分式求值的一般方法

分式方程和分式的化简与求值【知识要点】1分式和分式方程的定义。

2、 分式的求值通常先把已知条件化成我们需要的等量关系，再代入所求得出结果。

3、 注意整体代入的思想方法。

1学会x的应用。

4、 学会等比设k 法的应用。

5、x(4)(1 )要使分式A. X1——有意义，则x 1B. xx应满足的条件是(2)(3)A.(2009年吉林省)化简x 2化简B.亠x 2时,C. x分式一1—无意义.x 2xy 2y4x-的结果是(4C. D.3x 22x 5x 6 2 x 4x 3(5)b2bD. x 12 2a b24ab 4b例3. (1)已知1 13，求分式2a 3ab 2b的值。

a b a ab ba2 2ab 3b22，求二2a2 6ab 7b2的值。

例8 .已知a 、 c 满足ab1 _b^ 3，b c1 ca 4‘c a1abc，求分式 的值。

例5 .已知ab-b c d例4 .已知：X 1xy 2 2 0，试求丄xyIII1 x 2000 y 2000的值。

的值。

例6. 已知4x(x24)AxBx CC，则A4,B,C2 x例7. 若x1x 3，求4 x2x2 x的值。

12、选择题1•将分式中的x 、y 的值同时扩大2倍，则扩大后分式的值（x y结 果是( )a 1A 、x6. 使分式有意义的2x 4=2 工 2 C.x= -27. 下列等式成立的是（a b 的值为 _________________A 、扩大2倍；B 、缩小2倍；C 、保持不变;D 、无法确定;3•计算的正确结果是4.若 x 2 0,则2.3 2 2 .的值等于（ （X 2 X ）2 1 3B.C. .3D. .3 或35•某人上山和下山走同一条路，且总路程为 =千米，若他上山的速度为千米/时，下山的速度为千米/时，则他上山和下山的平均速度为a b 2ab A. B.2 aC. b ( aba bD.)2s a bA. (-3 )-2=-9 B. ( -3 )-2=丄 C.912\a )2=a 14已知 a 2 6a9与b 1互为相反数,则式子练习a 2的取值范围是（3 19.方程——的解是 __________________2x x 32x m 10、当m时, 关于 x 的分式万程1无解x 311、若关于x 的方程 x 2 m无解，则m 的值是()x 2x 2=-4 B. m=-2C.m=-4 =212、若关于x 的分式方程 —a -1无解，则a 的值为（ ）x 1 xA. 1或-2D. 无法确定13. 某服装厂准备加工 400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了 20%结果共用了 18天完成任务，问计划每天加工服装多少套在这个问题中，设计划每天加工 x 套，则根据题意可得方程为二、计算22(x 1) 2x1 1 2.已知丄丄b a(1)2x 2x 31 2x 3(2)x1)2 A.型x400 (1 20%)x 18160 400 160(1 20%) x 18400 16020%x18D.400400 160 (1 20%) x18(3)(4)1x 22 x试求的值;2ab b3.已知x , y , z 均不为0，且满足4x 3y 6z 0 , x 2y 7z0，求尊黑罷2x 5y 7 z 之值。

分式方程和分式的化简与求值【知识要点】1、分式和分式方程的定义。

2、分式的求值通常先把已知条件化成我们需要的等量关系，再代入所求得出结果。

3、注意整体代入的思想方法。

4、学会等比设k 法的应用。

5、学会1x x+的应用。

例1．（1）要使分式11x +有意义，则x 应满足的条件是（ ） A ．1x ≠ B ．1x ≠- C ．0x ≠ D ．1x >（2）当x = 时，分式12x -无意义． （3）（2009年吉林省）化简2244xy y x x --+的结果是（ ） A ．2x x + B ．2x x - C ．2y x + D ．2y x - 例2、化简（4）222112325643x x x x x x -++++++++ （5）22221244a b a b a b a ab b ---÷+++例3．（1）已知113a b -=，求分式232a ab b a ab b +---的值。

