__________．16．已知向量a ，b ，e 满足1=e ，1⋅=a e ，2⋅=b e ，2−=a b ，则⋅a b 的最小值是__________．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） 已知直线l 经过点P （2，3），倾斜角为α．（1）若cos α=，求直线l 的斜截式方程； （2）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的一般式方程． 18．（本小题满分12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分別为a ，b ，c ，且cos b a A A c++=． （1）求角C ；（2）设BC 的中点为D ，且，求2a b +的取值范围．如图，在四棱雉P-ABCD中，P A⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且，BC=P A=2．（1）求证：AB⊥PC；（2）若点M为PD的中点，求直线BM与平而AMC所成角的正弦值．20．（本小题满分12分）为了调查某中学高一年级学生的身高情况，在高一年级随机抽取100名学生作为样本，把他们的身高（单位：cm）按照区间[160，165），[165，170），[170，175），[175，180），[180，185]分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示．（1）求频率分布直方图中x的值以及样本中身高不低于175cm的学生人数；（2）在统计过程中，小明与小张两位同学因事缺席，测得其余98名同学的平均身高为172cm，方差为29．之后补测得到小明与小张的身高分别为171cm与173cm．试根据上述数据求样本的方差．斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积为4，侧面ABB 1A 1上侧面BCC 1B 1，平行四边形BCC 1B 1的面积为．（1）求点A 到平面BCC 1B 1的距离；（2）如图，D 为BB 1的中点，，BB 1=BC ⊥BB 1，求二面角A -B 1C -B 的大小． 22．（本小题满分12分）已知函数()f x （0x >）满足：()()22f x f x a +=+，()12f =，且当(]2,4x ∈时，()2266f x x x −+．（1）求a 的值； （2）求()2f x ≥解集； （3）设()24log 231x g x=+ −，()2cos cos 2h x x m x =+（,22x ππ∈−），若()()f h x g h x ≥ ，求实数m 的值．。

福建省厦门市同安第一中学2024-2025学年高二上学期第一次月考（10月）数学试题一、单选题1．在空间直角坐标系中，点()2,1,4-关于x 轴对称的点坐标是（ ） A ．()2,1,4--B ．()2,1,4C ．()2,1,4---D ．()2,1,4-2．若{},,a b c r r r 和{},,a b b c m +-r r r r r 都为基底，则m r不可以为（ ）A ．a rB ．c rC ．a c +r rD ．-r r a c3．若直线3m y x n m ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在y 轴上的截距为-1，且它的倾斜角是直线1322y x =+的倾斜角的2倍，则（ ） A ．4m =-，3n =- B ．4m =，3n = C ．4m =，3n =-D ．4m =-，3n =4．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是11B C 和11A D 的中点，则直线AC 与平面ABEF 所成角的正弦值为（ ）A B C D 5．集合{}6,2,3A =-，集合{}7,1,2B =-，从A ，B 中各任意取一个数相加为a ，则直线1:430l x ay +-=与直线2:440l ax y ++=平行的概率为（ ）A ．19B ．49C ．13D ．296．如图，在三棱锥P ABC -中，PAC V 是边长为3的正三角形，M 是AB 上一点，12AM MB =u u u u r u u u r ，D 为BC 的中点，N 为PD 上一点且23PN PD =u u u r u u u r ，则MN =（ ）A ．5B ．3 CD 7．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段11AC 的中点，Q 为线段1BC 上的动点，则下列结论正确的是（ ）A ．存在点Q ，使得//PQ BDB ．存在点Q ，使得PQ ⊥平面11ABCD C ．三棱锥Q APD -的体积是定值D ．存在点Q ，使得PQ 与AD 所成的角为π68．设m R ∈，过定点A 的动直线10x my ++=和过定点B 的动直线230mx y m --+=交于点(),P x y ，则PA PB +的最大值（ ）A．B ．C ．3D ．6二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．“1a =-”是“直线210a x y -+=与直线20x ay --=互相垂直”的充分不必要条件B ．直线sin 20x y α++=的倾斜角θ的取值范围是π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C ．