下载文档原格式
复变函数总结完整版第一章 复数12i =-11-=i 欧拉公式z=x+iy实部Re z 虚部Im z2运算①2121Re Re z z z z =⇔≡21Im Im z z =②()()()()()2121212121Im Im Re Re Im Re z z z z z z z z z z++±=±+±=±③()()()()1221212121122121221121y x y x i y y x x y y y ix yix x x iy x iy x z z ++-=-++=++=⋅④()()()()222221212222212122222211222121y x y x x y iy x y y x x iy x iy x iy x iy x z z z z zz+-+++=-+-+==⑤iy x z -= 共轭复数()()22y x iy x iy x z z +=-+=⋅ 共轭技巧运算律 P1页3代数，几何表示iyx z += z 与平面点()y x ,一一对应，与向量一一对应辐角 当z ≠0时，向量z 和x 轴正向之间的夹角θ，记作θ=Arg z=πθk 20+ k=±1±2±3…把位于-π＜0θ≤π的0θ叫做Arg z 辐角主值 记作0θ=0arg z4如何寻找arg z例：z=1-i4π-z=i 2π z=1+i 4π z=-1 π5极坐标： θcos r x =， θsin r y =()θθsin cos i r iy x z +=+=利用欧拉公式 θθθsin cos i e i += 可得到θi re z =()21212121212121θθθθθθ+=⋅=⋅=⋅i i i i i e r r e e r r e r e r z z6 高次幂及n 次方()θθθn i n r e r z z z z z n in n n sin cos +==⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=凡是满足方程zn=ω的ω值称为z 的n 次方根，记作 nz=ω ()nk i re z ωπθ==+2即nr ω=nr1=ωϕπθn k =+2nk πθϕ2+=第二章解析函数1极限 2函数极限① 复变函数对于任一D Z ∈都有E ∈W 与其对应()z f =ω 注：与实际情况相比，定义域，值域变化 例 ()z z f = ②()A =→z f z z 0limz z → 称()z f 当0z z →时以A 为极限 ☆当()0z f =A 时，连续例1 证明()z z f =在每一点都连续 证：()()00→-=-=-z z z z z f z f 0z z →所以()z z f =在每一点都连续3导数()()()()000limz z z z z z df z z z f z f z f =→=--='例2()Cz f = 时有 ()0'=C证：对z ∀有()()0lim lim 0=∆-=∆-∆+→∆→∆zCC z z f z z f z z 所以()0'=C例3证明()z z f =不可导 解：令0z z -=ω()()iyx iyx z z z z z z z z z z z f z f +-==--=--=--ωω000000当0→ω时，不存在，所以不可导。
(完整版)复变函数知识点总结复变函数知识点总结1. 复数与复变函数- 复数是实数和虚数的组合，可表示为a + bi的形式，其中a和b分别是实部和虚部。
- 复变函数是以复数为自变量和因变量的函数，例如f(z)。
2. 复变函数的运算规则- 复变函数的加法和减法：对应实部和虚部进行分别运算。
- 复变函数的乘法：使用分配律进行计算。
- 复变函数的除法：使用共轭形式并应用分配律和除法规则。
3. 复变函数的解析表示- 复变函数可以用级数形式表示，即幂级数或洛朗级数。
- 幂级数表示为f(z) = ∑(c_n * (z - z_0)^n)，其中c_n是幂级数的系数，z_0是展开点。
