2011届高考数学复习好题精选 函数模型及其应用

12函数模型及其应用1.七类常见函数模型(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型．(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．(3)解模：求解数学模型，得出数学结论．(4)还原：将数学问题还原为实际问题．以上过程用框图表示如下：4.判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．5．解函数应用题的一般步骤第一步：(审题)弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：(建模)将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；第三步：(解模)求解数学模型，得到数学结论；第四步：(还原)将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步：(反思)对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．2．建模的基本原则(1)在实际问题中，若两个变量之间的关系是直线上升或直线下降或图象为直线(或其一部分)，一般构建一次函数模型，利用一次函数的图象与性质求解．(2)实际问题中的如面积问题、利润问题、产量问题或其图象为抛物线(或抛物线的一部分)等一般选用二次函数模型，根据已知条件确定二次函数解析式．结合二次函数的图象、最值求法、单调性、零点等知识将实际问题解决．(3)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．练习一1.有一组试验数据如表所示：A．y＝2x＋1－1 B．y＝x2－1C．y＝2log2x D．y＝x3答案 B解析根据表中数据可知，能体现这组数据关系的函数模型是y＝x2－1.2.物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，某部门为尽快稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )答案 B解析B中，Q的值随t的变化越来越快．故选B.3.有一批材料可以建成200 m长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形场地的最大面积为________ m2.(围墙厚度不计)答案2500解析设围成的矩形的长为x m，则宽为200－x4m，则S＝x·200－x4＝14(－x2＋200x)＝－14(x－100)2＋2500.当x＝100时，S max＝2500 m2.4．高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象是( )答案 B解析当h＝H时，体积为V，故排除A，C；由H→0过程中，减少相同高度的水，水的体积从开始减少的越来越快到越来越慢，故选B.5．如图，矩形ABCD的周长为8，设AB＝x(1≤x≤3)，线段MN的两端点在矩形的边上滑动，且MN＝1，当N沿A→D→C→B→A在矩形的边上滑动一周时，线段MN的中点P所形成的轨迹为G，记G围成的区域的面积为y，则函数y＝f(x)的图象大致为( )答案 D解析 由题意可知点P 的轨迹为图中虚线所示，其中四个角均是半径为12的扇形．因为矩形ABCD 的周长为8，AB ＝x ， 则AD ＝8－2x2＝4－x ， 所以y ＝x (4－x )－π4＝－(x －2)2＋4－π4(1≤x ≤3)， 显然该函数的图象是二次函数图象的一部分， 且当x ＝2时，y ＝4－π4∈(3,4)，故选D. 6.某校学生研究学习小组发现，学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化，老师讲课开始时，学生的兴趣激增；接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间，随后学生的注意力开始分散．设f (t )表示学生注意力指标．该小组发现f (t )随时间t (分钟)的变化规律(f (t )越大，表明学生的注意力越集中)如下：f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧100a t10－600≤t ≤10，34010<t ≤20，－15t ＋64020<t ≤40(a >0且a ≠1)．若上课后第5分钟时的注意力指标为140，回答下列问题： (1)求a 的值；(2)上课后第5分钟和下课前第5分钟比较，哪个时间注意力更集中？并请说明理由；(3)在一节课中，学生的注意力指标至少达到140的时间能保持多长？ 解 (1)由题意得，当t ＝5时，f (t )＝140， 即100·a510－60＝140，解得a ＝4. (2)因为f (5)＝140，f (35)＝－15×35＋640＝115， 所以f (5)>f (35)，故上课后第5分钟时比下课前第5分钟时注意力更集中． (3)①当0<t ≤10时，由(1)知，f (t )＝100·4t 10－60≥140，解得5≤t ≤10；②当10<t ≤20时，f (t )＝340>140恒成立； ③当20<t ≤40时，f (t )＝－15t ＋640≥140， 解得20<t ≤1003. 综上所述，5≤t ≤1003. 故学生的注意力指标至少达到140的时间能保持1003－5＝853分钟． 7．某市家庭煤气的使用量x (m 3)和煤气费f (x )(元)满足关系f (x )＝⎩⎨⎧C ，0<x ≤A ，C ＋B x －A ，x >A .已知某家庭2019年前三个月的煤气费如下表：月份 用气量 煤气费 一月份 4 m 3 4元 二月份 25 m 3 14元 三月份35 m 319元A ．11.5元B ．11元C ．10.5元D ．10元答案 A解析 根据题意可知f (4)＝C ＝4，f (25)＝C ＋B (25－A )＝14，f (35)＝C ＋B (35－A )＝19，解得A ＝5，B ＝12，C ＝4，所以f (x )＝⎩⎨⎧4，0<x ≤5，4＋12x －5，x >5，所以f (20)＝4＋12×(20－5)＝11.5，故选A.8．某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．答案 24解析 由题意得⎩⎨⎧e b＝192，e22k ＋b＝48，即⎩⎨⎧e b ＝192，e11k＝12，所以该食品在33 ℃的保鲜时间是y ＝e 33k ＋b ＝(e 11k )3·e b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123×192＝24(小时)．9．如图，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE ＝4米，CD ＝6米．为了合理利用这块钢板，在五边形ABCDE 内截取一个矩形BNPM ，使点P 在边DE 上．(1)设MP ＝x 米，PN ＝y 米，将y 表示成x 的函数，并求该函数的解析式及定义域；(2)求矩形BNPM 面积的最大值．解 (1)如图，作PQ ⊥AF 于点Q ，所以PQ ＝8－y ，EQ ＝x －4， 在△EDF 中，EQ PQ ＝EF FD， 所以x －48－y ＝42，所以y ＝－12x ＋10，定义域为{x |4≤x ≤8}． (2)设矩形BNPM 的面积为S ，则S (x )＝xy ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫10－x 2＝－12(x －10)2＋50，所以S (x )是关于x 的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为直线x ＝10，所以当x ∈[4,8]时，S (x )单调递增，所以当x ＝8时，矩形BNPM 的面积取得最大值，最大值为48平方米．10．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30) A ．2018年 B ．2019年 C ．2020年 D ．2021年答案 B解析 根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以从2015年起，每年投入的研发资金组成一个等比数列{a n }，其中首项a 1＝130，公比q ＝1＋12%＝1.12，所以a n ＝130×1.12n －1.由130×1.12n －1>200，两边同时取对数，得n －1>lg 2－lg 1.3lg 1.12，又lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝3.8，则n >4.8，即a 5开始超过200，所以2019年投入的研发资金开始超过200万元，故选B.11．已知一容器中有A ，B 两种菌，且在任何时刻A ，B 两种菌的个数乘积均为定值1010，为了简单起见，科学家用P A ＝lg n A 来记录A 菌个数的资料，其中n A 为A 菌的个数，现有以下几种说法：①P A ≥1；②若今天的P A 值比昨天的P A 值增加1，则今天的A 菌个数比昨天的A 菌个数多10；③假设科学家将B 菌的个数控制为5万，则此时5<P A <5.5(注：lg 2≈0.3)． 则正确的说法为________．(写出所有正确说法的序号)答案 ③解析 当n A ＝1时，P A ＝0，故①错误；若P A ＝1，则n A ＝10，若P A ＝2，则n A ＝100，故②错误；设B 菌的个数为n B ＝5×104，∴n A ＝10105×104＝2×105，∴P A＝lg n A ＝lg 2＋5.又lg 2≈0.3，∴P A ≈5.3，则5<P A <5.5，即③正确．12．某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x (元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y (元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？ 解 (1)当x ≤6时，y ＝50x －115， 令50x －115>0，解得x >2.3， ∵x 为整数，∴3≤x ≤6，x ∈Z .当x >6时，y ＝[50－3(x －6)]x －115＝－3x 2＋68x －115.令－3x 2＋68x －115>0，有3x 2－68x ＋115<0，结合x 为整数得6<x ≤20，x ∈Z .∴y ＝⎩⎨⎧50x －1153≤x ≤6，x ∈Z ，－3x 2＋68x －1156<x ≤20，x ∈Z .(2)对于y ＝50x －115(3≤x ≤6，x ∈Z )， 显然当x ＝6时，y max ＝185； 对于y ＝－3x 2＋68x －115＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3432＋8113(6<x ≤20，x ∈Z )，当x ＝11时，y max ＝270.∵270>185，∴当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．13.用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的34，要使存留的污垢不超过1%，则至少要洗的次数是(参考数据：lg 2≈0.3010)( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 B解析 设至少要洗x 次，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34x ≤1100，∴x ≥1lg 2≈3.322，因此至少需要洗4次，故选B.14．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y 与投放市场的月数x 之间关系的是( )A ．y ＝100xB ．y ＝50x 2－50x ＋100C ．y ＝50×2xD ．y ＝100log 2x ＋100答案 C解析 对于A 中的函数，当x ＝3或4时，误差较大．对于B 中的函数，当x ＝4时误差较大．对于C 中的函数，当x ＝1,2,3时，误差为0，x ＝4时，误差为10，误差很小．对于D 中的函数，当x ＝4时，据函数式得到的结果为300，与实际值790相差很远．综上，只有C 中的函数误差最小．15．据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y (只)与时间x (年)近似地满足关系y ＝a log 3(x ＋2)，观察发现2014年(作为第1年)到该湿地公园越冬的白鹤数量为3000只，估计到2020年到该湿地公园越冬的白鹤的数量为( )A ．4000只B ．5000只C ．6000只D ．7000只答案 C 解析 当x ＝1时，由3000＝a log 3(1＋2)，得a ＝3000，所以到2020年冬，即第7年，y ＝3000×log 3(7＋2)＝6000，故选C.15.某位股民买入某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了3次涨停(每次上涨10%)又经历了3次跌停(每次下降10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )A ．略有盈利B ．无法判断盈亏情况C ．没有盈利也没有亏损D ．略有亏损答案 D解析 由题意可得(1＋10%)3(1－10%)3＝0.993≈0.97<1.因此该股民这只股票的盈亏情况为略有亏损．16．某地区的绿化面积每年平均比上一年增长18%，经过x 年后，绿化面积与原绿化面积之比为y ，则y ＝f (x )的图象大致为( )答案 D解析 设某地区起始年的绿化面积为a ，因为该地区的绿化面积每年平均比上一年增长18%，所以经过x 年后，绿化面积g (x )＝a (1＋18%)x ，因为绿化面积与原绿化面积的比值为y ，则y ＝f (x )＝g x a＝(1＋18%)x ＝1.18x ，因为y ＝1.18x 为底数大于1的指数函数，故可排除A ，C ，当x ＝0时，y ＝1，可排除B ，故选D.17．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T 0，经过一定时间t (单位：min)后的温度是T ，则T －T a ＝(T 0－T a )⎝ ⎛⎭⎪⎫12t h，其中T a 称为环境温度，h 称为半衰期，现有一杯用85 ℃热水冲的速溶咖啡，放在21 ℃的房间中，如果咖啡降到37 ℃需要16 min ，那么这杯咖啡要从37 ℃降到29 ℃，还需要________ min.答案 8解析 由题意知T a ＝21 ℃.令T 0＝85 ℃，T ＝37 ℃，得37－21＝(85－21)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1216h ，∴h ＝8.令T 0＝37 ℃，T ＝29 ℃，则29－21＝(37－21)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 8，∴t ＝8.18．候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为：v ＝a ＋b log 3Q 10(其中a ，b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.(1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于 2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？解 (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0. 当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ，故a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1. 解方程组⎩⎨⎧ a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎨⎧ a ＝－1，b ＝1.(2)由(1)知，v ＝a ＋b log 3Q 10＝－1＋log 3Q 10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则有v ≥2，所以－1＋log 3Q 10≥2， 即log 3Q 10≥3，解得Q 10≥27，即Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位．19．食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P 、种黄瓜的年收入Q 与投入a (单位：万元)满足P ＝80＋42a ，Q ＝14a ＋120.设甲大棚的投入为x (单位：万元)，每年两个大棚的总收入为f (x )(单位：万元)．(1)求f (50)的值；(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收入f (x )最大？ 解 (1)若投入甲大棚50万元，则投入乙大棚150万元，所以f (50)＝80＋42×50＋14×150＋120＝277.5. (2)由题知，f (x )＝80＋42x ＋14(200－x )＋120＝－14x ＋42x ＋250， 依题意得⎩⎨⎧ x ≥20，200－x ≥20，解得20≤x ≤180，故f (x )＝－14x ＋42x ＋250(20≤x ≤180)． 令t ＝x ，则t 2＝x ，t ∈[25，65]， y ＝－14t 2＋42t ＋250＝－14(t －82)2＋282，当t ＝82，即x ＝128时，y 取得最大值282，所以投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收入最大，且最大收入为282万元．。

