高二数学 寒假作业 第14天 利用导数研究函数的零点或方程的根 文 新人教A版

第14天导数(一)【课标导航】1.导数的概率及几何意义； 2导数的计算。

、选择题1.一质点运动的方程为s 5 3t 2，则在一段时间1, 1 △ t 内相应的平均速度为B.3^ t 6 C. 3^ t 6D.3^ t 62.将半径为R 的球加热，若球的半径增加△ R,则球的体积增加约等于()D. y '= cos A. 4 R 3^ R3B. 4 R 2△ RC. 4R 2D.4 R △ R3.已知函数 y x1的图象上一点(1, 2 )及邻近-点 1 △ x, 2 △ y，则△ y 等于△ x()A. 2B. 2xC. 2+ △xD.2+A x 24.若曲线y — x + ax + b 在点(0 , b )处的切线方程是x — y + 1 — 0,则( )A . a —1, b — 1B. a — — 1, b — 1C. a — 1, b ——1 D . a —— 1, b——15.函数 y = sin x A . y ，=— cos B . y '= cos x — sin x C sin x6.点 P 在曲线y彳上移动，设点P 处切线的倾斜角为，则角的取值范围A .7.过点(-1 , 0)作抛物线y x 2 x 1的切线，则其中一条切线为() A. 2x y 20 B. 3x y 3 0 C. x y 1 0 D.x y 1 0&设函数y xsinx cosx 的图像上的点(x, y)处的切线斜率为k ，若k g(x)，则函数二、填空题329. 已知函数f (x) = x - 3ax + 3bx 的图像与直线12x+ y- 1= 0切于点(1,- 11).则a b ________ .10. 已知f x 为偶函数，当x 0时，f(x) e x1 x ，则曲线y f x 在(1,2)处的切线 方程为111. 直线y x b 是曲线y ln x x 0的一条切线，则实数212 .下列结论正确的结论为 _________________ .1 1①y = ln 2，则 y'=:② y=—2，则 y'|x =3 二2x③y = 2：则 y '= 2ln 2;④ y=log 1 x ,2三、解答题: 0)在点M (t,e 七)处的切线l 与x 轴、y 轴所围成的三角形面积为则y'=1xln22 27；13.设曲线y e x (xS(t )。

利用导数研究零点问题及方程的根的问题1.已知函数f x =x cos x +14x 2，f ′x 为f x 的导函数．(1)若x ∈0,π2 ,f x ≥mx 2成立，求m 的取值范围；(2)证明：函数g x =f ′x +cos x 在0,π2 上存在唯一零点．2.已知函数f x =e x+ae x-a-1x-2a∈R(1)求函数f(x)的单调区间.(2)若a∈(-∞,2]，求函数f(x)在区间(-∞,2]上的零点个数.3.设函数f x =x2-ax+2sin x.(1)若a=1，求曲线y=f x的斜率为1的切线方程；(2)若f x 在区间0,2π上有唯一零点，求实数a的取值范围.4.已知f x =e x-2x.(1)求f x 的单调区间；上无实数解(2)证明：方程f x =cos x在-π2,05.已知函数f(x)=e x+sin x-cos x，f (x)为f(x)的导数.(1)证明：当x≥0时，f (x)≥2；(2)设g x =f x -2x-1，证明：g(x)有且仅有2个零点.6.已知函数f x =x2e x-a ln x，a≠0．(1)若a=1e，分析f(x)的单调性；(2)若f(x)在区间(1，e)上有零点，求实数a的取值范围．7.已知函数f x =x -2 e x -ax +a ln x a ∈R ．(1)当a =-1时，求函数f x 的单调区间；(2)当a <e 时，讨论f x 的零点个数．8.函数f x =x -2 e x ,g x =13ax 3-12x 2-x +4a sin x +x +1 ln x +1 ,a >0.(1)求函数f x 在x ∈-1,2 的值域；(2)记f x ,g x 分别是f x ,g x 的导函数，记max m ,n 表示实数m ,n 的最大值，记函数F x =max f x ,g x ，讨论函数F x 的零点个数.9.设函数f x =-12x2+a-1x+a ln x+a2，a>0．(1)若a=1，求函数f x 的单调区间和最值；(2)求函数f x 的零点个数，并说明理由．10.已知函数f x =x-2sin x．(1)求f x 在0,π的极值；(2)证明：函数g x =ln x-f x 在0,π有且只有两个零点．11.已知函数f(x)=ax2-x-ln x．(1)当a=1时，求f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在定义域内有两个不相等的零点x1,x2．①求实数a的取值范围；②证明：f x1+x2．>2-ln x1+x212.已知函数f x =e x-1-ln x-ax，a∈R.(1)当a=e-12时，求函数f x 的单调性；(2)当a>0时，若函数f x 有唯一零点x0，证明：1<x0<2.13.已知函数f x =sin x -x +a cos x ，函数g x =13x 3+12ax 2，其中a≥0.(1)判断函数f x 在0,π 上的单调性，并说明理由；(2)证明：曲线y =f x 与曲线y =g x 有且只有一个公共点.14.已知函数f x =3xx+3，g x =b sin x，曲线y=f x 和y=g x 在原点处有相同的切线l．(1)求b的值以及l的方程；(2)判断函数h x =f x -g x 在0,+∞上零点的个数，并说明理由．15.已知函数f (x )=ax ln x -2x ．(1)若f (x )在x =1处取得极值，求f (x )的单调区间；(2)若函数h (x )=f (x )x-x 2+2有1个零点，求a 的取值范围．16.已知f x =x2-x,x≥-1x+3,x<-1，g x=ln x+a．(1)存在x0满足：f x0=g x0，f x0=g x0，求a的值；(2)当a≤4时，讨论h x =f x -g x 的零点个数．17.已知函数f(x)=ln x-a+1x，g(x)=a(x-2)e1-x-1，其中a∈R.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当0<a<53时，是否存在x1,x2，且x1≠x2，使得f x i =g x i (i=1,2)？证明你的结论.18.设函数f x =ae x+sin x-3x-2，e为自然对数的底数，a∈R.(1)若a≤0，求证：函数f x 有唯一的零点；(2)若函数f x 有唯一的零点，求a的取值范围.19.已知函数f x =e x -2a x a >0 .(1)若a =e ，讨论f x 的单调性；(2)若x 1，x 2是函数f x 的两个不同的零点，证明：1<x 1+x 2<2ln a +ln2.20.已知函数f x =log a x-x-1x+1,a>0且a≠1.(1)若a=e，求曲线y=f x 在点1,f1处的切线方程；(2)讨论函数f x 的零点个数.21.已知函数f x =a ln x +x +1x，其中a >0.(1)当a =1时，求f x 的最小值；(2)讨论方程e x +e -x -a ln ax -1ax =0根的个数.22.已知函数f x =x +b e x -a ．(b >0)在-1,f -1 处的切线l 方程为e -1x +ey +e -l =0．(1)求a ，b ，并证明函数y =f x 的图象总在切线l 的上方(除切点外)；(2)若方程f x =m 有两个实数根x 1，x 2．且x 1<x 2．证明：x 2-x 1≤1+m 1-2e 1-e．23.已知函数f x =ax+ln x，其中a∈R.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若过点P(1，0)且与曲线y=f x 相切的直线有且仅有两条，求实数a的取值范围.24.已知函数f (x )=(x -1)e x -ax 2+b ．(1)讨论f (x )的单调性；(2)从下面两个条件中选一个，证明：f (x )只有一个零点①12<a ≤e 22,b >2a ；②0<a <12,b ≤2a ．25.已知函数f x =e x 1+a ln x ．(1)当f x 有两个极值点时，求a 的取值范围；(2)若a ≥32，且函数f x 的零点为x 1，证明：导函数f x 存在极小值点，记为x 2，且x 1>x 2．26.函数f(x)=x-sin x-cos x．上的极值；(1)求函数f(x)在-π,π2(2)证明：F(x)=f(x)-ln x有两个零点．27.已知函数f(x)=e x-a sin x-1在区间0,π2内有唯一极值点x1.(1)求实数a的取值范围；(2)证明：f(x)在区间(0,π)内有唯一零点x2，且x2<2x1.28.已知函数f(x)=e x-ax和g(x)=ax-ln x有相同的最小值．(1)求a；(2)证明：存在直线y=b，其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．29.已知函数f x =x3+bx 2x.(1)当b=0时，求f x 的单调区间；(2)设函数g x =2x f x +c在x=2处的切线与x轴平行，若g x 有一个绝对值不大于4的零点，证明：g x 所有零点的绝对值都不大于4.30.已知函数f(x)=ae2x-x2,a∈R．(1)设f(x)的导函数为g(x)，讨论g(x)零点的个数；(2)设f(x)的极值点为x1,x2x1<x2，若ee-2x1+x2≥λx1x2恒成立，求实数λ的取值范围．31.已知函数f x =e mx +nx m ≠0 ．当m =1时，曲线y =f x 在点0,f 0 处的切线与直线x -y +1=0垂直．(1)若f x 的最小值是1，求m 的值；(2)若A x 1,f x 1 ，B x 2f x 2 x 1<x 2 是函数f x 图象上任意两点，设直线AB 的斜率为k ．证明：方程f x =k 在x 1,x 2 上有唯一实数根．32.已知函数f x =xe nx -nx (n ∈N *且n ≥2)的图象与x 轴交于P ，Q 两点，且点P 在点Q 的左侧．(1)求点P 处的切线方程y =g x ，并证明：x ≥0时，f x ≥g x ．(2)若关于x 的方程f x =t (t 为实数)有两个正实根x 1,x 2，证明：x 1-x 2 <2t n ln n +ln n n．33.已知函数f x =xe x -a sin x a ∈R ．(1)若∀x ∈0,π，f x ≥0，求a 的取值范围；(2)当a ≥-59时，试讨论f x 在0,2π 内零点的个数，并说明理由．34.已知函数f(x)=a ln x．(1)记函数g(x)=x2-(a+2)x+f(x)，当a>2时，讨论函数g(x)的单调性；(2)设h(x)=f(x)-x2，若h(x)存在两个不同的零点x1,x2，证明：2e<a<x12 +x22(e为自然对数的底数)．35.已知函数f x =3x -1 e x -32ax 2．其中实数a ∈0,+∞ ．(1)讨论函数f x 的单调性；(2)求证：关于x 的方程f x +32=32ax 2-x 3有唯一实数解．。