（2）若2a b=-，求22222367a ab b a ab b ----的值。

例4．已知：()2120x xy -+-=，试求()()()()1111120002000xy x y x y +++++++的值。

例5．已知a b c d b c d a ===，求a b c d a b c d +++++-的值。

例6． 已知4)4(422+++=+x C Bx x A x x ，则___________,_____,===C B A ； 例7．若13x x+=，求2421x x x ++的值。

例8．已知a 、b 、c 满足51,41,31=+=+=+a c ca c b bc b a ab ，求分式caba ab abc ++的值。

练习一、选择题1．将分式2x x y +中的x 、y 的值同时扩大2倍，则扩大后分式的值（ ） A 、扩大2倍； B 、缩小2倍； C 、保持不变； D 、无法确定；2．计算11--+a aa 的结果是-----------------------------------------------------------------（ ）A 11-aB 11--a C 112---a a a D 1-a 3．计算11a a a a -⎛⎫÷- ⎪⎝⎭的正确结果是（ ） A 、11a + B 、１ C 、11a - D 、1- 4.若220x x --=，则22223()13x x x x -+--+的值等于（ ） A ．23 B ．3 C ．3 D ．3或3 5．某人上山和下山走同一条路，且总路程为千米，若他上山的速度为千米/时，下山的速度为千米/时，则他上山和下山的平均速度为 （ ）A.2b a + B.b a ab +2 C.b a ab + D.ba s +2 6.使分式42-x x 有意义的x 的取值范围是（ ） =2 ≠2 C.x= -2 ≠-27.下列等式成立的是（ ）A.（-3）-2=-9B. （-3）-2=91 C.（a 12）2=a 14 已知269a a -+与1b -互为相反数,则式子()a b a b b a ⎛⎫-÷+ ⎪⎝⎭的值为9.方程3123x x =+的解是 10、当m = 时，关于x 的分式方程213x m x +=--无解 11、若关于x 的方程222-=-+x m x x 无解，则m 的值是 （ ） =-4 B. m=-2 C.m=-4 =2 12、若关于x 的分式方程311x a x x --=-无解，则a 的值为（ ） A. 1 或-2 D.无法确定13.某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问计划每天加工服装多少套在这个问题中，设计划每天加工x 套，则根据题意可得方程为A ．18%)201(400160=++x xB ．18%)201(160400160=+-+xx Ｃ．18%20160400160=-+x x Ｄ．18%)201(160400400=+-+x x 二、计算（1）2112323x x x -=-+（2）222(1)160x x x x +++-=．（3）222(1)160x x x x +++-=． （4）xx x -=+--23123.2．已知111b a -=，试求2322a ab b a ab b+---的值；3．已知 x , y , z 均不为0，且满足072,0634=-+=--z y x z y x ，求22222275632z y x z y x ++++之值。

分式运算综合题1、先化简，再求值：（1-x x －11+x ）÷112-x ，其中x=22、先化简，再求值：21+-a a ·12422+--a a a ÷112-a ，其中a 满足a 2-a=12。

3、计算：223y x y x -+－222y x y x -++2232y x yx --。

4、化简：12+x x -1422-+x x ÷1222+-+x x x ，然后在不等式x ≤2的非负整数解中选择一个适当的数代入求值。

5、已知M=222y x xy -，N=2222y x y x -+，P=224x y xy-，用“＋”或“-”连接M ，N ，P 有多种不同的形式，如M+N-P 。

请你任选一种进行计算，并化简求值，其中x ：y=5:2。

6、已知abc ≠0且a+b+c=0,求a(b 1+c 1)+b(c 1+a 1)+c(a 1+b1)的值。

7、已知两个式子：A=442-x ，B=21+x ＋x-21，其中x ≠±2，则A 与B 的关系是（ ）A.相等B.互为倒数C.互为相反数D.A 大于B8、已知1＜x ＜2，则式子|2|2--x x －1|1|--x x ＋xx ||化简的结果是（ ）A.－1B.1C.2D.39、已知a2+3ab+b2=0(a ≠0,b ≠0)，则式子a b +ba= 。