函数模型及其应用习题及答案某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，于是商场经理决定每件衬衫降价15元，经理的决定正确吗？根底稳固1．某商场售出两台取暖器，第一台提价20%以后按960卖出，第二台降价20%以后按960元卖出，这两台取暖器卖出后，该商场() A．不赚不亏 B．赚了80元C．亏了80元 D．赚了160元解析：960＋960－9601＋20%－9601－20%＝－80.答案：C2．用一根长12 m的铁丝折成一个矩形的铁框架，那么能折成的框架的最大面积是．解析：设矩形长为x m，那么宽为12(12－2x) m，用面积公式可得S的最大值．答案：9 m23．在x g a%的盐水中，参加y g b%的盐水，浓度变为c%，那么x与y的函数关系式为．解析：溶液的浓度＝溶质的质量溶液的质量＝xa%＋yb%x＋y＝c%，解得y＝a－－bx＝c－ab－cx.答案：y＝c－ab－cx4．某服装个体户在进一批服装时，进价已按原价打了七五折，他打算对该服装定一新标价在价目卡上，并说明按该价的20%销售．这样仍可获得25%的纯利，求此个体户给这批服装定的新标价y 与原标价x之间的函数关系式为解析：由题意得20%y－0.75x＝0.7x25%y＝7516x.答案：y＝7516x5．如果本金为a，每期利率为r，按复利计算，本利和为y，那么存x期后，y与x之间的函数关系是．解析：1期后y＝a＋ar＝a(1＋r)；2期后y＝a(1＋r)＋a(1＋r)r＝a(1＋r)2；…归纳可得x期后y＝a(1＋r)x.答案：y＝a(1＋r)x6．一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，n年后这批设备的价值为万元．解析：1年后价值为：a－ab%＝a(1－b%)，2年后价值为：a(1－b%)－a(1－b%)b%＝a(1－b%)2，n年后价值为：a(1－b%)n.答案：a(1－b%)n7．某供电公司为了合理分配电力，采用分段计算电费政策，月用电量x(度)与相应电费y(元)之间的函数关系的图象如以下图所示．(1)填空：月用电量为100度时，应交电费元；(2)当x100时，y与x之间的函数关系式为；(3)月用电量为260度时，应交电费元．解析：由图可知：y与x之间是一次函数关系，用待定系数法可求解析式．答案：(1)60 (2)y＝12x＋10 (3)1408．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如下表：每户每月用水量水价不超过12 m3的部分 3元/m3超过12 m3但不超过18 m3的部分 6元/m3超过18 m3的部分 9元/m3假设某户居民本月交纳的水费为48元，那么此户居民本月用水量为m3.解析：设每户每月用水量为x，水价为y元，那么y＝3x，012，36＋x－126，1218，36＋36＋x－189，x＞18，即y＝3x，012，6x－36，1218，9x－90，x18.48＝6x－36，x＝14.答案：149．国家收购某种农产品的价格是120元/担，其中征税标准为每100元征8元(叫做税率为8个百分点，即8%)，方案收购m万担，为了减轻农民负担，决定税率降低x个百分点，预计收购量可增加2x个百分点．(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调整后，不低于原方案的78%，试确定x的范围．解析：(1)y＝120m[1＋(2x)%](8%－x%)＝－0.024m(x2＋42x－400)(08)．(2)－0.024m(x2＋42x－400)120m8%78%，即x2＋42x－880，(x＋44)(x－2)0，解得－442.又∵08，02.10．有一条双向公路隧道，其横断面由抛物线和矩形ABCO的三边组成，隧道的最大高度为4.9 m，AB＝10 m，BC＝2.4 m．现把隧道的横断面放在平面直角坐标系中，假设有一辆高为4 m，宽为2 m的装有集装箱的汽车要通过隧道．问：如果不考虑其他因素，汽车的右侧离开隧道右壁至少多少米才不至于碰到隧道顶部(抛物线部分为隧道顶部，AO、BC为壁)?解析：由条件分析，得知抛物线顶点坐标为(5,2.5)，C点的坐标为(10,0)，所以设抛物线的解析式为y＝a(x－5)2＋2.5，①把(10,0)代入①得0＝a(10－5)2＋2.5，解得a＝－110，y＝－110(x－5)2＋2.5.当y＝4－2.4＝1.6时，1.6＝－110(x－5)2＋2.5，即(x－5)2＝9，解得x1＝8，x2＝2.显然，x2＝2不符合题意，舍去，所以x＝8.OC－x＝10－8＝2.故汽车应离开右壁至少2 m才不至于碰到隧道顶部．。

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考点4 函数及其表示一、选择题1. （2011·福建卷文科·Ｔ8） 已知函数()f x =20,1, 0⎧>⎨+≤⎩，x x x x ，若f （a ）+f （1）=0,则实数a的值等于（ )(A ）-3 (B ）-1 （C ）1 （D)3【思路点拨】由f （a ）+f （1)=0得()f a 的值，然后根据()f x 的解析式,分两段求出a 的值。

【精讲精析】选A.()(1)0,()(1)2+=∴=-=-f a f f a f ,若0a >，则22=-a ,显然不成立;若0a ≤,则()1f a a =+2,3a =-=-,符合题意。

3.a ∴=- 2.（2011·广东高考文科·Ｔ4）函数1()lg(1)1f x x x=++-的定义域是（ ） （A)（-∞，1） (B ）（1,+∞)（C)（—1，1）∪(1，+∞） （D ）（—∞，+∞）【思路点拨】本题主要考查函数定义域的求法,由分母不为零和对数的真数为正，列不等式组可求得定义域.【精讲精析】选C.要使函数有意义，当且仅当⎩⎨⎧>+≠-0101x x 解得1->x 且1≠x ，从而定义域为），（），（∞+-111 ，故选C.3.（2011·广东高考文科·Ｔ10）设f （x ），g （x ），h （x ）是R 上的任意实数函数,如下定义两个函数()()f g x 和()()•f g x ；对任意x ∈R ，（f g ）(x ）=(())f g x ；(f ·g ）（x ）=()()f x g x 。

函数模型及其应用一、基础知识1．常见的8种函数模型(1)正比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)；(2)反比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)；(3)一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)；(4)二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)；(5)指数函数模型：f(x)＝ab x＋c(a，b，c为常数，a≠0，b>0，b≠1)；(6)对数函数模型：f(x)＝m log a x＋n(m，n，a为常数，m≠0，a>0，a≠1)；(7)幂函数模型：f(x)＝ax n＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1)；(8)“对勾”函数模型：y＝x＋ax(a>0)．(1)形如f(x)＝x＋ax(a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型，“对勾”函数的性质：①该函数在(－∞，－a]和[a，＋∞)上单调递增，在[－a，0)和(0，a]上单调递减．②当x>0时，x＝a时取最小值2a，当x<0时，x＝－a时取最大值－2a.(2)函数f(x)＝xa＋bx(a>0，b>0，x>0)在区间(0，ab]内单调递减，在区间[ab，＋∞)内单调递增．2．三种函数模型的性质函数性质y＝a x(a>1)y＝log a x(a>1)y＝x n(n>0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大，逐渐表现为与y轴平行随x的增大，逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x>x0时，有log a x<x n<a x幂函数模型y＝x n(n>0)可以描述增长幅度不同的变化，当n,值较小(n≤1)时，增长较慢；当n值较大(n>1)时，增长较快.考点一二次函数、分段函数模型[典例]国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30或30以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15000元．(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？[解](1)设每团人数为x，由题意得0<x≤75(x∈N*)，飞机票价格为y元，则y ，0<x≤30，－10(x－30)，30<x≤75，即y，0<x≤30，200－10x，30<x≤75.(2)设旅行社获利S元，则Sx－15000，0<x≤30，200x－10x2－15000，30<x≤75，即Sx－15000，0<x≤30，10(x－60)2＋21000，30<x≤75.因为S＝900x－15000在区间(0,30]上为增函数，故当x＝30时，S取最大值12000.又S＝－10(x－60)2＋21000，x∈(30,75]，所以当x＝60时，S取得最大值21000.故当x＝60时，旅行社可获得最大利润．[解题技法]二次函数、分段函数模型解决实际问题的策略(1)在建立二次函数模型解决实际问题中的最值问题时，一定要注意自变量的取值范围，需根据函数图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解．(2)对于分段函数模型的最值问题，应该先求出每一段上的最值，然后比较大小．(3)在利用基本不等式求解最值时，一定要检验等号成立的条件，也可以利用函数单调性求解最值．[题组训练]1．某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)，0<x≤A，＋B(x－A)，x>A.已知某家庭2018年前三个月的煤气费如表：月份用气量煤气费一月份4m34元二月份25m314元三月份35m 319元若四月份该家庭使用了20m 3的煤气，则其煤气费为()A ．11.5元B ．11元C ．10.5元D ．10元解析：选A根据题意可知f (4)＝C ＝4，f (25)＝C ＋B (25－A )＝14，f (35)＝C ＋B (35－A )＝19，解得A ＝5，B ＝12，C ＝4，所以f (x )，0<x ≤5，＋12(x －5)，x >5，所以f (20)＝4＋12×(20－5)＝11.5.2．A ，B 两城相距100km ，在两城之间距A 城x (km)处建一核电站给A ，B 两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A 城供电量为每月20亿度，B 城供电量为每月10亿度．(1)求x 的取值范围；(2)把月供电总费用y 表示成x 的函数；(3)核电站建在距A 城多远，才能使月供电总费用y 最少？解：(1)由题意知x 的取值范围为[10,90]．(2)y ＝5x 2＋52(100－x )2(10≤x ≤90)．(3)因为y ＝5x 2＋52(100－x )2＝152x 2－500x ＋25000＋500003，所以当x ＝1003y min ＝500003.故核电站建在距A 城1003km 处，能使月供电总费用y 最少．考点二指数函数、对数函数模型[典例]某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y (微克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出第一次服药后y 与t 之间的函数关系式y ＝f (t )；(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间．[解](1)由题图，设y 0≤t ≤1，a，t >1，当t ＝1时，由y ＝4，得k ＝4，由－a ＝4，得a ＝3.所以y 0≤t ≤1，－3，t >1.(2)由y ≥0.25≤t ≤1，t ≥0.253≥0.25，解得116≤t ≤5.故服药一次后治疗疾病有效的时间是5－116＝7916(小时)．[解题技法]1．掌握2种函数模型的应用技巧(1)与指数函数、对数函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在三类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数．2．建立函数模型解应用问题的4步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型．(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型．(3)求模：求解数学模型，得出数学结论．(4)还原：将利用数学知识和方法得出的结论，还原到实际问题中．[题组训练]1．某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为()A．略有盈利B．略有亏损C．没有盈利也没有亏损D．无法判断盈亏情况解析：选B设该股民购进这支股票的价格为a元，则经历n次涨停后的价格为a(1＋10%)n＝a×1.1n元，经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0.99n·a<a，故该股民这支股票略有亏损．2．声强级Y(单位：分贝)由公式Y＝10lg I为声强(单位：W/m2)．(1)平常人交谈时的声强约为10－6W/m2，求其声强级．(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到的最低声强为多少？解：(1)当声强为10－6W/m2时，由公式Y＝得Y＝10lg106＝60(分贝)．(2)当Y＝0时，由公式Y＝得0.∴I10－12＝1，即I＝10－12W/m2，则最低声强为10－12W/m2.[课时跟踪检测]1．(2018·福州期末)某商场销售A型商品．已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如下表所示：销售单价/元45678910日均销售量/件400360320280240200160请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，则此商品的定价(单位：元/件)应为()A．4B．5.5C．8.5D．10解析：选C由数据分析可知，当单价为4元时销售量为400件，单价每增加1元，销售量就减少40件．设定价为x 元/件时，日均销售利润为y 元，则y ＝(x －3)·[400－(x －4)·40]＝－＋1210，故当x ＝172＝8.5时，该商品的日均销售利润最大，故选C.2．(2019·绵阳诊断)某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费．某职工某月的水费为55元，则该职工这个月实际用水为()A ．13立方米B ．14立方米C ．15立方米D ．16立方米解析：选C 设该职工某月的实际用水为x 立方米时，水费为y 元，由题意得y ＝x ，0≤x ≤10，＋5(x －10)，x >10，即y x ，0≤x ≤10，x －20，x >10.易知该职工这个月的实际用水量超过10立方米，所以5x －20＝55，解得x ＝15.3．利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间，年生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的关系可近似地表示为y ＝x 210－30x ＋4000，则每吨的成本最低时的年产量为()A ．240吨B ．200吨C ．180吨D ．160吨解析：选B 依题意，得每吨的成本为y x ＝x 10＋4000x －30，则yx≥2x 10·4000x－30＝10，当且仅当x 10＝4000x，即x ＝200时取等号，因此，当每吨成本最低时，年产量为200吨．4．某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%.已知在过滤过程中废气中的污染物数量P (单位：毫克/升)与过滤时间t (单位：时)之间的函数关系为P ＝P 0e －kt (k ，P 0均为正常数)．如果在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么排放前至少还需要过滤的时间是()A.12小时 B.59小时C ．5小时D ．10小时解析：选C 由题意，前5个小时消除了90%的污染物．∵P ＝P 0e －kt ，∴(1－90%)P 0＝P 0e －5k，∴0.1＝e－5k，即－5k ＝ln 0.1，∴k ＝－15ln 0.1.由1%P 0＝P 0e －kt ，即0.01＝e －kt ，得－kt ＝ln 0.01，＝ln 0.01，∴t ＝10.∴排放前至少还需要过滤的时间为t －5＝5(时)．5．(2019·蚌埠模拟)某种动物的繁殖数量y (单位：只)与时间x (单位：年)的关系式为y ＝a log 2(x ＋1)，若这种动物第1年有100只，则到第7年它们发展到________只．解析：由题意，得100＝a log 2(1＋1)，解得a ＝100，所以y ＝100log 2(x ＋1)，当x ＝7时，y ＝100log 2(7＋1)＝300，故到第7年它们发展到300只．答案：3006.某人根据经验绘制了从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y (千克)随时间x (天)变化的函数图象如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿________千克．解析：前10天满足一次函数关系，设为y ＝kx ＋b ，将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析＝k ＋b ，＝10k ＋b ，解得k ＝209，b ＝709，所以y ＝209x ＋709，则当x ＝6时，y ＝1909.答案：19097．候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为：v ＝a ＋b log 3Q10(其中a ，b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1m/s.(1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s ，求其耗氧量至少要多少个单位？解：(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0.当耗氧量为90个单位时，速度为1m/s ，故a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.＋b ＝0，＋2b ＝1，＝－1，＝1.(2)由(1)知，v ＝a ＋b log 3Q 10＝－1＋log 3Q10.所以要使飞行速度不低于2m/s ，则有v ≥2，所以－1＋log 3Q10≥2，即log 3Q 10≥3，解得Q10≥27，即Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s ，则其耗氧量至少要270个单位．8.据气象中心观察和预测：发生于沿海M 地的台风一直向正南方向移动，其移动速度v (单位：km/h)与时间t (单位：h)的函数图象如图所示，过线段OC 上一点T (t,0)作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积为时间t 内台风所经过的路程s (单位：km)．(1)当t ＝4时，求s 的值；(2)将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N 城位于M 地正南方向，且距M 地650km ，试判断这场台风是否会侵袭到N 城，如果会，在台风发生后多长时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由．解：(1)由图象可知，直线OA 的方程是v ＝3t (0≤t ≤10)，直线BC 的方程是v ＝－2t ＋70(20<t ≤35)．当t ＝4时，v ＝12，所以s ＝12×4×12＝24.(2)当0≤t ≤10时，s ＝12×t ×3t ＝32t 2；当10<t ≤20时，s ＝12×10×30＋(t －10)×30＝30t －150；当20<t ≤35时，s ＝150＋300＋12×(t －20)×(－2t ＋70＋30)＝－t 2＋70t －550.综上可知，s 随t 变化的规律是s2，t ∈[0，10]，t －150，t ∈(10，20]，t 2＋70t －550，t ∈(20，35].(3)当t ∈[0,10]时，s max ＝32×102＝150<650，当t ∈(10,20]时，s max ＝30×20－150＝450<650，当t ∈(20,35]时，令－t 2＋70t －550＝650，解得t ＝30或t ＝40(舍去)，即在台风发生30小时后将侵袭到N 城．。