- 1 - ．专题．．】．利用导数研究函数的零点或方程的根．．．．．．．．．．．．．．．．专题概述：研究方程根、函数零点或图象交点的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．1.利用导数研究方程根(函数零点)的技巧(1)研究方程根的情况,可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等. (2)根据题目要求,画出函数图像的走势规律,标明函数极(最)值的位置.(3)利用数形结合的思想去分析问题,可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现. 2.已知函数零点个数求参数的常用方法(1)分离参数法:首先分离出参数,然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值,根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围.(2)分类讨论法:结合单调性,先确定参数分类的标准,在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意,将满足题意的参数的各小范围并在一起,即为所求参数范围. 3.处理函数y=f(x)与y=g(x)图像的交点问题的常用方法(1)数形结合,即分别作出两函数的图像,观察交点情况;(2)将函数交点问题转化为方程f(x)=g(x)根的个数问题,通过构造函数y=f(x)-g(x),利用导数研究函数的单调性及极值,并作出草图,根据草图确定根的情况.4.判断函数零点个数的常用方法(1)直接研究函数，求出极值以及最值，画出草图．函数零点的个数问题即是函数图象与x 轴交点的个数问题． (2)分离出参数，转化为a ＝g(x)，根据导数的知识求出函数g(x)在某区间的单调性，求出极值以及最值，画出草图．函数零点的个数问题即是直线y ＝a 与函数y ＝g(x)图象交点的个数问题．只需要用a 与函数g(x)的极值和最值进行比较即可．1.若函数f(x)=x 3-3x+a 有3个不同的零点,则实数a 的取值范围是( C )A.(-∞,-1)B.(1,+∞)C.D.【解析】选C.因为f ′(x)=3x 2-3=3(x+1)(x-1).当x<-1时,f ′(x)>0,当-1<x<1时,f ′(x)<0,当x>1时,f ′(x)>0,所以当x=-1时,f(x)有极大值,当x=1时,f(x)有极小值.要使f(x)有3个不同的零点,只需解得-2<a<2.2.若函数f(x)=xlnx-a 有两个零点,则实数a 的取值范围为 ( C ) A.B.C. D. 【解析】选C.函数的定义域为(0,+∞),由f(x)=0得a=xlnx,记g(x)=xlnx. 则g ′(x)=lnx+1,由g ′(x)>0得x>,由g ′(x)<0得0<x<.所以g(x)在上单调递减,在上单调递增,- 2 - 且g(x)min =g()=-,由图可知-<a<0.3.(2021·石嘴山模拟)若函数f(x)=x 2e x-a 恰有3个零点,则实数a 的取值范围是( B ) A.B.C.(0,4e 2) D.(0,+∞) 【解析】选B.函数f(x)=x 2e x -a 的导数为f ′(x)=2xe x +x 2e x =xe x (x+2),令f ′(x)=0,则x=0或-2,函数在(-2,0)上单调递减,在(-∞,-2),(0,+∞)上单调递增,所以0或-2是函数f(x)的极值点,函数的极值为:f(0)=0-a=-a,f(-2)=4e -2-a=-a,函数f(x)=x 2e x -a 恰有三个零点,则实数a 的取值范围是.4.(2019届宜州调研)设f(x)＝|lnx|，若函数g(x)＝f(x)－ax 在区间(0，4)上有三个零点，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，1eB.⎝⎛⎭⎫ln 22，eC.⎝⎛⎭⎫0，ln 22D.⎝⎛⎭⎫ln 22，1e解析：选D.令y 1＝f(x)＝|lnx|，y 2＝ax ，若函数g(x)＝f(x)－ax 在区间(0，4)上有三个零点，则y 1＝f(x)＝|lnx|与y 2＝ax 的图象(图略)在区间(0，4)上有三个交点．由图象易知，当a ≤0时，不符合题意；当a>0时，易知y 1＝|lnx|与y 2＝ax 的图象在区间(0，1)上有一个交点，所以只需要y 1＝|lnx|与y 2＝ax 的图象在区间(1，4)上有两个交点即可，此时|lnx|＝lnx ，由lnx ＝ax ，得a ＝ln x x .令h(x)＝ln xx ，x ∈(1，4)，则h ′(x)＝1－ln x x 2，故函数h(x)在(1，e)上单调递增，在(e ，4)上单调递减，h(e)＝ln e e ＝1e ，h(1)＝0，h(4)＝ln 44＝ln 22，所以ln 22<a<1e，故选D ．5.已知函数()2xmf x xe mx =-+在(0,)+∞上有两个零点，则m 的取值范围是（ D ） A.()0,eB.()0,2eC.(,)e +∞D.(2,)e +∞【答案】D 【解析】函数()2xmf x xe mx =-+在(0,)+∞上有两个零点， 等价于()xh x xe =与1()()2g x m x =-有两个不同的交点，()g x 恒过点1(,0)2，设()g x 与()h x 相切时切点为(,)aa ae ，因为()(1)x h x e x '=+，所以切线斜率为(1)a e a +，则切线方程为(1)()a ay ae a e x a -=+-，当切线经过点1(,0)2时，解得1a =或12a =-（舍），此时切线斜率为2e ，由函数图像特征可知：函数()2xm f x xe mx =-+在(0,)+∞上有两个零点，则实数m 的取值范围是(2,)e +∞，故选D ．6.若函数f(x)＝ax －aex ＋1(a<0)没有零点，则实数a 的取值范围为____(－e 2，0)____．- 3 - 解析：f ′(x)＝ae e 2x ＝e x.当a<0时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：x (－∞，2) 2 (2，＋∞) f ′(x) － 0 ＋ f(x) 极小值若使函数f(x)没有零点，当且仅当f(2)＝ae2＋1>0，解得a>－e 2，所以此时－e 2<a<0，故实数a 的取值范围为(－e 2，0)．答案：(－e 2，0)7.已知f(x)＝1x ＋e x e －3，F(x)＝lnx ＋e xe－3x ＋2.(1)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性；(2)判断函数F(x)在(0，＋∞)上零点的个数．解：(1)f′(x)＝－1x 2＋e x e ＝x 2e x －eex 2，令f′(x)＞0，解得x ＞1，令f′(x)<0，解得0<x<1，所以f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．(2)F′(x)＝f(x)＝1x ＋e xe－3，由(1)得∃x 1，x 2，满足0<x 1<1<x 2，使得f(x)在(0，x 1)上大于0，在(x 1，x 2)上小于0，在(x 2，＋∞)上大于0，即F(x)在(0，x 1)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，在(x 2，＋∞)上单调递增， 而F(1)＝0，当x →0时，F(x)→－∞，当x →＋∞时，F(x)→＋∞， 画出函数F(x)的草图，如图所示．故F(x)在(0，＋∞)上的零点有3个．8.已知函数f(x)＝xln x＋ax ，x>1.(1)若f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求实数a 的取值范围； (2)若a ＝2，求函数f(x)的极小值；(3)若方程(2x －m)ln x ＋x ＝0，在(1，e]上有两个不等实根，求实数m 的取值范围．[解析](1)f ′(x)＝ln x －1ln 2x ＋a ，由题意可得f ′(x )≤0在(1，＋∞)上恒成立，∴a ≤1ln 2x －1ln x ＝221ln 1⎪⎭⎫ ⎝⎛-x －14.∵x ∈(1，＋∞)，∴ln x ∈(0，＋∞)，∴当1ln x －12＝0时，函数t ＝221ln 1⎪⎭⎫ ⎝⎛-x －14的最小值为－14，∴a ≤－14. 故实数a 的取值范围为⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-41,(2)当a ＝2时，f(x)＝xln x ＋2x ，f ′(x)＝ln x －1＋2ln 2x ln 2x，令f ′(x)＝0，得2ln 2x ＋lnx －1＝0，解得lnx ＝12或lnx ＝－1(舍)，即x ＝e 12.当1<x<e 12时，f ′(x)<0，当x>e 12时，f ′(x)>0，∴f(x)的极小值为f(e 12)＝e 1212＋2e 1e ＝4e 12.(3)将方程(2x －m)lnx ＋x ＝0两边同除以lnx 得(2x －m)＋x ln x ＝0，整理得xln x＋2x ＝m ，即函数g(x)＝xln x＋2x 的图象与函数y ＝m 的图象在(1，e]上有两个不同的交点．- 4 - 由(2)可知，g(x)在(1，e 12)上单调递减，在(e 12，e]上单调递增，g(e 12)＝4e 12，g(e)＝3e ，在(1，e]上，当x →1时，x ln x →＋∞，∴4e 12<m ≤3e ，故实数m 的取值范围为(4e 12，3e]． 9.(2020年高考全国Ⅲ卷文数20)已知函数()32f x x kx k =-+．（1）讨论()f x 的单调性：（2）若()f x 有三个零点，求k 的取值范围．【答案】（1）详见解析；(2)4(0,)27． 【思路导引】（1）'2()3f x x k =-，对k 分0k ≤和0k >两种情况讨论即可；（2）()fx 有三个零点，由（1）知0k >，且(00f f ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，解不等式组得到k 的范围，再利用零点存在性定理加以说明即可．【解析】（1）由题，'2()3f x x k =-，当0k ≤时，'()0f x ≥恒成立，∴()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；当0k >时，令'()0f x =，得x ='()0f x <，得x << 令'()0f x >，得x <x>()f x在(上单调递减，在(,-∞，)+∞上单调递增．（2）由（1）知，()f x 有三个零点，则0k>，且(00f f ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，即22203203k k ⎧+>⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩，解得4027k <<，当4027k <<>20f k =>，∴()fx 在上有唯一一个零点，同理1k --<32(1)(1)0f k k k --=--+<，∴()f x 在(1,k --上有唯一一个零点，又()fx 在(上有唯一一个零点，∴()f x 有三个零点． 综上可知k 的取值范围为4(0,)27．10.（2020•新课标Ⅰ）已知函数()(2)x f x e a x =-+．（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．【分析】（1）当1a =时，()1x f x e '=-，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，再由导函数在各区间段内的符号求得原函数的单调性；（2）当0a 时，()0x f x e a '=->恒成立，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，不合题意；当0a >时，利用导数可得函数单调性，得到函数极值，结合题意由极小值小于0即可求得a 的取值范围． 【解答】解：由题意，()f x 的定义域为(,)-∞+∞，且()x f x e a '=-． （1）当1a =时，()1x f x e '=-，令()0f x '=，解得0x =．- 5 - 当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增．()f x ∴在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增；（2）当0a 时，()0x f x e a '=->恒成立，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，不合题意； 当0a >时，令()0f x '=，解得x lna =，当(,)x lna ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减， 当(,)x lna ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增．()f x ∴的极小值也是最小值为()(2)(1)f lna a a lna a lna =-+=-+． 又当x →-∞时，()f x →+∞，当x →+∞时，()f x →+∞． ∴要使()f x 有两个零点，只要()0f lna <即可，则10lna +>，可得1a e>．综上，若()f x 有两个零点，则a 的取值范围是1(e，)+∞．11.(2019届贵阳摸底)已知函数f(x)＝kx －lnx(k ＞0)． (1)若k ＝1，求f(x)的单调区间；(2)(一题多解)若函数f(x)有且只有一个零点，求实数k 的值．解：(1)若k ＝1，则f(x)＝x －ln x ，定义域为(0，＋∞)，则f ′(x)＝1－1x，由f ′(x)＞0，得x ＞1；由f ′(x)＜0，得0＜x ＜1，所以f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)． (2)解法一：由题意知，方程kx －ln x ＝0仅有一个实根，由kx －ln x ＝0，得k ＝ln xx(x ＞0)，令g(x)＝ln xx (x ＞0)，则g ′(x)＝1－ln x x 2，令g ′(x)＝0，则x ＝e ；当0＜x ＜e 时，g ′(x)＞0；当x ＞e 时，g ′(x)＜0. 所以g(x)在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，所以g(x)max ＝g(e)＝1e.当x →＋∞时，g(x)→0，当x →0时，g(x)→－∞.又k ＞0，所以要使f(x)仅有一个零点，则k ＝1e.解法二：因为f(x)＝kx －ln x ，所以f ′(x)＝k －1x ＝kx －1x(x ＞0，k ＞0)．令f ′(x)＝0，则x ＝1k ；当0＜x ＜1k 时，f ′(x)＜0；当x ＞1k ，f ′(x)＞0.所以f(x)在⎝⎛⎭⎫0，1k 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1k ，＋∞上单调递增， 所以f(x)min ＝f ⎝⎛⎭⎫1k ＝1－ln 1k， 因为f(x)有且只有一个零点，所以1－ln 1k ＝0，即k ＝1e.12.已知函数f(x)＝xsinx ＋acosx ＋x ，a ∈R.(1)当a ＝2时，求f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值；(2)当a>2时，若方程f(x)－3＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有唯一解，求a 的取值范围.解(1)当a ＝2时，f(x)＝xsinx ＋2cosx ＋x ，所以f ′(x)＝－sinx ＋xcosx ＋1.- 6 - 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2时，1－sinx>0，xcosx>0，所以f ′(x)>0.所以f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2上单调递增.因此f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π，最小值为f(0)＝2. (2)当a>2时，f ′(x)＝(1－a)sinx ＋xcosx ＋1.设h(x)＝(1－a)sinx ＋xcosx ＋1， h ′(x)＝(2－a)cosx －xsinx ，因为a>2，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以h ′(x)<0.所以h(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减.因为h(0)＝1>0，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1－a ＋1＝2－a<0，所以存在唯一的x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，使h(x 0)＝0，即f ′(x 0)＝0.所以f(x)在区间[0，x 0]上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0，π2上单调递减. 因为f(0)＝a ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π，又因为方程f(x)－3＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有唯一解，所以2<a ≤3.13.[2020·北京市适应性测试]已知函数f(x)＝sinx －xcosx －16x 3，f ′(x)为f(x)的导数．(1)证明：f ′(x)在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上不存在零点； (2)若f(x)>kx －xcosx －16x 3－1对x ∈⎛⎭⎫0，π2恒成立，求实数k 的取值范围．- 7 - 解：(1)证明：令g(x)＝lnx －x＋1(x>0)，则g(1)＝0，g ′(x)＝1x －1＝1－x x，∴当x ∈(0，1)时，g ′(x)>0，函数g(x)单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x)<0，函数g(x)单调递减． ∴当x ＝1时，函数g(x)取得极大值也是最大值，∴g(x)≤g(1)＝0，即ln x ≤x －1.(2)f ′(x)＝1x －2x ＋a ＝－2x 2＋ax ＋1x ，x>0.令－2x 2＋ax ＋1＝0，解得x 0＝a ＋a 2＋84(负值舍去)，在(0，x 0)上，f ′(x)>0，函数f(x)单调递增，在(x 0，＋∞)上，f ′(x)<0，函数f(x)单调递减．∴f(x)max ＝f(x 0)． 当a ＝1时，x 0＝1，f(x)max ＝f(1)＝0，此时函数f(x)只有一个零点x ＝1.当a>1时，f(1)＝a －1>0，f ⎝⎛⎭⎫12a ＝ln 12a －14a 2＋12<12a －1－14a 2＋12＝－⎝⎛⎭⎫12a －122－14<0，f(2a)＝ln 2a －2a 2<2a －1－2a 2＝－2⎝⎛⎭⎫a －122－12<0.∴函数f(x)在区间⎝⎛⎭⎫12a ，1和区间(1，2a)上各有一个零点．综上可得，当a ＝1时，函数f(x)只有一个零点x ＝1； 当a>1时，函数f(x)有两个零点．1.利用导数研究高次式、分式、指数式、对数式、三角式及绝对值式结构函数零点个数(或方程根的个数)问题的一般思路(1)可转化为用导数研究其函数的图象与x 轴(或直线y ＝k)在该区间上的交点问题；(2)证明有几个零点时，需要利用导数研究函数的单调性，确定分类讨论的标准，确定函数在每一个区间上的极值(最值)、端点函数值等性质，进而画出函数的大致图象．再利用零点存在性定理，在每个单调区间内取值证明f(a)·f(b)＜0.2.证明复杂方程在某区间上有且仅有一解的步骤第一步，利用导数证明该函数在该区间上单调；第二步，证明端点的导数值异号． 3.已知函数有零点求参数范围常用的方法(1)分离参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从f(x)中分离出参数，再利用求导的方法求出构造的新函数的最值，最后根据题设条件构建关于参数的不等式，确定参数范围； (2)分类讨论法：一般命题情境为没有固定区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围．1.已知函数()25xf x ex --=-的零点位于区间(),1m m +，m ∈Z 上，则42log m m +=（ D ）A.14-B.14C.12 D.34【答案】D.【解析】易知函数()f x 单调递减，因为()2210f e -=->，()130f e -=-<，由零点存在定理可知，函数()f x 的零点在区间()2,1--内，则2m =-．所以2441132log 2log 2424mm -+=+=+=．故选:D ． 2.若函数2()32f x x x a =-+在[)0,+∞上有2个零点，则实数a 的取值范围为（ D ）A.99,88⎛⎫-⎪⎝⎭ B.90,8⎛⎤⎥⎝⎦C.9,08⎛⎫-⎪⎝⎭D.90,8⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D.【解析】因为二次函数2()32f x x x a =-+开口向上，且对称轴为32x =，- 8 - 若2()32f x x x a =-+在[0,+∞上有2个零点，只需(0)0302f f ≥⎧⎪⎨⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎩，即0992042a a ≥⎧⎪⎨-+<⎪⎩，解得098a a ≥⎧⎪⎨<⎪⎩，即908a ≤<，故选：D. 3.（2020•广东二模）已知21()cos 1()2f x ax x a R =+-∈，若函数()f x 有唯一零点，则a 的范围为( D )A.(,0)-∞B.(-∞，0][1，)+∞C.(-∞，1][1，)+∞D.(,0)[1-∞，)+∞【分析】求导，构造辅助函数()()sin g x f x x ax ='=-+，则()cos g x x a '=-+，当1a 时，可知()g x 在R 上单调递增，(0)0g =，即可判断()f x 在[0，)+∞上为增函数，在(,0)-∞上为减函数，由()0f x =，即可证明，当1a 时，()f x 有唯一的零点；然后验证0a =时，函数的零点的个数，判断选项即可． 【解答】解：因为()sin ()f x x ax x R '=-+∈．令()sin g x x ax =-+，则()cos g x x a '=-+， 所以当1a 时，()cos 0g x x a '=-+，即()g x 在R 上单调递增，又(0)sin 00g =-=，所以[0x ∈，)+∞，()0f x '，当(,0)x ∈-∞，()0f x '<， 所以()f x 在[0，)+∞上为增函数，在(,0)-∞上为减函数， 又(0)0f =，所以当[0x ∈，)+∞，()0f x ，当(,0)x ∈-∞，对x R ∈恒成立，即当1a 时，()0f x ，且当且仅当0x =，()0f x =，故当1a 时，()f x 有唯一的零点；排除A ，当0a =时，()cos 1f x x =-，令()0f x =，可得cos 1x =，有无数解，所以0a =，不成立，排除BC ， 故选：D ．4.（多选题）函数()()1,1,ln 1,1,x e x f x x x -⎧≤⎪=⎨->⎪⎩若函数()()g x f x x a =-+只有一个零点，则a 可能取的值有（ ABC ）A ．2B ．2-C ．0D ．1【答案】ABC【解析】∵()()g x f x x a =-+只有一个零点，∴函数()y f x =与函数y x a =-有一个交点，作函数函数()()1,1,ln 1,1,x e x f x x x -⎧≤⎪=⎨->⎪⎩与函数y x a =-的图象如下，结合图象可知，当0a ≤时；函数()y f x =与函数y x a =-有一个交点；当0a >时，ln(1)y x =-，可得11y x '=-，令111x =-可得2x =，所以函数在2x =时，直线与ln(1)y x =-相切，可得2a =.综合得：0a ≤或2a =.故选：ABC.5.（2020•西安二模）已知函数()(x f x e kx m k =--、m 为实数，e 为自然对数的底数， 2.71828)e ≈． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当2k =，1m =时，判断函数()f x 零点的个数并证明．- 9 -（2）先由导数与单调性关系分析函数的性质，然后结合函数零点判定定理即可求解． 【解答】解：（1）()x f x e k '=-，①0k 时，()0f x '>恒成立，故()f x 的单调递增区间(,)-∞+∞，没有单调递减区间； ②0k >时，易得，当x lnk >时，()0f x '>，当x lnk <时，()0f x '<， 故函数的单调递增区间(,)lnk +∞，单调递减区间(,)lnk -∞，（2）当2k =，1m =时，()21x f x e x =--的零点个数为2个，证明如下： 由（1）在(,2)ln -∞单调递减，且(0)0f =， 故()f x 在(,2)ln -∞有且仅有1个零点，又因为()f x 在(2,)ln +∞上单调递增且f （1）30e =-<，f （2）250e =->且()f x 在[1，2]上连续不间断， 故()f x 在[1，2]上有且仅有1个零点． 综上()f x 有且仅有2个零点．6.函数f(x)＝ax ＋xlnx 在x ＝1处取得极值．(1)求f(x)的单调区间；(2)若y ＝f(x)－m －1在定义域内有两个不同的零点，求实数m 的取值范围．解：(1)由题意知，f ′(x)＝a ＋lnx ＋1(x>0)，f ′(1)＝a ＋1＝0，解得a ＝－1，当a ＝－1时，f(x)＝－x ＋xlnx ， 即f ′(x)＝lnx ，令f ′(x)>0，解得x>1；令f ′(x)<0，解得0<x<1.所以f(x)在x ＝1处取得极小值，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1)．(2)y ＝f(x)－m －1在(0，＋∞)上有两个不同的零点，可转化为f(x)＝m ＋1在(0，＋∞)上有两个不同的根，也可转化为y ＝f(x)与y ＝m ＋1的图象有两个不同的交点，由(1)知，f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，f(x)min ＝f(1)＝－1，由题意得，m ＋1>－1，即m>－2，① 当0<x<1时，f(x)＝x(－1＋ln x)<0； 当x>0且x →0时，f(x)→0； 当x →＋∞时，显然f(x)→＋∞.如图，由图象可知，m ＋1<0，即m<－1，② 由①②可得－2<m<－1.故实数m 的取值范围为(－2，－1)．7.(2019·福建三明联考)设a 为实数，函数f(x)＝－x 3＋3x ＋a.(1)求f(x)的极值；(2)是否存在实数a ，使得方程f(x)＝0恰好有两个实数根？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)f ′(x)＝－3x 2＋3，令f ′(x)＝0，得x ＝－1或x ＝1.∵当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x)<0；当x ∈(－1,1)时，f ′(x)>0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x)<0， ∴f(x)的极小值为f(－1)＝a －2，极大值为f(1)＝a ＋2.图1(2)由(1)得，f(x)在(－∞，－1)上单调递减，且当x →－∞时，f(x )→＋∞；f(x)在(1，＋∞)上单调递减，且当x →＋∞时，f(x )→－∞，而a ＋2>a －2，即函数的极大值大于极小值，∴当极大值等于0时，极小值小于0，此时曲线f(x)与x 轴恰好有两个交点，即方程f(x)＝0恰好有两个实数根，图2如图1所示．∴a ＋2＝0，即a ＝－2.- 10 - 如图2所示．∴a －2＝0，即a ＝2.综上所述，当a ＝2或a ＝－2时，方程f(x)＝0恰好有两个实数根． 8.(2020届大同调研)已知函数f(x)＝2lnx －x 2＋ax(a ∈R)． (1)当a ＝2时，求f(x)的图象在x ＝1处的切线方程；(2)若函数g(x)＝f(x)－ax ＋m 在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上有两个不同的零点，求实数m 的取值范围．解：(1)当a ＝2时，f(x)＝2lnx －x 2＋2x ，f ′(x)＝2x－2x ＋2，则k ＝f ′(1)＝2.∵f(1)＝1，∴切点坐标为(1，1)．所以切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.(2)由题意得，g(x)＝2lnx －x 2＋m ，则g ′(x)＝2x －2x ＝－2（x ＋1）（x －1）x.∵x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e ，∴令g ′(x)＝0，得x ＝1. 当1e≤x<1时，g ′(x)>0，g(x)单调递增；当1<x ≤e 时，g ′(x)<0，g(x)单调递减． 故g(x)在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上有最大值g(1)＝m －1.又g ⎝⎛⎭⎫1e ＝m －2－1e 2，g(e)＝m ＋2－e 2，g(e)－g ⎝⎛⎭⎫1e ＝4－e 2＋1e 2<0，则g(e)<g ⎝⎛⎭⎫1e ， ∴g(x)在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上的最小值是g(e)．g(x)在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上有两个不同的零点的条件是⎩⎪⎨⎪⎧g （1）＝m －1>0，g ⎝⎛⎭⎫1e ＝m －2－1e 2≤0，解得1<m ≤2＋1e 2， ∴实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤1，2＋1e 2.。