- 洛朗级数表示为f(z) = ∑(c_n * (z - z_0)^n) + ∑(d_n * (z -z_0)^(-n))。
4. 复变函数的性质- 全纯性：如果一个函数在某个区域内都是解析的，则称其为全纯函数。
- 解析性：如果一个函数在某一点附近有解析表示，则称其为解析函数。
- 保角性：保持角度的变化，即函数对角度的保持。
- 映射性：函数之间的对应关系，实现从一个集合到另一个集合的映射。
5. 复变函数的应用- 物理学：用于描述电磁场、电路等问题。
- 工程学：用于信号处理、图像处理等领域。
- 统计学：用于数据分析、模型拟合等方面。
6. 复变函数的计算方法- 积分计算：使用路径积分或者柯西公式进行计算。
- 极限计算：使用洛朗级数展开或级数加和求解极限。
- 零点计算：使用代数方法或数值解法求解函数的零点。
以上是复变函数的知识点总结，希望对您有所帮助！。
复变函数初步例题和知识点总结一、复变函数的基本概念复变函数是指定义在复数域上的函数。
一个复变函数通常可以表示为＄w ＝ f(z)＄，其中＄z ＝ x ＋ iy$ 是复数，＄x$ 和＄y$ 分别是实部和虚部，＄w ＝ u ＋ iv$ 也是复数，＄u$ 和＄v$ 分别是其实部和虚部。
例如，函数＄f(z) ＝ z^2$ 就是一个简单的复变函数。
将＄z ＝ x ＋iy$ 代入，可得：＼＼begin{align}f(z)＆＝（x ＋ iy)＾2\＼＆＝x^2 y^2 ＋ 2ixy＼end{align}＼从而得到实部＄u ＝ x^2 y^2$，虚部＄v ＝ 2xy$。
二、复变函数的极限与连续（一）极限如果对于任意给定的正数＄＼epsilon$，都存在正数＄＼delta$，使得当＄0 ＜｜z z_0| ＜＼delta$ 时，有＄｜f(z) A| ＜＼epsilon$，则称＄A$ 为函数＄f(z)＄当＄z$ 趋向于＄z_0$ 时的极限，记作＄＼lim_{z ＼to z_0} f(z) ＝ A$。
例如，考虑函数＄f(z) ＝＼frac{z}｛｜z|｝＄，当＄z$ 沿着实轴正方向趋近于＄0$ 时，极限为＄1$；当＄z$ 沿着实轴负方向趋近于＄0$ 时，极限为＄－1$。
由于这两个极限不相等，所以该函数在＄z ＝ 0$ 处极限不存在。
（二）连续如果函数＄f(z)＄在点＄z_0$ 处的极限存在且等于＄f(z_0)＄，则称函数＄f(z)＄在点＄z_0$ 处连续。
例如，函数＄f(z) ＝ z$ 在整个复数域上都是连续的。
三、复变函数的导数复变函数的导数定义与实函数类似，但需要满足柯西黎曼方程。
设函数＄f(z) ＝ u(x, y) ＋ iv(x, y)＄，则其导数为：＼f'（z) ＝＼lim_{＼Delta z ＼to 0} ＼frac{f(z ＋＼Delta z) f(z)｝｛＼Delta z}＼柯西黎曼方程为：＼＼frac{＼partial u}｛＼partial x} ＝＼frac{＼partial v}｛＼partial y}，＼quad ＼frac{＼partial u}｛＼partial y} ＝＼frac{＼partial v}｛＼partial x}＼例如，函数＄f(z) ＝ z^2 ＝（x ＋ iy)＾2 ＝ x^2 y^2 ＋ 2ixy$，则＄u ＝ x^2 y^2$，＄v ＝ 2xy$。
复变函数复习题详细答案复变函数复习题详细答案如下：1. 复数的代数形式和几何解释复数 \( z = a + bi \) 可以表示为平面上的一个点 \( (a, b) \)，其中 \( a \) 是实部，\( b \) 是虚部。
复数的模 \( |z| \) 表示该点到原点的距离，即 \( |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \)。