过()()1122,,,x y x y 两点的所有直线，其方程均可写为112121y y x x y y x x --=-- D ．已知()()2,4,1,1A B ，若直线:20l kx y k ++-=与线段AB 有公共点，则21,32k ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦10．关于空间向量，以下说法正确的是（ ）A ．若直线l 的方向向量为()2,4,2m =-r ，平面α的一个法向量为()1,2,1n =--r，则l α⊥B ．若空间中任意一点O ，有111362OP OA OB OC =-+u u u r u u u r u u u r u u u r，则P 、A 、B 、C 四点共面C ．若空间向量a r ，b r 满足0a b ⋅<r r ，则a r 与b r 夹角为钝角D ．若空间向量()1,0,1=r a ，()0,1,1b =-r ，则a r在b r 上的投影向量为110,,22⎛⎫- ⎪⎝⎭11．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图，把三片这样的达·芬奇方砖拼成组合，把这个组合再转换成空间几何体．若图中每个正方体的棱长为1，则下列结论正确的是（ ）A ．122CQ AB AD AA =--+u u u r u u u r u u u r u u u rB ．点1C 到直线CQ C ．3CQ =u u u rD ．异面直线CQ 与BD 所成角的正切值为4三、填空题12．求经过()2,2且在两坐标轴上截距相等的直线方程为．13．在棱长为2的正四面体ABCD 中，点M 满足()1AM xAB yAC x y AD =+-+-u u u u r u u u r u u u r u u u r，点N 满足()1BN BA BC λλ=+-u u u r u u u r u u u r ，当AM 、BN 最短时，AM MN ⋅=uuu r uuu r．14．如图，正四棱锥P ABCD -的棱长均为2，点E 为侧棱PD 的中点．若点M ，N 分别为直线AB ，CE 上的动点，则MN 的最小值为．四、解答题15．在三棱锥P-ABC 中，2AB BC PC PB ====，90ABC ∠=︒，E 为AC 的中点，PB AC ⊥．(1)求证：平面PBE ⊥平面ABC ； (2)求点C 到平面P AB 的距离．16．已知ABC V 的顶点()4,2A -，顶点C 在x 轴上，AB 边上的高所在的直线方程为20x y m ++=．(1)求直线AB 的方程；(2)若AC 边上的中线所在的直线方程为40x y --=，求m 的值．17．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，2AB AC ==，且14AA =，14CC CE =u u u u r u u u r，直线AE 与1AC 交于点F .(1)证明：1AC ⊥平面ABE . (2)求二面角1A BE A --的正弦值.18．在面积为S 的ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()22sin sin 2sin sin sin C A S a b A B C ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭． (1)求C 的值；(2)若c ABC V 周长的最大值；(3)若ABC V 为锐角三角形，且AB 边上的高h 为2，求ABC V 面积的取值范围．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，5AB AD +=，CD 120PAD ∠=︒，=45ADC ∠︒.(1)求证：平面PAB ⊥平面PAD ； (2)设AB AP =.①若直线PB 与平面PCD ，求线段AB 的长. ②在线段AD 上是否存在点G ，使得点P ，C ，D 在以G 为球心的球上？若存在，求线段AB 的长；若不存在，说明理由.。

天津市静海区第一中学2024-2025学年高二上学期10月学生学业能力调研数学试卷考生注意：本试卷分第Ⅰ卷基础题（114分）和第Ⅱ卷提高题（33分）两部分，卷面分3分，共150分。

第Ⅰ卷 基础题（共114分）一、选择题:每小题5分，共35分.1．在空间直角坐标系中，点关于x 轴对称的点坐标是（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为（ ）A ．B ．C．D ．3．直线和直线，则“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.如图所示，在三棱锥中，，，，点M ，N 满足，，则（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知直线，直线是直线绕点逆时针旋转得到的直线，则直线的方程是（ ）A ．B ．C ．D ． 6．已知直线斜率为，且的取值范围是（ ）A ．B ．C ． D ．7.已知点，，若过点的直线与线段AB 相交，则该直线斜率的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：每小题5分，共25分.