专题14利用导数研究函数零点问题一．函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围.求解步骤：第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与x 轴(或直线y k =)在某区间上的交点问题；第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像；第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数.二．利用导数确定函数零点的常用方法(1)图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极(最)值的位置，借助数形结合的思想分析问题（画草图时注意有时候需使用极限）．(2)利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数．三．利用函数的零点求参数范围的方法(1)分离参数(()a g x =)后，将原问题转化为()y g x =的值域(最值)问题或转化为直线y a =与()y g x =的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解；(2)利用函数零点存在定理构建不等式求解；(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．专项突破一判断函数零点的个数一、单选题1．函数()23322f x x x =-+-所有零点的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】由题可知，2x ≠±，且233()()()22f x x f x x -=--+=--，故函数()f x 为定义域上的偶函数，且(0)0f =，当0x >，且2x ≠时，233()22f x x x =-+-，23()2(2)f x x x '=---当02x <<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，且(0)0f =，故函数()f x 在区间(0,2)上无零点，当2x >时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，当2x →时，()f x →+∞，当x →-∞时，()f x →-∞，故函数()f x 在区间(2,)+∞上必存在一点0x ，使得0()0f x =，所以函数()f x 在区间(2,)+∞上有1个零点，又函数()f x 为定义域上的偶函数，则函数()f x 在区间(,2)-∞-上有1个零点，又(0)0f =，所以函数()f x 共有3个零点.故选：C.2．已知函数()31ln 01203x x x f x x x +>⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，则函数()()1g x f x x =--的零点个数为（）A ．1B ．0C ．3D ．2【解析】当0x >时，1ln 10x x x +--=，得ln 1x =，即e x =，成立，当0x ≤时，312103x x +--=，得31103x x -+=，设()3113g x x x =-+，()0x ≤，()()()21110g x x x x '=-=+-=，得1x =-或1x =（舍），当(),1x ∈-∞-时，()0g x ¢>，函数()g x 单调递增，当()1,0x ∈-时，()0g x ¢<，函数()g x 单调递减，所以1x =-时，函数取得最大值，()5103g -=>，()010g =>，()350g -=-<，根据零点存在性定理可知，()3,1x ∈--，存在1个零点，综上可知，函数有2个零点.故选：D3．函数()e ln 1xf x x x x =---的零点个数为()A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】()()()()()1e 1111e e 1e 11e x xxx x x x x f x x x x x x x x+-+⎛⎫'=+--=+-+-= ⎪⎝⎭，令()e 1x h x x =-，,()0x ∈+∞，则()e e 0x xh x x =+>'，故h (x )在(0,)+∞上单调递增，∵()010h =-<，()1e 10h =->，∴存在唯一的()00,1x ∈，使得()0 0h x =，即00 e 10xx -=，即001e x x =，00ln x x =-，∴当00x x <<时，()00h x <，()0f x '<，()f x 单调递减，当0x x >时，()00h x >，()0f x '>，()f x 单调递增，∴()0min 000000()e ln 1011xf x f x x x x x x ==--=+---=，∴函数()e ln 1xf x x x x =---的零点个数为1．故选：B ．4．已知()e,a ∈+∞，则函数()ln e x f x a x ax x =+-的零点个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】函数()ln e x f x a x ax x =+-定义域为(0,)+∞，求导得：()(1)(e )xa f x x x'=+-，令()e xa g x x=-，0x >，显然()g x 在(0,)+∞上单调递减，而e a >，()1e 0a g a =-<，(1)e>0g a =-，则存在0(1,)x a ∈，使得0()0g x =，即00e x ax =，当00x x <<时，()0>g x ，()0f x '>，当0x x >时，()0g x <，()0f x '<，因此，()f x 在0(0,)x 上单调递增，在0(,)x +∞上单调递减，0max 000000()()ln e (ln 1)0x f x f x a x ax x a x x ==+-=+->，而11111e e e (ln 1ln 110aaaf a a a a a a a a a=+-=-+-<-+-<，则存在101(,)x x a ∈使得1()0f x =，即()f x 在0(0,)x 上存在唯一零点，又()(ln e )a f a a a a =+-，令()ln e ,e x h x x x x =+->，1()1e 0x h x x'=+-<，则()h x 在(e,)+∞上单调递减，e x ∀>，e 2()(e)1e e 1e e 0h x h <=+-<+-<，于是得()0f a <，则存在20(,)x x a ∈使得2()0f x =，即()f x 在0(,)x +∞上存在唯一零点，综上得：函数()ln e x f x a x ax x =+-的零点个数为2.故选：C 5．已知a ∈R ，则函数()()32113f x x a x x =-++零点的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．与a 有关【解析】令()()321103f x x a x x =-++=，得()3231x a x x =++.令()3231x y x x =++，2y a =，只需看两个图像的交点的个数.()()()()()22232222223121121103311x x x x x x x x y x x x x ++-+++'=⨯=⨯>++++所以()3231x y x x =++在R 上单调递增.当x →-∞时，y →-∞；当x →+∞时，y →+∞；所以2y a =与()3231x y x x =++有且只有一个交点.故选：A6．已知()f x 为R 上的可导函数，当0x ≠时，()()0f x f x x'+>，若()()1F x f x x=+，则函数()F x 的零点个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．0或2【解析】构造函数()()1g x xf x =+，其中0x ≠，则()()()g x f x xf x ''=+，当0x ≠时，()()()()0'+'+=>f x xf x f x f x x x.当0x <时，()()()0g x f x xf x =+'<'，此时，函数()g x 单调递减，则()()01g x g >=；当0x >时，()()()0g x f x xf x ''=+>，此时，函数()g x 单调递增，则()()01g x g >=.所以，当0x <时，()()()110xf x F x f x x x +=+=<；当0x >时，()()()110xf x F x f x x x+=+=>.综上所述，函数()F x 的零点个数为0.故选：A.二、填空题7．设函数()f x 满足()()3229f x f x x x +-=-，则函数()()()3g x f f x =+的零点个数为______.【解析】因为()()3229f x f x x x +-=-①，所以()()3229f x f x x x -+=--②，①×2-②，得()32339f x x x =-，即()323f x x x =-，则()()23632'=-=-f x x x x x ，当2x >，或0x <时()0f x '>，)f x 单调递增，当02x <<时()0f x '<，()f x 单调递减，所以()f x 的极小值为()24f =-，极大值为()00f =，因为()323f x x x =-的零点为0或3，所以由()()()30g x f f x =+=，得()30f x +=或()33f x +=，即()3f x =-或()0f x =，因为()f x 的极小值为()24f =-，极大值为()00f =，所以方程()3f x =-有3个不同的实数解，又()0f x =有2个不同的实数解，所以()()()3g x f f x =+的零点个数为5.8．已知函数1e ,0,()2e ln ,0,x x x f x x x x +⎧≤=⎨⎩＞则函数()()1g x f x =-零点的个数为___________【解析】0x ≤时，1()(1)x f x x e +¢=+，1x <-时，()0f x '<，()f x 递减；10-<≤x 时，()0f x '>，()f x 递增；则1x =-时，()f x 取极小值也是最小值(1)1f -=-；0x >时，()2(1ln )f x e x ¢=+，10x e<<时，()0f x '<，()f x 递减；1x e >时，()0f x '>，()f x 递增；则1=x e 时，()f x 取极小值也是最小值12f e 骣琪=-琪桫，综上所述，可作出()f x 图象，在作两条直线1y =±，结合图象可知，()f x 与1y =±有4个交点.三、解答题9．已知函数()1e 1xx f x x +=--.(1)求曲线y =f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程；(2)判断函数f （x ）的零点的个数，并说明理由.【解析】(1)由()()()212e e 031(1)x x x f x f x f x x +''=-⇒=+⇒=--，而()02f =，所以该函数在点（0，f （0））处的切线方程为：23(0)320y x x y -=-⇒-+=；(2)函数()f x 的定义域为(,1)(1,)-∞⋃+∞，由（1）可知：()22e (1)xf x x '=+-，当(,1)x ∞∈-时，()0,()f x f x '>单调递增，因为22111(2)(0)(e )22(03e 3f f --=-⋅=-<，所以函数在(,1)x ∞∈-时有唯一零点；当(1,)x ∈+∞时，()0,()f x f x '>单调递增，因为5245(2)()(e 3)(e 9)04f f =-⋅-<，所以函数在(,1)x ∞∈-时有唯一零点，所以函数f （x ）有2个零点.10．设函数()2(21)(21)ln(),f x a x a x a R =-++-∈.（1）讨论()f x 在定义域上的单调性；（2）当0a ≥时，判断()f x 在[1-，1]2-上的零点个数．【解析】（1）由题意，函数()2(21)(21)ln()f x a x a x =-++-的定义域为(,0)-∞，可得221()2a f x a x+'=+，①当0a ≤时，()0f x '<，则()f x 在(,0)-∞上是减函数；②当0a >时，22212()212()2a a x a af x a x x+++'=+=，则当221(,2a x a+∈-∞-时，()0f x '>，()f x 单调递增；当221(2a x a+∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以函数()f x 在221(,)2a a +-∞-上单调递增，在221(,0)2a a+-上单调递减；（2）①当0a =时，函数()ln()f x x =-，令ln()0x -=，解得1x =-，故()f x 在[211,]--上有一个零点；②当0a >时，因为22112()21221022a a a a-++-=>，则2121[1,](,0)22a a +--⊆-，即()f x 在[1-，1]2-上单调递减，又(1)30f a -=-<，21()2(21)202f a a ln -=--+<，所以函数()f x 在[211,]--上没有零点．11．已知函数()sin f x x ax =+，其中[]0,x π∈．（1）当12a =-时，求()f x 的极值；（2）当1a ≥时，求()f x 的零点个数．【解析】（1）当12a =-时，()1sin 2f x x x =-，[]0,x π∈，求导得()1cos 2f x x '=-，[]0,x π∈，令()0f x '=，得3x π=，当0,3x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0f x '>；当,3x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0f x '<．∴()f x 在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,3ππ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，∴当3x π=时，()f x 取得极大值36f ππ⎛⎫=⎪⎝⎭，无极小值；（2）()cos f x x a '=+，[]0,x π∈，当1a ≥时，∵1cos 1x -≤≤，∴()0f x '≥，∴()f x 在区间[]0,π上单调递增，∴()()00f x f ≥=，故()f x 只有一个零点0．12．已知函数()22ln f x x a x =-,()222ln 2g x x x =-+-．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)当1a =时,判断()()g x f x -的零点个数．【解析】(1)()22a f x x x '=-()22x a x-=,故当0a ≤时,()0f x '≥,所以函数()f x 在()0,∞+上单调递增,当0a >时,令()0f x '>,得x >所以函数()f x 在)+∞上单调递增,令()0f x '<,得x <所以函数()f x 在(上单调递减,综上,当0a ≤时,函数()f x 在()0,∞+上单调递增,当0a >时,函数()f x 在)+∞上单调递增,在(上单调递减.(2)设()()()F x g x f x =-=2ln 22ln 2x x -+-,则()21F x x'=-,令()0F x '=,解得2x =,当()0,2x ∈时,()0F x '>；当()2,x ∈+∞时,()0F x '<；故()F x 最大值为()20F =，所以()()g x f x -有且只有一个零点2.13．已知()()2e 2ln xf x x a x x =-+(1)当e a =时，求()f x 的单调性；(2)讨论()f x 的零点个数．【解析】(1)因为e a =，0x >，()()2e e 2ln xf x x x x =-+所以()()()()()2e 22e 2e e 12e 2e x xx x f x x x x x x x x x x +⎛⎫⎛⎫'=+-+=+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()10f '=令()e e x g x x x =-，()()2e 1e 0xg x x x'=++>，所以()g x 在()0,+∞单增，且()10g =，当()0,1∈x 时()e e 0xg x x x =-<，当()1,x ∈+∞时()ee 0x g x x x=->，所以当()0,1∈x 时()0f x ¢<，当()1,x ∈+∞时()0f x ¢>，所以()f x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增(2)因为()()()2ln 2ln e e 2ln e 2ln 0x x x x f x a x x a x x +=⋅-+=-+=令2ln t x x =+，易知2ln t x x =+在()0,+∞上单调递增，且R t ∈，故()f x 的零点转化为()()2ln e2ln e 0x xt f x a x x at +=-+=-=即e t at =，R t ∈，设()e t g t at =-，则()e t g t a '=-，当0a =时，()e tg t =无零点；当0a <时，()e 0tg t a '=->，故()g t 为R 上的增函数，而()010g =>，11e 10a g a ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，故()g t 在R 上有且只有一个零点；当0a >时，若(),ln t a ∈-∞，则()0g t '<；()ln ,t a ∈+∞，则()0g t '>；故()()()min ln 1ln g t g a a a ==-，若e a =，则()min 0g t =，故()g t 在R 上有且只有一个零点；若0e a <<，则()min 0g t >，故()g t 在R 上无零点；若e a >，则()min 0g t <，此时ln 1a >，而()010g =>，()()22ln 2ln 2ln g a a a a a a a =-=-，设()2ln h a a a =-，e a >，则()20a h a a-'=>，故()h a 在()e,+∞上为增函数，故()()e e 20h a h >=->即()2ln 0g a >，故此时()g t 在R 上有且只有两个不同的零点；综上：当0e ≤<a 时，0个零点；当e a =或0a <时，1个零点；e a >时，2个零点；14．已知函数()[]21sin cos ,0,2f x x x x ax x π=++∈.(1)当0a =时，求()f x 的单调区间；(2)当0a >时，讨论()f x 的零点个数.【解析】(1)当0a =时，函数()[]sin cos ,0,f x x x x x π=+∈，可得()sin cos sin cos f x x x x x x x =+-='.当x 在区间[]0π,上变化时，()f x '，f （x ）的变化如下表：x 00,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭2π,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭π()f x '0+0-f （x ）极小值1极大值2π -1所以()f x 的单调增区间为0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭；()f x 的单调减区间为,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭.(2)由题意，函数()[]21sin cos ,0,2f x x x x ax x π=++∈，可得()()cos cos f x ax x x x a x =+=+'当1a ≥时，cos 0a x +≥在[0,]π上恒成立，所以[0,]x π∈时，()0f x '≥，所以()f x 在[0,]π上单调递增.又因为()01f =，所以f （x ）在[0,]π上有0个零点.当01a <<时，令()0f x '=，可得cos x a =-.由10a -<-<可知存在唯一的0,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得0cos x a =-，所以当0[0,)x x ∈时，()0f x '≥，()f x 单调递增；当()0,x x π∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，因为()01f =，0()1f x >，()2112f a ππ=-，①当21102a π->，即221a π<<时，()f x 在[0,]π上有0个零点.②当21102a π-≤，即220a π<≤时，()f x 在[0,]π上有1个零点.综上可得，当220a π<≤时，()f x 有2个零点；当22a π>时，()f x 有0个零点.15．已知函数()()()e 12e xxaf x a x a =+---∈R (1)求函数()f x 的单调区间.(2)若(,2]a ∈-∞，求函数()f x 在区间(,2]-∞上的零点个数.【解析】(1)由题意，得()()()()e 1e e 1,e e x x xx xa a f x a x +-=---='∈R当0a ≤时，()0f x '>恒成立，所以()f x 在R 上单调递增.当0a >时，由()0f x '>，得ln x a >，由()0f x '<，得ln x a <，所以()f x 在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增.综上所述，当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为R ，无单调递减区间，当0a >时，()f x 的单调递减区间为(,ln )a -∞，单调递增区间为(ln ,)a +∞；(2)由（1）可知当0a ≤时，()0f x '>在(,2]-∞上恒成立，所以()f x 在(,2]-∞上单调递增.因为()()22221010,2e 2e 20e e a f a f a a ⎛⎫=-=+-=+- ⎪⎝⎭，所以由零点存在性定理知，函数f 在(,2]-∞上有1个零点，当02a <≤时，若(,ln )x a ∈-∞，则()0f x '<，若(ln ,2]x a ∈，则()0f x '>，所以()f x 在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln ,2]a 上单调递增，可得()()()()min ln 11ln f x f a a a ==--，①当1a =时，min ()0f x =，此时()f x 在(,2]-∞上有1个零点②当01a <<时min ()0f x <，因为当x →-∞时()()22,2e 20e af x f a ∞→+=+->，所以此时()f x 在(,2]-∞上有2个零点③当12a <≤时，min ()0f x >，此时()f x 在(,2]-∞上无零点.综上，当0a ≤或1a =时，()f x 在(,2]-∞上有1个零点，当01a <<时()f x 在(,2]-∞上有2个零点，当12a <≤时()f x 在(,2]-∞上无零点.16．已知函数()()e ,xf x ax a R =-∈．(1)讨论()f x 的单调性；(2)讨论()f x 在()0,+∞上的零点个数．【解析】(1)因为()e xf x ax =-，则'()f x e x a =-，当0a ≤时，'()f x 0<，此时()f x 在R 上单调递减；当0a >时，令'()f x 0=，可得ln x a =，则当(),ln x a ∈-∞时，'()f x 0>，()f x 单调递增，当()ln ,x a ∈+∞时，'()f x 0<，()f x 单调递减.综上所述：当0a ≤时，()f x 在R 上单调递减；当0a >时，()f x 在(),ln a -∞单调递增，在()ln ,a +∞上单调递减.(2)当0a ≤时，()f x 在()0,+∞上单调递减，又()01f =-，故当()0,x ∈+∞时，()1f x <-，故此时()f x 在()0,+∞无零点；当01a <≤时，ln 0a <，故()f x 在)0,+∞单调递减，同0a ≤时，此时()f x 在()0,+∞无零点；当1a >时，ln 0a >，故()f x 在()0,ln a 单调递增，在()ln ,a +∞单调递减，()()()ln ln 1f x f a a a ≤=-，若ln 10a -<，即1e a <<时，()ln 0f a <，故()f x 在()0,+∞无零点；若ln 10a -=，即e a =时，()ln 0f a =，此时()f x 在()0,+∞有一个零点ln a ；若ln 10a ->，即e a >时，()ln 0f a >，又因为()010f =-<，故()f x 在()0,ln a 上一定存在一个零点；又因为2ln ln a a >，且()2ln 0f a <，故()f x 在()ln ,2ln a a 上也一定存在一个零点；下证()2ln 0f a <：()()22ln 2ln 2ln ,e f a a a a a a a a =-=->，令2ln ,e y x x x =->，则'y 20xx-=<，即2ln y x x =-在()e,∞+单调递减，故2ln e e 2e 0y <-=-<，即2ln 0,(e)x x x -<>故()()2ln 2ln 0,e f a a a a a =-.故当e a >时，()f x 有两个零点.综上所述：当e a <时，()f x 在()0,+∞无零点；e a =时，()f x 在()0,+∞有一个零点ln a ；e a >时，()f x 有两个零点.专项突破二由函数零点个数求参数一、单选题1．若函数()2ln 2,02,0x x x f x x x a x ->⎧=⎨++≤⎩有且只有2个零点，则实数a 的取值范围为（）A ．01a <<B ．01a <≤C ．01a ≤≤D ．01a ≤<【解析】根据题意，0x >时，()ln 2(0)f x x x x =->，此时()12f x x'=-()120f x x -'=>时，102x <<;()120f x x -'=<时，12x >,所以()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减0x >时，()1ln 2102max f x f ⎛⎫==--< ⎪⎝⎭，所以()f x 在()0,+∞上无零点从而0x ≤时，()f x 有2个零点，根据二次函数的性质可得()4400100a a f ∆=->⎧∴≤<⎨≥⎩，故选：D.2．若函数3()12f x x x a =-+有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是（）A ．(,8)-∞-B ．(,8)-∞C ．[16,16]-D ．(16,16)-【解析】3()12f x x x a =-+，2()3123(2)(2)f x x x x '=-=+-.令()0f x '=，解得12x =-，22x =.(,2)x ∈-∞-，()0f x '>，()f x 为增函数，(2,2)x ∈-，()0f x '<，()f x 为减函数，(2,)x ∈+∞，()0f x '>，()f x 为增函数.所以()(2)16f x f a =-=+极大值，()(2)16f x f a ==-+极小值.因为函数3()12f x x x a =-+有三个不同的零点，等价于方程()0f x =有三个不同的根.所以160160a a +>⎧⎨-+<⎩，解得1616a -<<.故选：D3．若关于x 的方程ln 0x ax -=有且只有2个零点，则a 的取值范围是（）A ．