2. 复数的运算两个复数 \( z_1 = a + bi \) 和 \( z_2 = c + di \) 的加法和乘法运算如下：\[ z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)i \]\[ z_1 \cdot z_2 = (ac - bd) + (ad + bc)i \]3. 复数的共轭和模复数 \( z = a + bi \) 的共轭为 \( \overline{z} = a - bi \)，模为 \( |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \)。
4. 复数的指数形式复数 \( z \) 可以表示为指数形式 \( z = re^{i\theta} \)，其中\( r = |z| \) 是模，\( \theta \) 是 \( z \) 的辐角，满足\( \cos\theta = \frac{a}{r} \) 和 \( \sin\theta = \frac{b}{r} \)。
5. 复数的对数复数 \( z \) 的对数定义为 \( \log z = \log r + i\theta \)，其中 \( r = |z| \)，\( \theta \) 是 \( z \) 的主辐角。
6. 复数的导数设 \( f(z) = u(x, y) + iv(x, y) \) 是复函数，其中 \( z = x +iy \)，则 \( f(z) \) 的导数为：\[ f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partialv}{\partial x} \]前提是 \( u \) 和 \( v \) 的偏导数满足柯西-黎曼方程。
复变函数总结在数学领域中，复变函数是一种特殊的函数，其定义域和值域都是复数集。
它有许多独特的性质和应用，深受数学家和物理学家的喜爱和重视。
在本文中，我们将对复变函数的几个重要概念和应用进行总结和讨论。
第一部分：复数和复平面复变函数的基础是复数的概念。
复数可以表示为a+bi的形式，其中a和b分别是实数部分和虚数部分。
虚数单位i满足i^2=-1，使得复数集在数轴上获得了垂直的“第二个维度”。
复数还可以用极坐标形式r(cosθ+isinθ)表示，其中r是模长，θ是辐角。
复平面是将复数集映射到一个二维平面上的方法。
实部和虚部可以分别看作在坐标轴上的x轴和y轴坐标，使得复数的加减乘除运算可以在平面上直观地表示。
第二部分：复变函数的定义复数的加减乘除等运算都可以直接应用到复变函数中。
一般地，复变函数可以表示为f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中u和v是实函数，x 和y是复平面上的坐标。
如果f(z)满足柯西-黎曼方程u_x=v_y,u_y=-v_x，那么我们称这个函数为全纯函数。
全纯函数是复变函数的重要类别之一，有着许多重要的性质和应用。
第三部分：解析函数和调和函数解析函数是一个更严格的概念，它要求函数在其定义区域内处处可导。
而全纯函数只要求满足柯西-黎曼方程即可。
解析函数在数学和物理中有广泛的应用，如调和函数、特殊函数等。
调和函数是解析函数的一种特殊情况，它在某个区域内满足拉普拉斯方程△u=0。
调和函数在电势场、热传导等领域有着重要的物理意义。
第四部分：留数定理和复积分留数定理是复变函数理论中的一大亮点。
该定理通过计算函数在奇点处的留数，从而计算出复积分的值。
留数定理在数学分析和物理计算中有着重要的应用，如计算辐射场、傅里叶变换等。
复积分是沿着曲线路径对函数进行积分的一种方法，它在物理学和工程学中有着广泛的应用。
第五部分：解析延拓和边界值问题解析延拓是复变函数中的一个重要概念，它指的是将函数在某个已知区域的解析性质推广到更大区域的过程。
复变函数论第二章总结一、思维导图二、分类1.与积分路径无关：定理1 如果函数f(z)在单连通域内处处解析，F(z)为f(z)的一个原函数，那么：其中为单连通域内的两个点。