考点8 函数与方程、函数模型及其应用一、选择题1. （2011·福建卷文科·Ｔ6）若关于x 的方程x 2+mx+1=0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（ ） （A ）(-1,1) （B ）(-2,2)（C ）(-∞，-2) ∪（2，+∞） （D ）（-∞，-1）∪（1，+∞）【思路点拨】方程x 2+mx+1=0若有两个不相等的实数根，需满足其判别式240m ∆=->，由此即可解得m的取值范围.【精讲精析】选C. 方程210x mx ++=有两个不相等的实数根，需判别式240m ∆=->，解得2m >或2m <-.2.（2011·新课标全国高考文科·Ｔ10）在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ） （A ） 1,04⎛⎫-⎪⎝⎭ （B ）10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ （C ）11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）13,24⎛⎫⎪⎝⎭【思路点拨】结合函数()f x 的单调性，将4个选项中涉及的端点值代入函数()f x 的解析式，零点必在使得端点函数值异号的区间内.【精讲精析】选C. ()f x 是R 上的增函数且图象是连续的，又114411()+432044f e e =⨯-=-<，112211()4310,22f e e =+⨯-=->∴()f x 定在11,42⎛⎫⎪⎝⎭内存在零点. 3.（2011·山东高考理科·Ｔ10）已知f （x ）是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x ＜2时，f （x ）=x 3-x ，则函数y=f （x ）的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为（ ） （A ）6（B ）7（C ）8（D ）9【思路点拨】本题可以先求当0≤x ＜2时函数的零点，即函数与x 轴交点的个数，然后根据周期性确定零点的个数.【精讲精析】选B.令f （x ）=x 3-x=0，即x(x+1)(x-1)=0,所以x=0,1,-1，因为0≤x ＜2，所以此时函数的零点有两个，即与x 轴的交点个数为2，因为f （x ）是R 上最小正周期为2的周期函数，所以2≤x ＜4，4≤x ＜6也分别有两个零点，由f （6）= f （4）=f （2）=f （0），所以f （6）也是函数的零点，所以函数y=f （x ）的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为7个.4．（2011·陕西高考理科·T6）函数()cos f x x =在[0,)+∞内（ ）（A ）没有零点 （B ）有且仅有一个零点 （C ）有且仅有两个零点 （D ）有无穷多个零点【思路点拨】利用数形结合法进行直观判断，或根据函数的性质（值域、单调性等）进行判断.【精讲精析】选B.（方法一）数形结合法，令()cos f x x =0=cos x =，设函数y =cos y x =，它们在[0,)+∞的图象如图所示，显然两函数的图象的交点有且只有一个，所以函数()cos f x x =在[0,)+∞内有且仅有一个零点；（方法二）在[,)2x π∈+∞1>，cos 1x ≤，所以()cos f x x =0>；在(0,]2x π∈上，()sin 0f x x '=>，所以函数()cos f x x =是增函数，又因为(0)1f =-，()02f π=>，所以()cos f x x =在[0,)∈+∞内x 有且只有一个零点．5.（2011·浙江高考理科·Ｔ1）设函数2,0,(),0.x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩若()4f a =，则实数a =（ ）（A ） —4或—2 （B ） —4或2 （C ）—2或4 （D ）—2或2 【思路点拨】分段函数的给值求解需要逐段来求. 【精讲精析】选B.当0a ≤时，()4,4f a a a =-==-；当0a >时，2()4,2f a a a ===.综上,4 2.a =-或 6. （2011·陕西高考文科·T6）方程cos x x =在(),-∞+∞内（ ）(A)没有根 (B)有且仅有一个根 (C)有且仅有两个根 (D)有无穷多个根【思路点拨】数形结合法，构造函数并画出函数的图象，直观判断．【精讲精析】选C.构造两个函数||y x =和cos y x =，在同一个坐标系内画出它们的图象，如图所示，观察图象知有两个公共点，所以已知方程有且仅有两个根．二、填空题7.（2011·浙江高考文科·Ｔ11）设函数4()1f x x=- ,若()2f a =,则实数a =__________. 【思路点拨】代入求解即可. 【精讲精析】4()21f a a==-,解得1a =-. 【答案】1-8. （2011·福建卷文科·Ｔ16）商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价b （b ＞a ）以及常数x （0＜x ＜1）确定实际销售价格c =a +x （b -a ），这里，x 被称为乐观系数.经验表明，最佳乐观系数x 恰好使得（c -a ）是（b-c ）和（b-a ）的等比中项，据此可得，最佳乐观系数x 的值等于_____________.【思路点拨】（c-a ）是（b-c ）和（b-a ）的等比中项2()()()c a b c b a ⇔-=--，将()c a x b a =+-代入上式，化简整理可得关于x 的方程，解方程即可.【精讲精析】由题意得：2()()()c a b c b a -=--， ()c a x b a =+-，将其代入上式，得[]2()a x b a a +--＝[]()()b a x b a b a ----222()()(1),,0∴-=-->∴-> x b a b a x b a b a 221,+x-1=0x x x ∴=-即，解得121122-+--==x x 01x <<，12x -∴=【答案】12-+9.（2011·山东高考理科·Ｔ16）已知函数f x （）=log (0a 1).a x x b a +-≠＞，且 当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f x （）的零点*0(,1),,n=x n n n N ∈+∈则 .【思路点拨】由条件易知函数f(x)在（0,+∞）内为增函数，然后利用函数的零点存在定理求出函数的零点所在区间.【精讲精析】因为函数()log (23)a f x x x b a =+-<<在（0，)+∞上是增函数，(2)log 22log 230,a a f b a b b =+-<+-=-<(3)log 33log 340a a f b a b b =+->+-=->， 0(2,3)x ∴∈即2n =.【答案】210.（2011·山东高考文科·Ｔ16）已知函数f x （）=log (0a 1).a x x b a +-≠＞，且当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f x （）的零点*0(,1),,n=x n n n N ∈+∈则 .【思路点拨】由条件易知函数f(x)在（0,+∞）上为增函数，然后利用函数的零点存在定理求出函数的零点所在区间.【精讲精析】因为函数()log (23)a f x x x b a =+-<<在（0，)+∞上是增函数，(2)log 22log 230,a a f b a b b =+-<+-=-<(3)log 33log 340a a f b a b b =+->+-=->， 0(2,3)x ∴∈即2n =.【答案】211.（2011·北京高考理科·T13）已知函数32,2()(1),2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩若关于x的方程()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是 .【思路点拨】把方程根的问题，转化为函数图象的交点问题.【精讲精析】(0,1).方程()f x k =有两个不同的实根，则y=f(x)与y=k 有两个不同交点.作出y=f(x)的图象，可知(0,1)k ∈.xy【答案】(0,1)。

函数、方程及其应用题组一一、选择题1．（宁夏银川一中2011届高三第五次月考试题全解全析理） a 是x x f x 21log 2)(-=的零点，若a x <<00，则)(0x f 的值满足 （ ）A ．0)(0=x fB ．0)(0<x fC ．0)(0>x fD ．)(0x f 的符号不确定 【答案】B【分析】函数2()2log xf x x =+在(0,)+∞上是单调递增的，这个函数有零点，这个零点是唯一的，根据函数是单调递增性，在(0,)a 上这个函数的函数值小于零，即0()0f x <。

【考点】函数的应用。

【点评】在定义域上单调的函数如果有零点，则只能有唯一的零点，并且以这个零点为分界点把定义域分成两个区间，在其中一个区间内函数值都大于零，在另一个区间内函数值都小于零。