1(,e-∞B ．1(,)e -∞C ．1(0,]e D ．1(0,e【解析】由ln 0x ax -=，得ln x a x=（0x >），令ln ()(0)xf x x x =>，所以关于x 的方程ln 0x ax -=有且只有2个零点，等价于函数()f x 的图像与直线y a =有两个交点，由ln ()(0)x f x x x =>，得'21ln ()(0)xf x x x -=>，当0x e <<时，'()0f x >，当x e >，'()0f x <，所以()f x 在(0,)e 上递增，在(,)e +∞上递减，所以max ln 1()()e f x f e e e===，当x e >时，()0f x >，所以当10a e<<时，函数()f x 的图像与直线y a =有两个交点，所以a 的取值范围是1(0,)e，故选：D4．若函数()ln x f x a x e a =++有两个零点，则实数a 的取值范围为（）A ．(,)e +∞B ．(,2)e -∞-C ．(,)e -∞-D ．(2,)e +∞【解析】因为函数()ln xf x a x e a =++有两个零点，定义域为()0,∞+；所以方程ln 0x a x e a ++=在()0,∞+上有两不等实根，显然0a ≠即方程ln 11x x a e +-=在()0,∞+上有两不等实根，令()ln 1xx g x e +=，则直线1=-y a 与曲线()ln 1xx g x e +=在()0,∞+上有两不同交点；因为()()211ln 1ln 1x x x xe x e x x x g x e e -+--'==，令()1ln 1h x x x=--，则()2110h x x x '=--<在()0,∞+上显然恒成立，因此()1ln 1h x x x=--在()0,∞+上单调递减，又()10h =，所以当()0,1x ∈时，()0h x >，即()0g x '>，所以()ln 1xx g x e +=单调递增；当()1,x ∈+∞时，()0h x <，即()0g x '<，所以()ln 1xx g x e +=单调递减；因此()()max 11g x g e ==，又当1x e >时，()ln 10x x g x e +=>；当10x e <<时，()ln 10xx g x e +=<，所以为使直线1=-y a 与曲线()ln 1xx g x e +=在()0,∞+上有两不同交点，只需110a e<-<，解得a e <-.故选：C.5．设函数()()ln ,0e 1,0xx x f x x x >⎧=⎨+≤⎩，若函数()y f x b =-有两个零点，则实数b 的取值范围是（）A ．()0,1B ．[)0,1C ．[]0,1D ．[]{}20,1e-⋃-【解析】当0x >时，函数()ln f x x =单调递增；当0x ≤时，()()e 1xf x x =+，则()()e 20x f x x ='+=时，2x =-，所以当2x <-时，()0f x '<，20x -<≤时，()0f x '>，故当0x ≤时，()f x 在(),2-∞-上单调递减，在()2,0-上单调递增，所以()f x 在2x =-处取极小值，极小值为()22e f --=-，作出函数()f x的图象如图：因为函数()y f x b =-有两个零点，所以函数()y f x =与y b =有两个交点，所以当[]{}20,1e b -∈⋃-时函数()y f x =与y b =有两个交点，所以实数b 的取值范围为[]{}20,1e -⋃-.故选：D.6．已知函数()1e xf x x a -=+-有两个零点，则实数a 的取值范围为（）A ．21,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．21,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．()2e ,0-D ．()2e ,-+∞【解析】由题意，函数()1e xf x x a -=+-的定义域为R ，令()0f x =，即1e 0x x a -+-=，即()1e xa x =+⋅，设()()1e x g x x =+⋅，可得()()()e 1e 2e x x xg x x x '=++⋅=+⋅，当2x <-时，()0g x '<，当2x >-时，()0g x '>，所以()g x 在(,2)-∞-上单调递减，在(2,)-+∞上单调递增.又()212e g -=-，作出简图，如图所示，要使得函数()1e xf x x a -=+-有两个零点，只需y a =与()()1e xg x x =+⋅的图像有两个交点，所以210e a -<<，即实数a 的取值范围是210ea -<<.故选：A.7．已知函数()2e ln x f x a x x =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（）A ．10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,e 2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(,2e)-∞D ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】因为函数()2e ln x f x a x =-有两个极值点，所以()()2e ln 1xf x a x '=-+有两个相异的零点，即ln 12e xx a +=有两个交点，令()()ln 1,0,ex x g x x +=∈+∞，则()()()1ln 1,0,e xx x g x x -+'=∈+∞，令()()()1ln 1,0,h x x x x =-+∈+∞，则()2110h x x x'=--<恒成立，所以()h x 在()0,x ∈+∞上递减，且()()11ln1101h =-+=，所以()0,1x ∈时，()0h x >；()1,x ∈+∞时，()0h x <；所以()0,1x ∈时，()0g x '>；()1,x ∈+∞时，()0g x '<；所以()0,1x ∈时，()g x 单调递增；()1,x ∈+∞时，()g x 单调递减；()()max ln1111e e g x g +===，又当x →+∞时，()ln 10e x x g x +=→；0x →时，()ln 1e xx g x +=→-∞；所以当ln 12e xx a +=有两个交点时，则有102a e<<，即102e a <<，所以函数()2e ln x f x a x x =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是102ea <<，故选：A 8．已知函数()()22e (e =--x xf x x x a ）有三个零点，则实数a 的取值范围是（）A ．（0，1e -）B ．（0，2e -）C ．（0，1）D ．（0，e ）【解析】令()()()22e e 0=--=x xf x x x a ，所以22e 0-=x x 或e 0x x a -=，令()22e =-xg x x ，则()()2e '=-x g x x ，令()2(e )=-x h x x ，则()2(1)e '=-xh x ，当(,0)x ∈-∞时，()0h x '>，h (x )在（－∞，0）上单调递增；当,()0x ∈+∞时，()0h x '<，h (x )在（0，＋∞）上单调递减，所以()(0)20h x h ≤=-<，即()0g x '<，所以g (x )在R 上单调递减，又()2110g e-=->，g （0）＝20-<，所以存在0(1,0)x ∈-使得()00g x =，所以方程e 0x x a -=有两个异于0x 的实数根，则xxa e =，令()x x k x e =，则()1xx e xk -='，当(,1)x ∞∈-时，()0k x '>，k (x )在（－∞，1）上单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()0k x '<，k (x )在（1，＋∞）上单调递减，且()0k x >．所以()1()1k x k e ≤=，所以()x xk x e=与y a =的部分图象大致如图所示，由图知10a e<<，故选：A ．9．函数()()()1e 21xf x a x x =---有两个零点，则a 的取值范围为（）A ．()32e ,14,⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U B ．321,4e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()320,14e ,⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．324e ,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】令()0f x =得(21)(1)e x x a x -=-，令()e (21)x g x x =-，则()e (21)x g x x '=+，∴当12x <-时，()0g x '<，当12x >-时，()0g x '>，()g x ∴在1(,)2-∞-上单调递减，在1(2-，)∞+上单调递增，作出()g x 与(1)y a x =-的函数图象如图所示：设直线(1)y a x =-与()g x 的图象相切，切点为00(,)x y ，则()()()00000001e 1e 21xx y a x y x a x ⎧=-⎪=-⎨⎪=+⎩，解得00x =，01y =-，1a =，或032x =，3202e y =，324e a =，()f x 有两个不同的零点，()g x ∴(1)a x =-的函数图象有两个交点，01a ∴<<或324e a >，即()320,14e ,a ⎛⎫∈⋃+∞ ⎪⎝⎭．故选：C ．10．已知()()()212()12e 1ex x f x x a x a --=-+++恰有三个不同的零点，则实数a 的范围为（）A ．()0,1B ．()1,1-C ．()0,e D ．()1,0-【解析】由()()()()21212e 1e 0x x f x x a x a --=-+++=，得()()2111e e e x x x a x x ----=-，即()()11e1e0x x x x a --⎡⎤--+=⎣⎦．令()1e x g x x -=-，则()11e x g x -'=-，令()11e 0x g x -'=-=可得1x =，当(),1x ∈-∞时，()0g x '>，当()1,+∈∞x 时，()0g x '<，∴()g x 在(),1-∞单调递增，在()1,+∞单调递减，所以()()g 10x g ≤=，即()1e 0x g x x -=-=仅有唯一的解1x =．依题意，方程()11e 0x x a --+=有两个不同的解，即1y a =+与1ex x y -=有两个不同的交点，令()1ex x h x -=，则()11e x xh x --'=，易得()h x 在(),1-∞单调递增，在()1,+∞单调速减，()()11h x h ≤=，画出()h x 的草图观察图象可得01110a a <+<⇒-<<，故选：D ．二、多选题11．已知()e xf x x ax b -=--（）A ．若24eb >，则()0,a ∞∃∈+，使函数()y f x =有2个零点B ．若24e b >，则(),0a ∃∈-∞，使函数()y f x =有2个零点C ．若240e b <<，则()0,a ∞∃∈+，使函数()y f x =有2个零点D ．若240e b <<，则(),0a ∃∈-∞，使函数()y f x =有2个零点【解析】令()0f x =，则e xx ax b =+，所以设()e x x g x =，则()1e x xg x ='-当1x <时，()0g x '>，()g x 单调递增；当1x >时，()0g x '<，()g x 单调递减()g x 在1x =处取得极大值()11eg =当x 趋向于-∞时，()g x 趋向于-∞；当x 趋向于+∞时，()g x 趋向于0又()2ex x g x -''=，()20g ''=且当2x <时，()0g x ''<；当2x >时，()0g x ''>所以，2x =是函数()g x 的拐点，()222e g =，()212e g '=-所以()g x 在2x =处的切线方程为()2122ey x -=--，即2214e e y x =-+如图所示，ACD 正确，B 错误，故选：ACD12．已知函数()ln f x x x a =--有两个零点1x 、2x ，则下列说法正确的是（）．A ．1a >B ．121x x >C ．121x x <D ．122x x +>【解析】由()0f x =可得ln a x x =-，令()ln g x x x =-，其中0x >，所以，直线y a =与曲线()y g x =的图象有两个交点，()111x g x x x-'=-=，令()0gx '=，可得1x =，列表如下：x()0,11()1,+∞()g x '-+()g x 减极小值1增作出函数y a =与()y g x =的图象如下图所示：由图可知，当1a >时，函数y a =与()y g x =的图象有两个交点，A 对；121212ln ln 2x x x xx x -+<<-，其中12x x ≠，且1x 、2x 均为正数.先证明121212ln ln 2x x x x x x -+<-，其中120x x >>，即证()1122112122212ln 1x x x x x x x x x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭>=++，令121x t x =>，()()21ln 1t p t t t -=-+，其中1t >，则()()()()222114011t p t t t t t -'=-=>++，所以，函数()p t 在()1,+∞上为增函数，当1t >时，()()10p t p >=，所以，当120x x >>时，121212ln ln 2x x x xx x -+<-，接下来证明：1212ln ln x x x x --120x x >>，即证12ln x x <=，令1t =>，即证12ln t t t <-，令()12ln h t t t t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，其中1t >，则()222212110t t h t t t t -+'=--=-<，所以，函数()h t 在()1,+∞上为减函数，当1t >时，()()10h t h <=，所以，当120x x >>时，1212ln ln x x x x ->-由已知可得1122ln ln x x ax x a -=⎧⎨-=⎩，两式作差可得1212ln ln x x x x -=-，所以，12121ln ln x x x x -=-，1212121ln ln 2x x x xx x -+<=<-，故121x x <，122x x +>，B 错，CD 都对.故选：ACD.13．已知函数35,0()2ln ,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，若函数()()2g x f x x a =+-有3个零点，则实数a 可能的取值有（）A ．3B ．2C ．1D ．0【解析】函数()()2g x f x x a =+-有3个零点，即方程()2f x x a +=有3个不同的实根，即函数()2y f x x =+与y a =的图象有3个不同的交点，令()()2h x f x x =+=33,02ln 2,0x x x x x x ⎧-≤⎨+>⎩，当0x ≤时，()()()233311h x x x x '=-=+-，当10x -<<时，()0h x '<，当1x <-时，()0h x '>，所以函数()h x 在(),1-∞-上递增，在()1,0-上递减，故当0x ≤时，()()max 12h x h =-=，又()00h =，当x →-∞时，()h x →-∞，当0x >时，()2ln 2h x x x =+在()0,∞+上递增，又1220e e h ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭，当x →+∞时，()h x →+∞，如图，作出函数()h x 的大致图像，结合图像可知，要使函数()2y f x x =+与y a =的图象有3个不同的交点，则a 的范图为02a ≤＜.故选：CD.14．已知函数()()ln 1f x x x a x x =+-+在区间（1，＋∞）内没有零点，则实数a 的取值可以为（）A ．－1B ．2C ．3D ．4【解析】()()ln 1ln 1a f x x x a x x x x a x ⎛⎫=+-+=+-+ ⎪⎝⎭，设()ln 1a g x x a x =+-+则在1x >上，()y f x =与()y g x =有相同的零点.故函数()f x 在区间()1,+∞内没有零点,即()g x 在区间()1,+∞内没有零点，()221a x ag x x x x-'=-=，当1a ≤时，()20x ag x x -'=>在区间)1,+∞上恒成立,则()g x 在区间()1,+∞上单调递增.所以()()110g x g >=>，显然()g x 在区间()1,+∞内没有零点.当1a >时,令()0g x '>，得x a >，令()0g x '<，得1x a <<所以()g x 在区间()1,a 上单调递减增.在区间(),a +∞上单调递增.所以()()ln 2g x g a a a ≥=+-设()()ln 21h a a a a =+->，则()()11101a h a a a a-=-=<>所以()h a 在()1,+∞上单调递减,且()()3ln 310,4ln 420g g =->=-<所以存在()03,4a ∈，使得()00h a =，要使得()g x 在区间()1,+∞内没有零点，则()ln 20g a a a =+->，所以()013,4a a <<∈，综上所述，满足条件的a 的范围是()03,4a a <∈由选项可知：选项ABC 可使得()g x 在区间()1,+∞内没有零点，即满足题意.故选：ABC15．已知函数()()()1e 21xf x a x x =---在(,1)-∞上有两个不同的零点，则实数a 可能取到的值为（）A ．1-B ．14C ．12D ．1【解析】令()0f x =，即()()1e 210xa x x ---=，所以()e 211x x a x -=-，因为函数()f x 在(,1)-∞上有两个不同的零点，设()()e 211x x g x x -=-，则y a =与()y g x =在(,1)-∞上有两个不同的交点，因为()()()()()()()222e 23e 21e 21e 2111x x x xx x x x x g x x x ⎡⎤--+⋅---⎣⎦'==--，令()0g x '=，则10x =，232x =，因为在(,1)-∞上，e 0x >，()210x ->，所以()g x 在(),0∞-上单调递增，在()0,1上单调递减，所以()()max 01g x g ==，且当0x <时，()0g x >；当1x →时，()g x →-∞，因为y a =与()y g x =在(,1)-∞上有两个不同的交点，所以01a <<，根据选项，符合条件的为B ，C ，故选：BC 三、填空题16．已知函数()2e e xf x x a =-有三个零点，则实数a 的取值范围是___________.【解析】由2e e 0x x a -=，得21e x a x -=.设()21e xg x x -=，则()()1e 2xg x x x -'=-.当(),0x ∈-∞时，()0g x '<，当()0,2x ∈时，()0g x '>，当()2,x ∈+∞时，()0g x '<，所以函数()g x 在区间(),0∞-上单调递减，在区间()0,2上单调递增，在区间()2,+∞上单调递减，又()()400,2eg g ==，故函数()21e xg x x -=的图象如图所示：故当40e a <<时，函数()2e e xf x a =-有三个零点，即40,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.17．已知函数(2),1()ln(1)2,1x x x f x x x x +≤⎧=⎨--+>⎩，若函数()()g x f x a =-有四个零点，则实数a 的取值范围是______________.【解析】因为函数()()g x f x a =-有四个零点，所以方程()()0g x f x a =-=有4个不同的解，所以函数()f x 的图象与直线y a =有4个不同的交点，①当1x >时，()ln(1)2f x x x =--+，则1112()1111x xf x x x x -+-'=-==---，当12x <<时，()0f x '>，当2x >时，()0f x '<，所以()f x 在(1,2)上递增，在(2,)+∞上递减，所以当1x >时，()f x 有最大值(2)ln1220f =-+=，当1x →时，()f x →-∞，当x →+∞时，()f x →-∞②当1x ≤时，2()(2)(1)1f x x x x =+=+-，当1x =-时，()f x 有最小值1-所以()f x 的图象如图所示由图可知，当10a -<<时，函数()f x 的图象与直线y a =有4个不同的交点，所以实数a 的取值范围是(1,0)-18．已知函数()()e sin 0xf x a x x =->有两个零点，则正实数a 的取值范围为______．【解析】因为函数()()e sin 0,0xf x a x x a =->>有两个零点，所以方程()e sin 00,0xa x x a -=>>有两个根，所以()2,2Nx k k k πππ∈+∈，所以方程e sin xa x =其中()2,2N x k k k πππ∈+∈，有两个根，设e ()sin xg x x=，()2,2N x k k k πππ∈+∈，，所以2e sin cos e ()sin x xx x g x x-'=，令()0g x '=可得e sin cos e 0x x x x -=，化简可得24x k ππ=+，N k ∈，所以当22,N 4k x k k πππ<<+∈时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，当22,N 4k x k k ππππ+<<+∈时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，作函数()g x 的图象可得，由图象可得，当9((44g a g ππ<<时，直线y a =与函数e()sin xg x x=，()2,2N x k k k πππ∈+∈，，的图象有且仅有两个交点，944a ππ<<时，函数()()e sin 0xf x a x x =->()0a >有两个零点，故答案为：944e e )ππ．19．若函数()ln e 1xf x x ax =--+不存在零点，则实数a 的取值范围是______.【解析】因为函数()ln e 1xf x x ax =--+不存在零点，所以方程ln e 10x x ax --+=无实数根，所以方程ln e ln e xx ax -+=无实数根，即方程ln e 1x x a x-+=无实数根，故令()()'2ln e 1e e ln ,x x x x x xg x g x x x -+-+-==，令()e e ln ,0x x h x x x x =-+->，故()'1e 0xh x x x=--<恒成立，所以，()h x 在()0,∞+上单调递减，由于()10h =，所以，当()0,1x ∈时，()0h x >，即()'0g x >，当()1,x ∈+∞时，()0h x <，即()'0g x <，所以函数()g x 在()0,1x ∈上单调递增，在()1,x ∈+∞上单调递减，所以()()max 11e g x g ==-，所以，当方程ln e 1x x a x-+=无实数根时，1e a >-即可.所以，实数a 的取值范围是()1e,+-∞四、解答题20．已知函数()ln 1xf x m x =-+．(1)求()f x 的导函数；(2)若()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有零点，求m 的取值范围．【解析】(1)因为()ln 1xf x m x =-+，所以()()()()221111l ln 1n 1x x x x x f x x x ++-'==++-(2)由（1）知()()211ln 1x x f x x +-'=+，因为1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ln 0x -≥，所以()()211ln 01x x f x x +-'=>+，从而()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()min 12ln 223f x f m ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，()()max 1f x f m ==-．因为()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有零点，所以02ln203m m -≥⎧⎪⎨--≤⎪⎩，解得2ln 203m -≤≤．21．已知函数()ln R kf x x k k x=--∈，(1)讨论函数()f x 在区间(1,e)内的单调性；(2)若函数()f x 在区间(1,e)内无零点，求k 的取值范围．【解析】(1)()ln k f x x k k R x =--∈ ，，(1,e)x ∈，221()k x k f x x x x+'∴=--=-（Ⅰ）当1k -≤，即1k ≥-时，10x k x +≥->()0f x '∴<，()f x ∴在(1,e)单调递减（Ⅱ）当e k -≥，即e k ≤-时，e 0x k x +≤-<()0f x '∴>，()f x ∴在(1,e)单调递增（Ⅲ）当1e k <-<，即e 1k -<<时，当1x k <<-时，()0f x '>，()f x 单调递增；当e k x -<<时，()0f x '<，()f x 单调递减综上所述，（Ⅰ）当1k ≥-时，()f x 在(1,e)单调递减（Ⅱ）当e k ≤-时，()f x 在(1,e)单调递增（Ⅲ）当e 1k -<<-时，()f x 在(1,)k -单调递增，在(,e)k -单调递减(2)由（1）知：当1k ≥-时，()()10f x f <=即()0f x <，()f x ∴在(1,e)无零点，当e k ≤-时，()(1)0f x f >=即()0f x >，()f x ∴在(1,e)无零点当e 1k -<<-时，()f x 在(1,)k -单调递增，在(,e)k -单调递减()(1)0,(1,)f x f x k ∴>=∈-，()(e)1,(,e)ekf x f k x k >=--∈-∴只需(e)10e k f k =--≥即可，即1(11e k -≤-，1e11e 1ek ∴≤=--，ee 1ek ∴-<≤-综上所述，e(,][1,)1ek ∈-∞-+∞- 22．已知函数()3226185=--+f x x x x .(1)求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()()g x f x a =+至多有两个零点，求实数a 的取值范围.【解析】(1)依题意：()()()261218631'=--=-+f x x x x x ，故当(),1x ∈-∞-时，()0f x '>，当()1,3x ∈-时，()0f x '<，当()3,x ∈+∞时，()0f x '>，∴()f x 的单调增区间为(),1-∞-，()3,+∞，单调减区间为()1,3-；(2)令()0g x =，得()a f x -=.∵()115f -=，()349=-f ，结合f (x )单调性，作出f (x )图像：。