2.与积分路径有关：①无奇点：定理2（柯西积分定理）设f(z)在单连通域E内解析，C为E 内任一简单闭曲线，则：例题：②有一个奇点：定理3（柯西积分公式）如果函数f(z)在区域D内处处解析，C为D内的任何一条正向简单闭曲线，它的内部完全含于D，为C 内任意一点，那么例题：定理4（高阶导数公式）解析函数的导数仍然为解析函数，它的n阶导数为：例题：③有两个及以上奇点：定理5（复合闭路定理）设C为多连通域D内的一条简单闭曲线，是在C内部的简单闭曲线，它们互不包含也互不相交，并且以为边界的区域全含于D，如果f(z)在D内解析，则： (1) ，例题：2.解析函数与调和函数的关系1.调和函数的定义：若u(x,y)在区域E内具有连续的二阶偏导数，且在E内满足，则称函数u(x,y)为区域E的调和函数。
方程称为调和方程。
定理1 任何一个在区域E上解析的函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其实部与虚部都是该区域上的调和函数。
（该定理的逆定理不成立！要使u+iv解析，还需要满足C-R条件才可以）2.对于给定的调和函数u(x,y)，把使u+iv构成解析函数的调和函数v(x,y)称为u(x,y)的共轭调和函数。
3.求共轭调和函数的两种方法：①偏积分法（最常用，且不容易出错）如果已知一个调和函数u，那么就可以利用柯西－黎曼方程求得它的共轭调和函数v,从而构成一个解析函数u+vi。
这种方法称为偏积分法。
例题：②偏积分法：例题：（这里的积分路径一般从原点(0,0)开始选取，选任意的也可以）。
复变函数的极限与连续性例题和知识点总结在复变函数的学习中，极限与连续性是非常重要的概念。
理解和掌握它们对于解决各种复变函数的问题至关重要。
下面我们将通过一些具体的例题来深入探讨复变函数的极限与连续性，并对相关知识点进行总结。
一、复变函数极限的定义设函数＼（w ＝ f(z)＼）定义在＼（z_0\）的某个去心邻域内，如果对于任意给定的正数＼（＼epsilon\），总存在正数＼（＼delta\），使得当＼（ 0 ＜｜z z_0| ＜＼delta\）时，都有＼（｜f(z) A| ＜＼epsilon\），则称＼（ A\）为＼（ f(z)＼）当＼（ z\）趋于＼（ z_0\）时的极限，记作＼（＼lim_{z ＼to z_0} f(z) ＝ A\）。
二、复变函数连续性的定义如果函数＼（ f(z)＼）在＼（ z_0\）处满足＼（＼lim_{z ＼toz_0} f(z) ＝ f(z_0)＼），则称＼（ f(z)＼）在＼（ z_0\）处连续。
如果＼（ f(z)＼）在区域＼（ D\）内处处连续，则称＼（ f(z)＼）在＼（ D\）内连续。
三、例题解析例 1：求＼（＼lim_{z ＼to 1 ＋ i} （z^2 2z ＋ 2)＼）解：将＼（ z ＝ 1 ＋ i\）代入＼（ z^2 2z ＋ 2\）得：＼begin{align}＆（1 ＋ i)＾2 2(1 ＋ i) ＋ 2\＼＝＆1 ＋ 2i ＋ i^2 2 2i ＋ 2\＼＝＆1 ＋ 2i 1 2 2i ＋ 2\＼＝＆0＼end{align}＼所以＼（＼lim_{z ＼to 1 ＋ i} （z^2 2z ＋ 2) ＝ 0\）例 2：判断函数＼（ f(z) ＝＼frac{z^2 1}｛z 1}＼）在＼（ z ＝1\）处的连续性。
解：先对函数进行化简：＼＼begin{align}f(z)＆＝＼frac{z^2 1}｛z 1}＼＼＆＝＼frac{（z 1)（z ＋ 1)｝｛z 1}＼＼＆＝ z ＋ 1＼end{align}当＼（ z ＼to 1\）时，＼（＼lim_{z ＼to 1} f(z) ＝ 2\），而＼（ f(1)＼）不存在，所以函数＼（ f(z)＼）在＼（ z ＝ 1\）处不连续。
基本的幂级数展开式：
1112 +++++=-n z z z z
) 1 (<z +++++=!!212n z z z e n
z
) (∞<z ++-++-=+)!