()2,1,4-()2,1,4--()2,1,4()2,1,4---()2,1,4-l ()3,2a =-l 32-23-2332()1:31210l a x ay ++-=2:330l ax y -+=53a =12l l ⊥O ABC -OA a = OBb = OCc = 4OC MC = 12AN AB =MN ON +=34a b c+- 131242a b c-+ 211322a b c-++113224a b c+-1:2520l x y ++=2l 1l (1,0)-45︒2l 7330x y --=3730x y --=7330x y -+=3730x y -+=k k ≤≤αππ2π0,,623⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭π2π0,,π33⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭π2π0,,π63⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ππ2π0,,323⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭()2,3A -()3,2B --()1,1[)3,4,4⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦ (]3,4,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣--⋃⎭∞3,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦34,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦8．，与直线平行，则直线与的距离为__________.9．已知三点A ，B ，C 在同一直线上，则实数的值是__________.10．已知点，直线，则点到直线的距离的取值范围为________.11．直线l 的方向向量为，且l 过点，则点到l 的距离为__________.三、解答题：(本大题共4小题，共54分)13．(12分）据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程.（1）已知点，求线段的垂直平分线的方程；（2）求经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程；（3）总结直线方程的五种常用形式.14．（14分）已知直线经过点.(1)若直线到原点的距离为1，求直线的方程；(2)若直线与轴､轴的正半轴分别交于两点，求的最小值，并求此时直线的方程.15．（14分）如图，垂直于梯形所在平面，为的中点，，四边形为矩形．(1)求异面直线与所成角的余弦值;(2)求点到平面的距离．16．（14分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，是边长为2的等边三角形，(1)证明：平面平面.(2)若为的中点，求平面与平面的夹角的余弦值。

2026届高二数学秋季月考卷第一期考试范围：大部分学校已经学习过的内容：考试时间：120分钟：满分：150分注意事项：1.答题前填写好自已的姓名､班级､考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 已知向量()2,4a =，()1,1b =− ，则2a b −=A. ()5,7B. ()5,9C. ()3,7D. ()3,9【答案】A 【解析】【详解】因为2(4,8)a =，所以2(4,8)(1,1)a b −=−−=（5，7），故选A. 考点：本小题主要考查平面向量的基本运算，属容易题.2. 已知直线12:320,:310l x y l x ay −+=−−=，若12l l ⊥，则实数a 的值为（ ） A. 1 B.12C. 12−D. 1−【答案】D 【解析】【分析】对a 进行分类讨论，代入121k k =− 求解即可.【详解】当0a =时，直线1:320l x y −+=的斜率113k =， 直线2:310l x ay −−=的斜率不存在，此时两条直线不垂直； 当0a ≠时，直线1:320l x y −+=的斜率113k =， 直线2:310l x ay −−=的斜率23k a=，因为12l l ⊥，所以121k k =− ， 所以13113a a×==−，解得：1a =−. 故选：D.3. 已知m 是实常数，若方程22240x y x y m ++++=表示的曲线是圆，则m 的取值范围为（ ） A. (),20−∞ B. (),5−∞C. ()5,+∞D. ()20,+∞【答案】B 【解析】分析】由方程表示的曲线为圆，可得出关于实数m 的不等式，解出即可.【详解】由于方程22240x y x y m ++++=表示的曲线为圆，则222440m +−>，解得5m <. 因此，实数m 的取值范围是(),5−∞. 故选：B.【点睛】本题考查利用圆的一般方程求参数，考查计算能力，属于基础题.4. 设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ） A. 若a b ，与α所成的角相等，则aa ∥bb B. 若a αβ∥，b ∥，αβ∥，则aa ∥bb C. 若a b a b αβ⊂⊂ ，，，则αβ∥ D. 若a b αβ⊥⊥，，αβ⊥，则a b ⊥【答案】D 【解析】【详解】试题分析：A 项中两直线a b ，还可能相交或异面,错误； B 项中两直线a b ，还可能相交或异面,错误； C 项两平面αβ，还可能是相交平面，错误； 故选D.5. 