寒假作业（25）导数在研究函数中的应用1、定义在R 上的函数()f x 的导函数为(),f'x ,若对任意实数x 有()(),f x f'x >且函数()2019y f x =+为奇函数,则不等式()2019e 0x f x +>的解集是( )A.(,0)-∞B.(0)+∞，C.1(,)e-∞D.1()e+∞， 2、若函数331y x bx =-+在区间[1,2]内是减函数,R b ∈,则（ ） A.4b ≤B.1b ≤C.4b ≥D. 1b ≥3、已知函数()()231f x ax a x =+-+在区间[)1,-+∞上单调递减,则实数a 的取值范围是( )A.[3,0)-B.(,3]-∞-C.[]2,0-D.[]3,0-4、若函数()ln f x kx x =-在区间(1,)+∞上单调递增，则k 的取值范围是（ ） A.(],2-∞-B.(],1-∞-C.[)2,+∞D.[)1,+∞5、设函数()()x x f x x e e -=+，则()f x （ ） A.是奇函数，且在(0,)+∞上是增函数 B.是偶函数，且在(0,)+∞上是增函数 C.是奇函数，且在(0,)+∞上是减函数 D.是偶函数，且在(0,)+∞上是减函数6、已知函数32()f x x ax bx =++在1x =处有极值10，则(2)f 等于( ) A. 1B. 2C. -2D. -17、若函数32()21f x ax x x =+++在(1,2)上有最大值无最小值，则实数a 的取值范围为( ) A.34a >-B.53a <-C. 5334a -<<-D. 5334a -≤≤-8、已知函数()ln 2f x a x x =-，若不等式(1)2e x f x ax +>-,在(0,)x ∈+∞上恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A.(,2]-∞ B.[2,)+∞C.(,0]-∞D.[0,2]9、已知函数2()35f x x x =-+,()ln g x ax x =-,若对(0,e)x ∀∈,12,(0,e)x x ∃∈且12x x ≠,使得i ()()(i 1,2)f x g x ==,则实数的取值范围是（ ）A ．16(,)e eB ． 746[,e )eC ．741[,e )eD ．7416(0,][,e )e e⋃10、已知函数()f x 在定义域R 上的导函数为()f x '，若方程()0f x '=无解，且()20172017xf f x ⎡⎤-=⎣⎦，()sin cosg x x x kx =--在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上与()f x 在R 上的单调性相同，则实数k 的取值范围是（ ）A.(]1-∞-,B.(-∞C.⎡-⎣D.)+∞11、若函数2()2ln f x x x =-在定义域内的一个子区间(1,1)k k -+上不是单调函数,则实数k 的取值范围是_________. 12、函数()22ln f x x x =-+在()0,+∞上的极大值为___________．13、已知函数2()38,[1,5]f x x kx x =--∈,若函数()f x 在定义域内具有单调性,则实数k 的取值范围为___________.14、设函数()()e 220()x f x g x ax a a ==+，＞.若R x ∀∈，曲线()f x 始终在曲线()g x 上方，则a 的取值范围是_______________________________ 15、已知函数()e ln 1xf x a x =--．(1).设2x =是()f x 的极值点．求，并求()f x 的单调区间； (2).证明：当1ea ≥时，()0f x ≥．答案以及解析1答案及解析： 答案：A解析：令()()=e xf xg x ， 则()()()0,e xf'x f x g'x -=<则函数()g x 在R 上时减函数， 又()2019y f x =+为奇函数， 则(0)20190,(0)2019,f f +==- 不等式()()2019e 0e x x f x f x +>⇔>0(0)2019()(0)0,e f g x g x -=⇔>⇒< 故不等式的解集为(,0)-∞.2答案及解析： 答案：C 解析：3答案及解析： 答案：D 解析：4答案及解析： 答案：D 解析：5答案及解析： 答案：A解析：由已知可知，()()()x x f x x e e --=-+()()x xx e e f x -=-+=-，故()f x 为奇函数.()()x x x x f x e e x e e --'=++-，当0x >时，x x e e ->，所以()0x x e e x -->，又0x x e e -+>，所以()0f x '>，所以()f x 在(0)+∞,上是增函数故选A.6答案及解析： 答案：B解析：，，函数在处有极值10，，解得，，，。