10、已知a 1+b 21=3，则式子b a ab b ab a 634452--+-= 。

11、已知3-x m －2+x n =)2)(3(17+-+x x x ，求m 2+n 2的值。

12、已知a,b 为实数，且ab=1，设M=1+a a +1+b b ，N=11+a ＋11+b ，试确定M ，N 的大小关系。

13、先化简，再求值：（x-13+x x ）÷1222++-x x x ,其中x 满足x 2+x-2=0.14、已知A=（x-3）÷4)96)(2(22-+-+x x x x －1,(1)化简A; 2x-1＜x,(2)若x 满足不等式组 且x 为整数，求A 的值。

分式求值的技巧点拨胡伟在分式运算中，常遇到求值问题，这类问题题型多样，技巧性强，若根据题目中分式的结构特点，采用适当方法，则可巧妙获解。

一、巧用配方法求值例1 已知01x 5x 2=+-求44x 1x +的值。

解：由0x 01x 5x 2≠=+-知，由此得5x 1x =+∴2)x1x (x 1x 22244-+=+ 5272]2)x1x [(22=--+= 说明：在求解有关分式中两数（或两式）的平方和问题时，可考虑用完全平方公式进行解答。

二、巧用因式分解法求值例2 先化简，再求值：1n mn )n m n mn n mn 2m n m (22222--+-+--。

其中231m -=，231n +=。

解：原式=1n mn ])n m )(n m ()n m (n )n m (n m [2--++--- n m mn 1n mn n m n 11n mn )n m n n m 1(--=-⋅--=----= ∵23231m --=-=，23231n +-=+=∴1)23)(23(mn -=+---=，4)23()23(n m -=+----=- ∴41n m mn -=--=原式 说明：因式分解法是一种重要的数学方法，解决很多数学问题都要用到它，尤其是在分式化简和分式的四则运算中运用较多。

因此，希望同学们对因式分解的各种方法熟练掌握。

三、巧用整体代入法求值例3 已知3b 1a 1=-，求bab 2a b 2ab 3a 2---+的值。

解：由3b1a 1=-变形得ab 3b a -=-，代入所求式得： 原式ab 2)b a (ab 3)b a (2--+-= 53ab 2ab 3ab3ab 6=--+-=说明：在解答给定条件下求分式的值这类问题时，需要把待求值的分式进行恒等变形，转化成能用已知条件表示的形式，再代入计算，或先把条件进行化简再采用上述方法求值。

四、巧设参数（辅助未知数）求值例4 已知实数x 、y 满足x:y=1:2，则=+-yx y x 3__________。

分式求值的常用技巧分式是一种特殊类型的数学表达式，它包含有一个或多个数（称为分子）除以另一个数（称为分母）。

分式可以代表有理数和算术运算，例如加法、减法、乘法和除法。

在解决分式求值问题时，有一些常用的技巧可以帮助我们简化计算和得出结果。

1.化简分式首先，我们可以通过化简分式来简化计算过程。

化简分式的目的是找到分子和分母的最大公约数，并将分子和分母都除以它，使分式更简单。

例如，考虑分式12/24，我们可以找到最大公约数为12，并将分子和分母都除以12，得到1/2、这样，原分式就被化简为最简分式。

2.找到分子和分母的公因式在一些分式中，分子和分母可能有一个或多个公因式。

我们可以通过找到它们来简化计算。

例如，考虑分式16/24，我们可以发现分子和分母都可以被2整除。

我们可以将16除以2得到8，24除以2得到12，从而得到化简后的分式8/12、然后，我们可以继续找到8和12的最大公约数，并将它们化简为最简分式。

3.交换分子和分母的位置有时候，分式的分子和分母的位置可以互换。

我们可以利用这个性质来简化计算。

例如，考虑分式1/4，我们可以将分子和分母互换，得到4/1、然后，我们可以将4除以1得到4，从而得到最简分式44.将分式转化为小数形式有时候，将分式转化为小数形式可以更便于计算。