直线3y kx =+与圆()()22324x y −+−=相交于M 、N两点，若MN =，则k 等于（ ）A. 0B. 23−C. 23−或0 D. 34−或0 【【答案】D 【解析】【分析】求出MN 到圆心的距离和圆心 (3,2) 到直线 3y kx =+ 的距离，即可求出k 的值. 【详解】由题意，∵MN =，∴MN 到圆心的距离为1=，∴圆心 (3,2) 到直线 3y kx =+ 的距离为：1=，即229611k k k ++=+.解得：0k =或34−， 故选：D.6. 过点()1,3P 作直线l ，若l 经过点(),0A a 和()0,B b ，且,a b 均为正整数，则这样的直线l 可以作出（ ）， A. 1条 B. 2条C. 3条D. 无数条【答案】B 【解析】【分析】假设直线截距式方程，代入已知点坐标可得,a b 之间关系，根据,a b 为正整数可分析得到结果. 【详解】,a b 均为正整数，∴可设直线:1x yl a b+=， 将()1,3P 代入直线方程得：131a b+=， 当3b =时，10a =，方程无解，3331333b b a b b b −+∴===+−−−， a ∗∈N ，303b ≠−，33b ∗∴∈−N ，31b ∴−=或33b −=，44b a = ∴ =或62b a = = ，即满足题意的直线l 方程有2条.故选：B.7. 已知长方体1111ABCD A B C D −中，12AA AB ==，若棱AB 上存在点P ，使得1D P PC ⊥，则AD 的取值范围是（ ）A [)1,2B. (C. (]0,1D. ()0,2【答案】C 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设AD a =，求出1D P 、CP，利用10D P CP ⋅= ，求出a 的范围．【详解】解：如图建立坐标系，设(0)ADa a =>，(02)AP x x =<<， 则(),,2P a x ，()0,2,2C ，()10,0,0D ，∴()1,,2D P a x = ，(),2,0CP a x =−，1D P PC ⊥ ，∴10D P CP ⋅=，即2(2)0a x x +−=，所以a ， 当02x <<时，所以(]2(1)10,1x −−+∈，所以(]0,1a ∈．故选：C ．8. 已知点P 在直线3y x =−−上运动，M 是圆221x y +=上的动点，N 是圆22(9)(2)16x y −+−=上的动点，则PM PN +的最小值为（ ） A. 13 B. 11 C. 9 D. 8【答案】D 【解析】【分析】根据圆的性质可得5PM PN PO PC +≥+−，故求PM PN +的最小值，转化为求.PC PO +的最小值，再根据点关于线对称的性质，数形结合解.【详解】如图所示，圆22(9)(2)16x y −+−=的圆心为()9,2C ，半径为4， 圆221x y +=的圆心为()0,0O ，半径为1，可知44,11PC PN PC PO PM PO −≤≤+−≤≤+， 所以5PM PN PO PC +≥+−，故求PM PN +的最小值，转化为求PC PO +的最小值，设()0,0O 关于直线3y x =−−的对称点为G ，设G 坐标为(),m n ， 则1322nmn m ==−− ，解得33m n =− =− ，故()3,3G −−， 因为PO PG =，可得13PO PC PG PC GC +=+≥=，当,,P G C 三点共线时，等号成立， 所以PM PN +的最小值为1358−=. 故选：D.二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9. 三条直线0x y +=，0x y −=，3x ay +=构成三角形，则a 的值不能为（ ） A. 1 B. 2 C. 1− D. －2【答案】AC【解析】【分析】由三条直线可构成三角形可知，直线3x ay +=不经过两条直线的交点，且与两条直线任意一条不平行.【详解】直线0x y +=与0x y −=都经过原点，而无论a 为何值，直线3x ay +=总不经过原点， 因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线3x ay +=与另两条直线不平行， 所以1a ≠±． 故选：AC.10. 正方体1111ABCD A B C D −中，下列结论正确的是（ ） A. 直线1AD 与直线11A C 所成角为3πB. 直线1AD 与平面ABCD 所成角为3πC. 二面角1D AB D −−的大小为4πD. 平面11AB D ⊥平面11B D C【答案】AC 【解析】【分析】选项A ：先判断出1AD 与11A C 所成角即为1AC B ,利用1ABC 为正三角形，即可判断； 选项B ：1AD 与平面ABCD 所成角为14DAD π∠=，即可判断；选项C ：二面角1D AB D −−的平面角为14DAD π∠=，即可判断； 选项D ：设1111D B AC O = ，连结,,AO CO AC ，可以判断出AOC ∠即为二面角11A B D C −−的平面角.在三角形ACO 中，求出各边长，可以判断出90AOC ∠≠°，即可判断.【详解】选项A ：先判断出1AD 与11A C 所成角即为1BC 与11A C 所成角，1ABC 为正三角形，所以该角为3π；故A正确.选项B ：1AD 与平面ABCD 所成角为14DAD π∠=；故B 错误.选项C ：二面角1D AB D −−的平面角为14DAD π∠=；故C 正确. 选项D ：设1111D B AC O = ，连结,,AO CO AC ，因为11AD AB =，所以11AO B D ⊥. 同理可证：11CO B D ⊥,所以AOC ∠即为二面角11A B D C −−的平面角。