第14天 利用导数研究函数的零点或方程的根高考频度：★★★★☆ 难易程度：★★★★☆典例在线设函数32()f x x ax bx c =+++．（1）设4a b ==，若函数()f x 有三个不同零点，求实数c 的取值范围；（2）求证：230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要而不充分条件．【参考答案】（1）32(0,)27；（2）证明见试题解析．（2）当24120a b =-<∆时，2()320f x x ax b '=++>，(,)x ∈-∞+∞，此时函数()f x 在区间(,)-∞+∞上单调递增，所以()f x 不可能有三个不同零点．当24120a b =-=∆时，2()32f x x ax b '=++只有一个零点，记作0x ．当0(,)x x ∈-∞时，()0f x '>，()f x 在区间0(,)x -∞上单调递增；当0(,)x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在区间0(,)x +∞上单调递增．所以()f x 不可能有三个不同零点．综上所述，若函数()f x 有三个不同零点，则必有24120a b =->∆．故230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要条件．当4a b ==，0c =时，230a b ->，322()44(2)f x x x x x x =++=+只有两个不同零点，所以230a b ->不是()f x 有三个不同零点的充分条件，因此230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要而不充分条件．【解题必备】利用导数解决函数的零点问题时，一般先由零点的存在性定理说明在所求区间内至少有一个零点，再利用导数判断在所给区间内的单调性，由此求解．学霸推荐1．已知函数384()ln 33f x x x =--，则函数()f x 的零点个数为_______________． 2．已知函数2()(2)e (1)x f x x a x =-+-有两个零点，求实数a 的取值范围．1．【答案】22．【答案】(0,)+∞．【解析】()(1)e 2(1)(1)(e 2)x xf x x a x x a '=-+-=-+．①设0a =，则()(2)e x f x x =-，()f x 只有一个零点． ②设0a >，则当(,1)x ∈-∞时，()0f x '<；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，所以函数()f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增．又(1)e f =-，(2)f a =，取b 满足0b <且ln 2a b <，则223()(2)(1)()022a fb b a b a b b >-+-=->，故函数()f x 存在两个零点．又当1x ≤时，()0f x <，所以函数()f x 不存在两个零点．综上，0a >，故实数a 的取值范围为(0,)+∞．。