2．（重庆市重庆八中2011届高三第四次月考文）函数()26f x ax bx =++满足条件()()13f f -=，则()2f 的值为 （ ）A ．5B ．6C ．8D ．与a ，b 值有关答案 B 提示：由()()13f f -=知对称轴12b a -=，故()226f x ax ax =-+，所以()26f =．3．（重庆市重庆八中2011届高三第四次月考文）函数()22f x x ax a =-+在(),1x ∈-∞上有最小值，则函数()()f xg x x=在()1,x ∉+∞上一定 （ ）A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数答案： D 提示：由函数()22f x x ax a =-+在(),1-∞有最小值， 知1a <，又()2a g x x a x=+-，由1x >及1a <知()222'1a x a g x x x -=-=210a x ->>，故()g x 为增函数． 4．（安徽省百校论坛2011届高三第三次联合考试理）已知函数221,1,()[(0)]4,1,x x f x f f a x ax x ⎧+<⎪==⎨+≥⎪⎩若，则实数a 等于 （ ）A ．12B ．45C ．2D ．9答案 C. 5．（安徽省蚌埠二中2011届高三第二次质检文）已知函数)10()3(log )(2≠>+-=a a ax x x f a 且满足：对任意实数x 1、x 2，当221a x x ≤<时，总有0)()(21>-x f x f ，那么实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，3）B ．（1，3）C ．)32,1(D ．)32,0(答案 C.6.（福建省莆田一中2011届高三上学期第三次月考试题文）已知函数)0,0)(sin(2)(πϕωϕω<<>+=x x f 的图象如图所示，则ω等于( )A ．13 B ． 32C ． 1D ．2 答案 B.7.（福建省莆田一中2011届高三上学期第三次月考试题文）函数)(x f 在定义域R 内可导，若()(2),f x f x =-且(1)'()0x f x -<，若),3(),21(),0(f c f b f a ===则c b a ,,的大小关系是( ) A ．c b a >> B ．b a c >> C ．a b c >> D ．b c a >>答案 B. 二、填空题8．（安徽省合肥八中2011届高三第一轮复习四考试理） 已知函数3()2'(2),'(2),f x x f x n f =-+=则二项式()nx x+展开式中常数项是第 项。

2011届高考数学函数模型及其应用复习好题精选1.已知A、B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A地到达B地，B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地，把汽车离开A地的距离x表示为时t(小时)的函数表达式是()A.x＝60t＋50t(0≤t≤6.5)B.x＝60,0 2.5 150,2.5 3.5 15050,3.5 6.5<<t ttt t⎧⎪⎨⎪-⎩≤≤≤≤C.x＝60,0 2.5 15050,>3.5t tt t⎧⎨-⎩≤≤D.x＝60,0 2.5150,2.5 3.515050 3.5<3. 6.5<5t ttt t⎧⎪⎨⎪--⎩≤≤≤(),≤解析：依题意，函数为分段函数，求出每一段上的解析式即可.答案：D2.某文具用品店出售羽毛球拍和羽毛球，球拍每副定价20元，羽毛球每只定价5元，该店制定了两种优惠方法：①买一副球拍赠送一只羽毛球；②按总价的92%付款.某人计划购买4副球拍，羽毛球30只，两种优惠方法中，更省钱的一种是() A.不能确定 B.①②同样省钱C.②省钱D.①省钱解析：①种方法需20×4＋5×(30－4)＝210元，②种方法需(20×4＋5×30)×92%＝211.6元.故①种方法省钱.答案：D3.(2010·邯郸模拟)图形M(如图所示)是由底为1，高为1的等腰#科#网]三角形及高为2和3的两个矩形所构成，函数S＝S(a)(a≥0)是图形M介于平行线y＝0及y＝a之间的那一部分面积，则函数S(a)的图象大致是()解析：依题意，当a ≤1时，S (a )＝22a a (-)＋2a ＝－212a ＋3a ； 当1＜a ≤2时，S (a )＝12＋2a ； 当2＜a ≤3时，S (a )＝12＋2＋a ＝a ＋52； 当a ＞3时，S (a )＝12＋2＋3＝112， 于是S (a )＝213,01212,122,5,23211,2<<<>a a a a a a a a ⎧-+⎪⎪⎪+⎪⎨⎪+⎪⎪⎪⎩≤≤≤3由解析式可知选C. 答案：C题组二 二次函数模型4.(设为x )，则以下结论正确的是 ( )A.x ＞22%B.x ＜22%C.x ＝22%D.x 的大小由第一年的产量确定解析：(1＋x )2＝1＋44%，解得x ＝0.2＜0.22.故选B.答案：B5.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆).若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得最大利润为 ( )A.45.606B.45.6C.45.56D.45.51解析：依题意可设甲销售x 辆，则乙销售(15－x )辆，∴总利润S ＝5.06x －0.15x 2＋2(15－x )＝－0.15x 2＋3.06x ＋30(x ≥0).∴当x ＝10时，S max ＝45.6(万元).答案：B6.某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元.又知总收入K 是单位产品数Q 的函数，K (Q )＝40Q －120Q 2，则总利润L (Q )的最大值是 .解析：总利润L (Q )＝40Q －120Q 2－10Q －2 000 ＝－120(Q －300)2＋2 500. 故当Q ＝300时，总利润最大值为2 500万元.答案：2 500万元题组三 指数函数模型 7.手机的价格不断降低，若每隔半年其价格降低14，则现在价格为2 560元的手机，两年后价格可降为( )A.900元B.810元C.1440元D.160元 解析：半年降价一次，则两年后降价四次，其价格降为2560×⎝⎛⎭⎫1－144＝810. 答案：B8.某市2008年新建住房100万平方米，其中有25万平方米经济适用房，有关部门计划以后每年新建住房面积比上一年增加5%，其中经济适用房每年增加10万平方米.按照此计划，当年建造的经济适用房面积首次超过该年新建住房面积一半的年份是(参考数据： 1.052＝ 1.10,1.053＝ 1.16,1.054＝ 1.22,1.055＝ 1.28)( )A.2010年B.2011年C.2012年D.2013年解析：设第n 年新建住房面积为a n ＝100(1＋5%)n ，经济适用房面积为b n ＝25＋10n ，由2b n ＞a n 得：2(25＋10n )＞100(1＋5%)n ，利用已知条件解得n ＞3，所以在2012年时满足题意.故选C.答案：C9.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒，已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t的函数关系式为y ＝(116)t －a (a 为常数)，如图所示，根 据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系为 ；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室.解析：(1)设y ＝kt ，由图象知y ＝kx 过点(0.1,1)，则1＝k ×0.1，k ＝10，∴y ＝10t (0≤t ≤0.1)；由y ＝(116)t －a 过点(0.1,1)得1＝(116)0.1－a ， a ＝0.1，∴y ＝(116)t －0.1(t ＞0.1). (2)由(116)t －0.1≤0.25＝14得t ≥0.6，故至少需经过0.6小时. 答案：(1)y ＝0.110,00.11,0.116>t t t t -⎧⎪⎨⎪⎩≤≤() (2)0.6题组四 函数模型的综合应用10.赛，预计卖出门票2.4万张，票价有3元、5元和8元三种，且票价3元和5元的张数的积为0.6万张.设x 是门票的总收入，经预算，扣除其他各项开支后，该俱乐部的纯收入为函数y ＝lg2x ，则这三种门票的张数分别为 万张时可以为失学儿童募捐的纯收入最大.解析：该函数模型y ＝lg 2x 已给定，因而只需要将条件信息提取出来，按实际情况代入，应用于函数即可解决问题.设3元、5元、8元门票的张数分别为a 、b 、c ，则① ② 2.4,0.6,358,a b c ab x a b c ++=⎧⎪=⎨⎪=++⎩③①代入③有x ＝19.2－(5a ＋3b )≤19.2－215ab＝13.2(万元)，当且仅当530.6a b ab =⎧⎨=⎩时等号成立， 解得a ＝0.6，b ＝1，所以c ＝0.8.由于y ＝lg 2x 为增函数，即此时y 也恰有最大值.故三种门票的张数分别为0.6、1、0.8万张时可以为失学儿童募捐的纯收入最大. 答案：0.6、1、0.811.(2010·沈阳模拟)沪杭高速公路全长166千米.假设某汽车从上海莘庄镇进入该高速公路后以不低于60千米/时且不高于120千米/时的速度匀速行驶到杭州.已知该汽车每小时的运输成本y (以元为单元)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v (千米/时)的平方成正比，比例系数为0.02；固定部分为200元.(1)把全程运输成本y (元)表示为速度v (千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)汽车应以多大速度行驶才能使全程运输成本最小？最小运输成本为多少元？ 解：(1)依题意得：y ＝(200＋0.02v 2)×166v＝166(0.02v ＋200v)(60≤v ≤120). (2)y ＝166(0.02v ＋200v )≥166×2000.02v ⨯ ＝664(元).当且仅当0.02v ＝200v即v ＝100 千米/时时取等号. 答：当速度为100 千米/时时，最小的运输成本为664元.12.(文)某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到大家更多的关注，据有关统计数据显示，从上午6点到中午12点，车辆通过该市某一路段的用时y (分钟)与车辆进入该路段的时刻t 之间的关系可近似地用如下函数给出：y ＝322<<1362936,69,84455,910,84366345,1012.t t t t t t t t t ⎧--+-⎪⎪⎪+⎨⎪⎪-+-⎪⎩≤≤≤≤[求从上午6点到中午12点，通过该路段用时最多的时刻.解：(1)当6≤t ＜9时，y ′＝－38t 2－32t ＋36＝－38(t 2＋4t －96) ＝－38(t ＋12)(t －8). 令y ′＝0，得t ＝－12或t ＝8.∴当t ＝8时，y 有最大值. y max ＝18.75(分钟).(2)当9≤t ≤10时，y ＝18t ＋554是增函数， ∴当t ＝10时，y max ＝15(分钟).(3)当10＜t ≤12时，y ＝－3(t －11)2＋18，∴当t ＝11时，y max ＝18(分钟).综上所述，上午8时，通过该路段用时最多，为18.75分钟.(理)某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为了鼓励销售商订购，决定每一次订购量超过100个时，每多订购一个，多订购的全部零件的出厂单价就降0.02元，但实际出厂单价不能低于51元.(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？(2)设一次订购量为x 个，零件的实际出厂单价为P 元，写出函数P ＝f (x )的表达式.[来(3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利 润又是多少元？解：(1)设每个零件的实际出厂价格恰好降为51元时，一次订购量为x 0个，则x 0＝100＋60－510.02＝550.因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元.(2)当0＜x ≤100时，P ＝60；当100＜x＜550时，P＝60－0.02(x－100)＝62－x50；当x≥550时，P＝51.所以P＝f(x)＝60(0< 100), 62(100<<550),(N).5051(550),xxx xx⎧⎪⎪-∈⎨⎪⎪⎩≤≥(3)设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，则L＝(P－40)x＝220(0< 100),22(100<<550),(N).5011(550), x xxx x xx x⎧⎪⎪-∈⎨⎪⎪⎩≤≥当x＝500时，L＝6000；当x＝1000时，L＝1100因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；如果订购1000个，利润是11000元.。