12()1(!3sin 1
23n z z z z n n ) (∞<z +-++-=)!
2()1(!21cos 22
n z z z n n ) (∞<z 幂级数的重要性质：逐项求导
设 )()( )( 202010+-+-+=z z z z z f ααα +-+n n z z )(0α
则 )(2 )( 021+-+='z z z f αα +-+-10)(n n z z n α
应用：从已知函数的幂级数展开式求它的导数的幂级数展开式，例如，
32111)1(1122 +++++='⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=--n nz z z z z 求函数在指定点0z 幂级数展开式: 1.
a z -1，
b z =0，b a ≠ 2. 2)
(1a z -，b z =0，b a ≠ 3. a
z b z --3
)(，b z =0，b a ≠ 4. 1
22+-z z z ，i 0=z 提示：222)1(i )1(i 12-+--=+-z z z z z z 5.
)2)(1(++z z z ，10=z 提示：1122)2)(1(+-+=++z z z z z 6. 1
12+z ，10=z
洛朗级数展开式
把幂级数展开式中的 0z z - 换成 0
1z z - 就得到洛朗级数中的负幂项级数。
设 )()( )( 202010+-+-+=z z z z z f ααα +-+n n z z )(0α，R z z <-0 则)1(
00
z z z f +- )()( 2021010+-+-+=--z z z z ααα +-+-n n z z )(0α，
所以，求洛朗级数展开式的方法就是求幂级数展开式的方法。
例如， 由 +++++=!!212n z z z e n
z
) (∞<z 得， +++++
=n z z n z z e !1!2111 21 ， 0≠z 由 1112 +++++=-n z z z z
， 1 <z 得，
111211 +++++=-----n z z z z ， 1 1 <z 即， 11
21 +++++=----n z z z z z ， 1 >z 洛朗级数的重要性质：逐项求导
例如，上式逐项求导得到，
2)
1(11322 +----=------n nz z z z ， 1 >z 求函数在指定圆环的洛朗级数展开式 1.2
1-z ，2 >z 2. 2)
2(1-z ，2 >z 3. 2)
2(1--z z ，2 >z 提示：222)2(1)2(1)2(1---⨯=--z z z z z 4.
)2(15-z z ，2 >z 5. )
2(1-z z ，2 0<<z R z z /10>-
6.2)
2(1-z z ，2 0<<z 7. 3)2(1
-z z ，22 0<-<z
8. )
2(12-z z ，22 0<-<z 9. )
2()1(12--z z 12 0<-<z 10. 求下列函数在孤立奇点的去心邻域内的洛朗展式：
z e z 1
2，z e z 1
2)1(+，11
2-z e z ，z
e z 1
2)1(-，z z 1sin 2，11sin 2-z z ，z z 1sin )1(2-， z z 1cos 2，11cos 2-z z ，z z 1cos )1(2-，z
z z 1cos )2(2+
复变函数的积分
一、不解析函数的积分
利用曲线的参数方程，化成定积分计算。
起点是a ，终点是b 的直线段的参数方程: tb a t t z +-=)1()(，10≤≤t 圆r a z =-的参数方程：t re a t z i )(+=，π20≤≤t
圆r z =的参数方程：t re t z i )(=，π20≤≤t
设C 是起点是i 1+，终点是i 32+的直线段或圆1=z ，计算
1.
⎰C xdz ，即⎰C dz z Re ， 2.
⎰C ydz ，即⎰C dz z Im 3.