我们可以通过将分子除以分母来得到分数的小数形式。

例如，考虑分式3/5，我们可以将3除以5得到0.6、这样，我们就得到了分式的小数形式。

5.使用乘法和除法的性质在进行分式求值时，我们可以利用乘法和除法的性质来简化计算。

例如，考虑分式(2/3)*(4/5)，我们可以将分子和分母相乘得到8/15、同样的，如果我们考虑分式(2/3)/(4/5)，我们可以将分子乘以分母的倒数得到(2/3)*(5/4)，然后进行乘法操作得到10/12，最后化简为5/66.使用加法和减法的性质在进行分式求值时，我们还可以利用加法和减法的性质来简化计算。

例如，考虑分式(2/3)+(4/5)，我们可以找到两个分数的公共分母，然后将分子相加得到一个新的分数作为结果。

分式求值中的一些解题技巧一、本章知识框架图建立本章知识框架图，形成本章知识体系：二、分式的基本知识点回顾1、分式的定义：一般地，如果A 、B 表示两个 ，并且 中含有字母，那么代数式 叫做分式。

注意分式中字母代表什么数或者式子是有条件的:.0 .⎧⎨⎩分式有意义的条件:分式为的条件：2、分式的基本性质：分式的 都乘以（或除以） . 式子：MB A B A B M A B A ÷÷=⋅⋅=)(,) (（其中，M 是 ） 3、分式的运算 Ⅰ、乘法 ：分式乘分式， 做积的分子， 做积的分母. Ⅱ、除法：分式除以分式，把分式的 颠倒位置后再与被除式 .Ⅲ、加减：⎩⎨⎧. , . , 后先异分母的分式相加减：分子分母同分母的分式相加减：路曼曼其修远兮，吾将上下而求索专题 典例引路—分式运算的常用技巧分式运算的一般方法就是按分式运算法则和运算顺序进行运算。

但对某些较复杂的题目，使用一般方法有时计算量太大，导致出错，有时甚至算不出来，这节课我们来学习运用数学思想和方法技巧来对分式进行运算。

1、整体例1 计算(1)242++-a a （2）1132+--+x x x x观察归纳丰富的问题情景分式的概念分式方程的概念分式方程的解法 分式方程的应用分式的基本性质通分约分分式的运算分式的乘除法分式的加减法 分式的混合运算 分式的化简求值例2 .3353,511)1(的值求若yxy x yxy x y x ---+=-.111,1)2(的值求已知++++++++=c ac cb bc b a ab a abc.3515x 5,411x )3(224242的值求如果xx x x +-=++整体思想就是考虑数学问题时，不是着眼于它的局部特征，而是把注意和着眼点放在问题的整体结构上，通过对其全面深刻的观察，从宏观整体上认识问题的实质，把一些彼此独立但实质上又相互紧密联系着的量作为整体来处理的思想方法。