第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ §2.1.1 函数的概念和图象重难点：在对应的基础上理解函数的概念并能理解符号“y=f （x ）”的含义，掌握函数定义域与值域的求法； 函数的三种不同表示的相互间转化，函数的解析式的表示，理解和表示分段函数；函数的作图及如何选点作图，映射的概念的理解．考纲要求：①了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数；③了解简单的分段函数，并能简单应用；经典例题：设函数f （x ）的定义域为［0，1］，求下列函数的定义域： （1）H （x ）=f （x2+1）；（2）G （x ）=f （x+m ）+f （x －m ）（m ＞0）.当堂练习：1． 下列四组函数中,表示同一函数的是（ ） A．(),()f x x g x ==B．2(),()f x x g x ==C ．21(),()11x f x g x x x -==+- D．()()f x g x ==2函数()y f x =的图象与直线x a =交点的个数为（ ）A ．必有一个B ．1个或2个C ．至多一个D ．可能2个以上3．已知函数1()1f x x =+，则函数[()]f f x 的定义域是（ ）A ．{}1x x ≠ B ．{}2x x ≠- C ．{}1,2xx ≠-- D ．{}1,2x x ≠-4．函数1()1(1)f x x x =--的值域是（ ）A ．5[,)4+∞B ．5(,4-∞C ． 4[,)3+∞D ．4(,]3-∞ 5．对某种产品市场产销量情况如图所示，其中：1l 表示产品各年年产量的变化规律；2l 表示产品各年的销售情况．下列叙述： （ ） （1）产品产量、销售量均以直线上升，仍可按原生产计划进行下去；（2）产品已经出现了供大于求的情况，价格将趋跌；（3）产品的库存积压将越来越严重，应压缩产量或扩大销售量；（4）产品的产、销情况均以一定的年增长率递增．你认为较合理的是()A ．（1），（2），（3）B ．（1），（3），（4）C ．（2），（4）D ．（2），（3）6．在对应法则,,,x y y x b x R y R→=+∈∈中,若25→,则2-→ ， →6．7．函数()f x 对任何x R +∈恒有1212()()()f x x f x f x ⋅=+，已知(8)3f =，则)f = ．8．规定记号“∆”表示一种运算，即a b a b a b R+∆=+∈，、. 若13k ∆=，则函数()fx k x =∆的值域是___________．9．已知二次函数f(x)同时满足条件： (1) 对称轴是x=1； (2) f(x)的最大值为15；(3) f(x)的两根立方和等于17．则f(x)的解析式是 ．10．函数2522y x x =-+的值域是 ．11． 求下列函数的定义域 ： (1)()121x f x x =-- (2)(1)()x f x x x+=-12．求函数y x =13．已知f(x)=x2+4x+3，求f(x)在区间[t,t+1]上的最小值g(t)和最大值h(t)．14．在边长为2的正方形ABCD 的边上有动点M ，从点B 开始，沿折线BCDA 向A 点运动，设M 点运动的距离为x ，△ABM 的面积为S ． （1）求函数S=的解析式、定义域和值域； （2）求f[f(3)]的值．第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ§2.1.2 函数的简单性质重难点：领会函数单调性的实质，明确单调性是一个局部概念，并能利用函数单调性的定义证明具体函数的单调性，领会函数最值的实质，明确它是一个整体概念，学会利用函数的单调性求最值；函数奇偶性概念及函数奇偶性的判定；函数奇偶性与单调性的综合应用和抽象函数的奇偶性、单调性的理解和应用；了解映射概念的理解并能区别函数和映射．考纲要求：①理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；并了解映射的概念；②会运用函数图像理解和研究函数的性质．经典例题：定义在区间（－∞，＋∞）上的奇函数f （x ）为增函数，偶函数g （x ）在［0，＋∞ )上图象与f （x ）的图象重合.设a ＞b ＞0，给出下列不等式，其中成立的是 f （b ）－f （－a ）＞g （a ）－g （－b ） ②f （b ）－f （－a ）＜g （a ）－g （－b ）③f （a ）－f （－b ）＞g （b ）－g （－a ） ④f （a ）－f （－b ）＜g （b ）－g （－a ） A ．①④ B ．②③ C ．①③ D ．②④ 当堂练习：1．已知函数f(x)=2x2-mx+3，当()2,x ∈-+∞时是增函数，当(),2x ∈-∞-时是减函数，则f(1)等于 （ ）A ．-3B ．13C ．7D ．含有m 的变量2．函数()f x =是（ ）A ． 非奇非偶函数B ．既不是奇函数,又不是偶函数奇函数C ． 偶函数D ． 奇函数3．已知函数(1)()11f x x x =++-,(2)()f x =2()33f x x x =+(4)0()()1()R x Q f x x C Q ∈=∈⎧⎨⎩,其中是偶函数的有（ ）个A ．1B ．2C ．3D ．44．奇函数y=f （x ）（x ≠0），当x ∈（0，+∞）时，f （x ）=x －1，则函数f （x －1）的图象为 （）5．已知映射f:A →B,其中集合A={-3,-2,-1,1,2,3,4},集合B 中的元素都是A 中元素在映射f 下的象,且对任意的A a ∈,在B 中和它对应的元素是a,则集合B 中元素的个数是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．76．函数2()24f x x tx t =-++在区间[0, 1]上的最大值g(t)是 ．7． 已知函数f(x)在区间(0,)+∞上是减函数,则2(1)f x x ++与()34f 的大小关系是 ．8．已知f(x)是定义域为R 的偶函数,当x<0时, f(x)是增函数,若x1<0,x2>0,且12x x <,则1()f x 和2()f x 的大小关系是 ．9．如果函数y=f(x+1)是偶函数，那么函数y=f(x)的图象关于_________对称．10．点(x,y)在映射f作用下的对应点是22,若点A 在f 作用下的对应点是B(2,0),则点A 坐标是 ．13. 已知函数2122()x x f x x++=,其中[1,)x ∈+∞，(1)试判断它的单调性；(2)试求它的最小值．14．已知函数2211()a f x aa x+=-，常数0>a 。

数学建模——函数模型及其应用基础巩固组1.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 L汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是()A.消耗1 L汽油,乙车最多可行驶5 kmB.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多C.甲车以80 km/h的速度行驶1小时,消耗10 L汽油D.某城市机动车最高限速80 km/h,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油2.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y=3 000+20x-0.1x2(0<x<240,x∈N*),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是()A.100台B.120台C.150台D.180台3.某房地产公司计划出租70套相同的公寓房.当每套房月租金定为3 000元时,这70套公寓能全租出去;当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍),就会多一套房子不能出租.设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设租不出的房子不需要花这些费用).要使公司获得最大利润,每套房月租金应定为()A.3 000元B.3 300元C.3 500元D.4 000元4.一个人以6米/秒的速度去追赶停在交通灯前的汽车,当他离汽车25米时交通灯由红变绿,汽车开始变速直线行驶(汽车与人前进方向相同),汽车在时间t内的路程为s=1t2米,那么,此人()2A.可在7秒内追上汽车B.可在9秒内追上汽车C.不能追上汽车,但期间最近距离为14米D.不能追上汽车,但期间最近距离为7米5.设某公司原有员工100人从事产品A的生产,平均每人每年创造产值t万元(t为正数).公司决定从原有员工中分流x(0<x<100,x∈N*)人去进行新开发的产品B的生产.分流后,继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了(1.2x)%.若要保证产品A的年产值不减少,则最多能分流的人数是()A.15B.16C.17D.186.某化工厂生产一种溶液,按市场要求杂质含量不超过0.1%,若初时含杂质2%,每过滤一次可使杂质,至少应过滤次才能达到市场要求.(已知lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)含量减少137.一个容器装有细沙a cm3,细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出,t min后剩余的细沙量为y=a e-bt cm3,经过8 min后发现容器内还有一半的沙子,则再经过 min,容器中的沙子只有开始时的八分之一.8.某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测:服药后每毫升血液中的含药量y(单位:μg)与时间t(单位:h)之间的关系近似满足如图所示的曲线.(1)写出第一次服药后y与t之间的函数解析式y=f(t);(2)据进一步测定:当每毫升血液中含药量不少于0.25 μg时,治疗有效,求服药一次后治疗有效的时间.综合提升组9.如图,有一直角墙角,两边的长度足够长,若P处有一棵树与两墙的距离分别是4 m和a m(0<a<12).不考虑树的粗细,现用16 m长的篱笆,借助墙角围成一个矩形花圃ABCD,设此矩形花圃的最大面积为u,若将这棵树围在矩形花圃内,则函数u=f(a)(单位:m2)的图像大致是()10.某高校为提升科研能力,计划逐年加大科研经费投入.若该高校2018年全年投入科研经费1 300万元,在此基础上,每年投入的科研经费比上一年增长12%,则该高校全年投入的科研经费开始超过2 000万元的年份是(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)()A.2020年B.2021年C.2022年D.2023年11.如图,直角边长为2 cm的等腰直角三角形ABC,以2 cm/s 的速度沿直线l向右运动,则该三角形与矩形CDEF重合部分面积y(单位:cm2)与时间t(单位:s)的函数关系(设0≤t≤3)为,y的最大值为.12.某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月,预测上市初期和后期会因供应不足使价格呈持续上涨态势,而中期又将出现供大于求使价格连续下跌.现有三种价格模拟函数:①f(x)=p·q x;②f(x)=px2+qx+1;③f(x)=x(x-q)2+p(以上三式中p,q均为常数,且q>1).(1)为准确研究其价格走势,应选哪种价格模拟函数(不必说明理由)?(2)若f(0)=4,f(2)=6,求出所选函数f(x)的解析式(注:函数定义域是[0,5],其中x=0表示8月1日,x=1表示9月1日,以此类推);(3)在(2)的条件下预测该海鲜将在哪几个月内价格下跌.创新应用组13.声强级Y(单位:分贝)由公式Y=10lg I给出,其中I为声强(单位:W/m2).10-12(1)平常人交谈时的声强约为10-6 W/m2,求其声强级.(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝,求能听到的最低声强为多少?(3)比较理想的睡眠环境要求声强级Y ≤50分贝,已知熄灯后两位同学在宿舍说话的声强为5×10-7 W/m 2,问这两位同学是否会影响其他同学休息?参考答案课时规范练13 数学建模——函数模型及其应用1.D 从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40 km/h 时的燃油效率大于5 km/L,故乙车消耗1 L 汽油的行驶路程可大于5 km,所以选项A 错误;由图可知以相同速度行驶相同路程甲车消耗汽油最少,所以选项B 错误;甲车以80 km/h 的速度行驶时的燃油效率为10 km/L,故行驶1小时的路程为80 km,消耗8 L 汽油,所以选项C 错误;当最高限速为80 km/h 且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率,故用丙车比用乙车更省油,所以选项D 正确.2.C 设利润为f (x )万元,则f (x )=25x-(3 000+20x-0.1x 2)=0.1x 2+5x-3 000(0<x<240,x ∈N *).令f (x )≥0,得x ≥150,故生产者不亏本时的最低产量是150台.故选C .3.B 由题意,设利润为y 元,租金定为(3 000+50x )元(0≤x ≤70,x ∈N ),则y=(3 000+50x )(70-x )-100(70-x )=(2 900+50x )(70-x )=50(58+x )(70-x )≤5058+x+70-x 22=204 800,当且仅当58+x=70-x ,即x=6时,等号成立,故每月租金定为3 000+300=3 300(元)时,公司获得最大利润,故选B .4.D 已知s=12t 2,车与人的间距d=(s+25)-6t=12t 2-6t+25=12(t-6)2+7.当t=6时,d 取得最小值7.所以不能追上汽车,但期间最近距离为7米,故选D .5.B 由题意,分流前每年创造的产值为100t 万元,分流x 人后,每年创造的产值为(100-x )[1+(1.2x )%]t ,则{0<x <100,x ∈N *,(100-x )[1+(1.2x )%]t ≥100t , 解得0<x ≤503.因为x ∈N *,所以x 的最大值为16,故选B . 6.8 设至少过滤n 次才能达到市场要求,则2%1-13n ≤0.1%,即23n ≤120, 所以n lg 23≤-1-lg 2,解得n ≥7.39,所以n=8.7.16 当t=0时,y=a ,当t=8时,y=a e -8b =12a ,所以e -8b =12,容器中的沙子只有开始时的八分之一时,即y=a e -bt =18a ,e -bt =18=(e -8b )3=e -24b ,则t=24,所以再经过24-8=16(min),容器中的沙子只有开始时的八分之一.8.解 (1)根据所给的曲线,可设y={kt ,0≤t ≤1,(12) t -a ,t >1.当t=1时,由y=4,得k=4,由121-a =4,得a=3.则y={4t ,0≤t ≤1,(12) t -3,t >1.(2)由y ≥0.25,得{0≤t ≤1,4t ≥0.25或{t >1,(12) t -3≥0.25,解得116≤t ≤5.因此服药一次后治疗有效的时间为5-116=7916(h).9.B 设AD 的长为x m,则CD 的长为(16-x ) m,则矩形ABCD 的面积为x (16-x ) m 2.因为要将点P 围在矩形ABCD 内,所以a ≤x ≤12.当0<a ≤8时,当且仅当x=8时,u=64;当8<a<12时,u=a (16-a ).画出函数图像可得其形状与B 选项接近,故选B .10.C 若2019年是第1年,则第n 年全年投入的科研经费为1 300×1.12n 万元,由1 300×1.12n >2 000,可得lg 1.3+n lg 1.12>lg 2,所以n ×0.05>0.19,得n>3.8,所以第4年,即2022年全年投入的科研经费开始超过2 000万元,故选C .11.y={2t 2,0≤t <1,2,1≤t ≤2,2-12(2t -4)2,2<t ≤32 如题图,当0≤t<1时,重叠部分面积y=12×2t ×2t=2t 2;当1≤t ≤2时,重叠部分为直角三角形ABC ,重叠部分面积y=12×2×2=2(cm 2); 当2<t ≤3时,重叠部分为梯形,重叠部分面积y=S △ABC -12(2t-4)2=2-12(2t-4)2=-2t 2+8t-6. 综上,y={2t 2,0≤t <1,2,1≤t ≤2,-2t 2+8t -6,2<t ≤3,故可得y 的最大值为2.12.解 (1)因为上市初期和后期价格呈持续上涨态势,而中期又将出现价格连续下跌,所以在所给出的函数中应选模拟函数f (x )=x (x-q )2+p.(2)对于f (x )=x (x-q )2+p ,由f (0)=4,f (2)=6,可得p=4,(2-q )2=1,又q>1,所以q=3,所以f (x )=x 3-6x 2+9x+4(0≤x ≤5).(3)因为f (x )=x 3-6x 2+9x+4(0≤x ≤5),所以f'(x )=3x 2-12x+9, 令f'(x )<0,得1<x<3.所以函数f (x )在(1,3)内单调递减,所以可以预测这种海鲜将在9月,10月两个月内价格下跌. 13.解 (1)当声强为10-6 W/m 2时,由公式Y=10lgI 10-12,得Y=10lg 10-610-12=10lg 106=60(分贝).(2)当Y=0时,由公式Y=10lg I 10-12,得10lgI 10-12=0.所以I10-12=1,即I=10-12 W/m 2,则最低声强为10-12 W/m 2.(3)当声强为5×10-7 W/m 2时,声强级为Y=10lg 5×10-710-12=10lg(5×105)=50+10lg 5(分贝),因为50+10lg 5>50,故这两位同学会影响其他同学休息.。