⎰C dz z 4. ⎰+C dz y x )i (2
二、解析函数在不闭合曲线上的积分，用原函数上下限计算，也可用参数方程化
定积分计算。
1. dz z ⎰2i
i cos
2. 设C 是圆1=z 从1到1反时针方向。
z （11=），z ln （)01ln =是去掉原
点和正实轴的复平面内的单值解析函数分支，计算
dz z C ⎰， dz z C
⎰ln 三、解析函数在闭合曲线上的积分，用留数计算，等于曲线所围成的区域内所有 奇点的留数之和乘以i 2π。
1. ⎰=++1 3)
4(1 z dz z z z 2. ⎰=++1 261
56 z z
dz z z e 3. ⎰=-2 22
1sin z dz z z 4. ⎰=++112 )1(z z dz e z z
无穷限广义积分的计算
一、 有理函数，分母在实轴上不等于0，分母比分子至少高二次，从∞-到∞+
积分，等于上半平面奇点的留数之和乘以i 2π。
1. dx x x x x ⎰
+∞∞-+++)22)(1(22 2. dx x
x ⎰∞
+++04211 二、在实轴上没有零点的有理函数和三角函数的乘积 公式 当)(x f 是偶函数时，dx e x f dx x x f x ⎰⎰+∞∞
-+∞∞-= i )(cos )( ， 当)(x f 是奇函数时，dx e x f dx x x f x ⎰⎰+∞
∞-+∞∞--= i )( i sin )( dx e x f x ⎰+∞
∞- i )(等于z e z f i )(在上半平面奇点的留数之和乘以i 2π。
1.
dx x x x x ⎰+∞∞-+-102cos 2 2. dx x x x ⎰+∞+029
sin
保形映射
1. 映射的保角性指的是什么？什么映射具有保角性？
2. 为什么分式线性函数具有保角性？
3. 如果一个保形映射把ABC ∠映射成FDE ∠，那么BC 映射成FDE ∠的哪条边？BA 映射成FDE ∠的哪条边？
单叶（即一对一）解析函数的重要性质：
把区域映射成区域，区域的边界映射成边界。
要确定映射成什么区域，首先确定它的边界映射成什么曲线了。
区域映射成曲线的内或外，或左，或右。
问题：
一、对于1
1-+=z z w ，回答以下问题。
1. 把实轴映射成什么？
2. 把实轴上]1 ,1[-映射成什么？
3. 把实轴上]1 ,[--∞映射成什么？
4. 把实轴上] ,1[∞+映射成什么？
5. 把1=z 映射成什么？
6. 把1<z 映射成什么？
7. 把1>z 映射成什么？
8. 把半圆0Im ,1≥=z z 映射成什么？
9. 把半圆0Im ,1≤=z z 映射成什么？
10. 把上半平面圆的外部区域0Im ,1>>z z 映射成什么？
A B
C D E
11. 把虚轴0Re =z 映射成什么？
二、对于i
1-+=z z w ，回答以下问题。
1. 把实轴映射成什么？
2. 把虚轴映射成什么？
3. 把1=z 映射成什么？
辐角
●下面的条件分别表示什么集合？
0arg =z ，π=z arg ，4arg π
=z ，4)i arg(π
=-z ，45)i arg(π=-z ，4
arg 0π<<z 4
)i arg(0π
<
-<z ，π<<z arg 0，π2arg 0<<z ●求值（写出实部、虚部） 12112i 1i) 31(⎪⎭⎫ ⎝⎛++，12112i 1 /i) 31(⎪⎭⎫ ⎝⎛++，i)2sin(i 2++e ，i)2cos(i 2++e ，i 32Ln +e ， i) 3(3Ln +
●求z e 把区域映射成什么区域，就是求z e 的模和辐角的取值范围； ●求z ln 把区域映射成什么区域，就是求z ln 的实部和虚部的取值范围；
●下面的函数在什么点有导数？求出导数。
2
12++z z ，n z ，z z ，)( i 22x y y x ++- ●求)(t z 对t 的导数。
t e t z i )(=，32 i )(t t t z +=
● 设z ln （01ln =）是z L n 的一个解析分支，问i)1ln(+-可能的两个值是什么？ ● 设z ln （i 21ln π=）是z Ln 的一个解析分支，问i)1ln(+-可能的两个值是什么？
提示：两种割线。