第14天 导数（一）【课标导航】1.导数的概率及几何意义；2导数的计算。

一、选择题1．一质点运动的方程为2t 35s -=，则在一段时间[]t 1,1△+内相应的平均速度为( ) A. 6t 3+△B. 6t 3+-△C. 6t 3-△D. 6t 3--△2．将半径为R 的球加热，若球的半径增加△R，则球的体积增加△y 约等于( ) A.R R 343△πB. R R 42△πC. 2R 4πD.R R 4△π3．已知函数1x y +=2的图象上一点（1，2）及邻近一点()y 2,x 1△△++，则xy△△等于( ) A. 2 B. 2x C. 2+△x D.2+△2x4．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b＝－15．函数y ＝sin 2x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的导数为( )A ．y ′＝－cos 2x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．y ′＝cos x －sin xC ．y ′＝－sin xD ．y ′＝cos x6．点P 在曲线323y x x =-+上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围( ) A ．[0,]2πB ．3[0,)[,)24πππ C ．3[,)4ππ D ．3(,]24ππ7. 过点（-1，0）作抛物线1x x y 2++=的切线，则其中一条切线为( )A. 02y x 2=++B. 03y x 3=+-C. 01y x =++D.01y x =+-8．设函数sin cos y x x x =+的图像上的点(,)x y 处的切线斜率为k ，若()k g x =，则函数()k g x =的图像大致为( )二、填空题9.已知函数32()33f x x ax bx =-+的图像与直线1210x y +-=切于点(1,11)-.则a b +=_______.10.已知()f x 为偶函数，当0x ≤ 时，1()x f x e x --=-，则曲线()y f x =在(1,2)处的切线方程为_____________________________. 11. 直线12y x b =+是曲线()ln 0y x x =>的一条切线，则实数b ＝________. 12．下列结论正确的结论为_______________. ①y ＝ln 2，则1'=2y ；②21=y x ，则=32'|=27x y -；③y ＝2x ，则y ′＝2xln 2；④12=log y x ，则1'=ln2y x -． 三、解答题：13. 设曲线)0(≥=-x e y x 在点),(t e t M -处的切线l 与x 轴、y轴所围成的三角形面积为)(t S 。

卜人入州八九几市潮王学校专题14导数在研究函数中的应用〔二〕【背一背】〔1〕极值的概念设函数)(x f 在点0x 附近有定义，且假设对0x 附近的所有的点都有)()(0x f x f <〔或者)()(0x f x f >〕，那么称)(0x f 为函数的一个极大〔小〕值，称0x 为极大〔小〕值点.〔2〕求可导函数)(x f 极值的步骤: ①求导数)(x f '。

求方程0)(='x f 的根.②求方程0)(/=x f 的根. ③检验)(x f '在方程0)(='x f 的根的左右的符号，假设在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数 )(x f y =在这个根处获得极大值；假设在根的右侧附近为正，左侧附近为负，那么函数)(x f y =在这个 根处获得极小值.〔1〕设)(x f y =是定义在区间[]b a ,上的函数，)(x f y =在),(b a 内有导数，求函数)(x f y =在[]b a ,上的最大值与最小值，可分两步进展.①求)(x f y =在),(b a 内的极值. ②将)(x f y =在各极值点的极值与)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.〔2〕假设函数)(x f 在[]b a ,上单调增加，那么)(a f 为函数的最小值，)(b f 为函数的最大值；假设函数)(x f 在[]b a ,上单调递减，那么)(a f 为函数的最大值，)(b f 为函数的最小值. 3、本卷须知1.在求可导函数的极值时，应注意：〔以下将导函数)(x f '取值为0的点称为函数)(x f 的驻点可导函数的极值点一定是它的驻点，注意一定要是可导函数。

例如函数||x y =在点0=x 处有极小值)0(f =0，可是这里的)0(f '根本不存在，所以点0=x 不是)(x f 的驻点.(1)可导函数的驻点可能是它的极值点，也可能不是极值点。

卜人入州八九几市潮王学校专题14导数在研究函数中的应用〔二〕【测一测】一．选择题1．设函数f〔x〕=xex，那么〔〕A.x=1为f〔x〕的极大值点B.x=1为f〔x〕的极小值点C.x=﹣1为f〔x〕的极大值点D.x=﹣1为f〔x〕的极小值点2.函数f〔x〕=ax3+x+1有极值的充要条件是〔〕A.a＞0B.a≥0C.a＜0D.a≤03.设a∈R，假设函数y=eax+3x，x∈R有大于零的极值点，那么〔〕A.a＞﹣3B.a＜﹣3C.a＞﹣D.a＜﹣4．设点P在曲线y＝ex上，点Q在曲线y＝ln(2x)上，那么|PQ|的最小值为()A．1－ln2B.(1－ln2)C．1＋ln2D.(1＋ln2)【答案】B【解析】试题分析：显然y＝ex和y＝ln(2x)的图像关于直线y＝x对称，令y′＝ex＝1⇒x＝ln2.所以y＝ex的斜率为1的切线的切点是(ln2,1)，到直线y＝x的间隔d＝.所以|PQ|min＝2×＝(1－ln2)。