函数模型及其应用〔填空题：容易〕1、某电视台应某企业之约播放两套连续剧.连续剧甲每次播放时间为80分钟,其中广告时间为1分钟,收视观众为60万；连续剧乙每次播放时间为40分钟,其中广告时间为1分钟,收视观众为20万.假设企业与电视台达成协议,要求电视台每周至少播放6分钟广告,而电视台每周只能为该企业提供不多于320分钟的节目时间.那么该电视台每周按要求并合理安排两套连续剧的播放次数,可使收视观众的最大人数为_______x2、长为6米、宽为4米的矩形,当长增加工米,且宽减少2米时面积最大,此时宽减少了米, 面积取得了最大值.3、某医院用甲、乙两种原材料为手术后病人配制营养餐,甲种原料每克含蛋白质5个单位和维生素C 10个单位,售价2元；乙种原料每克含蛋白质6个单位和维生素 C 20个单位,售价3元；假设病人每餐至少需蛋白质50个单位、维生素 C 140个单位,在满足营养要求的情况下最省的费用为4、〔10分〕某单位准备印制一批证书,现有两个印刷厂可供选择,甲厂费用分为制版费和印刷费两部分,先收取固定的制版费,再按印刷数量收取印刷费；乙厂直接按印刷数量收取印刷费.甲厂的总费用y1〔千元〕、乙厂的总费用y2 〔千元〕与印制证书数量x 〔千个〕的函数关系图分别如图中甲、乙所示.it f于元〕.1234567B9 *〔l〕甲厂的制版费为千元,印刷费为平均每个—元,甲厂的费用y i与证书数量x之间的函数关系为,〔2〕当印制证书数量不超过2千个时,乙厂的印刷费为平均每个元；〔3〕当印制证书数量超过2千个时,求乙厂的总费用与证书数量x之间的函数关系式为 ;〔4〕假设该单位需印制证书数量为8千个,该单位应选择哪个厂更节省费用？请说明理由5、如图,函数f(x)的图象是曲线 OAB,其中点O, A, B 的坐标分别为(0,0), (1,2), (3,1),那么f(f(3))的值 等于.[Log ->26、设,那么J SQ))的值为|log 2x(x >0 ][〞三.).那么打川.上) 八」_X 2+K (工)0)卜8、函数f (x) =l x+l (工<0) ,对任意的xC [0,「恒有f (x-a) wf(x) ( a>0)成立,那么实数a=.(3 A--.49--9、二次函数F 二的顶点坐标为I 2 ,,且,〞工)二°的两个实根之差等于7 ,/« =10、如图,二次函数 y=ax 2+ bx+c(a, b, c 为实数,点,假设ACXBC,那么实数a 的值为11、某地高山上温度从山脚起每升高 100m 降低0.6C.山顶的温度是 146C,山脚的温度是 26C,那么此山的高为 m.12、我国古代数学名著?数书九章?中有 天池盆测雨〞题：在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.假设盆中积水深九寸,那么平地降雨量是 ________ 寸.(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)13、里氏震级M 的计算公式为：二】趴4一坨遥,其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅, 工二是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1000,此时标准地震的振幅为0.001,那么此次地震的震级为 级；9级地震的最大振幅是 5级地震最大振幅的 倍.7、函数aw0的图像过点 C(t,2),且与x 轴交于 A, B 两14、/3 =」＜％-3丁+9 - +4,那么/(X)的最大值是.15、如下图,线段AB=8,点C在线段AB上,且AC=2, P为线段CB上一动点,点A绕点C旋转后与点B绕点P旋转后重合于点 D.设CP=x, 4CPD的面积为f(x),那么f(x)的定义域为; f'(即零点j ------------------- 〜* *AA~~CP B是?第15曲用)16、对于定义域和值域均为1°刀的函数,㈤,定义工⑸/式力=/5(项, 兀(力二八九3 , n=1, 2, 3,….满足九㈤=’的点称为f的程阶周期点.(1)设“那么f的2阶周期点的个数是 ______________________________ ；"*)= 12-2x x = [-=l](2)设〔 2 那么f的2阶周期点的个数是.,y ...... . ...................................... P^4BC J - , k」F(芭F),…、、一口17、如图放置的边长为1的正方形沿轴滚动.设顶点- /的轨迹方程是y二/(月,那么｝二〃月在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积/3 二/一工一二人-= ir18、函数''' 的一个零点所在的区间为I -,那么比的值为 .19、在一定范围内,某种产品的购置量y吨与单价x元之间满足一次函数关系,如果购置1000吨,每吨为800元,购置2000吨,每吨700元,那么客户购置400吨,单价应该为元.20、〔此题总分值9分〕某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比,投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.投资1万元时,两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元〔如图〕〔1〕分别写出两种产品的收益与投资的函数关系.〔2〕该家庭现有20万元资金,全部用于理财投资,问：怎么分配资金能使投资获得最大收益,其最大收益是多少万元？21、某汽车油箱中存油22 kg,油从管道中匀速流出, 200分钟流尽,油箱中剩余量y〔kg〕与流出时间x 〔分钟〕之间的函数关系式为 .周一4口工+1|飞卜1 txWR〕的最大值为M,最小值为m ,那么的值为23、我市某旅行社组团参加香山文化一日游,预测每天游客人数在：“至13"人之间,游客人数 ' 〔人〕与游客的消费总额* 〔元〕之间近似地满足关系：.那么游客的人均消费额最高为_________ 元24、某工厂2002年生产某种产品2万件,以后每一年比上一年增产20%,那么从年开始这家工厂、土工由* 口M金* 曰加一八flfi- = 0.3010L1E3= 0,4771〕生厂这种广品的年广重超过12万件.6中22、函数25、用长为18cm 的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为 2： 1,那么长方体的最大体积是 ______________其中正确命题是27、设函数〃方=皿口/-1) .假设了 有唯一的零点工(7立R ),那么实数a= 128、函数上的零点个数是于(%) -- + : (工于己29、设, 21：二,那么f(x)+f(1-x)=,并利用推导等差数列前 n 项和公式的方法,求得 f(-5)+f(-4)+ +f(0)+ ■ +f(5)+f(6)的值为30、假设关于工的方程 匕- I"山工有解,那么实数巳的取值范围是 ▲.31、设口力u 克,关于X 的方程Xy "Xx-F + D =0的四个实根构成以"为公比的等比数列,假设32、、一种新款 的价格原来是 a 元,在今后m 个月内,价格平均每两个月减少p%,那么这款 的价格 y 元随月数x 变化的函数解析式： —(1)方程角鼠处]-°有且仅有 6个根 (2)方程处八年1 . °有且仅有3个根 (3)方程/[/")] = °有且仅有5个根(4)方程W 式期=°有且仅有4个根26、函数〃工.叮=且付在一工？]的图象如下所示:给出以下四个命题:口'的取值范围是33、设函数7⑶的定义域为,假设存在非零实数k使得对于任意工三口有,伏-幻：/〔工〕,那么称人工〕为Q上的定调函数〞.如果定义域是「L-工〕的函数为「L-M〕上的无调函数〞,那么实数4的取值范围是▲34、假设函数八,“疗+ / Tin,一〞-ig/1〕有三个零点,那么?的值是35、如果关于实数的所有解中,仅有一个正数解,那么实数口的取值范围为36、在同一平面直角坐标系中, > =虱力的图象与J'=卜〞的图象关于直线丁= '对称,而A /⑸的图象与J =式公的图象关于点对称,假设•"⑸=T ,那么实数网的值为37、.函数*2 =,-X - 1的单调递减区间为▲ 38、放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素,其含量不断减少,这种现象成为衰变,假设在放射性同位素葩137的衰变过程中,其含量〔单位：太贝克〕与时间才〔单位：年〕满足函数关系："〔f〕=/上:,其中乂为『=.时葩137的含量,「二卸时,葩137的含量的变化率是一1讪2 〔太贝克/年〕,那么必那么二—太贝克.39、°<日<1 ,那么函数J 一" 一'呜〞的零点的个数为40、假设是方程产,",.一侬,匚亡的的根,其中：是虚数单位,那么一.x+z= 1< -j'sinE -33=2*w" 尸科** ^3^ 鼻m41、假设关于T1' 一的三元一次方程组I " " ■有唯一解,那么8的取值的集合是------------- ------ .42、〔文〕方程1Og上仅7〕=工的解是43、某区的绿化覆盖率的统计数据如下表所示,如果以后的几年继续依此速度开展绿化,那么到44、1992年底世界人口到达54.8亿,假设人口的平均增长率为1%,经过工年后世界人口数为3〔亿〕,那么与工的函数解析式为45、对任意一,函数一⑴满足㈤T,设/=【了⑴⑺,数列31同〕的前15项的和为16 ,那么/QA.46、假设函数"工〕一国+ " ' 没有零点,那么以的取值范围为47、函数/〔幻满足/住+1> = 一&〕,且/'〔工〕是偶函数,当工H01］时,,⑴三亡；假设在区间［T3］内,函数= —有4个零点,那么实数k的取值范围为一.48、关于*的方程V- + 2x + C^0有一个正根与一个负根的充要条件是49、某校要建造一个容积为8^',深为2m的长方体无盖水池,池底和池壁的造价每平方米分别为240元和160元,那么水池的最低总造价为元.50、购置的全球通〞卡,使用须付根本月租费〞每月需交的固定费用〕50元,在市内通话时每分钟另收话费0.40元；购置神州行〞卡,使用时不收根本月租费〞,但在市内通话时每分钟话费为0.60元.假设某用户每月费预算为120元,那么它购置卡才合算.51、方程2x|=2 —x的实数解有个.52、以初速度40 A,垂直向上抛一物体,,时刻的速度〔卜的单位是八〕为'=40-10.,那么该物体达到最大高度为.米53、一批设备价值*万元,由于使用磨损,每年比上一年价值降低b%,那么建年后这批设备的价值为___________ 万元.54、定义在R上的奇函数门口和偶函数目⑸满足『3 ’虱月=丁,假设不等式喈⑴*虱2»士0对,苣〔0,1］恒成立,那么实数交的取值范围是.55、建造一个容积为18m3,深为2m的长方体无盖水池,如果池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元,那么这个水池的最低造价为〔单位：元〕.56、某种化学反响需要一种催化剂加速反响,但这种催化剂用多了对生成物有影响〔影响它的纯度〕.假设这种催化剂参加量在^到〞断1兄之间,那么第二次参加的催化剂的量为芸.57、用二分法求方程x3-2x-5=0在区间［2, 3］上的近似解,取区间中点x°=2 . 5,那么下一个有解区间为.58、一辆汽车沿直线轨道前进,假设司机踩刹车后汽车速度叫r-i 八〔单位：米/秒〕,那么汽车刹车后前进二米才停车；59、由曲线?.和露次= = 所围成的图形的面积的最小值是_.60、092年底世界人口到达’4无亿,假设人口的年平均增长率为不整上河.年底世界人口为丁亿,那么手与之的函数关系式为 .61、某厂2021年12月份产值方案为当年1月份产值的a倍,那么该厂2021年度产值的月平均增长率为.62、,〔灯是周期为2的奇函数,当.工至工1时,那么\ 5』63、将函数户小,S XT'-二缶在仁曲的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角59 W⑴,得到曲线Q.假设对于每一个旋转角,曲线C都是一个函数的图像,那么,的最大值为(1) 1; 0. 5; y=0. 5x+1 (2) 1 . 5(3) 尸?=—上+ —4 2(4)选择乙厂更节省费用1、200万2、0.5 (或一米)3、23参考答案5、6、7、8、9、-4/—12工十4010、11、19004、13、5, 10000.15、16、2,417、18、119、500020、(1)八6二:封了?与近可二不同工之可8 2(2)当* = 2 ,即至=之6万元时,收益最大,,但=二万元1121、y= 22- I..x22、233、34、2(f 0]u[226、⑴(3)(4)27、428、329、1,630、11231、32、 • 一 .」•'〔：二二〕37、38、150 15.39、ffl40、7T—,Z} 41、42、43、ID44、54.8(1 +1%)x45、3/4(OJ) 工)46、49、352050、神州行51、252、8053 '53、55、540056、,二-57、[2, 2, 5]63、【解析】1每次播放时间〔单位皿电广告时间〔单位口回1收视观众〔单位连续剧甲「80P 1连线配4012C i限制条件播放最长时间320戢少厂告时间6设每周播放连续剧甲?次,播放连续剧乙丁次,收视率为-,那么目标函数为工-.约束条件为SOx+401 <320 x + y>6 x>G. v>G由图可知,:=60*+?0N在点,』g书处取到最大值200,所以可使收视观众的最大人数为200万X 1 -I5=(6+ 工)(4——) => y = - -JT +X-H 24(0 < r < 8) 2、试题分析：由题意有：设面积为 3 ,那么 2 , 2>3 =2/米1 1 = 0.5 i当K = 1米时, ~ 2那么2 米.故填0.5 〔或2米〕.考点：此题考查数学建模水平和二次函数求最值点的方法.3、解：设每盒盒饭需要甲、乙原料分别为x 〔克〕,y 〔克〕,所需费用为S=2x+3y,61、62、arctafi—作出可行域如图.且x、y满足由图可知,直线s=2x+3y过A 〔4, 5〕时,s最小,即S 最/」、=2X4+3X5=23.故甲、乙原料应该分别使用4, 5时,才能既满足营养,又使病人所需费用最省,最省的费用为23.故答案为：23.【点评】用图解法解决线性规划问题时,分析题目的条件,找出约束条件和目标函数是关键,可先将题目中的量分类、列出表格,理清头绪,然后列出不等式组〔方程组〕寻求约束条件,并就题目所述找出目标函数.然后将可行域各角点的值一一代入,最后比拟,即可得到目标函数的最优解,该题是中档题.4、试题分析：〔1〕由函数图像可知甲厂印刷量为2千元时,费用为2千元,因此可得到一次函数关系式〔23〕的系数,从而得到函数解析式；〔2〕由乙的函数图像过点时可得到印刷费3千时印刷量为2千个,从而得到平均值；〔3〕利用待定系数法,设出解析式后由函数图像过的两点坐标代入函数式可得到参数值,从而得到函数式；〔4〕利用两函数解析式分别求出自变量为8时的函数值,比拟可得选择哪个厂更节省费用试题解析：〔1〕印刷量为0时费用为1千元,因此制版费为1千元；图像过点,所以印刷2千时,〔2 21 f 0 fl费用为1千,因此平土费用为0. 