宁德一中2023-2024学年度第一学期期初高二阶段检测数 学 试 题(考试时间：120分钟 试卷总分：150分 考试范围：第一章数列等比求和前)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．1．已知公比为q 的等比数列{}n a 的前n 项和2n n S c q =+⋅，*n ∈N ，且314S =，则4a =（）A ．48B ．32C ．16D ．82．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知342a a =，则一定成立的是（ ） A ．25a a >B ．1n n a a +<C ．90S =D ．数列{}n S 有最大项3．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中出现了如图所示的形状，后人称之为“三角垛”．其最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层10个…，则第六层球的个数为（ ）6．已知数列{}n a 为各项为正数的等比数列，且1a ，3a ，2a 成等差数列，则数列{}n a （ ） A ．单调递增B ．单调递减C ．先递增后递减D ．是常数列7．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9＝ A ．63B ．45C ．43D ．27部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知数列{}n a ，{}n b 均为等比数列，则下列结论中一定正确的有（ ）10．在数列{}n a 中，221n n a a p −−=（*2,,n n p ≥∈N 为非零常数），则称{}n a 为“等方差数列”，p 称为“公方差”，下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ）11．下列说法中，正确的有（ ）A ．数列{}n a 的最大项为6aB ．数列{}n a 的最大项为5aC ．数列{}n a 的最小项为5aD ．数列{}n a 的最小项为4a三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本题满分10分）有一批空气净化器，原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售.甲商场用如下的方法促销：买一台单价为780元，买两台每台单价都为760元，依次类推，每多买一台，则所买各台单价均再减少20元，但每台最低不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售.某单位需购买。

2.4圆的方程（六种模型）题型一圆的方程1.过点()()1,1,1,1A B --，且圆心在直线20x y +-=上的圆的方程是（）A ．()()22314x y -++=B ．()()22314x y ++-=C ．()()22114x y -+-=D ．()()22114x y +++=2.设(2,1),(4,1)A B -，则以线段AB 为直径的圆的方程是（）A ．22(3)2x y -+=B ．22(3)8x y -+=C ．22(3)2x y ++=D ．22(3)8x y ++=3.圆心为()1,2-，且与x 轴相切的圆的标准方程为（）A ．()()22122x y -+=+B ．()()22124x y -++=C ．()()22122x y ++-=D ．()()22124x y ++-=4.已知点()3,6A ，()1,4B ，()1,0C ，则ABC ∆外接圆的圆心坐标为()A ．()5,2B ．()5,2-C ．()2,5D ．()5,2-5根据下列条件，求圆的标准方程：(1)圆心在点()2,1A -，且过点()2,2B -；(2)过点()0,0C 和点()0,2D ，半径为2；(3)()1,2E ，()3,4F 为直径的两个端点；(4)圆心在直线:2380l x y +-=上，且过点()1,0P 和点()3,2Q ．6圆心在直线3y x =+上，且过点()()2,4,1,3A B -的圆的标准方程为.设圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长之比为3：1；③圆心到7.直线:20l x y -=的距离为55，求该圆的方程．题型二根据圆的方程求参数1.方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的范围是()A ．a <－2或a >23B ．－23<a <2C ．－2<a <0D ．－2<a <232．“12m >”是“2222530x y mx m m +---+=为圆方程”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3.若点()1,1在圆2210x y x ay ++++=外，则实数a 的取值范围是4.已知圆1C 的方程为222422210x y x my m m +-++-+=．（1）求实数m 的取值范围；（2）求当圆的面积最大时圆1C 的标准方程；（3）求当圆的面积最大时，圆1C 关于直线l ：10x y -+=对称的圆2C 的方程．题型三点与圆的位置关系1.已知点P （1，2）在圆C ：x 2+y 2+kx +4y +k 2+1＝0的外部，则k 的取值范围是（）A ．