5.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处获得极小值，那么函数y＝xf′(x)的图像可能是() 6．对任意x∈R，恒有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且当x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，那么当x<0时有()A．f′(x)>0，g′(x)>0B．f′(x)>0，g′(x)<0C．f′(x)<0，g′(x)>0D．f′(x)<0，g′(x)<0【答案】B【解析】试题分析：由f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，知f(x)为奇函数，g(x)为偶函数．又x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，由奇、偶函数的性质知，当x<0时，f′(x)>0，g′(x)<0.7.假设a>2，那么方程x3－ax2＋1＝0在(0,2)上恰好有()A．0个根B．1个根C．2个根D．3个根8．设f(x)，g(x)在[a，b]上可导，且)()(xgxf'>'，那么当a＜x＜b时，有()A．f(x)＞g(x)B．f(x)＜g(x)C．f(x)＋g(a)＞g(x)＋f(a)D．f(x)＋g(b)＞g(x)＋f(b)9．函数f(x)在定义域R内可导，假设f(x)＝f(1－x)，)21(-x)(xf'＜0，设a＝f(0)，b＝)21(f，c＝f(3)，那么()A．a＜b＜cB．c＜a＜bC．c＜b＜aD．b＜c＜a10．函数f(x)(x∈R)的图像上任一点(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x0－2)(x－1)(x－x0)，那么函数f(x)的单调减区间是()A．[－1，＋∞)B．(－∞，2]C．(－∞，－1)，(1,2)D．[2，＋∞)【答案】C【解析】试题分析：根据函数f(x)(x∈R)的图像上任一点(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x0－2)(x－1)(x－x0)，可知其导数f′(x)＝(x－2)(x2－1)＝(x＋1)(x－1)(x－2)，令f′(x)<0得x<－1或者1<x<2.因此f(x)的单调减区间是(－∞，－1)，(1,2)．二、填空题11.函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值又有极小值，那么实数a的取值范围是________．【答案】(－∞，－1)∪(2，＋∞)【解析】试题分析：f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，Δ＝(6a)2－4×3×3(a＋2)>0.12．设函数f(x)＝x3－－2x＋5，假设对任意的x∈[－1,2]，都有f(x)＞a，那么实数a的取值范围为________．13.假设函数f(x)＝lnx－在[1，e]上的最小值为，那么c＝________.【答案】－【解析】试题分析：f′(x)＝＋＝，令f′(x)＝0，得x＝－c，下面讨论－c与1，e的大小关系即可得14．关于x的方程x3－3x2－a＝0有三个不同的实数解，那么实数a的取值范围是__________．三．解答题15．某商场从消费厂家以每件20元购进一批商品，假设该商品零售价为p元，销量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8300－170p－p2，求该商品零售价定为多少元时利润最大，并求出最大值利润的值。

第14天 利用导数研究函数的零点或方程的根高考频度：★★★★☆ 难易程度：★★★★☆典例在线设函数32()f x x ax bx c =+++．（1）设4a b ==，若函数()f x 有三个不同零点，某某数c 的取值X 围；（2）求证：230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要而不充分条件．【参考答案】（1）32(0,)27；（2）证明见试题解析． （2）当24120a b =-<∆时，2()320f x x ax b '=++>，(,)x ∈-∞+∞，此时函数()f x 在区间(,)-∞+∞上单调递增，所以()f x 不可能有三个不同零点．当24120a b =-=∆时，2()32f x x ax b '=++只有一个零点，记作0x ．当0(,)x x ∈-∞时，()0f x '>，()f x 在区间0(,)x -∞上单调递增；当0(,)x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在区间0(,)x +∞上单调递增．所以()f x 不可能有三个不同零点．综上所述，若函数()f x 有三个不同零点，则必有24120a b =->∆．故230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要条件．当4a b ==，0c =时，230a b ->，322()44(2)f x x x x x x =++=+只有两个不同零点，所以230a b ->不是()f x 有三个不同零点的充分条件，因此230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要而不充分条件．【解题必备】利用导数解决函数的零点问题时，一般先由零点的存在性定理说明在所求区间内至少有一个零点，再利用导数判断在所给区间内的单调性，由此求解．学霸推荐1．已知函数384()ln 33f x x x =--，则函数()f x 的零点个数为_______________． 2．已知函数2()(2)e (1)x f x x a x =-+-有两个零点，某某数a 的取值X 围．1．【答案】22．【答案】(0,)+∞．【解析】()(1)e 2(1)(1)(e 2)x xf x x a x x a '=-+-=-+．①设0a =，则()(2)e x f x x =-，()f x 只有一个零点． ②设0a >，则当(,1)x ∈-∞时，()0f x '<；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，所以函数()f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增．又(1)e f =-，(2)f a =，取b 满足0b <且ln 2a b <，则223()(2)(1)()022a fb b a b a b b >-+-=->，故函数()f x 存在两个零点． 又当1x ≤时，()0f x <，所以函数()f x 不存在两个零点．综上，0a >，故实数a 的取值X 围为(0,)+∞．。

利用导数研究函数的零点或方程的根判断函数的零点个数(1)根据题意构造函数金)，其中广(x)=0可解;；(2利用导数研究该函数在该区间上单调性、极值(最值)、端点值等性质，进而画出其图象；⑶结合心)的图象(或草图)及零点存在性左理得犬力=0的根的个数典型例题⑴根据函数的零点求解参数范围：根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位巻，通过数形结合的思想去分析问题.进而得到参数应满足的不等式(组)，从而得解典型例题(2)温馨提醒：任利用分离参数法的时候要特别注意参数前面的系数的符号问题，一般情况下在确保系数恒为正或者负的时候适宜分离，否则需要分类讨论.1.设函数Av)=ln W&讨论函数&(")=/(")专零点的个数解⑴ 函数或x)=/(x)-扌=£一箸一扌(x>0).令 g(x)=O,得"?=-护+*©>0).设力(X)=£x3+x(xR), .・.”(x)二二(x-l)(x+l).当xW(O,l)时,”(x)>0,此时加X)在(0,1)內单调递增；1 o当xG(t+oo)时”(x)v0,此时力(x)在(!,+«>)内单调递减，••当x=l吋/(x)取得极大值力(1)=寸1专§y川严一~01 \ x令h(x)=Q f即■护+x=0,解得a=0或x=Vl函数心)的图象如图所示.由图可知：①当加>|时,函数3=7??和函数y=g(x)的图象无交点；②当加=|时,函数和函数j=g(x)的图象有且仅有一个交点；③当g”v|时,函数尸加和函数j=g(x)的图象有两个交点；④当7?1<0吋，函数)=加和函数］= 或V)的图象有且仅有一个交点.综上所述，当加>|时,函数g(x)无零点;当加岭或m<0时，函数g(x)有且仅有一个零点;当0v加<|时,函数炎)有两个零点.2•已知a^R9函数/(x)=e v—av(e=2.718 28…是自然对数的底数)若函数F(.V)=/(・Y)-(R —2处+21n w+a) 在区间(o, g内无零点，求实数“的最大值.2 _2解：法一由已知得 F(x)=67(x-1)-2111 x,且 F(l)=0・则 F(x)=a—■二=一^二，x>0.①当穴0时，F' (x)<0, F(x)在区间(0, +8)上单调递减，结合F(l)=0知，当赵0,扌)时，F(x)>0. 所以F(x)在(0,寻内无零点.②当Q0时，令F(x)=0,得若禺时,即呻0, 4]时,F(x)在(0, *)上是减函数.又x-*0时，F(x)-* + 8.要使F(x)在(0,扌)内无零点，只需彳扌)=一号一21n*^0,则0<a£41n2.若II时，即a>4时，则F(x)在(0,寸)上是减函数，在(：，上是增函数-.•.F(x)min令 0(a)=2—a —21n亍，则 0，(a)= —1+牙=二^卫<0,： "(a)在(4, +8)上是减函数，则(p(a)<(p⑷二21112 —2<0. 因此怡)v°，所以F(x)在皿(0,訥一定有零点，不合题意，舍去.综上，函数F(x)在(0,寻内无零点，应有aW41n2,所以实数a的最大值为41n2.法二当 a£0 时，同法一当 a>0 时，xG(0,务F，匕)<0： x£, +°°),F' (x)>0.所以F(x)在(0,上单调递减，在(亍，+8)上单调递增-因此F(x)mm=F(j)①若詰1,即(Xa^2时，F(x)在(0,扌)内是减函数•因此，当赵0,寻时，F(x)>F(l)=0,所以F(x)在(0,舟)内无零点.②若壬vl,即a>2时，F(A)mm=/(|)<F(l)=O.要使函数F(x)在(0,劝内无零点，只需越)=一号一2诘20, 则2vaW41n2-综上，函数F(x)在1：0, 訓无零点，应有aW41n2,所以实数a的最大值是41n2.祈题好题创练与理富1. [2020年高考全国I卷文数20】已知函数/(x) = e v-^(x+2)・(1)当“ =1时，讨论.f(x)的单调性；(2)若/(X)有两个零点，求4的取值范围.【解析】(1)当“ =1 时，f(x) = e x-(x + 2), f(x) = e r-l,令 f (-V)<0 ,解得xvO,令 f (x) >0,解得x>0,・•• M 的减区间为(P,O),增区间为(O,+s).(2)若/(x)有两个零点，即e x-a(x + 2) = 0有两个解，从方程可知，x = 2不成立，即« =— 有两个解.x + 2 ， ・ e x(x + 2}- 令/?(X )=——(xH —2),则有h (x) = 一-一J x+2 (x + 2)- 令 /? (x) > 0 .解得x>-l » 令h (X)< 0 ,解得兀 v-2或一2 vxv-l,•••函数/心)在(YO ,—2)和(-2,-1)上单调递减，在(一1,乜)上单调递增，且当XV —2时，/?(x)vO,而ex \x->-2* 时，-> +°° > 当时，h(x) -HO , •••当“= ---- 有两个解时，有么>力(一1)= 一,x + 2 e•••满足条件的“的取值范II 是：(lac)・e2. [2020年高考全国ID 卷文数20】已知函数f(x) = ^-kx + k 2. (1)讨论/(X)的单调性：(2)若f(x)有三个零点，求k 的取值范围. 【解析】(1)由题，f \x) = 3x 2-k 9当k<0时，f\x)>0恒成立…在(YO ,P )上单调递增;单调递增.当0 vkv 帶时，>/F> j|,且/•(攸)=疋>0,.・j(x)在(j £,仮)上有唯一一个零点,_" + 1)"U + 2)2令 f W >0,得x v 或x>心)在(一」£,(2)由(1)知，/(X)有三个零点，则k>0,且<八占)>。

专题14 导数在研究函数中的应用（二）【背一背】1.可导函数的极值（1）极值的概念设函数)(x f 在点0x 附近有定义，且若对0x 附近的所有的点都有)()(0x f x f <（或)()(0x f x f >），则称)(0x f 为函数的一个极大（小）值，称0x 为极大（小）值点.（2）求可导函数)(x f 极值的步骤:①求导数)(x f '。

求方程0)(='x f 的根.②求方程0)(/=x f 的根.③检验)(x f '在方程0)(='x f 的根的左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数)(x f y =在这个根处取得极大值；如果在根的右侧附近为正，左侧附近为负，那么函数)(x f y =在这个 根处取得极小值.2.函数的最大值和最小值（1）设)(x f y =是定义在区间[]b a ,上的函数，)(x f y =在),(b a 内有导数，求函数)(x f y =在[]b a ,上的最大值与最小值，可分两步进行.①求)(x f y =在),(b a 内的极值.②将)(x f y =在各极值点的极值与)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.（2）若函数)(x f 在[]b a ,上单调增加，则)(a f 为函数的最小值，)(b f 为函数的最大值；若函数)(x f 在[]b a ,上单调递减，则)(a f 为函数的最大值，)(b f 为函数的最小值.3、注意事项1.在求可导函数的极值时，应注意：（以下将导函数)(x f '取值为0的点称为函数)(x f 的驻点可导函数的极值点一定是它的驻点，注意一定要是可导函数。

例如函数||x y =在点0=x 处有极小值)0(f =0，可是这里的)0(f '根本不存在，所以点0=x 不是)(x f 的驻点.(1) 可导函数的驻点可能是它的极值点，也可能不是极值点。

导数与零点一、判断零点的个数
1.已知函数f(x)=3lnx−1
2x2+2x−3ln3−3
2
,求方程f(x)=0的解的个数
2.已知函数f(x)=xe x+lnx
x
，求证函数f(x)有唯一零点
3.已知函数f(x)=e x,x∈R.证明：曲线y=f(x)与曲线y=1
2
x2+x+1有唯一公共点
4设函数f(x)=lnx,若方程f(x)=mx在区间[1，e2]上有唯一实数解，求实数m 的取值范围
5.设函数f(x)=lnx+m
x
,m∈R.
（1）当m=e时，求f(x)的极小值
（2）讨论函数g(x)=f′(x)−x
3
零点的个数
二、由函数零点个数求参数
1.已知函数f(x)=1
3
x3−4x+m,若f(x)有且仅有三个零点，求m的取值范围
2.已知函数f(x)=e x−ax2
（1）若a=1，证明：当x≥0时，f(x)≥1
（2）若f(x)在(0，+∞)只有一个零点，求a
3.已知函数f(x)=x4+9x+5,则f(x)的图像在（-1,3）内与x轴的交点的个数为
4.已知函数f(x)=e x−2x+a有零点，则a的取值范围是
5.设函数f(x)=lnx+m
x ,m∈R,讨论函数g(x)=f′(x)−x
3
零点的个数
6.设函数f(x)=x3−9
2
x2+6x−a，若方程f(x)=0有且只有一个实根，求a 的取值范围
7.已知函数f(x)=x3−3ax−1,(a≠0) ,若f(x)在x=−1处取得极值，直线y= m与y=f(x)的图像有三个不同的交点，求m的取值范围
8.已知函数f(x)=e x−mx在（−1，+∞）上没有零点，求m的取值范围。