5;由函数过点V 1X —,因此方程为y=0. 5x+1 ;〔2〕印刷量为2千时费用为3千,因此平均费用为1. 5〔3〕设y2=kx+b ,由图可知,当 x=6 时,y 2=y i =0 , 5><6+1=4 , 所以函数图象经过点〔2,3〕和〔6,4〕[2H8二3所以把〔2,3〕和〔6,4〕代入y 2=kx+b ,得色〞 =4 ,b ——解得- ~ ,所以y 2与x 之间的函数关系式为〔4〕由图象可知,当 x=8时,y I >y 2,因此该单位选择乙厂更节省费用.〔求出当x=8时,y 1和y 2的值,用比拟大小的方法得到结论也正确〕 考点：1.函数图像；2.函数解析式5、由图可知 f(3) = 1, f(f(3)) =f(1) = 2.一 ,⑵二 1鸣〔〞-1〕二6、试题分析：由于 -考点：1.分段函数；2.指数、对数运算.考点：1.二次函数的图象与性质； 2.分段函数的性质；3.恒成立问题9、试题分析：由题意,设的两根为9三口1f 〕,那么可得:6 % r » 一、 八—〕=49 = 〔_二_2乂_二+5〕口=49=>口=14,设/〔力=口.7〕〔工+9,又「'『 七八2'.= 7/ -12X + 40考点：二次函数解析式求解 10、设点 A(x i,0), B(x 2,0),那么仁4 = (x i —t, —2), CS =(x 2-t, —2),所以仁4 CB = x i X 2—t(x i + X 2)+t 2 cb bec + 4=0.又 x i x 2= a , x i + x 2=- 口 ,所以 t 2+口 +4 +4=0.又点 C(t,2)在抛物线上,所以 at 2+bt+c=1,所以川⑵/10〕 = 3c =1 7、试题分析：由得考点：分段函数求值.川〕=啕】=.,所以/[".〕]=.8、试题分析：数形结合法,由图象可知当 =1时,对任意的上,°』,恒有f 〔x-a 〕 wf 〔x 〕成立；当 0 nl 时容易举出反例,答案为 1.Ar c 2 2 12,所以t2+ 0 + 口= 口,即—4=°,解得a=—二.ii、(26—14.6) 06 X00=i900.i2、天池盆中水的形状是以上底半径i0寸,下底半径6寸,高9寸的圆台,,平均降雨量==3.i3、试题分析：解析：由灯=1吐1科=以00.-1的001=0当为9级地震时,那么有1纠="-1居=£-1%当为5级地震时,那么有1魏・〃-1配・5十口故4・5皿d・WJ*三=10' =10000所以,事.答案为5,10000.考点：函数应用问题,对数函数的性质.点评：中档题,函数的应用问题,要注意遵循审清题意,设出变量,列出关系式,解,答〞.i4、试题分析/3二火工一3〕：十9 _ J〔x _ 1〕二十4= 33〕二+9一可］-必川*〔0-以的几何意义可以看做点d到点3 G3〕和点C Q2〕距离之差的最大值.而g-'〕所以- I考点：函数的最值两点的距离公式点评：此题的关键是根据函数的几何意义将代数问题转化成几何问题.属中木^题.i5、在三角形DCP中,CP=X, DC=2, DP=6-X.由三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边得2 <x< 4.16、试题分析：〔1〕当xC ［0, 1］时,后〔-丫〕一/〔此=工,由工=x 得,x=0,1 , f 的1阶周期点的个数是 2； 当xC ［0, 1］时,/2〔工〕=『0；］工〕〕=*',由H 」=x ,得x=0,1,所以f 的2阶周期点的个数是2.J〔2〕当 xC ［0,2］时,f ［〔x 〕 =2x=x ,解得 x=0,I 2当xC 〔2,1］时,f 1 〔x 〕 =2-2x=x ,解得x= -,.二f 的1阶周期点的个数是 2;£当 xC ［0, A ］时,f ［〔x 〕 =2x, f 2 〔x 〕 =4x=x ,解得 x=0;II 1当 xC 〔4, 2］时,f ［〔x 〕 =2x, f2 〔x 〕 =2-4x=x ,解得 x=-; I 3 2当 xC 〔 2,4］时,f ［〔x 〕 =2-2x, f 2 〔x 〕 =-2+4x=x ,解得 x=-; 34 当 xC 〔 4 , 1］时,f ［〔x 〕 =2-2x , f 2 〔x 〕 =4-4x=x ,解得 x= ’ .二. f 的 2 阶周期点的个数是 22=4. 故答案为2, 4. 考点：此题主要考查函数的 2阶周期点的个数的求法.点评：新定义问题是中档题.解题时要认真审题,仔细解答,注意分类讨论思想和等价转化思想的灵活运 用.1P 点从x 轴上开始运动的时候,首先是围绕 A 点运动4个圆,该圆半径为1,然后以B 点为中央,滚动到 C 点落地,其间是以 BP 为半径,旋转90.,再以C 为 17、考查P 点的运动轨迹,不妨考查正方形向右滚动,7C+ —xl xlq —JI +1圆心,再旋转90°,这时候以CP 为半径,因此最终构成图象如下： S=4- 4故答案为：兀+118、略19、本试题主要是考查了待定系数法的函数解析式的求解和运用. 购置1000吨,每吨为 800元,1000=800k+b; 假设购置2000吨,每吨为700元,2000=700k+b . 解方程组 1000=800k+b , 2000=700k+b得到k=-10 , b=9000函数关系式为y=-10x+9000 .当y=400时,解得x=5000 .故答案为单价应是 5000元, 故答案为5000元.解决这类问题的关键是设出解析式,然后将的变量和函数值代入解析式得到参数的值,进而运用其求 解别的变量的函数值.门向=处乳上〞与正=5 ggf =一=土;,, 二= I -伏〕旗号二彳£0〕即-y — 7［月+ 式20 - 电】二一 十-J20 —< 2€〕依题意得：..一 ：-令「-20-? I 1-我 +v =■ -------- + 一〞一一-那么 ,■:至二羲万元时,收益最大, ,包=’万元20、解〔1〕设〔2〕设投资债券类产品 W 万元,那么股票类投资为〔」〕万元2221、流速为一 ••1111ICO 八裕可应100,x 分钟可流X.那么g(x)为奇函数,所以g(x)的最大值与最小值和为0,所以『卜耳-1 -『(工)工日-1 = °：即,11 +冽=2 .消费额最高且为40元.国2-坨2 卜］-2+1* 1lg2+ (n-1) lg1.2=lg12 , • . n= 二二 二二一匚="0.7781" 0.0791 +1〜10.84由于y=JxL2A ,是增函数,现x 取正整数,可知从 2021年开始,这家工厂生产这种产品的产量超过 12万台25、设长方体的宽为 xcm,那么长为2xcm,高为L8-8x-4x 9、---------- —— —3JC4- cm ；它的体积为 V=2x?x?3苒、： ：)=9犷-6M ,(其中0<x<2)；对V 求导,并令V' (x) =0,得1舐—13 =0,解得x=0,或x=1 ;当0vxv 1时,函数 V (x)单调递增,当1vxv -时,函数 V (x)单调递减；所以,当 x=1时,函数V (x)有最大值3,此时长为2cm,宽为1cm,高为1.5cm.故答案为3.26、解：由于方程过观幻】二° ,中当旦区=0那么有且仅有2个根,因此错误.而其余的方程的根,方程 /I 虱功=0中,纲=0, x 两个值,一个负数一个正数.而无论取正数函数复数,在函数 y=f(x)中,总有 6个交点,因此有且仅有 6个根分别对g(x),f(x)令值,注意验证都可以满足题意.因此选择 (1)(3)(4) 27、由"")"也.有唯一的零点三,口松+1=心有唯一的零点飞记= -axd-122、由于|jd-sinjc+1 /W = U ---/⑴= 1-,所以sin JC],令-23、解：由于根据二次函数的性质可知当每天游客人数在50至130人之间,而其对称轴为x=120,时,人均24、设?为这家工厂2002年生产这种产品的年产量,即 "二=2,并将这家工厂2003、2004年生产这种产品 的年产量分别记为 %、%,根据题意,数列｛"肛｝是 个公比为1.2的等比数列,其通项公式为। - 7 X 1 小 更 ,根据题意,设2Mb• =12两边取常用对数,得①当 a=^0 时=②当国=.时=1=0 〔舍去〕> =〔-〕r28、函数2的零点个数即函数‘ ? 与函数卜图象的交点个数,⑻十八一)=三 Y+占29、-那么 - -由于f(6)+f(-5) = /(5)+/(-4)=…=/(0) +/(!)=』= /(-4) + /⑸=/(-5) + 〃6)=得,■:一 • ■ 「一- 所以■ " ■由图象可知,两个函数有三个交点,即函数/〔x 〕=dy-jc 22的零点个数为3两式相加可t lnjc-130、因X>° ,所以别离参数可得上,即方程氏+1=1口*有解,即兀的取值l nx -l-xx-Qnx-1)为函数缶丁的值域—")二当时/V0>°,当其)时/r S)<0 ,所以/8==/(屋)=4 小山人 j ,士巾 E 」］卷,故实数上的取值范围是寸.31、设关于、的方程(1-皿+ 1村一改+ 1)=0的四个实根为网』三口鼻,其中X ；三是方程/一必+1=0的两根,三=三是方程f — b 工十1 二 0的两根由于再三二当下,所以网三和三不分别是等比数列的第一、四项和第二、三项_ 3 _ 1 N 一 二不妨设巧为等比数列的首项,那么三二砧1,由七七二1可得 『 口方二(七+FX 三+.)二(及+豌=4a-4'Xq +j)〔1+/X4+铲〕<r“、:…IJ2--2_d)Q/+g+2)----- J (5) = ------------------------- : ------- = --------------- j ------------ 记 q q~,那么 q g由于"仁」,所以当"中"时,/⑷©,此时 ;④ 单调递减；当 〞［口 时/go ,此 时,9」单调递增J 112 27 八1 112尸产■-/1, —) = > — = /( 2)q =-.....所以/⑷在@=1处取到极小值4,而“3,9 *',所以/⑷在, 3处取到极大值91 in11；q 已1不/ F ⑷三乩子］品七乩子］所以当 ,时, 9 ,即 932、由于根据关系式得到 f(3)=f (5) =f(7)=7-5=2,选C二—Lu x /,令/(外二°那么所以 七十七 二日二内三 二1；冯一三二比毛』=1其一 —七 上WT2,不符合；假设左<0那么 2 ,所以2 ,解得^之2.综上可得,k>2人E G) = 4,+*〞—尤加&-f34、令^g r (x) = a x I )ia^2x-Ina=(a x -l\Ina+2x;口 > 1,当“式岭町时,EG" ° 当时,/⑶<口故s (可在其=0处取得极小值,且式=2⑼=1 T 由于函数 声 =,量+£ rh 日-0-1(" 1)有三个零点 故：■’1二 1 即"二—二 3K x = +--— GC C — — = 3H35、当口三°时,方程为工 ,解得 3 ,符合条件.方程 工 即方程1 「 ： 1 □ 1—=—OJT T Hax —— = JXj五,那么方程 上仅有一个正数解〞等价于函数.工与函数卜=一"一 , '工的图象在J 轴右侧只有一个交点_F当口 二0时,抛物线卜二一"- 4」,开口向下经过原点且对称轴3 人2万二^一<0当白〈°时,抛物线卜二一"- 4」,开口向上经过原点且对称轴 la,所以此时双曲线与抛物线在33、依题意可得,(工+处土工当工1-1时恒成立,即时恒成立.假设k<0 3 人真二——>2a1> =—,由于双曲线 上的图象位于第一、三象限,所以此时双曲线与抛物线相切.设切点坐标为 &谕,那么双曲线与抛物线在该点处的切线方程相同斜率相同,所以有 一工喉 + 3 =--L不:r 1 —y +3飞=—飞,解得叮二二1轴右侧恒有一个交点.综上可得,或.=36、由于J⑹=T ,所以点〔叽-D是函数3 =,⑸的图象,0*7关于点口口」对称点是!?-阳D,而1 =/〔工〕的图象与｝二g⑶的图象关于点〔】◎对称,那么匚-也」〕是｝=或稳的图象上的点,即虱2 一同=七点〔2-mJ〕关于直线y=x对称的点是〔1:一用〕,又1二以上〕的图象与J=1n x的图象关于直线y = £对称,所以点〔1二一间是> =瓜工的图象上的点,那么 2 —m=ln L/. m = 2,37、由/㈤々-L*.得/?1 ,所以富0 口,故函数"幻〞Y-1的单调递减区间为〔一K , 0〕〔此处也可以写成〔T,.】〕.38、略39、略40、略41、略42、略43、略44、略45、略46、略48、略49、考点：根据实际问题选择函数类型.4 S分析：设底面一边长x 〔m〕,那么令一边长为工〔m〕,底面积为4,侧面积为2X2X+2XH ,这样,可得总造价y,再利用根本不等式,可求得水池的最低总造价解：设底面一边长x 〔m〕,那么另一边长为工〔m〕,如图：8 4总造价为：y= 〔2X2X+2X工〕X160+4X240= 〔x+工〕＞€40+960工^640+960=3520 元4当且仅当x=x,即x=2时,函数y的值最小,即当底面边长为 2 〔m〕的正方形时,建造的水池造价最少.故答案为：3520点评：此题考查了长方形模型的应用,由长方形的侧面积建立函数解析式,由解析式判断单调性并求最值,是中档题.50、考点：分段函数的应用.分析：分别计算出120元两种卡能拨打的分钟数,进而确定哪种卡比拟合算.120 - 50解答：解：购置的全球通卡120元能打的分钟数为：0 4=175 〔分钟〕120购置神州行卡120元能打的分钟数为：山6二2..〔分钟〕由于175V200所以购置神州行的卡比拟适宜.故答案为：神州行.51、方程2|x|=2-x的实数解个数就是函数y=2|x|与y="2-x〞的图象交点的个数,结合图象作答.解：如图：方程2|x|=2-x的实数解个数就是函数y=2|x|与y="2-x"的图象交点的个数,由图象可知,交点个数是2, 故答案为2.52、先求物体到达最大高度即其速度为0时,物体运动时间,再将物体最大高度问题转化为速度函数在时间上的定积分问题,利用微积分根本定理计算定积分的值即得最大高度解：令v=0,得t=4,该物体到达最大高度为h=〈(4OT0t)dt=(40t7J) |A=160-80-0=80故答案为8053、略54、略55、略56、略57、略58、略tan/"——那么 ,2.当切线方程和‘轴重合时,曲线上的点满足函数的定义,即是一个函数图象,再逆时针旋一 ［加白伊-打转,曲线不再是一个函数的图象,所以,旋转角为能“一 / ,那么60、 增长率类型题目61、 先假设增长率为 p,再根据条件可得(1+p)1Ja,从而可解. 解: 由题意,该厂去年产值的月平均增长率为p,那么(1+p) 11=a,p=^ -1,62、点评：考察函数的奇偶性的性质和灵活运用,容易出错的是奇函数__ , 1 = J4T1 - 2y 曰 f 工一 63、由一 “可得,『仃-/二".-川,所以函数>二小+6才一/ -2表示的图象是在y.<6:y>-2时,以为圆心、半径为 行 的一段圆弧,设过原点且与曲线c 相切的直线方程为2,设此时直线的倾斜角为22—3 — arc taii —m ,即 3。