k ∈RB ．k ＜2C ．k ＞2D ．﹣2＜k ＜22直线210kx y k +--=与圆222220x y x y +---=的位置关系是()A ．相离B ．相切C ．相交D ．相交不过圆心3.若点(,1)M m m -在圆22:2410C x y x y +-++=内，则m 的取值范围（）A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞ C ．[1,1]-D ．(,1][1,)-∞-+∞ 4.若点()2,1a a +在圆()2215x y +-=的内部，则实数a 的取值范围是()A ．(-1,1)B ．(0,1)C ．11,5⎛-⎫ ⎪⎝⎭D ．1,15⎛⎫- ⎪⎝⎭题型四对称问题1已知圆C ：x 2+y 2=4，则圆C l ：x ﹣y ﹣3=0对称的圆的方程为（）A ．x 2+y 2﹣6x +6y +14=0B ．x 2+y 2+6x ﹣6y +14=0C ．x 2+y 2﹣4x +4y +4=0D ．x 2+y 2+4x ﹣4y +4=02已知圆221:4C x y +=与圆2C 关于直线250x y ++=对称，则圆2C 的标准方程为（）A ．()()22424x y +++=B ．()()22424x y -+-=C ．()()22244x y +++=D ．()()22244x y -+-=3.圆22:630C x y x y ++-+=上有两点A ,B 关于直线40kx y -+=对称，则k =()A ．2B ．2C ．32±D ．不存在题型五轨迹方程1.已知定点(3,0)B ，点A 在圆22(1)4x y ++=上运动，则线段AB 的中点M 的轨迹方程是（）A ．22(1)1x y ++=B ．22(2)4x y -+=C ．22(1)1x y -+=D ．22(2)4x y ++=3.公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了经典之作《圆锥曲线论》，在此著作第七卷《平面轨迹》中，有众多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆.已知平面内有两点()1,0A -和()2,1B ，且该平面内的点P 满足PA =，若点P 的轨迹关于直线20(0,0)mx ny m n +-=>>对称，则2315m n+-的最小值是（）A ．10+B ．10+C ．5-+D ．7-+3.已知圆22:4O x y +=，A ，B 是圆上两点，点()1,2P 且PA PB ⊥，则线段AB 中点R 的轨迹方程是______.4.若动点P 到两点()()1,0,2,0A B 的距离之比为2，则点P 的运动轨迹方程为_________.5已知圆C 经过点()()1,41,2A B --,且圆心C 在直线280x y -+=上.(1)求圆C 方程；(2)若E 点为圆C 上任意一点，且点()3,0F ，求线段EF 的中点M 的轨迹方程.6.已知圆C 过三个点(1,0),(3,2),(5,0)M N R ．(1)求圆C 的方程：(2)已知O 为坐标原点，点A 在圆C 上运动，求线段OA 的中点P 的轨迹方程．7.已知圆C 经过点()()3,11,3A B -，且圆心C 在直线320x y --=上.(1)求圆C 方程；(2)若E 点为圆C 上任意一点，且点()4,0F ，求线段EF 的中点M 的轨迹方程.已知方程()2222410621190x y kx k y k k +++++++=表示圆，其圆心为C .(1)求圆心坐标以及该圆半径r 的取值范围；(2)若2k =-，线段AB 的端点A 的坐标为()0,4，端点B 在圆C 上运动，求线段AB 中点M 的轨迹方程题型六综合运用1已知直线10x ay +-=过定点P ，线段MN 是圆()()22321x y -+-=的直径，则PM PN ⋅= （）AB ．3C ．7D ．92已知()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y 为单位圆221x y +=上的三点，有1230x x x ++=，1230y y y ++=，则222123x x x ++=（）A ．0B ．32C ．2D ．33.若直线2(0,0)ax by a b +=>>经过圆222210x y x y +--+=的圆心，则14a b+的最小值是（）A ．72B ．4C ．5D ．9 24.已知x 、y 满足224240x y x y +--+=，则22x y +的最大值为（）A1B ．6C 1+D ．63已知圆的方程为22680x y x y +--=，设该圆过点()6,2的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（）A ．B ．C ．D ．4动直线10mx ny +-=()0,0m n >>平分圆()()22111x y -+-=的周长，则4112n m n++的最小值（）A ．32B ．52C ．54D ．945已知点P 在直线3y x =--上运动，M 是圆221x y +=上的动点，N 是圆22(9)(2)16x y -+-=上的动点，则PM PN +的最小值为（）A ．13B ．11C ．9D ．86.直线30x y ++=分别与x 轴，y 轴交于,A B 两点，点P 在圆()2232x y -+=上，则ABP 面积的取值范围．7.若直线l ：10ax by ++=始终平分圆M ：224210x y x y ++++=的周长，则()()2227a b -+-的最小值为.。