整体思想在处理数学问题时，有广泛的应用。

分式求值方法经典归纳分式是数学中常见的一种运算形式，其计算方法有很多种。

本文将介绍一种经典归纳的方法来求解分式的值。

一、基础概念在介绍具体的求值方法之前，先来回顾一下有关分式的基础概念：1.分子和分母：一个分式由一个比例组成，其中分子表示分式的上部分，分母表示分式的下部分。

2.真分式和假分式：如果分数的分子小于分母，则称这个分数为真分式；如果分数的分子大于等于分母，则称这个分数为假分式。

3.通分：当两个分数的分母相同时，我们称它们的分数为同分母的分数。

为了方便比较同分母的分数的大小，我们可以对它们进行通分，即将它们的分母变为相同的数。

4.约分：当一个分数的分子和分母都能被一个相同的数整除时，我们可以约去这个相同的数，使得分数的值不变。

这个过程称为约分。

二、分式求值方法对于分式的求值，我们可以通过以下步骤来进行计算：步骤一：将分数进行通分，即将两个分数的分母变为相同的数。

步骤二：将分数的分子和分母进行运算，得到一个新的分数。

步骤三：对新的分数进行约分，得到最简分数。

步骤四：对最简分数的分子和分母进行运算，得到最终的结果。

接下来，我们通过几个例题来说明这个过程：例题一：求分式的值计算分式 $\frac{1}{2} + \frac{3}{4}$ 的值。

解：首先，对于两个分数，我们可以将它们的分母进行通分，将它们的分子和分母进行运算：$\frac{1}{2} + \frac{3}{4} = \frac{2}{4} + \frac{3}{4} =\frac{5}{4}$然后，对于新的分数 $\frac{5}{4}$ ，我们可以对其进行约分，得到最简分数：$\frac{5}{4} = \frac{1}{\frac{4}{5}}$最后，对最简分数的分子和分母进行运算，得到结果为$\frac{1}{\frac{4}{5}} = \frac{5}{4}$。

所以，原分式的值为 $\frac{5}{4}$。

例题二：求分式的值计算分式 $\frac{2}{3} - \frac{1}{5}$ 的值。

分式求值五技巧求分式的值这种题型在《分式》一章中经常出现.有些求值题用一般方法直接可以解答，但有些求值题用一般的方法解起来很困难.所以我们要善于总结，寻找技巧，这样才能顺利解题.以下向同学们介绍了几种常用的技巧.一、巧用整体代换例1：已知：x+x 1=2，求x 2+21x的值. 分析：用x+x 1表示x 2+21x，用已知式整体代换所求式. 解： 由x+x 1=2可得 ⎝⎛⎪⎭⎫+21x x =4 所以x 2+21x = ⎝⎛⎪⎭⎫+21x x -2•x•x 1 =4-2=2二、巧用变形代入：例2：已知：n m =4 求 2222n mn m mn m +--的值 分析：先将求值式化简，再把已知条件变形代入. 解：由n m=4可得m=4n 代入原式，原式=)()(2n m n m m --=n m m -=n n n -44=n n 34=34 三、巧设比值代入例3：已知：2a =3b =4c 求分式222c b a ac bc ab ++++的值 分析：已知条件2a =3b =4c 为等比形式时，常设比值为k ，把a ，b ，c 都用K 来表示，这样就可以求值了. 解：设2a =3b =4c =k 则a=2k b=3k c=4k 代入求值式：原式=2221694424332kk k k k k k k k ++•+•+•=222926k k =2926 四、巧用倒数：例4：已知：a+a 1=5 则1242++a a a 为________ 分析：由a+a 1=5求出a 的值式代入1242++a a a 明显比较复杂，对求值式取倒数，并向已知条件靠拢有下列解法. 解：把1242++a a a 的分子、分母倒过来 即2241aa a ++=24a a +22a a +21a =a 2+21a +1 = ⎝⎛⎪⎭⎫+21a a -2+1 = ⎝⎛⎪⎭⎫+21a a -1 =52-1=24 所以，原式1242++a a a =241 五、巧选特殊值代入：例5：若 x 1-y 1=31，求y xy x y xy x ---+3232的值 分析：通过条件式的一组特殊值来计算求值式的值.这种特殊的方法计算起来简单快捷，但是条件中字母不能任意取值，要受限制.所以我们在选值时要让它符合两个条件：（1）代入条件式和求值式中都有意义.（2）尽量找整数，利于求值计算.解：令x=2代入已知等式得， y=6把x=2，y=6代入求值式，得y xy x y xy x ---+3232=662326262322-••-•-••+•=636212364---+原式=4028 =-107 以上例5题还有其它的巧解方法，希望同学们在今后的学习中多找技巧，提高数学的学习兴趣，丰富自己的生活.。