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3〉结论：作平角的平分线即可平分平角， 由此也得到过直线上一点作这条直线的垂 线的方法。
探究角平分线的性质
(1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角 三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观 察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？
(2)猜想:角的平分线上的点到角的 两边的距离相等.
说一说
你能用文字语言叙述一下发现的结论吗？
角平分线上的点到角的两边的距离相等
用几何语言表示为：
∵OP平分∠AOB PD ⊥OA ，PE ⊥OB ∴PD=PE.
O A D P E B
角平分线的性质
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 定理应用所具备的条件：
（1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离。 O E D
12.3角平分线的性质 （1）
小林中心验证等方式，掌握角平分线的性质 定理 2.能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问 题.
复习提问
1、角平分线的概念
一条射线 把一个角分成两个相等的角，
这条射线叫做这个角的平分线。
A
o
1 2
C B
2.下图中能表示点P到直线l的距离的是 线段PC的长
B A P E M F C
用一用(2)
已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且 BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F. 求证:EB=FC.
A
E B D
F C
温馨提示:
做完题目后,一定要“ ”到点东 西,纳入到自己的认知结构中去.
悟
1:如图，在△ABC中，∠C＝900，AD平分 ∠BAC交BC于点D，若BC＝8,BD＝5，则点 D到AB的距离是多少？
探究1---想一想
如图,是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC. 将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿 AC画一条射线AE,AE就是角平分线.你能说明它的道 理吗?
经过上面的探索，你能得 到作已知角的平分线的方 法吗？小组内互相交流一 下吧！
试一试
由上面的探究可以得出作已知角的平分线的方法 已知:∠AOB. 求作:∠AOB的平分线. A
A E
E
B
C
D
2.如图, △ABC的∠B的外角的平分线BD与∠C的 外角的平分线CE相交于点P.求证:点P到三边 AB,BC,CA所在直线的距离相等.
D C P A A B E
E
3、如图，OC平分∠AOB， PM⊥OB于点M， PN⊥OA于点N， △POM的面积为6，OM=6， 2 则PN=_______。
N
0 P M A C B
4、如图:△ABC中, ∠C=900，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB 于E，F在AC上，BD=DF，求证：CF=EB
A
F
E
C
D
B
5、如图，△ABC中，∠C=90°，AC=CB，AD为∠BAC的平 分线，DE⊥AB于点E。 求证：△DBE的周长等于AB。
C D
A
E
B
思考：
证明: ∵ OC是∠AOB的平分线 ∴ ∠AOC= ∠BOC ∵ PD⊥OA,PE⊥OB, ∴ ∠ PDO=∠PEO=900 在△PDO和△PEO中 ∠ PDO=∠PEO ∠AOC= ∠BOC OP=OP
D O
A P C B
E
∴ △PDO≌△PEO
(AAS) ∴ PD=PE
用一用（1）
1、如图, △ABC的角平分线BM,CN相交于点P, 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等 证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC 于E，PF⊥AC于F ND ∵ BM为△ABC的角平分线 ∴PD=PE 同理,PE=PF. ∴PD＝PE=PF 即点P到三边AB、BC、CA的距离相等
A
P
C
B
定理的作用： 证明线段相等。
证明几何命题的一般步骤：
1、明确命题的已知和求证
2、根据题意，画出图形，并用数学 符号表示已知和求证；
3、经过分析，找出由已知推出求证 的途径，写出证明过程。
• 角平分线性质： • 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
已知:OC是∠AOB的平分线, 点P在OC上,且 PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为点D,E.求证: PD=PE
要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁 路距离相等且离公路，铁路的交叉处５００ 米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）
Ｏ
公路
铁路
Ｓ
丰收乐园
回味无穷
定理（文字语言）: 角平分线 上的点到这个角的两边的距离 相等. 符号语言： ∵∠1＝∠2 PD⊥OA,PE⊥OB( 已知） ∴PD=PE(角平分线上的点到这 个角的两边距离相等). 用尺规作角的平分线.
作法: ⑴以O为圆心,任意长为半径作 弧,交OA于M,交OB于N. ⑵分别以M,N为圆心,大于 的长为半径作弧,两弧在 ∠AOB的内部交于点C. ⑶作射线OC, 射线OC即为所求.
1 MN 2
Ｍ
Ｃ
Ｂ
Ｎ
0
温馨提示: 作角平分线是最基本的 尺规作图,大家一定要掌握噢!
C
1〉平分平角∠AOB
B
O D
A
2〉通过上面的步骤，得到射线OC以后， 把它反向延长得到直线CD，直线CD与直线 AB是什么关系？
A
D
O
1 2 E
P C
B