2011届高考数学复习----函数模型1．有一批材料可以建成200m 长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料同成三个面积相等的矩形（如图所示），则围成场地的最大面 积为（围墙厚度不计）2.某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x （吨）与产品的销售价格p （百元/吨）之间的关系为：212425p x =-，且生产x 吨的成本为5002R x =+（百元）。

问该厂每月生产多少吨？产品才能使利润达到最大？最大利润是多少万元？（注：利润=收入-成本）3.一校办服装厂花费2万元购买某品牌运动装的生产与销售权．根据以往经验，每生产1百套这种品牌运动装的成本为1万元，每生产x （百套）的销售额)(x R （万元）满足：⎪⎩⎪⎨⎧>--≤<-+-=.5397.14508.02.44.0)(2x x x x x x R ，　，， （1）该服装厂生产750套此种品牌运动装可获得利润多少万元？（2）该服装厂生产多少套此种品牌运动装利润最大？此时，利润是多少万元？4.围建一个面积为360m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，设利用的旧墙的长度为x （单位：m ），修建此矩形场地围墙的总费用为y （单位：元）。

（Ⅰ）将y 表示为x 的函数；（Ⅱ）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。

5.某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售α件，通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为(01)x x <<，那么月平均销售量减少的百分率为2x ，记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y （元） （I ）写出y 与x 的函数关系式；（II ）改进工艺后，确定该纪念品的销售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大6、某投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂，第一年共支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元.设)(n f 表示前n 年的纯利润总和（f （n ）=前n 年的总收入一前n 年的总支出一投资额）. （1）该厂从第几年开始盈利？（2）若干年后，投资商为开发新项目，对该厂有两种处理方案：①年平均纯利润．．．．．．达到最大时，以48万元出售该厂；②纯利润总和．．．．．达到最大时，以16万元出售该厂，问哪种方案更合算？7.电信局根据市场客户的不同需求，对某地区的手机套餐通话费提出两种优惠方案，则两种方案付电话费（元）与通话时间（分钟）之间的关系如图所示（实线部分）（MN平行CD）(1)若通话时间为两小时，按方案A，B各付话费多少元？(2)方案B从500分钟以后，每分钟收费多少元？(3)通话时间在什么范围内，方案B比方案A优惠？8、随着机构改革的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员2a人（140<2a<420，且a为偶数），每人每年可创利b万元. 据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员．．．1人，则留岗职员每人每年．．．．多创利0.01b万元，但公司需付下岗职员每人每年0.4b万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的34. 为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？9、如图，公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上.（1）设AD＝x（x≥0），ED＝y，求用x表示y的函数关系式；（2）如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里？如果DE 是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应在哪里？请予证明.10、如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，已知|AB|＝3米，|AD|＝2米，（1）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的（单位：米），则当AM、长应在什么范围内？（2）若|AN| [3,4)AN的长度是多少时，矩形花坛AMPN的面积最大？并求出最大面积．6．解：设AN 的长为x 米（x >2） ∵|DN||DC||AN||AM|=，∴|AM |＝32xx -∴S AMPN ＝|AN |•|AM |＝232x x - （1）由S AMPN > 32 得 232x x - > 32 ， ∵x >2，∴2332640x x -+>，即（3x －8）（x －8）> 0 ∴8283x x <<> 或 即AN 长的取值范围是8(2)(8)3∞U ，，+（2）令y ＝232x x -，则y ′＝2226(2)334)(2)(2)x x x x x x x ---=--（ ∵当[3,4)x ∈，y ′< 0，∴函数y ＝232x x -在[3,4)上为单调递减函数，∴当x ＝3时y ＝232x x -取得最大值，即max ()27AMPN S =（平方米）此时|AN |＝3米，|AM |＝33932⨯=-米7.解、设通话x 分钟时，方案A ，B 的通话费分别为(),()A B f x f x （1）当x=120时 ()A f x =116元 ()B f x =168元若通话时间为两小时，方案A 付话费116元，方案B 付话费168元 （2）980601680500(),()338060185001010A B x x f x f x x x x x≤≤≤≤⎧⎧⎪⎪==⎨⎨+<+<⎪⎪⎩⎩当500x >时(1)B f x +-()B f x =0.3 方案B 从500分钟以后，每分钟收费0.3 元 (3) 当500x >时()()A B f x f x >060x ≤≤ ()()A B f x f x <60500x <≤由()()A B f x f x >得8803x >综合：通话时间在880(,)3∞内方案B 较优惠。